CC BY
18
УДК - 517.53
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ФУНКЦИЙ С ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
ИЗ Ьр -ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
О.В. Охлупина
В работе получено описание одного класса субгармонических функций в верхней полуплоскости комплексной плоскости.
Ключевые слова: субгармоническая функция, гармоническая функция, мера.
Введение
Пусть О +=| г е С :1т г > 0}, г = х + 1у , 0 <а<+да, 0 < р <+да,
О+р = {г е □ : 1тг > р], р > 0. Через SH ^ Ообозначим множество всех субгармонических функций в полуплоскости. Введем в рассмотрение класс $ир (О+ ) субгармонических в о+ функций и , для которых выполняются следующие условия:
+Ю ^\Р
I у“ 1 I u +(x + iy) dx
о
dy <+да; (1) sup I |u (x + iy)|dx - СУо <+^ УУо > 0; (2)
У>Уо -Ш
lim sup yu (iy) > 0. (3)
у^+да
Рассмотрим также следующие факторы, введенные А. М. Джрбашяном и Г. В. Микаеляном (см. [1]):
;( z,C) = exP
2 m -і
r pdr
(r+a; - iz)
/3+1
, (4)
где
с Є G+, -1 <£<+« . При P = G: aG(z,£) =
C-z C-z
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема. Для того, чтобы субгармоническая функция и принадлежала классу SHP (О+),
0 <р < +да, 0 <а < , необходимо и достаточно, чтобы в О+ и допускала представление:
'(2 )=Л1пМ 2,0 к к (2), (5)
UI
где h (z) - гармоническая функция в G+, удовлетворяющая условию:
+<Ю Ґ +W ЛP , ,
I Уа11 I h(x + iy)|dx I dy <+<X), -
0 J
+OT у 4
j yPya~lnP (у)dy < , где n (у) = M [G+y ), p
неотрицательная мера в G+, для которой
а -1 ,
>--------+1.
Замечание. При р — 1 результат получен К.Л. Аветисяном в работе [2]. Доказательство вспомогательных утверждений
Доказательство теоремы основано на следующих вспомогательных утверждениях. А.М. Джрбашяном в работе [3], была установлена
Лемма 1. Пусть z,^e G+, -1 < ft < +*. Тогда справедлива следующая оценка:
( V+1
ln\ap( z,C)\^ СР
ImC
. (6)
Следующее утверждение установлено Аветисяном К. Л. (см. [2]).
Лемма 2. Пусть субгармоническая в О+ функция и (г) для любого р> 0 удовлетворяет
+ад
условию 8ир | и (х + 1у )| с1Х < С < , где С р> 0 . Тогда для любого р > 0 имеет место формула
Г'Р -т типа Иенсена:
1 +ВД +ад 1
— |и(х + 1р)ёх (/- р)ёп(/) + — Нт эирЯи(^Я), (7)
2^ -да р 2
где п) - значение меры Рисса ^, ассоциированной с и(г), в полуплоскости О+р,
О+р = {г е □ : 1т г > р}, то есть п(р) = Ц. (Ор ), а последний предел в формуле конечен.
Лемма 3. Пусть и - произвольная субгармоническая функция из класса SИР (О+),
0 < р < +<ю, п (у) = ц (Оу ) . Тогда справедливы оценки:
\p
+да / +да
1) I ya 1 I U (x + iy)| dx dy < СI ya 1 I u +(x + iy) dx
0 \-да
+да
0 \-да
+да
dy,
dy < +ад.
2) J yPya lnP (y) dy < С J ya 11 J u+ (x + iy) dx
0 0 \-да
Доказательство. Так как u Е G, то, согласно лемме 2, имеет место формула
(7). Учитывая, что u = u+ — u , получим:
1 +ад +ад 1
— J (u +(x + iy)- ux + iy))dx (t - y)dn(t) + — lim supRu (iR),
2^ '2 2
—ад y
где n ( y ) = ^(G+y^ .
1 +ад 1 +ад +ад 1
— J u+( x + iy) dx ■=—J u( x + iy) dx - J (t - y)dn (t) + — lim sup Ru (iR) (8)
2n 2n 2R
—ад —ад y
Все слагаемые в правой части неотрицательны. Следовательно,
1 +да 1 +да
----J u+ (x + iy)dx >-J u (x + iy) dx. Далее, из того, что \u\ = u+ + u~,
имеем:
2л J 2л
—да
ьад f+ад \p
J y“-1 J |m(x + iy)|dx I dy =| y-1 |(w+(x + iy) + u(x + iy))dx dy
—да
\p +ад f +ад
<
< C (p)
+ад i +ад
Лp +ад f +ад Лp
J ya-11 J u +(x + iy) dx dy +| ya-11 J u (x + iy) dx dy
0 V-ад J 0 V-ад J
<
+ад г +ад
Y
< С— | уа 11 | и +(х + iy ) ёх ёу <+(ю
0 V-» У
То есть |и| е 8Ира (О+).
Покажем выполнимость второй оценки. Из неотрицательности слагаемых в правой части
формулы (8) следует, что:
— | и+ ( х + iy) ёх > -1 (г - у ')ёп (г). (9)
2п
—да у
Проинтегрируем интеграл в правой части по частям:
+да +да
-1 (г - у)йп(г) =(г - у)п(г)р + | п(г)Я, п(г) - убывающая функция.
у у
Покажем, что —(г — у)п(г) ^ 0, г ^ +да.
Пусть и е БИ£ (о +) п С(2} (о +).
+да +да
Тогда п(г)= | | Аи(£,^)d£d^, ёп(г) = -| Аи(г,^)ёц
г г
г - у > г — = — Г 2 2
+ ии +ии / +ии
-|( г - у УЦ г) -|( г - у )1-|л и (г ,^) ёц
у у \ -ж
ш г - у) Аи(г,^)ё^ёг < С, г > 2у, у < —,
у
+(ю г
С > | (г - у)| Аи(г,^)ёцёг > | — | Аи(г,^)
у —да 2 у 2 —да
+да +да +да +да
| г | Аи (г,^) ёг!<1г > 2у || Аи (г ,^) ёг!<1г
2 у -да
Пусть 2у = р.
+да +да
2 у -да
Тогда |г| Аи(г,^)ё^ёг^р| | А»(г,^)ё^ёг рп(р)^0, р
2 у —да р —да
+да +да
Из последней оценки получаем: -К г - у )ёп (г) = | п (г )ёг.
у у
— +да +да
С учетом этого ( 9 ) примет вид: -| и+ (х + ту) ёх > | п (г^ёг .
+да (+да \р +да ^+да А Р +да 2 у
+да > С | у“ — | и +(х + Ту) ёх ёу >| у“-1 | п (г)^г ёу >| у“-1 | п (г)^г
\—да
у
>| у“-1пр (2у)у-ёу [
0
+да
= -— Г га+р-1пр (г) ёг
^р+а J V /
2 у = г г
у = т
V у
ёу >
1 г г\ г\ 1 Т
— ГI — пр±г) - ёг — Г ей1 (11
2 J I 2 2 2 р+“ ^ ^ ^
0
То есть:
\р
+ад > С | уа 11 | и+ (х + Ту) ёх ёу > | уа+р 1пр (у ) ёу .
0 \-да у 0
Что и доказывает лемму при и е ^И^ (О+ ^ П С ^ ^ О+ ).
В случае произвольной функции и е SИ(;- ^О+ ^ доказательство проводится с
использованием аналога для случая полуплоскости леммы 2 о слабой сходимости из работы [4] (с. 62).
Лемма 4. Пусть п(у) = /и(О^ . Тогда условие
I ур уаХпр (у)ёу <+да (10)
0
равносильно:
А1 ^
<+да, (11)
к=0 2
£ пр (2к ) 2к(“+р. (12)
к=1
Доказательство. Пусть выполнено условие (10).
Разобьем интеграл (10) на две части:
+да 1
I уруа~1пр (у) ёу +=[ уруа-1пр (у) ёу / + /2 < +да
1 0
Оценим интеграл /1.
->к +1 '■>£+1
+да +да 2 +да 2
+“> /1 I уру“^1пр (у) ёу =£ I у”-1* V (у) ёу п (2к+1) | у”-1* рёу =
^ пр (2к+1)((2к+1 )“+р - 2к-+р ^ пр (2к+1 )• 2к(“+р2“+р -1)>
к=0 ' ' к=0
к=0 2к
+ад
к=0
+ад +ад
> С0£пр (2к+1 )• 2к(“+р) ^тр (2” )• 2°
г-1)(а+р)
к=0
£пр (2” )• 2”
[а+р)
Перейдем К оценке /2 .
к
2
•.к 2к
к =0 1
0( к+1) р к=0 2 1
>
п I —г
1 2
/ 1 \
«-1
к=0
2<к+1) р
1 1
2к 2'
к+1
1 +да
=—У
ор+1
п I Т"
+<» | 2к
Докажем обратное утверждение. Предположим, что выполняется условие (12). Покажем сходимость интеграла /1.
Имеем, что:
2к 2к
пр (2к )• 2к(а+р ]> пр ( 2к ) | у“+р-Чу > | пр (у) у“+р-Чу.
2кч 2кч
Суммируя, получим сходимость интеграла /1.
Проводя аналогичные рассуждения при выполнимости условия (11), несложно получить сходимость /2 . Что позволяет сделать вывод о сходимости интеграла (10).
Лемма полностью доказана.
Лемма 5. Пусть и - произвольная субгармоническая функция в О+, допускающая представление (5), где ) - неотрицательная мера в О+, для которой:
+да / ч
| уруа~1пр (у)ёу < , п(У) = М\Оу ), 0< р < ,
0
л (г) - гармоническая функция в О+, удовлетворяющая условию:
'\р
| у-11 Iл (х + Ту)|ёх I йу < +го,
+1. Тогда и е (О+), 0 <а <+да .
р
Доказательство. Введем следующее обозначение: пусть
УАг) = ДО1пМг,0. Т0ГДа и(г) = Ур{г) + Л(г).
О+
Учитывая, что и ( г ) < и ( г ) , а также справедливость оценки (6) из леммы 1, запишем:
и + (г) ^ |Л (г)|+ ¥Р (г) ^ |Л (г)|+ СЛ|
Г У+1
1т С
С-г
Проинтегрируем обе части неравенства по х от —да до , возведем обе части в степень р и применим неравенство Минковского:
+ 00
| и+ (х + Ту У^х
\—да
< 2р
/
\р
| Л(х + Ту)^х + Ср(р)
\—да
V
а-1
У
+ 00
Яё мо!
1т£
С- г
\
\р+1 л
ёх
Умножим обе части на у и проинтегрируем по у от 0 до :
/+<Ю \р +СЮ /+<Ю Лр
| уа 1 | и +(х + Ту^ёх ёу <| уа 1 | |Л (х + Ту)^х
\—<ю
+оо
+СД р )| у""1
+оо
Я а р(0{
0 \-ю
л^+1 у
ёу +
1т С
С-г
ёх
ёу
Первый интеграл в правой части сходится по предположению. Покажем сходимость второго интеграла правой части. То есть остается показать принадлежность Ур[ г) классу SИI^ ^ О, а
именно:
I у"1 | Ур( х + Ту ) ёх
\—да
ёу < +да.
4^+1
1т С
У„( г)< у;(г)< .
О+^р г
Пусть £ = % + Щ , г = х + Ту .
+да т
Применим оценку: Г______________ж_____
^ I— а+2
^ - х - гу
Тогда:
С (а)
(у + лТ
а >-1.
+т ^+т Лр +т ( ^+1
/уа1 IIур(х+уёх ёу-С(^)|уа1 \т~—
V О+
(у+л)
ёу <
0
О
0
,0+1
V
* С (р)\ у-' £|т-^т ём(0
к=-ю о
(у + ч)
ёу,
1
1
2к+1 * 2к I
Пусть 0 < р < 1. Тогда (а + Ь)Р < ар + Ьр (а > 0, Ь > 0) . С учетом этого получим:
,Р+1
р
/ <С(Р)\у-1 X \7Л—жМО
0 к=-”^Ок (у + ^)
ёу (13)
Оценим внутренний интеграл Г ^ с^(С), у ^ 0, —1<-^, С ^ Ок .
(у+л)Р 2+1 2
1
■)(к+1)(Р+1)
1 < У
Ок
р+1 1
1 у (у + лу 2
у 1 и
V ^ У Используя (13), получим:
/ ±С (ЛЕИ о))р I
1
у + к+1
V 2
у
.а-1
к=-да
0 'укр(Р+1)
/
/ + 211.
,Рр
ёу <
+* (п(2к)) -
* С (ЯХ
+да у«-1
к=-да
\Рр
ёу.
Рассмотрим интеграл
1
у
.а-1
2
кр(Р+1) 1 / л \Рр
01 у I
ёу.
1 7 у“ч
2кр(р+1) 0 ( 1 Iу+2^
= /1 + /2. (14)
Оценим /1 в (14).
1 1
Рр
ёу =
1
1
-,к+1
у
■)кр(Р+1)
укр(р+1)
1 2'
-<
у+2^
(к+1) рр
Рр
ёу + -
1
у
)кр(р+1)
2к+1 | у + 2к+1
Рр
ёу =
С(£) <С(£)
->к +1
рР £%2' к+1)а 2кр(^+1)+( к+1)а 2к( р{Р+1)+а-рР) 2к^ р+“)
Рассмотрим интеграл /2 .
1 +да с£—1 1 1
______у__________су <_______1____ Г ё
(^+1) J 7 1 \ррау - пкр(Р+1) J
/.
2 2кр(^+1)
Рр-а-1
С (I)
пкР(Р+1)
у
С(Р) С(Р)
3-“ _к( р(р+1)-рР+а) 2 к( р+0
>к +1
Учитывая последние оценки, получаем:
0
+* +<ю пР (2к )
I ур“-'"р (у к * С X Тккг
л к=—да 2
< +ад.
Рассмотрим случай 1 < р < +да . Пусть Ьр (у) - множество всех измеримых в О+
1
(а 1 ^ р
функций (// :
)=1 1К^тг)Я 11^(г)|рёт2(г) I < +да, где ёт2 (г) - плоская мера Лебега
на О+, т.е.
Тогда
кр (у)
кх
\—да
ку
{ «-1 ч
І у р І Ур( х + іу) кх
ёу
< +да.
а-1
Ы,ч 51
а-1
Оценим интеграл /' = | у р у/(у) | У + (х + Ту) ёхёу. Применив (13), получим:
а-1
I'<С(Р)\ур у)|
ц>
(у + л)
п
^цку. Изменим порядок интегрирования:
а-1
г'<С(£){ п(Л)^\
у р у{у)
(у +л)р
1
ур у(у)
кукц
а-1
а-1
С(Р)\п—\гс!ус!л+ с(Р)\п(п)^ | Т
уру( у)
(у+ч)
=С (д)[ і;+12]
+да ^ р / \
Перейдем К оценке І[ . І| = Г п ^ у
0 і (у+л)
а-1
кукц ■
а-1
1 1
— < —.
-их) г/
Тогда і'< | п(гі)пР\
ур Н у)
Р
Обозначим за % ^ у^ =---------, 0 <у < 1. Умножим и разделим последний интеграл на
уУд
данную функцию:
а-1
+да //
і;< |п (^)|
0 0
ур у(у)хг (у)
хЛ у)
а-1 з
Хг( у)
1
0
а-1
I пр Х7(л)\ ^Дф-?? | пр
а-1
Р
1 му)
а-1
хЛ у)
| п(4)4 р
0 ц1
ц
рд 0
У
рд
-+1
рд 0
У
рд
Применим неравенство Гельдера к последнему интегралу:
1
/
А'*
+00
| пр ^р-^
V 0
/
\д
л
1 Му)
г
-+1
„ рд 0 -------------------
// Т
у
рд
<
< С
1 Му)
г
-+1
„ рд 0 --------------------
7/
у
рд
\д Л д у = уг/ Г г
у= у V +да
-Л С I 0
' У 0 <у< 1 V ^
д
V
-^-+1 рд 0
-7
(ут?)
рд
=С
д
г/рдц |^(ул)
УV
„рд 0 --------------
//
V
урд у
= С
II
д
-V
-Л
\ У
Применим неравенство Минковского.
1
/
1 +« /;< С | |
/ лд
у(уу)
\
V V рд )
^ С-I | у/д(У7])ёч
У
1
0 у рд V 0
1 V д У7] = и
-У и
У ц =-
V
^1 ( +да ^7 »д ^1 ( +да
= С}—г |^д(и)— -у =С| _у_ ! |^д (и-
0 у рд V 0
0 у рд д V 0
-у -
С11И^« 'I
1
0 у рд д
Так как уе( 0;1), то 1 _ < 1. Следовательно, Г
д рд ^
-у
Х+1 0 у рд д
■<+»•
То есть 1[ < С1
\1? '
0
1
(у+л)
При ц < у < +ад верна оценка ^ + у > у, —1— <1. Поэтому:
а-1
+да +да р / \ +да
/2=| п(ц)цр | -—у^-у-ц = | п(п)цр [
; I ур о I у У
л+у у
а-1
+да
~—]гРу^-у-л.
0
Рассмотрим функцию у . Продифференцируем её.
а-1
V
у
р-1
( а-1 \'
уТ
~Р+1
у
а-1 . Р
-Р +1
Л а-1_р
р , у >0.
у
У
у”-1
V У
/у _ 1 /у _ 1
Данная функция является убывающей при_______________р +1 < 0, то есть при р >_________|_ 1.
В связи с этим, получим: / '<| п р у ^-у-ц . Изменим порядок
у
/ \ у а~1
интегрирования: I' < | ^у^ |пР 'П-'Л-у.
0 у 0 Применим неравенство Гёльдера:
а-1 V
I \ д [ 1 ^
12^1 (у)-у ■ |1-|п(л)л р ^
V 0 у 0 I у 0
-у
<
<
\ьч
а-1 \р
| у р I |пр 77-^
-у
У
V 4 'У
Воспользуемся неравенствомХарди (см. [5], с. 319):
1
12^
\ьч
I у“-1пр (у) у'-у
V 0
Следовательно,
< С
У
получаем, а-1
21г ' что
принадлежит
классу
ЗИР( G ), 0 < р <+да, Р>——- + 1. Из чего вытекает принадлежность функции и классу а ’ р 8Ира(G+), 0<р < +да . Лемма доказана.
3. Доказательство теоремы.
1. Сначала докажем необходимость. Пусть и е 8ИР ( G), 0 < р <+да . Покажем, что и
допускает представление (5). Рассмотрим разность и(2) — Ур(2) = Ь(2) и покажем, что она является гармонической функцией.
Пусть Ог - круг радиуса г , 0 < г < 1. Лг = П С+ . По теореме Рисса для I)г запишем
представление субгармонической функции и:
0
0
и (2 ) = V (2 ) + ЯЦ-А-№) ■ где V (г) - гармоническая функция в Иг
Iг
и 1п- субгармоническая функция в ])г .
Рассмотрим фактор ар( 2, £ ), £ е О+, — 1 < /3 < +да : 2Ьп^ гр-г
,(г,С) = ехр
I
ар{ 2,С) = а0 ( 2,С)'
-г
0 (г + /С-/А) 1
. \Р+!
а0 (2,С)
• ехр <
21ш^
-ш
г р-г
( г + /£ - /2 )
. 4^+1
21ш^ ехр ]-]
(г + /С- /2 )| I 2“р -г
' ехР^- ]
(г,с)- ехр
21ш£
I
21ш^
0 (г+/с-/А)
„р
• ехр <
21ш^
-I
г13-г
( г + /^ - /2 )
. \Р+1
г + /£- /2 ( г + /£- /2 )
• \Р+1
-г
Покажем, что а ^2 ^ £. Пусть £ = £ + /ц . Тогда:
05 с - 2
2!ш£
2!ш£
21ш£
г + /’£ - 12
=1п (21ш^+г (с-2))-1п (* (с-2)) 1п 21ш^^= 2 2
1п-
2Л+ /(£ + /ц^ 2) 1п2^ + /£-Ч-/2 ^ + /£_- /2 Лп/(^~2-^)
/ (с-2)
1п
1п-
'(С- 2) / (С- 2) / (С- 2)
= 1п
С-2
С-2
С учётом этого получим, что:
-г
2!ш£
а.
(2,С) = ехр]- |
1п \аР{ 2,0| =1п
а,
0 г + /£ - 12
(21ш£ |
ехр \ - 1п
1
С-_21 С- 2 С-2 I С-2
.Р
1п |а0 (2,£)| + Яе
21ш£
ш
г + /'£ - 12 (г + /'£ - 12)
,Р
-г
Р+1
-г
г + /'£- /2 ( г + /£- /2 )
• \Р+1
С-2 21ш£
1п + Яе- ш
С-2 0
г + /'£- /2 ( г + /£- /2 )
р+1
-г
Вернёмся к разности к ( 2 ) = и ( 2 )-Ц 1п\ар( 2,С)\- м(С)-
■ и
с С-2 21ш£
1п + Яе-
V С-2 0
г + /'£- /2 ( г + /£- /2 )
. \^+1
' Л
-г >
У
- м(С):
и
\
(2)_Д1п|£_21-^(0 -([ 1пу^—-^(с)
- - ц —2
-!! Яе
21ш£
1
г + /'£- /2 ( г + /£- /2 )
. \Р+1
-г
- м(С)
Функция ГГ 1п _1 -является гармонической (1п 1 - аналитическая функция в
) \^~ 2 п р-£
О+).
С-2
С" 2 С-2
> 1 2 ^ е О+. Прологарифмируем обе части неравенства:
1п
С-2
<
1п1,1п—г < 0,1п|с_А <-1^^^— С-2 С-2
-II 1п Т1 -т-<и(С)>Ц1п |с- £- м(С) ^ . Следовательно,
д. С _ 2 о г
И1п -^{с)
I
ог \С-2
Рассмотрим функцию
21ш£
рА 2 ,с)= I
1 + /'£ - 12 ( г + /'£ - 12)
. \Р+1
ёг =
21ш£ 1
-!—т—
0 г + /^ - /2
+'Х) л
- [ -----1----
•’ г + /'£ - 12
. \Р+1
21ш£
( г + /'£ - 12)
г Р
(г + /'£ - 12)^+1
( г + /'£ - 12 ^+1
-г Ф,(2,С)-^,(2,С)
ёг ■
Функция (2, ^) (при фиксированных ^ е Ор +) голоморфна в
2
С \ {2 = £ - /к,0< к < +да|, а на луче = £ + /к,0< к < +да| постоянна.
( У"
ФДС+/ -
г
— -а к
л
(а +1)
г + к
1 -
1=-
(г + к)
-г гу
г
0 к /г+1
1 -
к I - +1
к
ёг =
а +1
р
0
По теореме единственности голоморфной функции фД 2,^ всюду постоянна.
Функция 2,£) (при фиксированных о +) голоморфна в
С\{ 2 = С- /к, 0 < к < +а>|, в частности, в О+ .
Следовательно, Я Я Р„( А С)- 1л{С) гармонична в О+ .
В силу произвольности г е (0;1), получим, что к(2) является гармонической функцией в О+ .
У
Покажем, что к (2) удовлетворяет условию: | уа11 | |к(х + 1у)|-х с
-у < +да.
Рассмотрим разность и ( 2) — V/g( 2 ) = к ( 2) . Т.к. и ( 2 )< и +( 2 ) , то по лемме 1:
к (2) < и + (2) + ур+ (2) < и + (2)+ср\\
г у+1
!ш£
С- 2
Интегрируя неравенство по X, возводя в степень р , применяя неравенство Минковского,
имеем:
\р
\р
| к+(х + /уу-х <1 | и +(х + /у- + СДр)
з у ч-<» У
Воспользуемся теоремой о среднем значении. к ^^ к ^ -т2 ^
1ш£
С- 2
V
4/8+1 ^ -х
(15)
\£-/я\< Я
-да < л Я2 к (/Я) Я- к(С)-т2(С) =|| [к+(С)-к (С)]-т2(С) =
|С-/Я|<Я |С-/Я|<Я
2 Я Я
= | \\_к +(£+ *п)- к~(% + ^)]-%-Ч
0 - Я
2 Я Я 2Я Я
II к"(£ + /'^)-%-ц =|| к+(^ + /'^)-%-ц-лЯ2к(1Я)<
0 - Я 0 - Я
2Я Я
<|| к+(£ + /^) -%-ц+лЯ2 |к (1Я )|
0 - Я 2 Я Я
2 Я Я
Я к + /'^)|-^-ч < || к+ (£ + /'^)-^-ц + С (16)
0 - Я
0 - Я
Устремляя Я к бесконечности в (16), а также из (15) получим:
\р
\—да
| уа 1 | |к (х + /у)-х -у <| у"1 | и +(х + 1у)-х
0
1ш£
+СД р)! у1
J 0 \,-да
/ У+1 V
-у +
Я - м(01
С-2
-х
-у
Оба интеграла в правой части сходятся. Сходимость первого вытекает из принадлежности функции и(г) классу БИ^О, 0 < р <, сходимость второго доказана в лемме 5.
0
О
+(Ю f
Следовательно, J ya~11 J |h(х + iy)|dx dy <+го •
0 J
То есть U ( z ) допускает представление (5).
2. Доказательство достаточности непосредственно следует из предыдущего пункта и леммы 5.
Теорема доказана.
In this paper we received description of one class of subharmonic functions in a half-plane of complex plane.
The key words: subharmonicfunction, harmonicfunction, measure.
Список литературы
1. Джрбашян, A.M. Построение и свойства одного семейства функций типа Бляшке для полуплоскости / А.М. Джрбашян, Г.В. Микаелян // Изв. АН Арм. ССР, Математика, 1980. Т.15, №6. С. 461-474.
2. Аветисян, К.Л. Потенциалы типа Грина и представимость весовых классов субгармонических функций / К.Л. Аветисян // Изв. Нац. АН Армении, Математика, 1995. Т. 30, № 2. С. 98-120.
3. Джрбашян, А.М. Параметрические представления некоторых классов мероморфных функций с неограниченной характеристикой Цудзи / А.М. Джрбашян // Изв. АН Арм. ССР, Математика. 1987. Т. 22. № 5. С. 422-451.
4. Охлупина, О.В. Характеризация некоторых классов субгармонических в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности / О.В. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета. № 4 (2009): Математика. Физика. Биология. Химия. Брянск: РИО БГУ, 2009.181 с., с. 61-73.
5. Стейн, И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И.М. Стейн. М.: Мир, 1973.
Об авторе
Охлупина О.В. - кандидат физико-математических наук, доцент Брянского
государственного университета имени акдемика И.Г. Петровского.
