Об ограниченности интегральных операторов с однородными ядрами на группе Гейзенберга с нормой Кораньи Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 3-1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 3-1

УДК 517.9 DOI 10.23683/0321-3005-2017-3-1-21-27

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ НА ГРУППЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА С НОРМОЙ КОРАНЬИ

© 2017 г. В.В. Денисенко1, В.М. Деундяк1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

ON THE BOUNDEDNESS OF INTEGRAL OPERATORS WITH HOMOGENEOUS KERNELS ON THE HEISENBERG GROUP WITH KORANYI NORM

V.V. Denisenko1, V.M. Deundyak1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Денисенко Виктор Владимирович - аспирант, кафедра Victor V. Denisenko - Postgraduate, Department of Algebra

алгебры и дискретной математики, Институт мате- and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathemat-

матики, механики и компьютерных наук имени ics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal

И.И. Воровича, Южный федеральный университет, University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090,

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, Russia, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

Деундяк Владимир Михайлович - кандидат физико- Vladimir M. Deundyak - Candidate of Physics and Mathe-

математических наук, доцент, кафедра алгебры и дис- matics, Associate Professor, Department of Algebra and

кретной математики, Институт математики, меха- Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics,

ники и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Юж- Mechanics and Computer Science, Southern Federal Uni-

ный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, versity, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia,

г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

Изучение интегральных операторов с однородными ядрами в Lp-пространстве на группе Rn начато Михайловым и продолжалось в ряде работ других авторов, в которых рассматривались вопросы ограниченности, фредгольмовости, вычисления индекса, применимости проекционных методов решения соответствующих операторных уравнений. В связи с развитием некоммутативного гармонического анализа и его применением в различных областях науки и техники актуальным является распространение теории операторов с однородными ядрами с группы Rn на некоммутативные группы. Одним из наиболее важных и востребованных примеров некоммутативных групп является группа Гейзенберга. В настоящей работе в пространстве Lp (Ии), где H - группа Гейзенберга, 1 < р<ю, строится и исследуется новый класс линейных интегральных операторов с однородными ядрами.

Ограниченность многомерных интегральных операторов с однородными ядрами в пространстве Lp (rn)

исследована Н.К. Карапетянцем (1981). В настоящей работе получены как необходимые, так и достаточные условия ограниченности и регулярности операторов с однородными ядрами в пространстве Lp (Ии ).

На группе Гейзенберга рассматриваются норма Кораньи, оператор растяжения (, где ё е R +, и их свойства. Для интегрального оператора КК с однородным степени (— 2n — 2) ядром К по ядру и некоторой полумультипликативной функции £ определяются две вспомогательные функции Щ , Щ на единичной сфере S группы Hn с нормой Кораньи и доказывается, что если о\ (о), ffl2 (о)е L^ (S„ ), то оператор КК ограничен и регулярен в пространстве Lp (Ии). Для оператора КК доказывается также необходимое условие ограниченности и регулярности: %i(o\ Zi(o)e L(Sn), где функции Xi(o), Z2O) определяются ядром К .

Ключевые слова: группа Гейзенберга, линейные интегральные операторы, интегральные операторы с однородными ядрами, ограниченность линейных интегральных операторов.

The first studies on the problem of integral operators with homogeneous kernels in the space Lp (Ии) were made by L.G. Mikhailov. The problems of boundedness, Fredholm property, and calculation of the index of the integral operators with

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

homogeneous kernels in the space Lp (r" ) as well as the problem of the applicability of projection methods for solving the

operator equations have been widely studied by many researchers such as N.K. Karapetyants, S.G Samko, O.G. Avsyankin and others. Non-commutative harmonic analysis is widely used in various fields of science and technology and it is important to extend the theory of operators with homogeneous kernels from a Rn group to non-commutative groups. The Heisenberg group is the most important and well-known example of a non-commutative group. In the present paper, a new class of linear integral operators with homogeneous kernels in the space Lp (H„ ) is studied, where Hn is the Heisenberg group, 1 < p <<x.

The problem of boundedness of multidimensional integral operators with homogeneous kernels in space Lp (r") was investigated by N.K. Karapetyants in 1981. The necessary and sufficient conditions for the boundedness and regularity of operators with homogeneous kernels in the space Lp (H„ ) are obtained in the present paper.

The notion of the Koranyi norm and the notion of the dilation as , where S e R +, on the Heisenberg group are introduced as well as their properties are discussed. For an integral operator KK with a homogeneous (— 2n — 2) degree kernel K the sufficient conditions for boundedness are obtained: if (ct), ffl2 (CT) e L^ (S „ ), then the operator KK is bounded and regular in space Lp (H„), where functions Wj, are defined on the unit sphere S n of the group Hn and determined by the kernel K and a certain semi-multiplicative function £ . For the operator KK the necessary conditions for boundedness and regularity are also obtained: %i(ct), ^(<j)e L (S„ ), where thefunctions XiCT), Z2CT) are determined by the kernel K .

Keywords: Heisenberg group, linear integral operators, integral operators with homogeneous kernels, boundedness of linear integral operators.

Введение

Изучение интегральных операторов с однородными ядрами в Ьр -пространстве на группе К"

начато Л.Г. Михайловым и продолжилось в работах Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, О.Г. Авсянкина и других авторов ([1-3] и цитированные там источники). В этих работах рассматривались вопросы ограниченности, фредгольмовости, вычисления индекса и применимости проекционных методов решения операторных уравнений. В связи с развитием в последнее время некоммутативного гармонического анализа и его применением в различных областях науки и техники [4] представляется актуальным распространить теорию операто-

Ип

на некоммутативные группы. В настоящей статье вводятся интегральные операторы с однородными ядрами на группе Гейзенберга.

Ограниченность многомерных интегральных операторов с однородными ядрами в Ьр -

пространстве на группе Кп исследована в работе Н.К. Карапетянца [5]. Целью настоящей статьи является перенос результатов Н.К. Карапетянца на группу Гейзенберга, а именно получение как необходимых, так и достаточных условий ограниченности интегральных операторов с однородными ядрами в пространстве Ьр (Нп ), где

Н - п-мерная группа Гейзенберга.

Интегральные операторы с однородными ядрами на группе Гейзенберга

Прежде всего, приведем необходимые сведения о группе Гейзенберга (см., например, [6, с. 209212]). Пусть С" - п-мерное унитарное пространство со скалярным произведением

z ■ w = Z Zk • Wk k=1

и нормой

И = 1 Z |zk ,k=1

1 2 ^ 2

где

г = (г1,., гп ), м = (мр...,-М" )е С". Пусть К -группа вещественных чисел. Группой Гейзенберга называется множество Нп = С" х Я. с бинарной операцией (г, а)(и>, Ь) = (г + м, а + Ь + 21т(г • м)), где (г, а), (м!,Ъ)<Е Ип. Отметим, что в некоторых источниках групповая операция может определяться иначе (см. например, [7, с. 13]). Нейтральный элемент группы имеет вид е = (0, 0), обратный вычисляется по формуле (г, а) 1 =(- - а).

Пусть Я+ - группа положительных чисел с операцией умножения. Для любого ё е Я + существует автоморфизм аё : Нп ^ Нп , называемый

растяжением а5 (г, а) = (дг, б2 а), где (г, а)е Ип . Отметим, что группа автоморфизмов {аё с

операцией композиции изоморфна группе Я +, при

n

n

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

этом а

\ 1 = ау5. Группа Ип может быть снабжена

нормой Кораньи ||(г, а) = (г|4 + a2 , которая удовлетворяет условию однородности

а * \ щ\,

где к=(г,а)е Ип .

Норма Кораньи позволяет определить на группе Гейзенберга единичную сферу 8и={й е Ип : ||Л|| = 1}

и единичный шар Ви={к е Ип : ||к|| < 1} с центром в точке (0,0)е Ип. Введём сферическую систему координат на группе Гейзенберга. Пусть к = (г, а)е Ип, к Ф 0 и г = ||(?, а). Тогда

(г, а) = аг т/) = (г^, г]), где в = (£, г/) - некоторая однозначно определяемая по к = (г, а) точка сферы 8 п . Соотношение (г, а) ^ (в, г) определяет на группе Гейзенберга преобразование декартовых координат в сферические. Якобиан этого преобра-

,.2п+1

2 11/4

(1)

зования координат

= r

,2и+1

Стандартная мера Лебега на группе Я2'"~ задает биинвариантную меру Хаара на группе Гейзенберга Ни [6, с. 192]. Ниже будем рассматривать лебеговы банаховы пространства Ьр (Ип ), 1 < р<ж,

и ЬЛИ п ).

Функция к : Ип х Ип ^ С называется однородной степени т е К, если для любых 6 е Я + и к^ е Ип выполняется условие

к(аё (к), аё ^ )) = 5тк(к^ ) (2)

[6, c. 215]. Отметим, что понятие однородности для функций, определенных на группе И„, отличается от понятия квазиоднородности для функций, определенных на группе Я 2п+1 [5].

Целью настоящей статьи является изучение в пространстве Ьр (Ип) линейных интегральных

операторов с однородными ядрами, т.е. интегральных операторов вида

(КК/)(к) = \к(к, g)/(¿) ёЕ, (3)

Ип

где ядро к является измеримой однородной функцией степени — 2п — 2.

Достаточные условия ограниченности

Пусть р, р' - вещественные числа, 1 < р, р' < ж, 1/р +1/р' = 1. Напомним, что интегральный

оператор

Tu : Lp(X, f)^Lp(y,v) с ядром u(s, t)

называется регулярным, если интегральный оператор (1М|/)(*)= ||и(*, Х) /(х) й/(х) определен на

х

всем Ьр(х, /) и действует в Ьр(т, у) [8, с. 46].

Функция £: Я + ^ Я + на мультипликативной группе Я.+ называется полумультипликативной, если для любых а,Ь е Я + выполняется условие *(аЪ)<*(а)*(ь). (4)

Теорема 1. Рассмотрим оператор Кк вида (3) с однородным ядром к. Если найдется такая измеримая полумультипликативная функция £: Я+ ^ Я+, что

1

®1И= \ \к{а,Е)*рёЕ е Ью(8п), (5)

И п

со2(в)= | |к(к, в)*р'{|к||) йке Ьж(8п), (6)

И п

то оператор Кк ограничен и регулярен в Ьр (Ип ).

Для доказательства теоремы 1 нам понадобится [8, теорема 4.8]. Приведем формулировку этой теоремы применительно к операторам, действующим в пространствах Ьр (Ип ).

Теорема 2. Пусть V: Ип х Ип ^С - произвольная измеримая функция. Для того чтобы определяемый равенством (IV/)(к)= | v(k,g) /(е) йЕ

Ип

линейный интегральный оператор был ограничен и регулярен в Ьр (Ип), необходимо и достаточно,

чтобы существовали измеримые функции р, : Ип ^ Я + такие, что

1х(?)=¥ р (*)| К*,х)р(х) йХ е Ь„(Н„ ), (7)

и п

X2(х) = р р' (х) | |v(s, х) ^)е ЬЮ(И„). (8)

Ип

Доказательство теоремы 1. Предположим, что существует измеримая полумультипликативная функция * такая, что условия (5), (6) выполняются. Докажем, что выполняются условия

Х1 ) = **р (I) I И* Х) * р (I4) йХ е Ьж(Ип), (9)

Ип

X2 (х) = (7 (Iх||) I Х) *7 (|4) е Ьж(И я). (10) И„

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

Произведем под интегралом (9) замену переменной I = аИ|| (^), & = 12"+2 dg [6, с. 209] и воспользуемся свойством однородности нормы Кора-ньи (1):

л р (а ^ ^ ))*р (№ )1 И2"+2 ^. Н"

Далее, воспользовавшись условиями однород- известен в случае группы Я" . Однако формули-ности функции к (2) и полумультипликативности ровка леммы учитывает геометрические особенно-

3. Если а,Ь е Я и а > Ь, то

, ёк

¿л |кг(2"+2)+| киЬ(2"+2) =

[< да, если а > 1 и Ь < 1, [ да, если а < 1 или Ь > 1. Доказательство. Аналог этой леммы хорошо

(13)

функции (4), получим

сти группы Гейзенберга, поэтому для полноты приведем ее доказательство.

Докажем утверждение 1. В интеграле (11) перейдем к сферическим координатам, тогда

1 да

J dh = |S n\\p2n+1~adp =

Hn Bn

= |Sn

„2n+2-a i

r — 1

lim . .

r^да 2n + 2 — a

lim ln|x\,

S„

если а Ф 2п + 2 если а = 2п + 2

1

Х1 (и)< | к(а-1 (ир Мdg = ®1 (а — (я)).

н "

Таким образом, для любых я е Нп справедливо

неравенство ;^1(и)< ю1(ац-|(и)), откуда с учетом

условия (5) получим, что Х1 е £да(Н п ), т.е. условие (9) выполняется. Аналогичным образом доказывается, что х2 е ^да(Нп), т.е. условие (10) выполняется.

Пусть для любых я е Н п р(я) = £ р (я||), Ж) = £ р'(|И1). Тогда из (9), (10)

получим \ р (и) | ) р^) dt е Хда(Нп), Н

р р' (t) / |к(и,t) )ёи е Хда(Нп).

Нп

Таким образом, существуют измеримые функции р, \ такие, что условия (7) и (8) теоремы 2

выполняются. Следовательно, по теореме 2 линейный интегральный оператор (3) ограничен и регулярен в Ьр (Нп ). Теорема доказана.

Для рассмотрения примера интегрального опе- Докажем утверждение 3. Представим гатеграл ратора на группе Гейзенберга с однородным ядром (13) в виде

-, если а > 2п + 2, а - 2п - 2

да, если а< 2п + 2.

Докажем утверждение 2. В интеграле (12) перейдем к сферическим координатам, тогда 1 1 ^ёк = I8"I =

в„ к

= Sn

2n+1—a,

0

2n+2—a

1 — r lim "т-г-

r 2n + 2 — a

lim — ln|

r ^0

x.

если а Ф 2п + 2 если а = 2п + 2

S„

-, если a < 2n + 2, 2n + 2 — a

да, если a > 2n + 2.

нам понадобится техническая Лемма. 1. Если а е К, то

J

dh

нп ||hf(2n+2)+||hf(2n+2)

J

1

-dh =

Hn \Bn llhll

S n

-1—!-, если a > 2n + 2,

a — 2n — 2 (11)

да, если a < 2n + 2,

= J

Hn \Bn

где |8п| - площадь сферы 8 п . 2. Если а е К, то

8и

+ J

в„

dh

h||a(2n+2 } + | |hf(2n+2) dh

(2«+2) +1|h||42»+2) '

+

J

1

-dh-

Bn llhll

если a < 2n + 2,

2n + 2 — a

да, если a > 2n + 2.

(12)

Так как существует конечный предел ца(2п+2)

hS<» ihir(2n+2)+i |hf(2n+2)

h

= 1.

то интегралы

r ^да

a

a

a

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

dh

f и, iia(2n+2) и, цфй+2) ' f

h \в \м м h \:

n n\

dh

n\Bn llhl

a(2n+2)

сходятся и расходятся одновременно. Тогда из утверждения 1 следует, что при а >1 оба интеграла сходятся, а при а < 1 - расходятся. Так как существует конечный предел

||к||фп+2)

||кРо |Ы|а(2п+2) + |к||ь(2п+2) -

+ Hn Й

Hnlkll "(2n+2)+ll gl 2(2n+2)

dg +

ii3(2n+2)

dg

(15)

- Нш

h

b(2n+2)

= 1,

||к|Шо (к (а—Ь)(2п+2) + 1)||к||Ь(2п+2) -1,

то интегралы

, йк . йк

1 \\к||а(2п+2) + IIк||Ь(2п+2) , ^ ||к||ь(2п+2)

Оба интеграла в правой части неравенства (15) сходятся в силу утверждения 3 леммы, и, следовательно, условие (5) выполняется.

Аналогично проверяется выполнение условия (6). Следовательно, по теореме 2 интегральный оператор (3) с ядром (14) ограничен и регулярен в

Ьр (И ).

в

Необходимые условия ограниченности Теорема 3. Рассмотрим оператор Кк вида (3)

2n+2

п II II II II п

сходятся и расходятся одновременно. Тогда из утверждения 2 следует, что при Ь <1 оба и предположим, что он ограничен и регулярет в интеграла сходятся, а при Ь > 1 - расходятся. пр°странстве Ьр (ии ). Т°гда Таким образом, для сходимости интеграла (13) необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись неравенства а >1 и Ь <1 . Утверждение 3 доказано.

Пример. Рассмотрим функцию

1

^(о) = \\к(о, g) и" p dg g li(sn), (16) h

2n+2

Z2 (в) = f \к(М. в) \\hf p' dh g Li (S n ). (17)

(h, g) = ■

h

l|2(2n+2)|| gl "(2n+2) + I\h\\~(2n+2)\\gl 2(2n+2)

</(«й(h), «-J (g)),

Доказательство. Из ограниченности и регулярности в пространстве Ьр (Ип ) оператора

(14) Кк следует ограниченность в Ьр (Ип) оператора

где / е Ьж(8п х 8 п). Нетрудно видеть, что К к [9, с. 401]. Тогда для любых ре Ьр (Ип) и функция к удовлетворяет условию однородности степени (— 2п — 2). Чтобы доказать ограниченность и регулярность в пространстве Ьр (Ип)

интегрального оператора (3) с ядром к, проверим

выполнение условий (5), (6). Предположим, что в [9, а 232]. Преобразуем левую часть неравенства

Wg

LP'(H„ )

справедливо неравенство

f *|P)(sV(s)ds

h„

<

K,

MMf (18)

(5), (6) функция * имеет вид *(а)-1 + а"2и—2 . (18), выполняя замену Х - ац (и), йХ -

II l|2n+2 ,

S dg:

Тогда а>1(о■) = f

h

||-(2n+2) +1 и 2(2n+2)

/(о. «Й(g))(1 + llgl"2n-2 )p

= ff |^(s. t) p(t )^(s) dt ds =

dg.

f fedp)(sMs) ds

än

f f «s|| (g)) p(«s|| (g))^(s) I\s\\2n+2 dg ds .

Hn Hn

Hn Hn

Оценим функцию с сверху

С1(ст)<1/1 I ,, ,,—(2и+2) \ ц2(2„+2)(1 + 1И"2й—2).

И«1И Ч И ;

Воспользовавшись аддитивностью интеграла, получим

Воспользуемся свойством однородности функции к (2)

I (Ккр)(ц) ) =

1п

I I |к(ай(ц), и) р(а|4 (и)) ) .

Hn Hn

1

ЭО

1

1

X

X

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Перейдем к сферическим координатам s = ar (ст), ds = r 2n+xdrda и, учитывая, что ||ст|| =1 и \\s\\ = г (ст)| = r , получим

J |P)(sMs)ds = J Ji^i^ia (ст)) g)x

NATURAL SCIENCE.

= lim

p—да

H„

p ^ — max 1

(g|

2017. No. 3-1 \ J

Hn Sn 0

x p{ar (g)) y{ar (<г))г2и+1 ] dr da dg. (19)

Определим функции peLp(Hn) и иеLp>(Hn) следующим образом:

= S ( max (g||).

Тогда

J |P)(s) As) ds

h,

- J J('(CT, g)x

sp h s

2n+2

II — h.--

P(h) =

2n+2

p max

4,

0,

если если

|>1, l< 1,

da dg.

(20)

Теперь преобразуем правую часть неравенства (18). Воспользовавшись определением функции \ (21), получим

\(к) = рр'(к) = рр-1 (к), (21) где £ - некоторое положительное число. Функции р и \ принимают в правой части (19) ненулевые значения только в том случае, если выполняются неравенства ||аг ^) >1, ||аг (ст)| > 1. Перепишем эти неравенства, воспользовавшись свойством однородности нормы Кораньи >1, г >1. Оба неравенства будут выполнены одновременно, если

К.

М p\ И p' =

К,

К,

J |p(h)|p dh J |p(h) p dx

V Hn

М pp.

V

у V Hn

( gll "1,1). неравенства (18) принимает вид

J |P)(s) Hs) ds

Вычислим отдельно p . Для этого перейдем к

r > max (|g|| ,1). Следовательно, левая часть сферической системе координат h = ar (ст),

dh = r 2n+ldrda и воспользуемся равенством (20)

да

МP = J p(h)Pdh = J Jp(ar(ст))pr2n+1drda =

h

x a,

J J J |(CT, g

n r>max|||g|| 1, 1))

h s

n

H

(g)

2n+2 ( 2n+2 "V ч —s--и i Mil—s--— l(p—1^2n+1

p \\ar (ст

drda dg. = J J\\arCT

Sn 0

2n+2^ да

~S~TJp r 2n+1drda = J Jr~sp—1 drda =

S n 1

S n 1

Из свойства однородности нормы Кораньи . , ( 1 / _pp "Л |Sn| вытекает, что = lSA lim \р —1) = '

J |P)(s) И(s) ds

h„

= J J Ист, g

n|

p^V — p 'J Sp

Таким образом, неравенство (18) принимает вид

Hn Sn

2n+2

J J Ист g) ||g||

J

r ~Sp—1 dr

dc dg.

Hn Sn

—S—2^ L „—1 ^

max

r>maxl IIg|| 1, 1

K,

SJ '

1) dстdg <

(22)

Вычислим отдельно интеграл

J r ~Sp—1 dr =

r>max| Ig||—1, 1

r-Sp—1 dr

Применяя к (22) теорему Фату [5; 10, c. 324], приходим к неравенству

2n+2

J J Ист, g) И" p dgdст < fc| |S„,

p

s h

n n

- lim

p—>да

p J

Igll—1,1

из которого следует, что условие (16) выполняется. Применяя аналогичные рассуждения к

сопряженному оператору Кк : Ьр< (Нп ) ^ Ьр< (Нп ),

можно получить неравенство

1

x

—s—

1

n

—s—

X

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 3-1

2n+2

J J |(h, в) I p' dh dd <

fc:

,IS a

(24)

Sn H n

из которого следует, что условие (17) выполняется. Теорема доказана.

Литература

1. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involu-tive Operators. Boston : Birkhauser, 2001. 427 p.

2. Авсянкин О.Г. О С*-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН. 2008. Т. 419, вып. 6. С. 727-728.

3. Deundyak V.M. Convolution Operators with Weakly Oscillating Coeffcients in Hilbert Moduli on Groups and Applications // J. of Mathematical Sciences. 2015. Vol. 208, № 1. P. 100-108.

4. Chirikjian G.S., Kyatkin A.B. Engineering applications of noncommutative harmonic analysis: with emphasis on rotation and motion groups. Boca Raton : CRC Press, 2001. 698 p.

5. Карапетянц Н.К. О необходимых условиях ограниченности оператора с неотрицательным квазиоднородным ядром // Мат. заметки. 1981. Т. 30, вып. 5. С. 787-794.

6. Krantz S.G. Explorations in harmonic analysis: with applications to complex function theory and the Heisenberg group. Boston : Birkhauser, 2009. 360 p.

7. Capogna L., Danielli D., Pauls S.D., Tyson J. An Introduction to the Heisenberg Group and the Sub-Riemannian Isoperimetric Problem. Basel : Birkhauser, 2007. 224 p.

8. Короткое В.Б. Интегральные операторы. Новосибирск : Наука, 1983. 225 с.

9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1984. 752 с.

10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Физматлит, 2004. 572 с.

References

1. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involu-tive Operators. Boston: Birkhauser, 2001, 427 p.

2. Avsyankin O.G. O C*-algebre, porozhdennoi mnogomernymi integral'nymi operatorami s odnorod-nymi yadrami i operatorami mul'tiplikativnogo sdviga [On the C * -algebra generated by multidimensional integral operators with homogeneous kernels and multiplicative shift operators]. Dokl. RAN. 2008, vol. 419, iss. 6, pp. 727-728.

3. Deundyak V.M. Convolution Operators with Weakly Oscillating Coeffcients in Hilbert Moduli on Groups and Applications. J. of Mathematical Sciences. 2015, vol. 208, No. 1, pp. 100-108.

4. Chirikjian G.S., Kyatkin A.B. Engineering applications of noncommutative harmonic analysis: with emphasis on rotation and motion groups. Boca Raton: CRC Press, 2001, 698 p.

5. Karapetyants N.K. O neobkhodimykh usloviyakh ogranichennosti operatora s neotritsatel'nym kvaziodno-rodnym yadrom [On the necessary conditions for the boundedness of an operator with a nonnegative quasi-homogeneous kernel]. Mat. zametki. 1981, vol. 30, iss. 5, pp. 787-794.

6. Krantz S.G. Explorations in harmonic analysis: with applications to complex function theory and the Heisenberg group. Boston: Birkhauser, 2009, 360 p.

7. Capogna L., Danielli D., Pauls S.D., Tyson J. An Introduction to the Heisenberg Group and the Sub-Riemannian Isoperimetric Problem. Basel: Birkhauser, 2007, 224 p.

8. Korotkov V.B. Integral'nye operatory [Integral operators]. Novosibirsk: Nauka, 1983, 225 p.

9. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funktsional'nyi ana-liz [Functional analysis]. Moscow: Nauka, 1984, 752 p.

10. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsii i funktsional'nogo analiza [Elements of the theory of functions and functional analysis]. Moscow: Fizmatlit, 2004, 572 p.

Поступила в редакцию /Received

16 мая 2017 г. / Мау 16, 2017