Научная статья на тему 'Обобщение одной теоремы Валирона на случай субгармонических функций'

Обобщение одной теоремы Валирона на случай субгармонических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
93
23
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ / МЕРА / ПОТЕНЦИАЛ / HARMONIC FUNCTION / SUBHARMONIC FUNCTION / MEASURE / POTENTIAL

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Охлупина О. В.

В работе обобщена классическая теорема Ж.Валирона на случай субгармонических функций.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

SYNTHESIS OF ONE THEOREM OF VALIRON ON THE CASE OF SUBHARMONIC FUNCTIONS

The paper summarizes the classical theorem Zh.Valirona in case of subharmonic functions.

Текст научной работы на тему «Обобщение одной теоремы Валирона на случай субгармонических функций»

УДК 517.53

ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ ВАЛИРОНА НА СЛУЧАЙ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

Охлупина О.В.

В работе обобщена классическая теорема Ж.Валирона на случай субгармонических функций.

Ключевые слова: гармоническая функция, субгармоническая функция, мера, потенциал.

Введение

Пусть C - комплексная плоскость. И (с) - множество всех целых функций в С. Ор -класс положительных функций, определённых на R+=(0; +^), удовлетворяющих следующим условиям: 1) <+«;

J х1+р

2) если ^ < Х <Х2, т0 у) < ю(X) < С2ю(у), где С15С2 - положительные константы.

у

Если / Е Н ( С) , то П (Г) - число нулей функции / в круге Dr , 0 < Г < +_ . Введем в

рассмотрение класс целых функций

1: +_ 1п М (г, /)

А (СИ Г е Н (С): | ^

где М (Г, / ) = шах| / (г )|, р - порядок целой функции, 0 < р < +_ .

(1)

г| <г

Фактор Вейерштрасса имеет вид:

. г 1 ехР і — + -гк 2

( г V

V гк У

+... + —

ч

V гк У

(2)

где Ч - наибольшее целое число, для которого

| г*-1и (?) Л = +_, Ч > 0, г гк Е С, гк * 0.

Ж.Валирон доказал следующее утверждение (см. [1]).

Пусть целая функция / Е Ар (С), / тождественно не равна нулю, и ^гк }к_х -

+_

последовательность нулей функции /, тогда II гк | р < +_.

к=1

При р£ Z верно и обратное: пусть ^гк}к_х - последовательность чисел из С, для +_

которых |г^ Р < +_, тогда существует функция / Е Ар (С), корневое множество

к=1

которой совпадает с последовательностью ^гк | .

Обозначим через SH (С) множество всех субгармонических функций в С. Введем в рассмотрение класс функций

' Ґ п Лр Л 1' р

+_11и+(гЄ<р)йЛ ф(г)

SHlр р ( С ) = . и Е SH (С ): ^-п , ' йг <+_ J г1+р 1 '

V у

где

р > 0, 0 < р < +_.

В случае ((Г) = 1 для простоты введём обозначение: SИ1pр (С) = SИр (С) .

Пусть q - набольшее целое число в произведении Вейерштрасса ^ г £) = ^ а (г £) ’ для

к=1

которого | ,-9-1п(t)^=+гс. q > 0, п (I ) = м( О,) , где = |г е С : |г| < , г,£ е С, £ ф 0.

0

В дальнейшем будем предполагать, что функции рассматриваемых классов являются гармоническими в некоторой окрестности начала координат, а возникающие меры обращаются в ноль в некоторой окрестности нуля (то есть носитель мер находится вне этой окрестности).

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть 0 < р < +ю, р > 0, Р £ Z+ и q е X+ удовлетворяет неравенству

Р

--1 < q <—' Тогда класс функций SH — (C) совпадает с классом функций U, допускающих Р Р

представление:

U (Z ) = { ln| Aq (Z,C)dß(C) + h ( Z) , (4)

C

где Z,^e C, Ф 0, h(Z) - гармоническая функция в C, удовлетворяющая условию

(* ЛР

|h (re*)\dy\

| V-£__________dr <+да, f^(^>) - неотрицательная борелевская мера, для которой

і Г +” ПР (Г)

I —1+^-dr <+да,n(г) = /л(Dr), 0 < г <+да.

і Г

Доказательство вспомогательных утверждений

Доказательство теоремы основано на следующих вспомогательных утверждениях: Лемма 1. Пусть (ОеОр, е С, П ( Г ) = ^( Ог). Тогда

+р(п(г))Р ((г) п(2к)) ((2)

I = 44 ^ 'ф < +<ю ^--------------

J »,1+Р окР

1 ' к=0 ^

к)

< +<Ю .

Следующее утверждение позволяет получить необходимое условие на представляющую меру функции из класса SИ( р ( С ) .

Теорема 2. Пусть и - произвольная субгармоническая функция из класса SИ(р(С),

0 < р < +СЮ, ц(С) - неотрицательная борелевская мера, ц( Ог ) = п ( Г ), 0 < г < +го,

аеОр. Тогда 7 п (г> (г) ф <

J Г1+Р

1 Г

Доказательство. Пусть сначала U Є SHР p( C ) П C (C ) , U ( 0) > .

С ( 2), і % І І І % 1

' ®,р

Аи - лапласиан функции и .

Рассмотрим круг радиуса ? : 0 < ? < 1 с центром в начале координат. Тогда имеет место следующее равенство:

t21 u(te’p')dp = 11ln —Au(reprdrdp + 2nC0t2 • (5)

— n —n 0 Г

Так как U (0)>C, >—<», то, по свойству субгармонических функций,

1 л -— I u(repdp > u (0 )> Co >-«> , а также, учитывая что U ( z ) < U +( z ) , получим:

-л 0

11 ln —Au ( rep rdrdp < t21 u + (teip) dp< | u + (teip) dp.

((I)

Возведем обе части неравенства в степень р, а затем умножим на —р—р

и проинтегрируем

по переменной t от 1 до :

f л t ^ \р

II || ln —Au ( reip ) rdrdp

r

1 V-л 0

Так как u Е

+ад / л t

co(t )dt

tp+i

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

<

i-w I л

|I | u +(teip) dp

o(t )dt

tp+i

J

1 V-л

SKp(.C ) • то ‘j iju + (tep

< +<»

. Поэтому

11 || ln —Au (rep rdrdp

1 V-л 0 л t

co(t )dt

vp + l

л I J t л I r л

I = 11 ln —Au (rep rdrdp = |—| 11 Au (peip) dppd p

-л 0 r 0 r v 0 -л у

r л nr

Учитывая, что ju(Dr ) = | | Au (peip)dppdp = n(r), получим: I = |-------dr.

dr

0 -л

• n (r)

r

| [|

1 V 0

\n ( r )

Y

n(r) ^ 0)(t)dt

fP+1

<

+w I л

лр|| |u*(tepdp

o(t )dt

(2pP i

,p+1

< +да

\n ( r )

+да > ||l v ’ dr

Y

(t) dt

/p+1

>

Y

dr

t

V 2

(t) dt

/p+1

|я(Г) dr > n(t)|— = n(t)ln|r|| t = n(t)

t_ r t_r 2 2 2

= n (t) ln2

dr

ln t - ln — | =

2 J

+сю > | | | dr

|

| V|

1 V 0

,(t Mt)

(r) ^p a>(t)dt +? (ln2np (t)^(t)dt +?np (tt)

vp+1

>

|

vp+1

C |

vp+1

dt

(P+1

dt < +<x>.

То есть для u Е SHpp( C ) П C (C ) теорема доказана.

Для доказательства теоремы в общем случае применим лемму 2 о слабой сходимости из работы [2]. Рассмотрим последовательность бесконечно дифференцируемых субгармонических

функций uk (z), которые, убывая, сходятся к субгармонической функции u (z) внутри Dr при

к ^ +w . При этом Auk слабо сходятся к d Л, где /Л - представляющая мера в разложении Рисса субгармонической функции u .

Применим формулу (5) к данной последовательности:

л p

p21 un (pep dp= 11 ln —Aun (rep rdrdp + 2л^р

л t

л

Л

P

л

r

r

r

л

2

л 0

Применяя рассуждения, изложенные выше и формулу Иенсена, получим:

+Г пр(I)((,)

[ —, ’сН < +да.

J , р+1

1 1

Что и требовалось доказать.

Лемма 2. Пусть и - произвольная субгармоническая функция в С, допускающая представление и(г) = 11п|Ач (г,£)|с«(£) + h(г),где г,£ е С, £ Ф 0, q > 0,

произвольная борелевская неотрицательная мера в С , для

(г)

сг ^ Т^> ,пуг ) — /иу Ог ), 0 V р V Т^>, /У ^ 0,

р р

которой

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+_ р .

- П ( Г

І —р+рСг <+_ ,п (г ) = и( Вг), 0 < р <+_, р> 0, — £ Z+, — -1 < ч <р

Р

h ( г ) - гармоническая функция в С, удовлетворяющая условию:

I

І \н (геір)|Ср

*-1+р

-йг < +_

. Тогда и Е SH рр (С ).

Доказательство. Введём следующее обозначение:

пусть Уд (г) = 11п|А (г,£)С^(£), Уд (0) = °. Тогда и(г) = И(г) + Уд (г) .

Учитывая, что и ( г )< и +( г ) , а

также

справедливость

оценки

I г +_ Л / \

1пМ(г,Еч)<Кч гчІГч-1п(і)Сі + гч+1 ІГч-2п(і)Сі , где Ед (г,С) - произведение Вейерштрасса

Iг,Еч)<кч г41 I 4 п(

V 1

(см., например, [3], с. 79), запишем:

и (2)< \к (2)| + Кч гчIі ч 1п(і)Сі + гЧ+11 і ч 2п(і)Сі

V 1

(6)

Разобьём доказательство теоремы на два случая.

1) Предположим сначала, что 1 < р < +ю .

Проинтегрируем обе части неравенства (6) по р от — Ж до Ж , возведём обе части в степень р и применим неравенство Минковского:

Г Ж \р Г Ж Лр

І и +(ге'Р^Ср\ < 2р І І \и(гегрР)^р

+

+2р І І Кч гчІГч-1п(і)Сі + гч+' І Гч-2п(і)Сі Ср

-п V 1

Умножим обе части на

Л V Ср

У У

1

А+р

и проинтегрируем по

г от 1 до + _ :

+_| І и +(геР) йР\ +_| І \Н (гЄр СР

І —----------------— Сг < 2 р І

У

А+р

Сг +

-І-Л)

+2рКр, І

гч І і ч 1п (і) Сі + гЧ+1 І і ч 2п (і) Сі

V

А+р

Сг.

Первый интеграл в правой части сходится по предположению. Покажем сходимость второго интеграла правой части

+_

р

п

п

+_

+°°! г41 * 4 1п (*)^ + гЧ+1 — г 4 2п (г)Лг

2 Р КР Г V 1 г

2 кч I ^

-Лг <

( / г ЛР

гЧ —* д1п (*) Лг

< с( Р) К

У

г

1+р

+си Лг + |-

гч+х | г-д~2п (г) Лг

А+р

ЛР Л Лг

У

= с(Р)КР (/1 + /2 )

Оценим /^ Применим неравенство Харди (см. [4], с. 319). Учитывая условие 0 < Ч < получим:

(/1) /р =

+ СО

I

г

гЧ | * ~Ц~1п (*) Л

У

•А+р

+ВД ( г Л Р

—Лг _ *—* *—* 1 ►55 1 г г гРЧ-1-рЛг

V1 V1 у У

<

<

Р

Р

I (П (*) *-4-1 )' tpq-1-рdt

Л Ур

<

<—I |(п (г))' г^-^Лг

Р +-ЧР+ РЧ-1

р- РЧ V \у1у)) у

У

\ !/ ,

\/Р ( +да

РР

р-РЧ V 1

| (п (г ))р г1 рЛг

Л /р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

р

Оценим /2 . Снова применим неравенство Харди. Учитывая условие 4 >---------1, имеем:

Р

(/2 )'р _

гЧ+11 гЧ-2п (г) Лг

А+р

+вд /" +вд Л Р

—Лг *—* *—* г 1 1 г г гРЧ+р-1-рЛг

V1 Vг у У

<

<

РЧ + р-р^ 1

| (гп (г) г ~Ч-2) гРЧ+Р-1-рЛг

Л Ур

<

<

_Р___

РЧ + Р-рV 1

(п (г)) Рг (1~Ч-2) Р+РЧ+Р-1-рЛг

Р

рч + р-р

+ 00

| (п (г)) р г -рЛг

V 1

< +да.

Следовательно, функция и принадлежит классу SHpp (С) .

2) Перейдём к случаю 0 < р < 1. Снова применяя вышеуказанные рассуждения и условие 0 < р < 1, имеем:

+0)

Р

+0)

+ 00

71

I и+ (геІф^)Сф

А+р

+ 00

-Сг < С |

71

| \к(геІф)Сф

А+р

-ёг +

+

г¥ /і 9-1п (і) СІЇ + тч+1 / і 92п (і)СІЇ

у

г

1+р

-ёг •

Первый интеграл в правой части сходится по предположению. Покажем сходимость второго интеграла правой части

( г +ВД ЛР

I гЧ | г-Ч-1п (г) Лг + гЧ+1— г~Ч-2п (г) Лг

Лг <

/■

у

г

1+р

А / г Лр А +м У Л

г9 / і~9-1и (і) Сі + 1 г9+1 / і 9-2 п (і) Сі

У— Сг + р—

I

-1+р

-1+р

-Сг

= /1 + І2

Оценим каждый из интегралов в отдельности. Начнём с оценки /1.

V

I = 1

г4 / і 9 хп (і) Сі

1 у

г

1+р

Сг = / г9р-1-р| / і - 9-1п (і) а

1 1 Обозначим внутренний интеграл

/* = 1 /;-ч-1п (і) Сі

Сг

и оценим его. Предположим, что

2 т ^ . <->т+1 г-7

< г < 2 , т Є 2 + :

1 (2к+1 / \ V

т-1 % п (і)

к=0 V 2і і

9+1

-Сі

+ [№ сі

У

і

9 +1

Перейдем к оценке сверху интегралов, стоящих под знаком суммы.

Ґ 2к+1 / \ '\р Ґ 2+1 '\Р і

) ’П&Сі1 ■' '-1"р 1 Г2- Л ' ' -Р 2'

«к і

<( п ( 2‘+))

2

к(9+1) р

/<* =( п (2к*1))

к

V2 У

р 2к

9+1

к

V 2 У

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

( п(2к+)) р

ок9р

Так как 2к < і < 2к+ 1, то справедлива оценка:

к9р+кр

1

1 1

< — <

1

1

1 1

< — <■

2'

( 2к

кр9+р9 2кр9 . 2р9 ір9 2кр9

2(к+1)р9 ір9 2кр9 ’

, _±_ < ^ = ( 21р9 • Тогда

)р9 Ґ \р9

2крч- ір9 ~ І і

, и(0

/ і9*1

V 2к

У

Сі

<

>к+1

/ / к Л\р 2°+Т (п(і))р

(п (2к+)) < С / У-^ <*•

Учитывая, что 2™ < г < 2™+1, оценка для / примет вид:

р

2

2

2

/, < С

'(п (г))\Л + ("(2"*,))

Р

XI

к_0 2к+1

г

ЧР+1

2

пр(Ч+1)

• ( 2™+1 - 2т )

,т\Р <

< С

-1 2к+

XI

k_0 2^!

1

(п(г))Р л + (п(2""))’ 2™, __ С^ (п(г))Р Л + (п(2”'))'

,др+1

2

чр(ч+1)

2тр __С

XI

k_0 2к+1

.ЧР+1

-Лг + -

11

<—<

1

1

11

, ^ - - <—<— —

2(т+1)рч (рд 2™РЧ’ 2™РЧ 2РЧ гРЧ 2™РЧ ’ 2™РЧ

<

< С XI

(«(г)) гл+(п(2т;;1. ^ < с

( , ?4+1 / / Л\Р

12 - <п

1 ок' т+1 2

к_° 2k

( п (г ))

-ЧР+1

к_0 2к Р

г

ЧР+1

г

РЧ+1

X —(п (г)Г л+2 ?2( п (г))

I гчр+\ I гчр+\

1г—(Л ~к * ~т+1 ^

V 1 У

2™+2

-Лг

к_0 2е

Лг

уРЧ

/1 <СI

2к *1( п (г))Р Л

X г \п\ч)

— гЧР+1

к_0 ок *

Лг

( 2к+1

< СI гчр-1-р I

_1+р

(п (г))

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Лг _ СI гчр-1-р XI

( п (г))

к_0 2к г

ЧР+1

Р Л Лг

Лг <

>ЧР+1

Р Л -Лг

(п (г))

Лг < С ^^^ЧР+^| {гЧР-1рг

Лг _

р

Теперь, учитывая, что Ч < —, из последней оценки получим:

Р

+г( п (г))Р/ ч 7

_ С1 (гчр-р-ОЛ < С1I

1 1 1

Поэтому /1 сходится.

гЧР-рЛг _

Лг

Приступим к оценке /2 _ I

гЧ+' I г ~Ч-2п (г) Лг

V

У

и1+р

Лг.

Предварительно оценим внутренний интеграл:

(г)

У

>Ч+2

Лг

<

*

V г У

т+1

Р

+

п

(г)

Р

>Ч+2

Лг

V 2к

<

<

№ *Ш 7^

2к У V т_к+1 2™ ^

( п (2к+ ))Р

~)кр(ч+2)

Лг I <

I

п

(г)

¿Ч+2

<

Лг I +

/Ч+2

<

• 2Рк + X

(п (2т+1 )^. 2Рт (п (2к+1 )^ +» (п (2т+х))

Ок '

^ т_к+1

(п(2 Р

2

рт(ч+2)

2

кр(ч+1)

X

т_к+1

2 рт(ч+1)

(п (2™к1 ))1

рт(ч+1)

Так как 2™+1 < г < 2*

то:

<

<

2(т+2)р(д+1) гР(ч+1) 2(т+1)р(ч+1) 5

трч

2

Р

Р

2

1

1

1

1 111 22р(ч+1)

^------г- --------;---Г<

2™р(ч+1) . 22р(ч+1) гр(ч+1) 2(™+1)р(ч+1^ 2™р(ч+1) гР(ч+1)

2™:2 (п (2

(п (2™+1))'

72 < С1 /С / г(4+1)р+1 Л •

т_к 2™+1 *

Воспользуемся полученной оценкой для дальнейшей оценки интеграла /2 .

( 2- („г\р Л

X /№*

,р(ч+1)

т_к 2™+1

г

т ГП—К 2 /• <•

^ < С1 I -----------------^ ^ ^ I Р-1-р X I

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 1

7 1 7( п (г))Р +? 1 7(п,,,,

< С IгР"Р ” I Ж*** < С11 гРЧ+— I

1 2к+1 1 г г

7(п(г))Р г 1 7(п(г))Р/ \

_ С11 -щк I г"* Р-1-'ЛгЛг _ С1 Шг (^" -1)Л

1 г 1 1 г

МУЛ

. t(ч+,)p+,

т_к 2т+1 I

V 2 У

ЛгЛг <

р 1

Учитывая снова условие 4 >-----------1, получим:

Р

7( п (г))Р 7(п (г))Р

/, < С, I \ гРЧ+Р-рЛг _ С, Г ^ Г Лг.

2 ^ д«+1)р+1 ^ гр+1

1 * 1 1

Поэтому, учитывая сходимость интегралов /1 и /2 , видим, что

л

II Г +

+да

Г У-л_________)_лг <+да, причем р-1 <« <р. Ясно, что если ч £ ^+ , то ^ • Лемма

1 г1+р Р Р Р +

доказана.

Доказательство теоремы 1.

Доказательство теоремы проведём при условии, что функция и является гармонической в некоторой малой окрестности точки ноль, а соответствующая мера обращается в ноль в некоторой

окрестности начала координат. При этом и (0) > -да.

Необходимость. Пусть и £ SHpp (С). Установим, что она допускает представление и ( г )_! 1п| Ач ( г,С) Л^(£) + h ( z ) .

С

Рассмотрим разность и ( г)- V« (г)_ h ( г) и покажем, что она является гармонической функцией.

Пусть Dr _ : |г| < г | С С, 0 < г < +да . По теореме Рисса для Dr :

и(г)_ V(г)+ 11п|£- г|Ди(£)Лц(^'),

где V ( г ) - гармоническая функция в Dr,

11п\С - г Дм (£) Л^(С) - субгармоническая функция.

Преобразуем выражение:

Р

1п

1п

Ач (г,С)|_ 1п АЧ (г,С)|

С- г

С- г

1 - г

С

..пАШ

С- г\

Л2

+

1п ?-г|;

;1^г_Г + Яе

С

г 1

— + — С 2

^ Л2 1

— I +... + -

С У ч

г 1 ( г

еХР1С+ 2 V?

г

С

У

1

+... + —

Ч

(£ Л9

чСу

С \Ч

г

h(г)_и(г)- 11п|А«(г,С)^и(С)_

г 1 ( г Л

_и(г)- I 1пС -г| + 1^'Дг + Яе\ — +

' С |С 2

С

Г \Ч ] Л

+... + ■

Ч

г

чСу

_и (г)-11п \с- —d^(С)-|1п С &(£)

Dr С |

-! Яе

г 1

—I—

С 2

1

+... + —

Ч

С \ч

г

С

Лм(С).

11п СМ(С) < +да . V« (0) _ 0, 0 _ 11п|Ач (0,С)Л^(С). Яе

г 1( 'г Л2 1 ( г Л Ч

— н— I + * .+—

С 21 сУ Ч С

- гармоническая функция в круге радиуса г. Учитывая, что

г - произвольное из (0; +да) , получаем, что

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

h ( г ) _ и ( г Н 1п|АЧ ( г, С) Л^(С) является гармонической функцией.

вг

Покажем, что гармоническая функция h ( г ) удовлетворяет условию:

л '

IЬ (ге'р )| Лр

I

\-л

и1+р

-Лг < +да.

Рассмотрим разность и ( г ) - V« ( г )_ h ( г ) .

Учитывая, что и (г )< и +(г) , при этом, используя оценку потенциала Вейерштрасса (см. [3], с. 79), получим:

I Н+(гв,р^Лр< I и +(гв,р^Лр + с IК« гЧIг Ч 1п(г)Лг + гЧ+11 г Ч 2п(г)Лг

-л -л -л V 1 г

Применим свойство среднего значении:

л

- да < 2лh ( 0) _ I h ( гер Лр.

л

2лИ(0) _ |(И+ (ге,р)- к (ге,р))dр,

Лр.

1

2

1

л

7 7 7

| h (repdp =| h+ (reip)dp - 27h(0) < | h+ (repdp + 271h(0)|

-7 -7

7 7

U +

I h(rep|dp< I h +(reip)dp+cx

-7 -7

В результате,

7 f Г +^ 'A

+ c

| |h (rep dp< | u +(rep^dp + c | Kq rq 11 q -n (t) dt + rq++11 q 2n (t) dt dp + c

q

-7 V 1 r У

Возведём обе части в степень р и применим неравенство Минковского, а затем умножим обе

1 .

части на —:— и проинтегрируем по Г от 1 до + го :

/+р

Y f 7

f V-

+го I

JI |h(repVP +»l Iu +(repP

IV-7 ^ ’dr < IV-7 ^ ’dr+

/ r +00

+“| rq 11 q-1n (t)dt + rq+ I t q 2n (t)dt

? ^i-------------------------------r-----------------L. dr.

J J+p

+cKp

1r

Оба интеграла в правой части сходятся. Сходимость первого следует из принадлежности

функции U классу SHpp (C ) , сходимость второго доказана в лемме 2.

1) Достаточность.

Доказательство достаточности непосредственно следует из предыдущего пункта и леммы 2. Теорема полностью доказана.

The paper summarizes the classical theorem Zh.Valirona in case of subharmonic functions.

The key words: harmonic function, subharmonic function, measure, potential.

Список литературы

1. Boas, R.P. Entire Functions / R.P. Boas //Academic Press, Inc., New York, 1954.

2. Охлупина, О.В. Характеризация некоторых классов субгармонических в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности / О.В. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета / Брянск: РИО БГУ. 4(2009). 2009. С. 61-73.

3. Ронкин, Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных / Л.И. Ронкин. -М.:Наука. 1971. 432 с.

4. Стейн, И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. Стейн. М.: Мир, 1973. 342 с.

Об авторе

Охлупина О.В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика» Брянской государственной инженерно-технологической академии.

-7

7

7

7

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.