CC BY
22
УДК 517.53
ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ ВАЛИРОНА НА СЛУЧАЙ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
Охлупина О.В.
В работе обобщена классическая теорема Ж.Валирона на случай субгармонических функций.
Ключевые слова: гармоническая функция, субгармоническая функция, мера, потенциал.
Введение
Пусть C - комплексная плоскость. И (с) - множество всех целых функций в С. Ор -класс положительных функций, определённых на R+=(0; +^), удовлетворяющих следующим условиям: 1) <+«;
J х1+р
2) если ^ < Х <Х2, т0 у) < ю(X) < С2ю(у), где С15С2 - положительные константы.
у
Если / Е Н ( С) , то П (Г) - число нулей функции / в круге Dr , 0 < Г < +_ . Введем в
рассмотрение класс целых функций
1: +_ 1п М (г, /)
А (СИ Г е Н (С): | ^
где М (Г, / ) = шах| / (г )|, р - порядок целой функции, 0 < р < +_ .
(1)
г| <г
Фактор Вейерштрасса имеет вид:
. г 1 ехР і — + -гк 2
( г V
V гк У
+... + —
ч
V гк У
(2)
где Ч - наибольшее целое число, для которого
| г*-1и (?) Л = +_, Ч > 0, г гк Е С, гк * 0.
Ж.Валирон доказал следующее утверждение (см. [1]).
Пусть целая функция / Е Ар (С), / тождественно не равна нулю, и ^гк }к_х -
+_
последовательность нулей функции /, тогда II гк | р < +_.
к=1
При р£ Z верно и обратное: пусть ^гк}к_х - последовательность чисел из С, для +_
которых |г^ Р < +_, тогда существует функция / Е Ар (С), корневое множество
к=1
которой совпадает с последовательностью ^гк | .
Обозначим через SH (С) множество всех субгармонических функций в С. Введем в рассмотрение класс функций
' Ґ п Лр Л 1' р
+_11и+(гЄ<р)йЛ ф(г)
SHlр р ( С ) = . и Е SH (С ): ^-п , ' йг <+_ J г1+р 1 '
V у
где
р > 0, 0 < р < +_.
В случае ((Г) = 1 для простоты введём обозначение: SИ1pр (С) = SИр (С) .
Пусть q - набольшее целое число в произведении Вейерштрасса ^ г £) = ^ а (г £) ’ для
к=1
которого | ,-9-1п(t)^=+гс. q > 0, п (I ) = м( О,) , где = |г е С : |г| < , г,£ е С, £ ф 0.
0
В дальнейшем будем предполагать, что функции рассматриваемых классов являются гармоническими в некоторой окрестности начала координат, а возникающие меры обращаются в ноль в некоторой окрестности нуля (то есть носитель мер находится вне этой окрестности).
Основным результатом работы является следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть 0 < р < +ю, р > 0, Р £ Z+ и q е X+ удовлетворяет неравенству
Р
--1 < q <—' Тогда класс функций SH — (C) совпадает с классом функций U, допускающих Р Р
представление:
U (Z ) = { ln| Aq (Z,C)dß(C) + h ( Z) , (4)
C
где Z,^e C, Ф 0, h(Z) - гармоническая функция в C, удовлетворяющая условию
(* ЛР
|h (re*)\dy\
| V-£__________dr <+да, f^(^>) - неотрицательная борелевская мера, для которой
і Г +” ПР (Г)
I —1+^-dr <+да,n(г) = /л(Dr), 0 < г <+да.
і Г
Доказательство вспомогательных утверждений
Доказательство теоремы основано на следующих вспомогательных утверждениях: Лемма 1. Пусть (ОеОр, е С, П ( Г ) = ^( Ог). Тогда
+р(п(г))Р ((г) п(2к)) ((2)
I = 44 ^ 'ф < +<ю ^--------------
J »,1+Р окР
1 ' к=0 ^
к)
< +<Ю .
Следующее утверждение позволяет получить необходимое условие на представляющую меру функции из класса SИ( р ( С ) .
Теорема 2. Пусть и - произвольная субгармоническая функция из класса SИ(р(С),
0 < р < +СЮ, ц(С) - неотрицательная борелевская мера, ц( Ог ) = п ( Г ), 0 < г < +го,
аеОр. Тогда 7 п (г> (г) ф <
J Г1+Р
1 Г
Доказательство. Пусть сначала U Є SHР p( C ) П C (C ) , U ( 0) > .
С ( 2), і % І І І % 1
' ®,р
Аи - лапласиан функции и .
Рассмотрим круг радиуса ? : 0 < ? < 1 с центром в начале координат. Тогда имеет место следующее равенство:
t21 u(te’p')dp = 11ln —Au(reprdrdp + 2nC0t2 • (5)
— n —n 0 Г
Так как U (0)>C, >—<», то, по свойству субгармонических функций,
1 л -— I u(repdp > u (0 )> Co >-«> , а также, учитывая что U ( z ) < U +( z ) , получим:
-л 0
11 ln —Au ( rep rdrdp < t21 u + (teip) dp< | u + (teip) dp.
((I)
Возведем обе части неравенства в степень р, а затем умножим на —р—р
и проинтегрируем
по переменной t от 1 до :
f л t ^ \р
II || ln —Au ( reip ) rdrdp
r
1 V-л 0
Так как u Е
+ад / л t
co(t )dt
tp+i
<
i-w I л
|I | u +(teip) dp
o(t )dt
tp+i
J
1 V-л
SKp(.C ) • то ‘j iju + (tep
< +<»
. Поэтому
11 || ln —Au (rep rdrdp
1 V-л 0 л t
co(t )dt
vp + l
л I J t л I r л
I = 11 ln —Au (rep rdrdp = |—| 11 Au (peip) dppd p
-л 0 r 0 r v 0 -л у
r л nr
Учитывая, что ju(Dr ) = | | Au (peip)dppdp = n(r), получим: I = |-------dr.
dr
0 -л
• n (r)
r
| [|
1 V 0
\n ( r )
Y
n(r) ^ 0)(t)dt
fP+1
<
+w I л
лр|| |u*(tepdp
o(t )dt
(2pP i
,p+1
< +да
\n ( r )
+да > ||l v ’ dr
Y
(t) dt
/p+1
>
Y
dr
t
V 2
(t) dt
/p+1
|я(Г) dr > n(t)|— = n(t)ln|r|| t = n(t)
t_ r t_r 2 2 2
= n (t) ln2
dr
ln t - ln — | =
2 J
+сю > | | | dr
|
| V|
1 V 0
,(t Mt)
(r) ^p a>(t)dt +? (ln2np (t)^(t)dt +?np (tt)
vp+1
>
|
vp+1
C |
vp+1
dt
(P+1
dt < +<x>.
То есть для u Е SHpp( C ) П C (C ) теорема доказана.
Для доказательства теоремы в общем случае применим лемму 2 о слабой сходимости из работы [2]. Рассмотрим последовательность бесконечно дифференцируемых субгармонических
функций uk (z), которые, убывая, сходятся к субгармонической функции u (z) внутри Dr при
к ^ +w . При этом Auk слабо сходятся к d Л, где /Л - представляющая мера в разложении Рисса субгармонической функции u .
Применим формулу (5) к данной последовательности:
л p
p21 un (pep dp= 11 ln —Aun (rep rdrdp + 2л^р
л t
л
Л
P
л
r
r
r
л
2
л 0
-л
Применяя рассуждения, изложенные выше и формулу Иенсена, получим:
+Г пр(I)((,)
[ —, ’сН < +да.
J , р+1
1 1
Что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть и - произвольная субгармоническая функция в С, допускающая представление и(г) = 11п|Ач (г,£)|с«(£) + h(г),где г,£ е С, £ Ф 0, q > 0,
произвольная борелевская неотрицательная мера в С , для
(г)
сг ^ Т^> ,пуг ) — /иу Ог ), 0 V р V Т^>, /У ^ 0,
р р
которой
+_ р .
- П ( Г
І —р+рСг <+_ ,п (г ) = и( Вг), 0 < р <+_, р> 0, — £ Z+, — -1 < ч <р
Р
h ( г ) - гармоническая функция в С, удовлетворяющая условию:
I
І \н (геір)|Ср
*-1+р
-йг < +_
. Тогда и Е SH рр (С ).
Доказательство. Введём следующее обозначение:
пусть Уд (г) = 11п|А (г,£)С^(£), Уд (0) = °. Тогда и(г) = И(г) + Уд (г) .
Учитывая, что и ( г )< и +( г ) , а
также
справедливость
оценки
I г +_ Л / \
1пМ(г,Еч)<Кч гчІГч-1п(і)Сі + гч+1 ІГч-2п(і)Сі , где Ед (г,С) - произведение Вейерштрасса
Iг,Еч)<кч г41 I 4 п(
V 1
(см., например, [3], с. 79), запишем:
и (2)< \к (2)| + Кч гчIі ч 1п(і)Сі + гЧ+11 і ч 2п(і)Сі
V 1
(6)
Разобьём доказательство теоремы на два случая.
1) Предположим сначала, что 1 < р < +ю .
Проинтегрируем обе части неравенства (6) по р от — Ж до Ж , возведём обе части в степень р и применим неравенство Минковского:
Г Ж \р Г Ж Лр
І и +(ге'Р^Ср\ < 2р І І \и(гегрР)^р
+
+2р І І Кч гчІГч-1п(і)Сі + гч+' І Гч-2п(і)Сі Ср
-п V 1
Умножим обе части на
Л V Ср
У У
1
А+р
и проинтегрируем по
г от 1 до + _ :
+_| І и +(геР) йР\ +_| І \Н (гЄр СР
І —----------------— Сг < 2 р І
У
А+р
Сг +
-І-Л)
+2рКр, І
гч І і ч 1п (і) Сі + гЧ+1 І і ч 2п (і) Сі
V
А+р
Сг.
Первый интеграл в правой части сходится по предположению. Покажем сходимость второго интеграла правой части
+_
р
п
п
+_
+°°! г41 * 4 1п (*)^ + гЧ+1 — г 4 2п (г)Лг
2 Р КР Г V 1 г
2 кч I ^
-Лг <
( / г ЛР
гЧ —* д1п (*) Лг
< с( Р) К
У
г
1+р
+си Лг + |-
гч+х | г-д~2п (г) Лг
А+р
ЛР Л Лг
У
= с(Р)КР (/1 + /2 )
Оценим /^ Применим неравенство Харди (см. [4], с. 319). Учитывая условие 0 < Ч < получим:
(/1) /р =
+ СО
I
г
гЧ | * ~Ц~1п (*) Л
У
•А+р
+ВД ( г Л Р
—Лг _ *—* *—* 1 ►55 1 г г гРЧ-1-рЛг
V1 V1 у У
<
<
Р
Р
I (П (*) *-4-1 )' tpq-1-рdt
Л Ур
<
<—I |(п (г))' г^-^Лг
Р +-ЧР+ РЧ-1
р- РЧ V \у1у)) у
У
\ !/ ,
\/Р ( +да
РР
р-РЧ V 1
| (п (г ))р г1 рЛг
Л /р
р
Оценим /2 . Снова применим неравенство Харди. Учитывая условие 4 >---------1, имеем:
Р
(/2 )'р _
—
гЧ+11 гЧ-2п (г) Лг
А+р
+вд /" +вд Л Р
—Лг *—* *—* г 1 1 г г гРЧ+р-1-рЛг
V1 Vг у У
<
<
РЧ + р-р^ 1
| (гп (г) г ~Ч-2) гРЧ+Р-1-рЛг
Л Ур
<
<
_Р___
РЧ + Р-рV 1
(п (г)) Рг (1~Ч-2) Р+РЧ+Р-1-рЛг
Р
рч + р-р
+ 00
| (п (г)) р г -рЛг
V 1
< +да.
Следовательно, функция и принадлежит классу SHpp (С) .
2) Перейдём к случаю 0 < р < 1. Снова применяя вышеуказанные рассуждения и условие 0 < р < 1, имеем:
+0)
Р
+0)
+ 00
71
I и+ (геІф^)Сф
А+р
+ 00
-Сг < С |
71
| \к(геІф)Сф
А+р
-ёг +
+
г¥ /і 9-1п (і) СІЇ + тч+1 / і 92п (і)СІЇ
у
г
1+р
-ёг •
Первый интеграл в правой части сходится по предположению. Покажем сходимость второго интеграла правой части
( г +ВД ЛР
I гЧ | г-Ч-1п (г) Лг + гЧ+1— г~Ч-2п (г) Лг
Лг <
/■
у
г
1+р
А / г Лр А +м У Л
г9 / і~9-1и (і) Сі + 1 г9+1 / і 9-2 п (і) Сі
У— Сг + р—
I
-1+р
-1+р
-Сг
= /1 + І2
Оценим каждый из интегралов в отдельности. Начнём с оценки /1.
V
I = 1
г4 / і 9 хп (і) Сі
1 у
г
1+р
Сг = / г9р-1-р| / і - 9-1п (і) а
1 1 Обозначим внутренний интеграл
/* = 1 /;-ч-1п (і) Сі
Сг
и оценим его. Предположим, что
2 т ^ . <->т+1 г-7
< г < 2 , т Є 2 + :
1 (2к+1 / \ V
т-1 % п (і)
к=0 V 2і і
9+1
-Сі
+ [№ сі
У
і
9 +1
Перейдем к оценке сверху интегралов, стоящих под знаком суммы.
Ґ 2к+1 / \ '\р Ґ 2+1 '\Р і
) ’П&Сі1 ■' '-1"р 1 Г2- Л ' ' -Р 2'
«к і
<( п ( 2‘+))
2
к(9+1) р
/<* =( п (2к*1))
к
V2 У
р 2к
9+1
к
V 2 У
( п(2к+)) р
ок9р
Так как 2к < і < 2к+ 1, то справедлива оценка:
к9р+кр
1
1 1
< — <
1
1
1 1
< — <■
2'
( 2к
кр9+р9 2кр9 . 2р9 ір9 2кр9
2(к+1)р9 ір9 2кр9 ’
, _±_ < ^ = ( 21р9 • Тогда
)р9 Ґ \р9
2крч- ір9 ~ І і
, и(0
/ і9*1
V 2к
У
Сі
<
>к+1
/ / к Л\р 2°+Т (п(і))р
(п (2к+)) < С / У-^ <*•
Учитывая, что 2™ < г < 2™+1, оценка для / примет вид:
7Г
;т
р
2
2
2
/, < С
'(п (г))\Л + ("(2"*,))
Р
XI
к_0 2к+1
г
ЧР+1
2
пр(Ч+1)
• ( 2™+1 - 2т )
,т\Р <
< С
-1 2к+
XI
k_0 2^!
1
(п(г))Р л + (п(2""))’ 2™, __ С^ (п(г))Р Л + (п(2”'))'
,др+1
2
чр(ч+1)
2тр __С
XI
k_0 2к+1
.ЧР+1
-Лг + -
11
<—<
1
1
11
, ^ - - <—<— —
2(т+1)рч (рд 2™РЧ’ 2™РЧ 2РЧ гРЧ 2™РЧ ’ 2™РЧ
<
\Р
< С XI
(«(г)) гл+(п(2т;;1. ^ < с
( , ?4+1 / / Л\Р
12 - <п
1 ок' т+1 2
к_° 2k
( п (г ))
-ЧР+1
к_0 2к Р
г
ЧР+1
г
РЧ+1
X —(п (г)Г л+2 ?2( п (г))
I гчр+\ I гчр+\
1г—(Л ~к * ~т+1 ^
V 1 У
2™+2
-Лг
к_0 2е
Лг
уРЧ
/1 <СI
2к *1( п (г))Р Л
X г \п\ч)
— гЧР+1
к_0 ок *
Лг
( 2к+1
< СI гчр-1-р I
_1+р
(п (г))
Лг _ СI гчр-1-р XI
( п (г))
к_0 2к г
ЧР+1
Р Л Лг
Лг <
>ЧР+1
Р Л -Лг
(п (г))
Лг < С ^^^ЧР+^| {гЧР-1рг
Лг _
р
Теперь, учитывая, что Ч < —, из последней оценки получим:
Р
+г( п (г))Р/ ч 7
_ С1 (гчр-р-ОЛ < С1I
1 1 1
Поэтому /1 сходится.
гЧР-рЛг _
Лг
Приступим к оценке /2 _ I
гЧ+' I г ~Ч-2п (г) Лг
V
У
и1+р
Лг.
Предварительно оценим внутренний интеграл:
(г)
У
>Ч+2
Лг
<
*
V г У
т+1
Р
+
п
(г)
Р
>Ч+2
Лг
V 2к
<
<
№ *Ш 7^
2к У V т_к+1 2™ ^
( п (2к+ ))Р
~)кр(ч+2)
Лг I <
I
п
(г)
¿Ч+2
<
Лг I +
/Ч+2
<
• 2Рк + X
(п (2т+1 )^. 2Рт (п (2к+1 )^ +» (п (2т+х))
Ок '
^ т_к+1
(п(2 Р
2
рт(ч+2)
2
кр(ч+1)
X
т_к+1
2 рт(ч+1)
(п (2™к1 ))1
рт(ч+1)
Так как 2™+1 < г < 2*
то:
<
<
2(т+2)р(д+1) гР(ч+1) 2(т+1)р(ч+1) 5
трч
2
Р
Р
2
1
1
1
1 111 22р(ч+1)
^------г- --------;---Г<
2™р(ч+1) . 22р(ч+1) гр(ч+1) 2(™+1)р(ч+1^ 2™р(ч+1) гР(ч+1)
2™:2 (п (2
(п (2™+1))'
72 < С1 /С / г(4+1)р+1 Л •
т_к 2™+1 *
Воспользуемся полученной оценкой для дальнейшей оценки интеграла /2 .
( 2- („г\р Л
X /№*
,р(ч+1)
т_к 2™+1
г
т ГП—К 2 /• <•
^ < С1 I -----------------^ ^ ^ I Р-1-р X I
1 1
7 1 7( п (г))Р +? 1 7(п,,,,
< С IгР"Р ” I Ж*** < С11 гРЧ+— I
1 2к+1 1 г г
7(п(г))Р г 1 7(п(г))Р/ \
_ С11 -щк I г"* Р-1-'ЛгЛг _ С1 Шг (^" -1)Л
1 г 1 1 г
МУЛ
. t(ч+,)p+,
т_к 2т+1 I
V 2 У
ЛгЛг <
р 1
Учитывая снова условие 4 >-----------1, получим:
Р
7( п (г))Р 7(п (г))Р
/, < С, I \ гРЧ+Р-рЛг _ С, Г ^ Г Лг.
2 ^ д«+1)р+1 ^ гр+1
1 * 1 1
Поэтому, учитывая сходимость интегралов /1 и /2 , видим, что
л
II Г +
+да
-л
Г У-л_________)_лг <+да, причем р-1 <« <р. Ясно, что если ч £ ^+ , то ^ • Лемма
1 г1+р Р Р Р +
доказана.
Доказательство теоремы 1.
Доказательство теоремы проведём при условии, что функция и является гармонической в некоторой малой окрестности точки ноль, а соответствующая мера обращается в ноль в некоторой
окрестности начала координат. При этом и (0) > -да.
Необходимость. Пусть и £ SHpp (С). Установим, что она допускает представление и ( г )_! 1п| Ач ( г,С) Л^(£) + h ( z ) .
С
Рассмотрим разность и ( г)- V« (г)_ h ( г) и покажем, что она является гармонической функцией.
Пусть Dr _ : |г| < г | С С, 0 < г < +да . По теореме Рисса для Dr :
и(г)_ V(г)+ 11п|£- г|Ди(£)Лц(^'),
где V ( г ) - гармоническая функция в Dr,
11п\С - г Дм (£) Л^(С) - субгармоническая функция.
Dг
Преобразуем выражение:
Р
1п
1п
Ач (г,С)|_ 1п АЧ (г,С)|
С- г
С- г
1 - г
С
..пАШ
С- г\
Л2
+
1п ?-г|;
;1^г_Г + Яе
С
г 1
— + — С 2
^ Л2 1
— I +... + -
С У ч
г 1 ( г
еХР1С+ 2 V?
г
С
У
1
+... + —
Ч
(£ Л9
чСу
С \Ч
г
h(г)_и(г)- 11п|А«(г,С)^и(С)_
г 1 ( г Л
_и(г)- I 1пС -г| + 1^'Дг + Яе\ — +
' С |С 2
С
Г \Ч ] Л
+... + ■
Ч
г
чСу
_и (г)-11п \с- —d^(С)-|1п С &(£)
Dr С |
-! Яе
г 1
—I—
С 2
1
+... + —
Ч
С \ч
г
С
Лм(С).
11п СМ(С) < +да . V« (0) _ 0, 0 _ 11п|Ач (0,С)Л^(С). Яе
г 1( 'г Л2 1 ( г Л Ч
— н— I + * .+—
С 21 сУ Ч С
- гармоническая функция в круге радиуса г. Учитывая, что
г - произвольное из (0; +да) , получаем, что
h ( г ) _ и ( г Н 1п|АЧ ( г, С) Л^(С) является гармонической функцией.
вг
Покажем, что гармоническая функция h ( г ) удовлетворяет условию:
л '
IЬ (ге'р )| Лр
I
\-л
и1+р
-Лг < +да.
Рассмотрим разность и ( г ) - V« ( г )_ h ( г ) .
Учитывая, что и (г )< и +(г) , при этом, используя оценку потенциала Вейерштрасса (см. [3], с. 79), получим:
I Н+(гв,р^Лр< I и +(гв,р^Лр + с IК« гЧIг Ч 1п(г)Лг + гЧ+11 г Ч 2п(г)Лг
-л -л -л V 1 г
Применим свойство среднего значении:
л
- да < 2лh ( 0) _ I h ( гер Лр.
-л
л
2лИ(0) _ |(И+ (ге,р)- к (ге,р))dр,
Лр.
1
2
1
л
7 7 7
| h (repdp =| h+ (reip)dp - 27h(0) < | h+ (repdp + 271h(0)|
-7 -7
7 7
U +
I h(rep|dp< I h +(reip)dp+cx
-7 -7
В результате,
7 f Г +^ 'A
+ c
| |h (rep dp< | u +(rep^dp + c | Kq rq 11 q -n (t) dt + rq++11 q 2n (t) dt dp + c
q
-7 V 1 r У
Возведём обе части в степень р и применим неравенство Минковского, а затем умножим обе
1 .
части на —:— и проинтегрируем по Г от 1 до + го :
/+р
Y f 7
f V-
+го I
JI |h(repVP +»l Iu +(repP
IV-7 ^ ’dr < IV-7 ^ ’dr+
/ r +00
+“| rq 11 q-1n (t)dt + rq+ I t q 2n (t)dt
? ^i-------------------------------r-----------------L. dr.
J J+p
+cKp
1r
Оба интеграла в правой части сходятся. Сходимость первого следует из принадлежности
функции U классу SHpp (C ) , сходимость второго доказана в лемме 2.
1) Достаточность.
Доказательство достаточности непосредственно следует из предыдущего пункта и леммы 2. Теорема полностью доказана.
The paper summarizes the classical theorem Zh.Valirona in case of subharmonic functions.
The key words: harmonic function, subharmonic function, measure, potential.
Список литературы
1. Boas, R.P. Entire Functions / R.P. Boas //Academic Press, Inc., New York, 1954.
2. Охлупина, О.В. Характеризация некоторых классов субгармонических в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности / О.В. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета / Брянск: РИО БГУ. 4(2009). 2009. С. 61-73.
3. Ронкин, Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных / Л.И. Ронкин. -М.:Наука. 1971. 432 с.
4. Стейн, И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. Стейн. М.: Мир, 1973. 342 с.
Об авторе
Охлупина О.В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика» Брянской государственной инженерно-технологической академии.
-7
7
7
7
