CC BY
29
1QS Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №9/1(59).
УДК 517.53
ОПИСАНИЕ КЛАССА СУБГАРМОНИЧЕСКИХ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ ФУНКЦИЙ, ХАРАКТЕРИСТИКА НЕВАНЛИННЫ КОТОРЫХ ПРИНАДЛЕЖИТ ВЕСОВЫМ ^-ПРОСТРАНСТВАМ
© 2007 О.В. Охлупина1
В этой работе получено параметрическое представление класса субгармонических функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым пространствам Лебега.
Введение
Пусть Б = {г : И < 1}, 2 = ге!ф. 5 — множество измеримых положительных суммируемых функций ю на (0; 1), для которых существуют числа тю, Мю, дю, причем
ю(гХ)
тю, аю е (0; 1) удовлетворяют оценке тю < --- < Мю, г е (0; 1), X е [аю; 1]. Такие
ю(г)
функции называют еще медленно изменяющимися функциями (см. [1]). Важным частным случаем функции из 5 является степенная функция ю(£) = а > -1.
Далее обозначим через 5Н(Б) множество всех субгармонических функций в Б, и+(г) = шах(ы(г);0), и~(г) = шах(-ы(г); 0), и(г) = и+(г) - и~(г).
Введем также в рассмотрение следующий класс субгармонических функций:
SHpa (D) =
u є SH(D) :
' 1 /л
J' ю(1 — r) J' u+(reгф)dф
Q —П
у л 1 ч p
dr < +ГО
/ /
0 < р < +то. Ьрт(Б) — обычное весовое ^-пространство, т.е.
( 1 Г* ( П л Г* p Л p
¥ : ш(1 — r) 1 |y(re!(p)^ dr < +ГС)
Q —П
Lp,m(D) =
Одна из наиболее важных теорем в теории субгармонических функций принадлежит Ф. Риссу (см., например, [2, с. 123]).
Теорема (Ф. Рисс). Пусть ы(т) — субгармоническая функция в Б. Тогда в Б существует единственная борелевская мера ц такая, что для любой подобласти
О с Б: ы(т) = § 1п |г - + Ь(і), где Н(т) — гармоническая функция в О.
О
1 Охлупина Ольга Валентиновна ([email protected]), кафедра математического анализа Брянского государственного университета, 242036, Россия, г.Брянск, ул.Бежицкая, 14
При решении разнообразных задач в теории потенциала и в теории функций комплексного переменного очень важно иметь представление субгармонической функции во всем круге D.
Задачи такого рода для субгармонических в D ( и в шаре в Rn) функций, имеющих ограниченную характеристику Р. Неванлинны, исследованы в работах [3-5].
В данной работе мы получим параметрическое представление для функций u, вообще говоря, не имеющих ограниченную характеристику Р. Неванлинны T(r, u) =
П
= — u+(reгф)dф, т.е. класса функций u, для которых T(r, u) є Lpm(D), О < p < +«>,
2п J
m є L1(0; 1).
Для дальнейшего изложения введем также следующее обозначение (см. [4]): пусть z, Z є D, Z + О, в > -1, тогда
z\ f в Г (1 -|^2)вln|1 - Zl , і) ЄХР I- nj -----(1 - - ^в+2-dm2(t) f . (a)
I z\ f в f (1 -| t| 2)в ln|1 - Zl A'fcl) = Iі -t)exp I-П J (1 - tz )в+2 dm2(t)
Основным результатом работы является следующее утверждение.
Теорема. Для того чтобы субгармоническая функция и принадлежала классу 5 ИЩ(В), 0 < р < ш е 5, необходимо и достаточно, чтобы в Б и допускала представление
и(г) = ^ 1п |Ар(г, £)|ф-(£) + Кг), (Ь)
В
где в — достаточно большое положительное число, зависящее только от ш,
ц(^) — произвольная борелевская неотрицательная мера в В, для которой 1
/ ш(1 - г)(1 - г)рпр(г)йг < +то, п(г) = ц(Вг), Вг = {г : И < г}, 0 < г < 1, Н(г) —
о
гармоническая функция в В, удовлетворяющая условию:
1 I я \р
йг < +то.
J' m(1 - r) J' |h(re^)^
Замечание. При p = 1, m(t) = ta, а > -1 аналогичное представление получено в работе [б].
1. Доказательство вспомогательных утверждений
В этом разделе работы будем предполагать, что и(г) является субгармонической в В функцией, которая гармонична в некоторой окрестности точки ноль, причем и(0) = 0. с — константа, не имеющая принципиального значения.
Доказательство теоремы основано на следующих вспомогательных утверждениях.
Лемма 1. Пусть и —произвольная субгармоническая функция из класса 5ИЩ(В), 0 < р < +то. Тогда справедлива оценка:
J' m(1 - r) J' |u(re^)^ dr < c j' m(1 - r) J' u+(re‘v)dф
dr.
p
p
п
п
Доказательство. Применяя теорему о среднем значении, имеем:
п
и(0) < — Г „(ге^^ф, г е [0; 1).
2п J
-п
Далее воспользуемся тем, что и(г) = и+(г) - и~(г):
п п п
2пи(0) = 0 < ^[и+(геф - и^ге^ДОф = ^ и+(^фУф - ^ u~(гeiф)dф,
J и^Цф ^ и+^Цф.
-п -п
Затем, учитывая, что |и(г)| = и+(г) + и-(г), а также предыдущее неравенство, получим:
п п п
J „(ге^ф = £[и+(ге;<р) + и^ге^ДОф < 2 ^ и+^е^ф.
Возведем обе части полученного неравенства в степень р:
\ р
' п р ' п '
^ „(ге^^ф -п < 2р J и+^е^ф -п
(1.1)
Умножим неравенство (1.1) на ш(1 - г) и проинтегрируем по г от 0 до 1:
1 / п \р 1 / п \р
§ ш(1 - г)
0
' п р 1 ' п '
Г |u(гeiф)|dф Лг ^ 2р С ш(1 - г) Г и+(ге^ф
-п 0 -п
dг < +то.
Следовательно, и е Lp m(D). Что и требовалось доказать.
Следующая лемма установлена в работе [5].
Лемма 2. Пусть ^ е В, 'С, ^ 0, в > -1, Ар(г, ^) — функция, определенная по формуле (а). Тогда справедлива оценка:
1п|Ар(г, УК с
1
2 \в+2
(1.2)
йг.
Л -£т\)
Лемма 3. Пусть и е 5ИЩ(В), 0 < р < +^, Вг = {г : |г| < г}, 0 < г < 1, п(г) = ц(Вг). Тогда справедлива оценка:
1 1 ^ ш(1 - г)(1 - г)рпр(г)йг < с ^ ш(1 - г)
00 Доказательство. Пусть сначала и е 5ИЩ(В) П С® (В). Ли—лапласиан функции
г п
и, п(г) = / / Лu(teiф)dфtdt, 0 < г < 1.
0 -п
Рассмотрим круг радиуса р : 0 < р < 1. Тогда по формуле Грина (см. [7, с. 274]) имеет место следующее равенство:
п п р
р2 Г „(ре^ф = Р Г Р Ли^'ф^^ф (1.3)
р2 / u(Рe^ф)dФ = //1- рр Лu(гeiф)гdгdф
-п -п 0
то есть
п
п
Так как „(0) = 0, то, по теореме о среднем, ^ и(ге^)Лф ^ 0, а также, учитывая,
что и(г) 4 и+ (г), получим:
п р
п0 -п 0
р
1п -Лu(гeiф)гdгdф 4 р2 I и+фе^Лф 4 | u+(рeiф)dф.
Возведем обе части неравенства в степень р, 0 < р < +«>, а затем умножим на ш(1 - р) и проинтегрируем по р от 0 до 1:
Iш<1 - р) 11
0 -п 0
п р
1п рр Лu(гeiф)гdгdф
р 1 Лр ^ ш(1 - р) ^
0 -п
п \р
,+(ре'ф
и (рeiф)dф
Лр.
Учитывая это, получим: 1
-п 0
Лр < +то.
Проинтегрируем по частям внутренний интеграл в (1.4):
п р
р ( г п
Лг.
//т р Ли^е^гЛгЛф = ш Лu(^eiф)dфtdt I
-п 0 0 0 -п
г п
Положим ц(Вг) = / / Лu(teiф)dфtdt = п(г). С учетом этого перепишем (1.4):
0 -п
J ш(1 - р)
0
р \р
п(г)
------аг
г
Лр 4 ёЫ”а - р)
Лр.
Оценим левую часть последнего неравенства снизу: 1 р \р 1 р
+то > ^ ш(1 - р) ^ п(г) Лг Лр ^ ^ ш(1 - р) ^
п(г)
Лг
1-р ^—2"
п(г)
Лг
1-р V—2"
Лр.
Запишем оценку для интеграла | ----Лг:
р
/
п(г)
(1.4)
р
/
1 - р 3р - 1 1 - р
- п
Воспользуемся полученной оценкой: 1
3р - 1 1 - р р
I
ш(1 - р)пр
1
Лр = с(р) I ш(1 - р)пр 1 3р 1
(1 - р)рЛр. (1.5)
п
п
р
пр
р
р
г
р
г
1-р р-------2р
1-р
р-_:Г
Совершим замену переменных:
Тогда (1.5) примет вид:
'/
с1(р) I ю(1 - г)пр(г)(1 - г)рйг,
2\р+1 1
где С1(р) = ^ '2? Ш1 3 !•
Следовательно,
^ ю(1 - г)пр(г)(1 - г)рйг < с ^ ю(1 - г) ^ и+(ге‘ф)йф
йг <
(1.6)
при условии, что и € (Б) П С(2)(Б)•
1
Покажем, что f ю(1 - г)пр(1 - г)(1 - г)рйг < +то в случае, когда и € (Б).
о
Для доказательства леммы в общем случае рассмотрим последовательность бесконечно дифференцируемых субгармонических функций ик(г), которые, убывая, сходятся к субгармонической функции и(г) внутри Б при к ^ +^ (см. теорема 3.8,
[2], с. 121), при этом Ь.ик слабо сходятся к йц, где ц — представляющая мера в разложении Рисса субгармонической функции и. Применим формулу (1.3) к данной последовательности:
П р
р2 / ик(ре'Ф)йФ = Я
-п -п 0
1п р Аик(ге1ф )гйгйф. г
Используя теорему Б. Леви (см. [8, с. 303]), перейдем к пределу при к ^ +^ в предыдущем равенстве. Затем, используя формулу Иенсена (см., например, [2, §3.9]), получим:
р
- Г
2п J
-П
где п(г) = ц(Бг). Следовательно,
2П I и+(ре!ф)йф ^ ^ йг,
р \р п(г)
-йг
П
/
и+(ре!ф)йф
йр < +то.
^ J “(1 - р)
0
Что и требовалось доказать.
Лемма 4. Пусть и — произвольная субгармоническая функция в Б, допускающая представление (Ь), где ц(£) — борелевская неотрицательная мера в Б, для
которой f ю(1 - г)(1 - г)рпр(г)йг < +^, п(г) = ц(Бг), Бг = {г : И < г}, 0 < г < 1, Н(г) —
р
П
П
г
р
п
I
Ыте'^йф
йт < +то,
гармоническая функция в Б, удовлетворяющая условию:
1 п \Р
J ш(1 - т)
0
0 < р < +го, ш е ^, в — достаточно большое положительное число, зависящее только от ш. Тогда и е 5ЯШ(Б).
Доказательство. Введем следующее обозначение: пусть
1п
Ур(г) = ^ 1п |Ар(г, £)|йц£).
Тогда и(г) = Ур(г) + Н(г).
Учитывая, что и(г) ^ и+ (г), а также справедливость оценки (1.2) из леммы 2, запишем: в 2
и+(г) < Ыг) + Ур+ (г) < ^(г) + е ^ |^Й).
Проинтегрируем обе части неравенства по ф от -п до п, возведем обе части в степень р и применим неравенство Минковского:
->л \Р / рп \Р рп / 1 — |^|2 \р+2 4 чР
Хл
п
£
и+(тегф)йф\ < |й(те!ф)|йф + е(р)
[£ К 1г
т'
Ф-(£)
У-п ^Б \ |1 ZZ|)
Умножим обе части на ш(1 - т) и проинтегрируем по т от 0 до 1: ^ ш(1 - т)|^ и+(те‘ф)йф| йт < ^ ш(1 - т)|^ |й(те!ф)|йф| йт+
йф
01
0
+е(р) ш(1 - т)
йф
йт.
Ми - &|/
Первый интеграл в правой части сходится по предположению. Покажем
сходимость второго интеграла правой части, то есть остается показать принад-
1 / п \Р
лежность Ур(г) классу 5ЯШ(Б), а именно f ш(1 - т) / У.+ (тегф)йф йт < +го.
0
п
2\Р+2
Ф-(£).
Пусть 1 < р < +то, £ = регф, г = тег9, у — произвольная функция из Ьд(0; 1), у ^ 0, \\M\lq = 1.
Рассмотрим последовательность неотрицательных бесконечно дифференцируемых функций Хк(р, ф), которые, убывая, слабо сходятся к йц(р, ф) (см. [9, с. 37]).
\Р+2
Хп рп
Ур+(регф)йф < е
пп
1 - Р
2
1п
)0 Л-п\ |1 - ртег'(е-ф)|
/п
Хк(р, ф)рйфйр
йф =
=е
ЛX"- Р)в*2х,(р-ф)р(£ и
йе
1п
|1 - ртег(е-ф)|р+2
1 (1 - Р) +2
0 -п
(1 - Р) +2 1 (1 - Р) +2 п
(1 - рт)р +1 Хк(Р, ф^фФ] = е1Ц (1 - рт)р+0-пХк(Р, ф)РйфйР
= е1
0
1 (1 - р)р+2 (1 - рт)Р+1
Р Г*п
Хк (?, ф)йфгйг
0 -п
Р
й
Интегрируя по частям последний интеграл, получим:
I1 й (IР £Хк ('-=е(р)!' (Г,_.
Переходя к пределу при к ^ +«>, имеем:
Xk(t, ф)dфtdt dp
1 / p П \ 1
с(в)/ ((1'- ^в+i f f d^(t’ Ч» dp = с(в) f
О -п
(1 - p)e (1 - pr)e
+1
T n(p)dp.
Умножим полученный интеграл на y(r) и юp (1 - r) и проинтегрируем по r от 0 до 1:
Г1 I Г1 (1 - Р)в+1
1 юp (1 - r)¥(rM« ?1-P)f+1n(p)dpdr=
1 1
_р)Р+1 Г ю p (1 - r)y(r) ^
Jo (1 - pr)e+
J"
О
n(p)(1 - p)1 I ——pr)R+T drdp =
- p^e+'jT^lT-^ drip+
О1
О
n(p)(1 - p)e
(1 - pr)e+'
' ' т
^;-<p><' - p)f”'X iT-pn^ drdp=i'+1,
Оценим I1. При 0 < r < p: 1 - rp ^ 1 - r. Тогда
i p i
Ii n(p)(1 - p)e+'J »P((1'- г))¥і(Г)drdp.
ОО
Воспользуемся видом функции ю(х) (свойства функции ю(х) см. в работе [5, с. 1423]).
1
ю(х) = exp Г df,
(1.7)
1
где вю > е(0 > 1,<>ё Тю = -= -°ю- ю(х) > х““, Юх(x) > • Следовательно,
log q~ log дю
XI
Xе-
функция
» P (x)
Xе
монотонно убывает при в > 1 +—ю. С учетом этого, I1 ^ j n(p)(1 -
IB dr
dp. Изменим порядок интегрирования в последнем интеграле:
1 /1 № I/
n(p)(1 - p)»p (1 - p)dp
dr.
Применим неравенство Гельдера:
( 1 > q ( 1 г*
1 yq(r)dr J
О \j О
n(p)(1 - p)»p (1 - p)dp
dr
P
P
P
r
1
f
o
1-rf n(p)(1 - Р)юp (1 - P)dp
p \ p dr
После замены переменных V = 1 - Р последний интеграл примет вид:
1 —r
fib /
oo
n(1 - v)vwp (v)dv
dr
(1.8)
Применяя к (1.8) неравенство Харди (см. [10, с. 319]), получим оценку сверху для (1.8):
( 1 > p ( 1 ^
c( p) 1 w(v)vpnp(1 - v)dv = c(p) p( n p) - - (ю
o o
< +оо.
Оценим 12. При р < т < 1: 1 - ф ^ 1 - р. Тогда
1
/
I2 < n(p)(1 - p)1
в+1_
(1 -
в+1
J' ю p (1 - r)y(r)dr
Vp
1 ( 1 dp = f n(p) I/ ю p (1 - r)y(r)dr
op
dp.
После замены переменных V = 1 - т последний интеграл примет вид:
1 1-р
/П(Р) / ш р (у)у(1 - v)йv| йР.
00
Учитывая (1.7), запишем:
1 1
(1.9)
ю(у) ю(1 - p)
= ехр
1 1 1-p
J Ё» d, -f ^ d, = exp J!
1-p
1-p
в- / 7
= exp вю ln
1 - p 1 - p
Следовательно, ю(v) ^ ю(1 - p)
1-p
V v
вю
при 1 - p ^ v.
Применим полученную оценку к интегралу (1.9): 1 1-р
J n(p) J ю1
oo
1
I-
ю p (v)y(1 - v)dv
1-p
/
¥(1 - v)
вю
v p
dv
dp =
1
I
= n(p)wp (1 - p)(1 - p)
1-вю (1 - p) p
1-p
/
¥(1 - v)
вю
v p
du
dp.
p
p
c
1
в
ю
p
1
Применяя неравенство Гельдера, получим:
( 1 Ч 1 Р ( 1 ( 1-р Ч ?Ч ?
12 < Г пр(р)ш(1 - р)(1 - р)Рйр X ([ 1 0(1 - V) й 1-в^ / вш йУ йр
0 0 К (1 - р) р Й ур ,
Г 1 г
1-вш
и (1 _ Р)-р- J
1-р Л?
У1(у) ,
---5---^
(1 - р) Р ^ V Р
40 V4 0
где ^(у) = у(1 - V). Сделаем замену переменной 1 - р = х:
йР
Г -1- г
нвш.
^ х р ^ V р
00
Воспользуемся неравенством Харди:
( 1 /1 л?
^ ^ ^1(ху)
¥1(у)
йу
йх
V р
-йу
00
Изменим порядок интегрирования: 1 ( 1
йх
1 / 1
/ (/
00
¥?(ху)
вю?
V р
йу
йх
с
и
¥;(ху)
вю?
V р
йх
йу
=с
1 /1
Г 4^ Г ^1(ху)йх
О V р ^
00
00
Сделаем замену переменных ху = Г, 0 ^ Г ^ V во внутреннем интеграле:
Г 1 ( ЧТ 1 1 ( л 1
1 ( V \Т ? 1 ( V \?
с Г Г¥?(г)йг =с Г Г^?(г)йг .
^ V Р ^ ^ V р ? ^
0 0 0 0
Вернемся к функции у(Г). По определению нормы функции у в пространстве
Ь?(0; 1): 12 < с
/
йу
V р ?
вш 1 , „ 1 1 , вш 1
Полученный интеграл сходится при---------1— < 1. Так как —I— = 1, то — < —, то
Р ? Р ? Р Р
есть вш < 1.
Следовательно, потенциал Ур(г) е 8И'ш(Б), если 1 < р < + то.
Рассмотрим теперь случай 0 ^ р < 1. Воспользовавшись полученной ранее оценкой, запишем:
Разобьем интервал от 0 до 1 точками тк = 1------------------ , к = 0,1,2,.... С учетом этого
2к
разбиения:
1
/
(1 - р)в11 (1 - рт)в|1
^ г (1 - р)в+Чр)
в+1
йр.
(1.10)
?
х
?
Рассмотрим выражение под знаком суммы:
Гк+1
I
(1 - р)в+1п(р) п(тк)(1 - тк)в+1( ч
—йр —-- чв+1 (тк - тк-1).
(1 - тр
(1 - ттк)в+1
Учитывая, что 1 - тк = —т, п(тк) = Пк, а также тк - тк-1 = —к, получим:
2к 2к
п(тк)(1 - тк)в+1 (1 - ттк )в+1
(тк - тк-1) =
пк
2к(Р+2)(1 - ттк)в+1'
То есть Г(1 - р)в+1п(р) йр К с пк
J (1 - тр)в+1 Р " 2к(в+2)(1 - ттк)в+1.
С учетом этого возведем обе части (1.10) в степень р, умножим неравенство на ш(1 - т) и проинтегрируем по т от 0 до 1:
1 /1 / ш(1 - т) (/
00
1 ЧР (1 - р)в+1п(р) ,
(1 - тр)в+1 йр
пР г1
йт < «У . в ..
1 2кР(Р+2и0
ш(1 - т)йт
1 2кР(в+2^0 (1 - ттк)Р(в+1)
Применим лемму 3 из работы [4]:
к1
к=1
пк ш(1 - тк)
2кр(в+2) ^ (1 - тк)р(в+1)-1
= сз
к1
к=1
пр ш(2к)
2к(Р+1)
Следовательно, функция и принадлежит классу 5Нш(В). Лемма доказана.
2. Доказательство основной теоремы
Мы докажем основную теорему при условии, что функция и является гармонической в некоторой малой окрестности точки ноль. При этом и(0) = 0. Общий случай (и(0) Ф 0) сводится к этому аналогично, как при р = 1, ш(Г) = Га, а > -1 (см. [6]).
1. Сначала докажем необходимость. Пусть и е 8И'ш(В). Покажем, что и допускает представление (Ь). Рассмотрим разность и(х) - У|з(х) = Н(х) и покажем, что она является гармонической функцией.
Пусть Вт — круг радиуса т, 0 < т < 1. По теореме Рисса для Вт: и(х) = У(X) + + / 1п% - £|йц(^), где У(х) —гармоническая функция в Вт, f 1п% - £|йц(^) — субгар-
Ву Ву
моническая функция.
Преобразуем выражение:
/п|Ар(г, £)| = 1п | |Ар(х, £)|
, Авх У , 1
1п—-------— = 1п
|£ - z|
|£ - z|
/ Ав(х, ^)| , ,, .
= 1п—_—— + /п|£ - х|;
ехр
|£ - z|
в п (1 - |Г|2)в 1п |1 - *1
1 Г.
П J
(1 -
в+2
йШ2(Г)
1 ( в Г (1 -Г2)Р1п |1 - § | )
= 1п^т + Ке{--------------------- а о-----йш2(Гп .
|£| | П В (1 - Гх)в+2 Г
Н(х) = и(г) - ^ Ы^г, £)|ф-(£) =
Вт
= и(г) - £
Вт
1 „I в Г (1 - |Г|2)в1п I1 - ||
1пК - х| + 1П ^ + Ке (-п/
V В
(1 - Гх)в+2
йШ2(Г)
Ф-(£) =
= и(г) - £ 1пЦ - х|йц(^) - £ 1п^йц(£)-
Вг Вг
Г | в Г (1 -Г2)Р1п |1 - £ | )
~1 Ке ] ^ (1 - ае+з йт2-<Г)| «>•
Вт В
Г 1
J 1п—йц(^) < +то. Это следует из того, что Ув(0) > -то, +то > -Ур(0) = -
Вт
Г Г 1 ( в Г(1 -|Г|2)в1п|1 - 7| 4
J /п|Ар(0, £)|ф-(£) > J 1п—ф-(£). Ке I-пJ -
-йш2(Г)\ — гармониче-
I ^ (1 - Гг)в+2 |
ВВВ
ская функция в круге радиуса т. Так как т — произвольное из (0; 1), получаем, что Н(Х) является гармонической функцией.
1 / П \р
Покажем, что Н(х) удовлетворяет условию Jш(1 -т) / |й(те!ф)|йф йт < +то. Рас-
0 -П
смотрим разность и(х) - У$(х) = к(х). Так как и(х) ^ и+(г), то по лемме 2: к+(х) < и+(г) + У+ (г) < и+(х) + с ^(11"1^) ^Й).
Проинтегрируем обе части неравенства по ф:
П П П , А I О
£Н+(те1ф)йф и+(тсф)йф + с§(£( 11--|^) йц£)
йф.
л
Применим теорему о среднем значении: -то < 2лй(0) = £ Н(те1ф)йф.
-П
П
2лЛ(0) = £ [й+(те!ф) - Г(те!ф)] йф;
-П
П П П
£Н~(те1ф)йф = £Н+(те1ф)йф - 2лЛ(0) < £Н+(те1ф)йф + 2л|й(0)|.
|h(re^)^ < h+(reгф)dф + сь
В результате
п п
J |h(re^ф)|dф < J u+(re;<p)dф + с
1—
2\Р+2
U D\|1 — Z z |/
d^(Z)
dф + с1.
Возведем обе части неравенства в степень р, применим неравенство Минковского, а затем умножим обе части на ю(1 - г) и проинтегрируем по г от 0 до 1:
1
£ ю(1 - г)
0
1
' п p 1 ' п p
Г Мгє‘фМф dr ^ 1 w(1 — r) f u+(ref^ dr+
—п 0 —п
+с J' ш(1 — r)
о
U ми — Z zi/
dф
dr + с2.
Оба интеграла в правой части сходятся. Сходимость первого следует из принадлежности функции и классу (Д), сходимость второго доказана ранее (см.
лемму 4).
1 /Я \р
Следовательно, f ю(1 - г) I ^ | Н(ге1ф)|йф йг < +то, то есть функция и допускает 0 )
представление (Ь).
2. Доказательство достаточности непосредственно следует из предыдущего пункта и леммы 4.
Теорема доказана.
п
п
п
Литература
[1] Сенета, Е. Правильно меняющиеся функции / Е. Сенета. - М.: Наука, 1985.
[2] Хейман, У. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди. - М.: Мир, 1980.
[3] Tsuji, M. Potential theory in modern function theory / M. Tsuji. - Tokyo: Ma-ruzen Co., 1959.
[4] Джрбашян, М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М.Джрбашян // Сообщ. ин-та математики и механики АН Арм. ССР. -1948. - В. 2. - С. 3-40.
[5] Шамоян, Ф.А., Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций / Ф.А. Шамоян // Сиб. мат. журнал. - 1999. - T. 40:6. - С. 1421-1440.
[6] Аветисян, К.Л. Потенциалы типа Грина и представимость весовых классов субгармонических функций / К.Л. Аветисян // Изв. Нац. АН Армении. Математика. - 1995. - Т. 30. - №2.
[7] Кусис, П. Введение в теорию пространств Hp. Пер. с англ. / П.Кусис. - М.: Мир, 1984.
[8] Колмогоров, А.Н. Функциональный анализ / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. -М.: Наука, 1976.
[9] Ландкоф, Н.С., Основы современной теории потенциала / Н.С.Ландкоф. -М.: Наука, 1966.
[10] Стейн, И.М., Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И.М. Стейн. - М.: Мир, 1973.
Поступила в редакцию 29/X/2007;
В окончательном варианте — 29/X/2007.
DESCRIPTION OF A CLASS OF SUBHARMONIC FUNCTIONS IN THE UNIT DISK, NEVANLINNA’S CHARACTERISTIC OF WHICH BELONGS TO WEIGHT
LP-SPACES
© 2007 O.V. Okhlupina2
In the paper a parametrical representation of a class of subharmonic functions in the unit disk with the Nevanlinna’s characteristic from the weight spaces of Lebesque is obtained.
Paper received 29/X/2007. Paper accepted 29/X/2007.
2Okhlupina Olga Valentinovna (valentir2006ayandex.ru), Dept. of Mathematical Analysis, Bryansk State University, Bryansk, 242036, Russia.
