Описание класса субгармонических в единичном круге функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым lp-пространствам Текст научной статьи по специальности «Математика»

1QS Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №9/1(59).

УДК 517.53

ОПИСАНИЕ КЛАССА СУБГАРМОНИЧЕСКИХ В ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ ФУНКЦИЙ, ХАРАКТЕРИСТИКА НЕВАНЛИННЫ КОТОРЫХ ПРИНАДЛЕЖИТ ВЕСОВЫМ ^-ПРОСТРАНСТВАМ

© 2007 О.В. Охлупина1

В этой работе получено параметрическое представление класса субгармонических функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым пространствам Лебега.

Введение

Пусть Б = {г : И < 1}, 2 = ге!ф. 5 — множество измеримых положительных суммируемых функций ю на (0; 1), для которых существуют числа тю, Мю, дю, причем

ю(гХ)

тю, аю е (0; 1) удовлетворяют оценке тю < --- < Мю, г е (0; 1), X е [аю; 1]. Такие

ю(г)

функции называют еще медленно изменяющимися функциями (см. [1]). Важным частным случаем функции из 5 является степенная функция ю(£) = а > -1.

Далее обозначим через 5Н(Б) множество всех субгармонических функций в Б, и+(г) = шах(ы(г);0), и~(г) = шах(-ы(г); 0), и(г) = и+(г) - и~(г).

Введем также в рассмотрение следующий класс субгармонических функций:

SHpa (D) =

u є SH(D) :

' 1 /л

J' ю(1 — r) J' u+(reгф)dф

Q —П

у л 1 ч p

dr < +ГО

/ /

0 < р < +то. Ьрт(Б) — обычное весовое ^-пространство, т.е.

( 1 Г* ( П л Г* p Л p

¥ : ш(1 — r) 1 |y(re!(p)^ dr < +ГС)

Q —П

Lp,m(D) =

Одна из наиболее важных теорем в теории субгармонических функций принадлежит Ф. Риссу (см., например, [2, с. 123]).

Теорема (Ф. Рисс). Пусть ы(т) — субгармоническая функция в Б. Тогда в Б существует единственная борелевская мера ц такая, что для любой подобласти

О с Б: ы(т) = § 1п |г - + Ь(і), где Н(т) — гармоническая функция в О.

О

1 Охлупина Ольга Валентиновна (valentir2006@yandex.ru), кафедра математического анализа Брянского государственного университета, 242036, Россия, г.Брянск, ул.Бежицкая, 14

При решении разнообразных задач в теории потенциала и в теории функций комплексного переменного очень важно иметь представление субгармонической функции во всем круге D.

Задачи такого рода для субгармонических в D ( и в шаре в Rn) функций, имеющих ограниченную характеристику Р. Неванлинны, исследованы в работах [3-5].

В данной работе мы получим параметрическое представление для функций u, вообще говоря, не имеющих ограниченную характеристику Р. Неванлинны T(r, u) =

П

= — u+(reгф)dф, т.е. класса функций u, для которых T(r, u) є Lpm(D), О < p < +«>,

2п J

m є L1(0; 1).

Для дальнейшего изложения введем также следующее обозначение (см. [4]): пусть z, Z є D, Z + О, в > -1, тогда

z\ f в Г (1 -|^2)вln|1 - Zl , і) ЄХР I- nj -----(1 - - ^в+2-dm2(t) f . (a)

I z\ f в f (1 -| t| 2)в ln|1 - Zl A'fcl) = Iі -t)exp I-П J (1 - tz )в+2 dm2(t)

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема. Для того чтобы субгармоническая функция и принадлежала классу 5 ИЩ(В), 0 < р < ш е 5, необходимо и достаточно, чтобы в Б и допускала представление

и(г) = ^ 1п |Ар(г, £)|ф-(£) + Кг), (Ь)

В

где в — достаточно большое положительное число, зависящее только от ш,

ц(^) — произвольная борелевская неотрицательная мера в В, для которой 1

/ ш(1 - г)(1 - г)рпр(г)йг < +то, п(г) = ц(Вг), Вг = {г : И < г}, 0 < г < 1, Н(г) —

о

гармоническая функция в В, удовлетворяющая условию:

1 I я \р

йг < +то.

J' m(1 - r) J' |h(re^)^

Замечание. При p = 1, m(t) = ta, а > -1 аналогичное представление получено в работе [б].

1. Доказательство вспомогательных утверждений

В этом разделе работы будем предполагать, что и(г) является субгармонической в В функцией, которая гармонична в некоторой окрестности точки ноль, причем и(0) = 0. с — константа, не имеющая принципиального значения.

Доказательство теоремы основано на следующих вспомогательных утверждениях.

Лемма 1. Пусть и —произвольная субгармоническая функция из класса 5ИЩ(В), 0 < р < +то. Тогда справедлива оценка:

J' m(1 - r) J' |u(re^)^ dr < c j' m(1 - r) J' u+(re‘v)dф

dr.

p

p

п

п

Доказательство. Применяя теорему о среднем значении, имеем:

п

и(0) < — Г „(ге^^ф, г е [0; 1).

2п J

-п

Далее воспользуемся тем, что и(г) = и+(г) - и~(г):

п п п

2пи(0) = 0 < ^[и+(геф - и^ге^ДОф = ^ и+(^фУф - ^ u~(гeiф)dф,

J и^Цф ^ и+^Цф.

-п -п

Затем, учитывая, что |и(г)| = и+(г) + и-(г), а также предыдущее неравенство, получим:

п п п

J „(ге^ф = £[и+(ге;<р) + и^ге^ДОф < 2 ^ и+^е^ф.

Возведем обе части полученного неравенства в степень р:

\ р

' п р ' п '

^ „(ге^^ф -п < 2р J и+^е^ф -п

(1.1)

Умножим неравенство (1.1) на ш(1 - г) и проинтегрируем по г от 0 до 1:

1 / п \р 1 / п \р

§ ш(1 - г)

0

' п р 1 ' п '

Г |u(гeiф)|dф Лг ^ 2р С ш(1 - г) Г и+(ге^ф

-п 0 -п

dг < +то.

Следовательно, и е Lp m(D). Что и требовалось доказать.

Следующая лемма установлена в работе [5].

Лемма 2. Пусть ^ е В, 'С, ^ 0, в > -1, Ар(г, ^) — функция, определенная по формуле (а). Тогда справедлива оценка:

1п|Ар(г, УК с

1

2 \в+2

(1.2)

йг.

Л -£т\)

Лемма 3. Пусть и е 5ИЩ(В), 0 < р < +^, Вг = {г : |г| < г}, 0 < г < 1, п(г) = ц(Вг). Тогда справедлива оценка:

1 1 ^ ш(1 - г)(1 - г)рпр(г)йг < с ^ ш(1 - г)

00 Доказательство. Пусть сначала и е 5ИЩ(В) П С® (В). Ли—лапласиан функции

г п

и, п(г) = / / Лu(teiф)dфtdt, 0 < г < 1.

0 -п

Рассмотрим круг радиуса р : 0 < р < 1. Тогда по формуле Грина (см. [7, с. 274]) имеет место следующее равенство:

п п р

р2 Г „(ре^ф = Р Г Р Ли^'ф^^ф (1.3)

р2 / u(Рe^ф)dФ = //1- рр Лu(гeiф)гdгdф

-п -п 0

то есть

п

п

Так как „(0) = 0, то, по теореме о среднем, ^ и(ге^)Лф ^ 0, а также, учитывая,

что и(г) 4 и+ (г), получим:

п р

п0 -п 0

р

1п -Лu(гeiф)гdгdф 4 р2 I и+фе^Лф 4 | u+(рeiф)dф.

Возведем обе части неравенства в степень р, 0 < р < +«>, а затем умножим на ш(1 - р) и проинтегрируем по р от 0 до 1:

Iш<1 - р) 11

0 -п 0

п р

1п рр Лu(гeiф)гdгdф

р 1 Лр ^ ш(1 - р) ^

0 -п

п \р

,+(ре'ф

и (рeiф)dф

Лр.

Учитывая это, получим: 1

-п 0

Лр < +то.

Проинтегрируем по частям внутренний интеграл в (1.4):

п р

р ( г п

Лг.

//т р Ли^е^гЛгЛф = ш Лu(^eiф)dфtdt I

-п 0 0 0 -п

г п

Положим ц(Вг) = / / Лu(teiф)dфtdt = п(г). С учетом этого перепишем (1.4):

0 -п

J ш(1 - р)

0

р \р

п(г)

------аг

г

Лр 4 ёЫ”а - р)

Лр.

Оценим левую часть последнего неравенства снизу: 1 р \р 1 р

+то > ^ ш(1 - р) ^ п(г) Лг Лр ^ ^ ш(1 - р) ^

п(г)

Лг

1-р ^—2"

п(г)

Лг

1-р V—2"

Лр.

Запишем оценку для интеграла | ----Лг:

р

/

п(г)

(1.4)

р

/

1 - р 3р - 1 1 - р

- п

Воспользуемся полученной оценкой: 1

3р - 1 1 - р р

I

ш(1 - р)пр

1

Лр = с(р) I ш(1 - р)пр 1 3р 1

(1 - р)рЛр. (1.5)

п

п

р

пр

р

р

г

р

г

1-р р-------2р

1-р

р-_:Г

Совершим замену переменных:

Тогда (1.5) примет вид:

'/

с1(р) I ю(1 - г)пр(г)(1 - г)рйг,

2\р+1 1

где С1(р) = ^ '2? Ш1 3 !•

Следовательно,

^ ю(1 - г)пр(г)(1 - г)рйг < с ^ ю(1 - г) ^ и+(ге‘ф)йф

йг <

(1.6)

при условии, что и € (Б) П С(2)(Б)•

1

Покажем, что f ю(1 - г)пр(1 - г)(1 - г)рйг < +то в случае, когда и € (Б).

о

Для доказательства леммы в общем случае рассмотрим последовательность бесконечно дифференцируемых субгармонических функций ик(г), которые, убывая, сходятся к субгармонической функции и(г) внутри Б при к ^ +^ (см. теорема 3.8,

[2], с. 121), при этом Ь.ик слабо сходятся к йц, где ц — представляющая мера в разложении Рисса субгармонической функции и. Применим формулу (1.3) к данной последовательности:

П р

р2 / ик(ре'Ф)йФ = Я

-п -п 0

1п р Аик(ге1ф )гйгйф. г

Используя теорему Б. Леви (см. [8, с. 303]), перейдем к пределу при к ^ +^ в предыдущем равенстве. Затем, используя формулу Иенсена (см., например, [2, §3.9]), получим:

р

- Г

2п J

-П

где п(г) = ц(Бг). Следовательно,

2П I и+(ре!ф)йф ^ ^ йг,

р \р п(г)

-йг

П

/

и+(ре!ф)йф

йр < +то.

^ J “(1 - р)

0

Что и требовалось доказать.

Лемма 4. Пусть и — произвольная субгармоническая функция в Б, допускающая представление (Ь), где ц(£) — борелевская неотрицательная мера в Б, для

которой f ю(1 - г)(1 - г)рпр(г)йг < +^, п(г) = ц(Бг), Бг = {г : И < г}, 0 < г < 1, Н(г) —

р

П

П

г

р

п

I

Ыте'^йф

йт < +то,

гармоническая функция в Б, удовлетворяющая условию:

1 п \Р

J ш(1 - т)

0

0 < р < +го, ш е ^, в — достаточно большое положительное число, зависящее только от ш. Тогда и е 5ЯШ(Б).

Доказательство. Введем следующее обозначение: пусть

1п

Ур(г) = ^ 1п |Ар(г, £)|йц£).

Тогда и(г) = Ур(г) + Н(г).

Учитывая, что и(г) ^ и+ (г), а также справедливость оценки (1.2) из леммы 2, запишем: в 2

и+(г) < Ыг) + Ур+ (г) < ^(г) + е ^ |^Й).

Проинтегрируем обе части неравенства по ф от -п до п, возведем обе части в степень р и применим неравенство Минковского:

->л \Р / рп \Р рп / 1 — |^|2 \р+2 4 чР

Хл

п

£

и+(тегф)йф\ < |й(те!ф)|йф + е(р)

[£ К 1г

т'

Ф-(£)

У-п ^Б \ |1 ZZ|)

Умножим обе части на ш(1 - т) и проинтегрируем по т от 0 до 1: ^ ш(1 - т)|^ и+(те‘ф)йф| йт < ^ ш(1 - т)|^ |й(те!ф)|йф| йт+

йф

01

0

+е(р) ш(1 - т)

йф

йт.

Ми - &|/

Первый интеграл в правой части сходится по предположению. Покажем

сходимость второго интеграла правой части, то есть остается показать принад-

1 / п \Р

лежность Ур(г) классу 5ЯШ(Б), а именно f ш(1 - т) / У.+ (тегф)йф йт < +го.

0

п

2\Р+2

Ф-(£).

Пусть 1 < р < +то, £ = регф, г = тег9, у — произвольная функция из Ьд(0; 1), у ^ 0, \\M\lq = 1.

Рассмотрим последовательность неотрицательных бесконечно дифференцируемых функций Хк(р, ф), которые, убывая, слабо сходятся к йц(р, ф) (см. [9, с. 37]).

\Р+2

Хп рп

Ур+(регф)йф < е

пп

1 - Р

2

1п

)0 Л-п\ |1 - ртег'(е-ф)|

/п

Хк(р, ф)рйфйр

йф =

=е

ЛX"- Р)в*2х,(р-ф)р(£ и

йе

1п

|1 - ртег(е-ф)|р+2

1 (1 - Р) +2

0 -п

(1 - Р) +2 1 (1 - Р) +2 п

(1 - рт)р +1 Хк(Р, ф^фФ] = е1Ц (1 - рт)р+0-пХк(Р, ф)РйфйР

= е1

0

1 (1 - р)р+2 (1 - рт)Р+1

Р Г*п

Хк (?, ф)йфгйг

0 -п

Р

й

Интегрируя по частям последний интеграл, получим:

I1 й (IР £Хк ('-=е(р)!' (Г,_.

Переходя к пределу при к ^ +«>, имеем:

Xk(t, ф)dфtdt dp

1 / p П \ 1

с(в)/ ((1'- ^в+i f f d^(t’ Ч» dp = с(в) f

О -п

(1 - p)e (1 - pr)e

+1

T n(p)dp.

Умножим полученный интеграл на y(r) и юp (1 - r) и проинтегрируем по r от 0 до 1:

Г1 I Г1 (1 - Р)в+1

1 юp (1 - r)¥(rM« ?1-P)f+1n(p)dpdr=

1 1

_р)Р+1 Г ю p (1 - r)y(r) ^

Jo (1 - pr)e+

J"

О

n(p)(1 - p)1 I ——pr)R+T drdp =

- p^e+'jT^lT-^ drip+

О1

О

n(p)(1 - p)e

(1 - pr)e+'

' ' т

^;-<p><' - p)f”'X iT-pn^ drdp=i'+1,

Оценим I1. При 0 < r < p: 1 - rp ^ 1 - r. Тогда

i p i

Ii n(p)(1 - p)e+'J »P((1'- г))¥і(Г)drdp.

ОО

Воспользуемся видом функции ю(х) (свойства функции ю(х) см. в работе [5, с. 1423]).

1

ю(х) = exp Г df,

(1.7)

1

где вю > е(0 > 1,<>ё Тю = -= -°ю- ю(х) > х““, Юх(x) > • Следовательно,

log q~ log дю

XI

Xе-

функция

» P (x)

Xе

монотонно убывает при в > 1 +—ю. С учетом этого, I1 ^ j n(p)(1 -

IB dr

dp. Изменим порядок интегрирования в последнем интеграле:

1 /1 № I/

n(p)(1 - p)»p (1 - p)dp

dr.

Применим неравенство Гельдера:

( 1 > q ( 1 г*

1 yq(r)dr J

О \j О

n(p)(1 - p)»p (1 - p)dp

dr

P

P

P

r

1

f

o

1-rf n(p)(1 - Р)юp (1 - P)dp

p \ p dr

После замены переменных V = 1 - Р последний интеграл примет вид:

1 —r

fib /

oo

n(1 - v)vwp (v)dv

dr

(1.8)

Применяя к (1.8) неравенство Харди (см. [10, с. 319]), получим оценку сверху для (1.8):

( 1 > p ( 1 ^

c( p) 1 w(v)vpnp(1 - v)dv = c(p) p( n p) - - (ю

o o

< +оо.

Оценим 12. При р < т < 1: 1 - ф ^ 1 - р. Тогда

1

/

I2 < n(p)(1 - p)1

в+1_

(1 -

в+1

J' ю p (1 - r)y(r)dr

Vp

1 ( 1 dp = f n(p) I/ ю p (1 - r)y(r)dr

op

dp.

После замены переменных V = 1 - т последний интеграл примет вид:

1 1-р

/П(Р) / ш р (у)у(1 - v)йv| йР.

00

Учитывая (1.7), запишем:

1 1

(1.9)

ю(у) ю(1 - p)

= ехр

1 1 1-p

J Ё» d, -f ^ d, = exp J!

1-p

1-p

в- / 7

= exp вю ln

1 - p 1 - p

Следовательно, ю(v) ^ ю(1 - p)

1-p

V v

вю

при 1 - p ^ v.

Применим полученную оценку к интегралу (1.9): 1 1-р

J n(p) J ю1

oo

1

I-

ю p (v)y(1 - v)dv

1-p

/

¥(1 - v)

вю

v p

dv

dp =

1

I

= n(p)wp (1 - p)(1 - p)

1-вю (1 - p) p

1-p

/

¥(1 - v)

вю

v p

du

dp.

p

p

c

1

в

ю

p

1

Применяя неравенство Гельдера, получим:

( 1 Ч 1 Р ( 1 ( 1-р Ч ?Ч ?

12 < Г пр(р)ш(1 - р)(1 - р)Рйр X ([ 1 0(1 - V) й 1-в^ / вш йУ йр

0 0 К (1 - р) р Й ур ,

Г 1 г

1-вш

и (1 _ Р)-р- J

1-р Л?

У1(у) ,

---5---^

(1 - р) Р ^ V Р

40 V4 0

где ^(у) = у(1 - V). Сделаем замену переменной 1 - р = х:

йР

Г -1- г

нвш.

^ х р ^ V р

00

Воспользуемся неравенством Харди:

( 1 /1 л?

^ ^ ^1(ху)

¥1(у)

йу

йх

V р

-йу

00

Изменим порядок интегрирования: 1 ( 1

йх

1 / 1

/ (/

00

¥?(ху)

вю?

V р

йу

йх

с

и

¥;(ху)

вю?

V р

йх

йу

=с

1 /1

Г 4^ Г ^1(ху)йх

О V р ^

00

00

Сделаем замену переменных ху = Г, 0 ^ Г ^ V во внутреннем интеграле:

Г 1 ( ЧТ 1 1 ( л 1

1 ( V \Т ? 1 ( V \?

с Г Г¥?(г)йг =с Г Г^?(г)йг .

^ V Р ^ ^ V р ? ^

0 0 0 0

Вернемся к функции у(Г). По определению нормы функции у в пространстве

Ь?(0; 1): 12 < с

/

йу

V р ?

вш 1 , „ 1 1 , вш 1

Полученный интеграл сходится при---------1— < 1. Так как —I— = 1, то — < —, то

Р ? Р ? Р Р

есть вш < 1.

Следовательно, потенциал Ур(г) е 8И'ш(Б), если 1 < р < + то.

Рассмотрим теперь случай 0 ^ р < 1. Воспользовавшись полученной ранее оценкой, запишем:

Разобьем интервал от 0 до 1 точками тк = 1------------------ , к = 0,1,2,.... С учетом этого

2к

разбиения:

1

/

(1 - р)в11 (1 - рт)в|1

^ г (1 - р)в+Чр)

в+1

йр.

(1.10)

?

х

?

Рассмотрим выражение под знаком суммы:

Гк+1

I

(1 - р)в+1п(р) п(тк)(1 - тк)в+1( ч

—йр —-- чв+1 (тк - тк-1).

(1 - тр

(1 - ттк)в+1

Учитывая, что 1 - тк = —т, п(тк) = Пк, а также тк - тк-1 = —к, получим:

2к 2к

п(тк)(1 - тк)в+1 (1 - ттк )в+1

(тк - тк-1) =

пк

2к(Р+2)(1 - ттк)в+1'

То есть Г(1 - р)в+1п(р) йр К с пк

J (1 - тр)в+1 Р " 2к(в+2)(1 - ттк)в+1.

С учетом этого возведем обе части (1.10) в степень р, умножим неравенство на ш(1 - т) и проинтегрируем по т от 0 до 1:

1 /1 / ш(1 - т) (/

00

1 ЧР (1 - р)в+1п(р) ,

(1 - тр)в+1 йр

пР г1

йт < «У . в ..

1 2кР(Р+2и0

ш(1 - т)йт

1 2кР(в+2^0 (1 - ттк)Р(в+1)

Применим лемму 3 из работы [4]:

к1

к=1

пк ш(1 - тк)

2кр(в+2) ^ (1 - тк)р(в+1)-1

= сз

к1

к=1

пр ш(2к)

2к(Р+1)

Следовательно, функция и принадлежит классу 5Нш(В). Лемма доказана.

2. Доказательство основной теоремы

Мы докажем основную теорему при условии, что функция и является гармонической в некоторой малой окрестности точки ноль. При этом и(0) = 0. Общий случай (и(0) Ф 0) сводится к этому аналогично, как при р = 1, ш(Г) = Га, а > -1 (см. [6]).

1. Сначала докажем необходимость. Пусть и е 8И'ш(В). Покажем, что и допускает представление (Ь). Рассмотрим разность и(х) - У|з(х) = Н(х) и покажем, что она является гармонической функцией.

Пусть Вт — круг радиуса т, 0 < т < 1. По теореме Рисса для Вт: и(х) = У(X) + + / 1п% - £|йц(^), где У(х) —гармоническая функция в Вт, f 1п% - £|йц(^) — субгар-

Ву Ву

моническая функция.

Преобразуем выражение:

/п|Ар(г, £)| = 1п | |Ар(х, £)|

, Авх У , 1

1п—-------— = 1п

|£ - z|

|£ - z|

/ Ав(х, ^)| , ,, .

= 1п—_—— + /п|£ - х|;

ехр

|£ - z|

в п (1 - |Г|2)в 1п |1 - *1

1 Г.

П J

(1 -

в+2

йШ2(Г)

1 ( в Г (1 -Г2)Р1п |1 - § | )

= 1п^т + Ке{--------------------- а о-----йш2(Гп .

|£| | П В (1 - Гх)в+2 Г

Н(х) = и(г) - ^ Ы^г, £)|ф-(£) =

Вт

= и(г) - £

Вт

1 „I в Г (1 - |Г|2)в1п I1 - ||

1пК - х| + 1П ^ + Ке (-п/

V В

(1 - Гх)в+2

йШ2(Г)

Ф-(£) =

= и(г) - £ 1пЦ - х|йц(^) - £ 1п^йц(£)-

Вг Вг

Г | в Г (1 -Г2)Р1п |1 - £ | )

~1 Ке ] ^ (1 - ае+з йт2-<Г)| «>•

Вт В

Г 1

J 1п—йц(^) < +то. Это следует из того, что Ув(0) > -то, +то > -Ур(0) = -

Вт

Г Г 1 ( в Г(1 -|Г|2)в1п|1 - 7| 4

J /п|Ар(0, £)|ф-(£) > J 1п—ф-(£). Ке I-пJ -

-йш2(Г)\ — гармониче-

I ^ (1 - Гг)в+2 |

ВВВ

ская функция в круге радиуса т. Так как т — произвольное из (0; 1), получаем, что Н(Х) является гармонической функцией.

1 / П \р

Покажем, что Н(х) удовлетворяет условию Jш(1 -т) / |й(те!ф)|йф йт < +то. Рас-

0 -П

смотрим разность и(х) - У$(х) = к(х). Так как и(х) ^ и+(г), то по лемме 2: к+(х) < и+(г) + У+ (г) < и+(х) + с ^(11"1^) ^Й).

Проинтегрируем обе части неравенства по ф:

П П П , А I О

£Н+(те1ф)йф и+(тсф)йф + с§(£( 11--|^) йц£)

йф.

л

Применим теорему о среднем значении: -то < 2лй(0) = £ Н(те1ф)йф.

-П

П

2лЛ(0) = £ [й+(те!ф) - Г(те!ф)] йф;

-П

П П П

£Н~(те1ф)йф = £Н+(те1ф)йф - 2лЛ(0) < £Н+(те1ф)йф + 2л|й(0)|.

|h(re^)^ < h+(reгф)dф + сь

В результате

п п

J |h(re^ф)|dф < J u+(re;<p)dф + с

1—

2\Р+2

U D\|1 — Z z |/

d^(Z)

dф + с1.

Возведем обе части неравенства в степень р, применим неравенство Минковского, а затем умножим обе части на ю(1 - г) и проинтегрируем по г от 0 до 1:

1

£ ю(1 - г)

0

1

' п p 1 ' п p

Г Мгє‘фМф dr ^ 1 w(1 — r) f u+(ref^ dr+

—п 0 —п

+с J' ш(1 — r)

о

U ми — Z zi/

dф

dr + с2.

Оба интеграла в правой части сходятся. Сходимость первого следует из принадлежности функции и классу (Д), сходимость второго доказана ранее (см.

лемму 4).

1 /Я \р

Следовательно, f ю(1 - г) I ^ | Н(ге1ф)|йф йг < +то, то есть функция и допускает 0 )

представление (Ь).

2. Доказательство достаточности непосредственно следует из предыдущего пункта и леммы 4.

Теорема доказана.

п

п

п

Литература

[1] Сенета, Е. Правильно меняющиеся функции / Е. Сенета. - М.: Наука, 1985.

[2] Хейман, У. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди. - М.: Мир, 1980.

[3] Tsuji, M. Potential theory in modern function theory / M. Tsuji. - Tokyo: Ma-ruzen Co., 1959.

[4] Джрбашян, М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М.Джрбашян // Сообщ. ин-та математики и механики АН Арм. ССР. -1948. - В. 2. - С. 3-40.

[5] Шамоян, Ф.А., Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций / Ф.А. Шамоян // Сиб. мат. журнал. - 1999. - T. 40:6. - С. 1421-1440.

[6] Аветисян, К.Л. Потенциалы типа Грина и представимость весовых классов субгармонических функций / К.Л. Аветисян // Изв. Нац. АН Армении. Математика. - 1995. - Т. 30. - №2.

[7] Кусис, П. Введение в теорию пространств Hp. Пер. с англ. / П.Кусис. - М.: Мир, 1984.

[8] Колмогоров, А.Н. Функциональный анализ / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. -М.: Наука, 1976.

[9] Ландкоф, Н.С., Основы современной теории потенциала / Н.С.Ландкоф. -М.: Наука, 1966.

[10] Стейн, И.М., Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И.М. Стейн. - М.: Мир, 1973.

Поступила в редакцию 29/X/2007;

В окончательном варианте — 29/X/2007.

DESCRIPTION OF A CLASS OF SUBHARMONIC FUNCTIONS IN THE UNIT DISK, NEVANLINNA’S CHARACTERISTIC OF WHICH BELONGS TO WEIGHT

LP-SPACES

© 2007 O.V. Okhlupina2

In the paper a parametrical representation of a class of subharmonic functions in the unit disk with the Nevanlinna’s characteristic from the weight spaces of Lebesque is obtained.

Paper received 29/X/2007. Paper accepted 29/X/2007.

2Okhlupina Olga Valentinovna (valentir2006ayandex.ru), Dept. of Mathematical Analysis, Bryansk State University, Bryansk, 242036, Russia.