Парные интегральные операторы с однородными ядрами, возмущенные операторами мультипликативного сдвига Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 1, С. 10-20

УДК 517.9

ПАРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ, ВОЗМУЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРАМИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО СДВИГА1

О. Г. Авсянкин, А. М. Ковальчук

В пространстве Lp(Rn), где 1 < p < ж, рассматривается оператор B, представляющий собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое — это парный многомерный интегральный оператор, ядра которого однородны степени (—n) и инвариантны относительно группы вращений пространства Rn, а второе слагаемое — сходящийся по операторной норме ряд, составленный из многомерных операторов мультипликативного сдвига с комплексными коэффициентами. На ядра и коэффициенты B

ность в пространстве суммируемых функций. Основная цель работы заключается в исследовании B

щий осуществить редукцию многомерного парного оператора к бесконечной последовательности одномерных парных операторов Bm, где m е Z+. Показано, что oneратор B обратим в том и только в том случае, когда обратимы все операторы Bm, где m пробегает все значения от нуля до некоторого конечного числа mo. В свою очередь, oneраторы Bm сводятся к интегрально-разностным операторам свертки, теория которых хорошо известна. Все это позволило для рассматриваемого оператора B определить символ, который представляет собой пару функций (в (m, £), Д (m, £)), заданных на множестве Z+ х R. Если символ является невырожденным, то естественным образом определяются вещественное число v и целые чиела кт, где m е Z+, называемые индексами. Основной результат работы — критерий обратимости в пространстве

Lp(Rn) многомерного парного

BB является невырожденным, а все его индексы равны нулю.

DOI: 10.23671/VNC. 2018.1.11392.

Ключевые слова: парный оператор, интегральный оператор, однородное ядро, мультипликативный сдвиг, обратимость, сферические гармоники.

Введение

В настоящее время имеется немало работ, посвященных многомерным интегральным операторам, ядра которых однородны степени (—n) и инвариантны относительно группы вращений SO(ri). Для таких операторов получены критерии обратимости и нётеровости, описаны порождаемые этими операторами банаховы алгебры, найдены условия применимости проекционного метода (см., например, [1-4] и цитированные в них источники). В работе [5] была построена и исследована C*-алгебра, полученная присоединением к C*-алгебре операторов с однородными ядрами всех операторов мультипликативного сдвига. Это направление получило развитие в статьях [6, 7], где рассматривались интегральные операторы с однородными ядрами, возмущенные операторами одностороннего мультипликативного сдвига.

© 2018 Авсянкин О. Г., Ковальчук А. М.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 18-01-00094-А.

Данная работа продолжает исследования, начатые в [5-7]. В ней рассматриваются парные операторы вида Л\Р + А 2 Q, где

те „

(АзФ){х) = ^ ) + кз (х,у)<р(у) (у, 3 = 1,2,

1=1 Кп

а Р и Q — операторы умножения на характеристические функции внутренней и внешней частей единичного шара соответственно. При этом предполагается, что функция кз- (х, у) однородна степени (—п) и инвариантна относительно всех вращений (точная постановка задачи будет дана ниже). Для оператора А1Р+A2Q в работе построен символ, в терминах которого получен критерий обратимости этого оператора.

Ниже использованы следующие обозначения: Ж™ — п-мерное евклидово пространство;

х = (жь...,ж„) еГ; \х\ = ^ х\ + ... + ж^; ж' = ж/|ж|; х ■ у = Х1У1 + ... + хпуп; Бп-1 = {х £ Ж™ : |х| = 1};

Ъ+ — множество целых неотрицательных чисел; М+ = (0, го); Ут^(а) — сферические гармоники порядка т; (п(т) — размерность пространства сферических гармоник порядка то:

, . . . . (п + т — 3)!

^(то) = (П + 2то-2)^!(п_2);;

__те

/(£) = / f (¿)ег^ М — преобразование Фурье функции ].

1. Предварительные сведения

В пространстве ЬР(Ж), 1 ^ р ^ го, рассмотрим интегрально-разностный оператор свертки

те те

(УШ*) = ^2 аЖ* — Т() + h(í — вЩв) (в, í £ Ж, (1)

(=1

(=1 —те

в предположении, что Н £ ^(М), Т( £ Ж а( £ Си |а(| < го. Обозначим через

Р+ (Р—) оператор умножения на характеристическую функцию положительной (отрицательной) полуоси. Введем парный оператор

С = У1Р+ + У2Р-, (2)

где У1 и У2 — операторы вида (1). Теория парных операторов вида (2) хорошо известна (см. [8, гл. 7]). Символом оператора С называют тру функций (Ь1(£),Ь2(£))> где

те

V (£) = Е аз( ехР(*Тз(£) + Н3 (£)' £ £ М (=1

(Функция 13 (£) является символом оператора у-.) Если

К (£)| > 0, 3 = 1, 2, (3)

то отношение У1(^)/ь2 (£) можно представить в виде

VI (О

"2(0

= а(0 + НО,

где а(£) — невырожденная почти периодическая функция, разлагающаяся в абсолютно сходящийся ряд Фурье, и Н £ ^(М) [8, с. 217-218]. Определим индексы 7 £ М и к £ Ъ равенствами

1 ь 7 = ЛТоо26А[аГ^(^-Ь'

1 .

х= —А

2тг

а^(1 + а-1 (0Н(0

Предложение 1 [8, с. 251]. Для того чтобы оператор С вида (2) был обратим в пространстве Ьр (М), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (3) и равнялись нулю индексы 7 и к.

оо

2. Постановка задачи и основной результат

2.1. Пусть 1 ^ р ^ го. В пространстве Ьр(Мп) рассмотрим оператор

(К(р)(х) = ! к(х, у)р(у) йу, х £ Мп, (4)

К"

где функция к(х, у) определена на Мп х Мп (здесь и далее предполагается, что п ^ 2) и удовлетворяет следующим условиям: 1°. однородность степени (—п), т. е.

к(ах,ау) = а-пк(х,у) (Vа> 0);

2°. инвариантность относительно группы вращений БО(п), т. е.

к(ш(х),ш(у)) = к(х, у) (Vш £ БО(п));

3°. суммируемость, т. е.

К := У |к(вьу)||уГга/р йу< го, в1 = (1, 0,..., 0).

К"

Известно (см. [1, с. 70]), что оператор К ограничен в Ьр(Мга), причем ||К|| ^ к. Далее, для каждого 5 > 0 определим оператор мультипликативного сдвига и$ формулой (и5 <р)(х) = 5-п/р ф/5), и рассмотрим оператор

о

А = ^ а^ + К, (5)

1=1

где К — оператор вида (4), аI £ Си I < го. Так: как Ци$11| = 1, то операт ор А

ограничен в Ьр(Мга). Рассмотрим парный оператор

В = А1Р + А2^, (6)

где А.1 и А 2 — операторы вида (5), а Р и О — операторы умножения на характеристические функции внутренней и внешней частей единичного шара соответственно. Наша цель — получить необходимые и достаточные условия обратимости оператора В.

2.2. Для того чтобы получить критерий обратимости оператора В вида (6), рассмотрим в РР(Мга) уравнение, порожденное этим оператором:

те „

+ &1(ж, у)^(у) (1у

= I

|У|<1

те „

+ Е ^^ШМЫ + Ых,у)(р(у) (у = f(x). (7) ^ М>1

Так как функция kj (х, у) удовлетворяет условию 2°, то существует такая функция к^ (т, р,£), что kj(х,у) = к^(|х|, |у|,х' ■ у') [9, с. 36]. Учитывая это, перейдем в уравнении (7) к сферическим координатам х = та, у = рв. Затем умножим обе части уравнения на т(п-1)/р и после преобразований получим уравнение

/ (^а-в)ф(рв)г1рг1в

те 1:0

+ +/ I ^П2(^,а-в)ф(рв)с1рс1в = р(га), (8)

'=1 1 5П

где

Ф(та) = <^(та)т(га-1)/р, Р (та) = f (та)т(п-1)/р,

Я, (р,*) = ко; (1,р,ф(п-1)/р', 3 = 1, 2, (9)

р и — аналоги проекторов Р и О в пространстве ЬР(ЖП) = {Ф(та) : Ф(та)т-(п-1)/р £ ЬР(ЖП)}. Умножая обе части уравнения (8) на сферические гармоники Ут^(а), интегрируя по единичной сфере и применяя формулу Функа — Гекке [9, с. 43], получим бесконечную диагональную систему одномерных уравнений

1

о т т

те

+ + 2т (£) Фтц(р) йр = Ртм(г), (10)

где т £ М+, т £ р = 1, 2,..., („(то), Р и Р — операторы умножения на характеристические функции интервалов (0,1) и (1, го) соответственно,

ФтМ(т) = J Ф(та)Ут^(а) (а, Рт^(т) = J Р(та)ГтМ(а) (а, <5п—1 1

2п(„-1)/2 1

= Г((п-1)/2) У " ^){П~3)/2(И. (11)

Здесь Pm(t) — многочлены Лежандра (см., например, [9, с. 41]). В пространстве Lp(R+) рассмотрим операторы

те / \

(Rj9)(r) = ЕaüSJt1/P9 [{-J , г е R+, (12)

те

(Kjmg)(r) = jl- D3m (£) д{р) dp, г G R+, (13)

о

где j = 1,2, m G Z+, и положим Ajm = Rj + Kjm. Тогда оператор Bm (m G Z+), формирующий левую часть уравнения (10), имеет вид

Bm = AlmP + A2m Q. (14)

2.3. Определим изоморфизм Wp: Lp(R+) ^ Lp(R) формулой

(Wp9)(t)= e~t/p g(e—t).

Нетрудно проверить, что оператор Vjm = WpAjmW—1 (j = 1, 2, m G Z+) задается в пространстве Lp(R) формулой

те

jm) = Е aj^(t + ln 6je)+ hjm(t - s)^(s) ds, (15)

»=1 J

1 —те

где

hjm(t) = Djm(et)et/p' G Li(R). (16)

Тогда оператор

Cm — W pBmW p

определяется в пространстве Lp(R) равенством

Cm = WpBmW-1 (17)

Ст = У1тР+ + У2ш Р-, (18)

где У1т и У2т — операторы вида (15). Таким образом, оператор Ст является парным интегрально-разностным оператором свертки (см. §1). Символом этого оператора является пара функций (с1т(£), с2т(£)) вида

о

с^т(^) = Е ал <жр(—1£ 1п 5^) + %та) = а(£) + Н]т(£), £ £ М,

е=1

где

те

а (0 = Т, aj. (19)

1

Выразим функцию hjm(£) через ядро kj(x, y) оператора Kj вида (4). Учитывая (16), имеем

те те

hjm(0= j hjm(t)e** dt = j Djm(p)p—1/p+ii dp. —те о

Далее, последовательно применяя равенство (11), формулу Каталана (см., например, [9, с. 20]) и равенство (9), получим

ч , те 1

_ 2п(„-1)/2 с С

= Г((п-1)/2) У р~1/Р+,4~(1() У

о -1

те

= 1! Dj (р,в1 ■ в)Рт(в1 ■ в)р-1/р+г^ (р(в = У к; (в! ,у)Рт (в1 • у') | у |(у,

о вп-1 Кп

где Рт(Ь) — многочлены Лежандра.

В

(@1(т,£), @2 (т, £)), заданных на множестве Ъ+ х Ж равенствами

(т,£) = а; (£) + а; (т,0, где функция а; (£) определяется формулой (19) и

а; (т,£) = | к; (в1 ,у)Рт(в1 ■ у')|у|-га/р+* (у, з = 1, 2.

Заметим, что при любом фиксированном значении т £ Ъ+ справедливо равенство

в;(т,£) = е;т(0, £ £ Ж. (20)

В

1в;(т, £)| > 0, з = 1,2. (21)

хж

В этом случае почти периодические функции а; (£) также будут невырожденными (см. [8, с. 218]), т. е. будет выполнено условие

|а;(£)| > 0, з = 1,2. (22)

В

в1(т,£)

в2(т,£)

= а(£) + МО,

где а(£) = а1(£)/а2 (£), а Нт — некоторая функция из ^(Ж). Подчеркнем, что почти периодическая функция а(£) не зависит от т. Это позволяет определить индексы V £ Ж и кт £ Ъ следующим образом:

1 Ь 1 те1

г/=,Ит ^[^«(О] ,> = 7ГЛ аГё(1 + а~1(0Ьт(0)

Ь^+те 20 -Ь 2П I \ /J -те

Лемма 1. Пусть выполнено условие (22) и V = 0. Тогда найдется такое число т0 £ Ъ+ что для любого т > т0 оператор Вт вида (14) обратим.

< Представим оператор Вт в виде

Вт = #1Р + Я2Я + К1тР + К2тР,

где Я?- и Kjm задаются формулами (12) и (13) соответственно. Рассмотрим оператор ЩР+ + ^Р- = Wp(RlP + Я2<0)Шр\ где

те

(Щф)(г) = Е ал<ф(г + 1п5л), з = 1,22.

1=1

Символом этого оператора является пара функций (а1 (£),а(£)). В силу предложения 1 оператор Щ1Р+ + Щ2Р- обратим в пространстве ЬР(Ж). Тогда оператор Я1Р + Я^ обратим в пространстве ЬР(Ж+).

Известно (см. [6, с. 10]), что Ишто^те ЦК^Ц = 0. Значит найдется такое то € что для всех т > то справедливо неравенство

1|К1тр + ^^н < ||(Я1 Р + Я2д)-1||-1.

Тогда оператор Бт, где т > то, обратим. >

Лемма 2. Пусть выполнено условие (22) и V = 0, а то — число, определенное в лемме 1. Оператор Б вида (6) обратим в пространстве ЬР(Жп) тогда и только тогда, когда обратимы в ЬР(Ж+) все операторы Бт, т = 0,1,... , т0.

< В пространстве ЬР(Жп) = {Ф(га) : Ф(га) т-(п-1^/р € ЬР(ЖП)} рассмотрим оператор Б, определяемый левой частью уравнения (8). Запишем его в виде

Б = (Я1 + К1)р + (Я2 + К2)Я,

где операторы К? и Я задаются формулами

те

0 ЙП—

~ те / \

1=1 ^jí '

а Р и ( — операторы умножения на характеристические функции внутренней и внешней частей единичного шара соответственно.

Очевидно, что оператор Б обратим в пространстве £Р(Жп) тогда и только тогда, когда оператор Б обратим в пространстве ЬР(Жп).

Определим в ЬР (Жп) проектор Рм равенством

N <п(т)

(РмФ)(га) = £ Е Фт,(г)Ут,(а),

т=0 ц=1

и обозначим через (м дополнительный проектор. Заметим, что проекторы Рм и Р коммутируют между собой. Далее, с помощью формулы Функа — Гекке непосредственно проверяется, что РмKj(м = 0 и (мKjРм = 0. Кроме того, очевидны равенства РмЯ(м = 0 и (мЯРм = 0. Положим

Т = р1 Р + яр2(р.

Тогда В = Т + К1Р + К2 Ст- В силу вышесказанного справедливы равенства

Рм= 0, ОмтРм = 0, РмВом = 0, ОмВРм = 0.

Учитывая это, запишем матричное равенство

Рм Ом \( В 0 А ( Рм Ом Ом Рм ) \ 0 Т ) \Ом Рм

( Тт + Рм (К1Р + К2(р)Рм _ 0

I 0 Т + Ом (т1т + ^О^м

(23)

Докажем, что оператор Т обратим в пространстве РР(Жга). В п. 2.2 было показано,

вт

системе (10). В частности, уравнение (ТФ)(та) = Р(та) сводится к системе

РФтм) + f>2^"1/p(= Pm(tt(r), (24)

где r G R+ m G Z+ у = 1, 2,... ,dn(m). Левая часть каждого уравнения системы (24) порождается не зависящим от m оператором T = RiP + R2Q, где Rj определяются равенством (12). Очевидно, что оператор T обратим в Pp(Mn) тогда и только тогда, когда оператор T обратим в Lp(R+). Заметим, что символом оператора T является пара функций (а1(^),а2(£)) вида (19).

Поскольку выполнено условие (22) и v = 0, то в силу предложения 1 парный разностный оператор WpTW-1 обратим в Lp (R), а значит оператор T обратим в Lp(R+). Следовательно, оператор T обратим в Lp(Rn).

Так как оператор T обратим, то из матричного равенства (23) следует, что оператор B обратим тогда и только тогда, когда обратимы операторы T + Pn(KiP + K2Q)Pn и T + Qn(KiT + K2Q)Qn- Покажем, что последний оператор обратим при достаточно большом значении N.

В [1, с. 80-81] показано, что для любого е > 0 найдется функция hjN (p,t) вида

-р/ N

hjNÍP,t) = 2^n/2 dn(m)hjm(p)Pm(t), j = 1,2,

m=0

где Pm(t) — многочлены Лежандра, такая, что оператор HjN вида

со

(HjN$)(ra) = í í ^hjN -в^Ф(рв)(1р(1в

0 5п-1

удовлетворяет неравенству

\\К; - Н;м (1р(Шп)) < е. (25)

При этом всегда можно считать, что N > то- Непосредственно устанавливается равенство ОмН;мОм = 0, из которого следует, что

Тт + Ом КР + К О^м = Т + Ом ((К - )р + (К - Нр2м .

Так как оператор Т обратим, то в силу (25) можно добиться выполнения неравенства \\(м ((Кг - Яш )р +(К2 - Н2М )()(м < Г-1!!^«))'

из которого вытекает обратимость оператора Т + (м(К1р + К2()(м-

Таким образом, оператор В обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор Т + Рм (К Р + К2()Рм- Обратимость последнего, в силу равенства

Т + Рм (Кг Р + К2()Рм = Рм ВРм + (N Т(м,

равносильна обратимости оператора РмВ|1шрк [1, с. 6]. Ясно, что уравнение, порождаемое оператором РмВр|1шрк сводится к конечной системе вида (10), где т = 0,1,...

вт

ется обратимость в ЬР(Ж+) всех операторов Вт, где т = 0,1,... . Учитывая лемму 1,

В

ры Вт где т = 0,1,..., т0. >

Замечание 1. Отметим, что использование в записях «неопределенного» числа то весьма неудобно. Поэтому ниже мы пишем, что т £ Ъ+.

Основным результатом этой работы является следующая теорема.

Теорема 1. Для того чтобы оператор В вида (6) был обратим в пространстве РР(Жп), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия: 1) неравенство (21); 2) V = 0; 3) кт = 0 для всех т £ Ъ+.

< Необходимость. Очевидно, что обратимость оператора В в ЬР(Жп) влечет обратимость в ЬР(Ж+) всех операторов Вт, вде т £ Ъ+. Тогда из равенства (17) вытекает обратимость в ЬР(Ж) всех операторов Ст, т £ Ъ+. Используя теперь равенство (20) и предложение 1, убеждаемся в справедливости условий теоремы.

Достаточность. Если выполнены условия теоремы, то, последовательно применяя равенство (20), предложение 1 и равенство (17), получаем, что все операторы Вт, т £ обратимы в ЬР(Ж+). Кроме того, из (21) следует выполнение неравенства (22). Тогда в силу леммы 2 оператор В обратим в ЬР(Жп). >

Из этой теоремы легко получается критерий обратимости оператора А вида (5). Так как А = АР + А(, то р1(т,£) = в2(т,£) := а(т,£), где

+ [ к(вг ,у)Рт (ег ■ у'М-п/р+г* Лу.

а(т,£) = ^, аеб-^ + ^ к(ег ,у)Рт(ег ■ у'

£=1 Шл

Так как р1(т,^)/р2 (т,£) = 1, то V = 0 и кт = 0 для вс ех т £ Ъ+. Тогда из теоремы 1 вытекает следующее следствие.

Следствие 1. Для того чтобы оператор А вида (5) был обратим в пространстве ЬР(Жп), необходимо и достаточно, чтобы его символ а(т,£) удовлетворял условию

Ж+хК

Литература

1. Karapetiaats N., Samko S. Equations with Involutive Operators.—Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 2001.-427 p.

2. Авсянкин О. Г., Карапетянц H. К. О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов с однородными степени — n ядрами // Сиб. мат. журн.—2003.—Т. 44, № 6.—С. 1199-1216.

3. Авсянкин О. Г., Перетятъкин Ф. Г. Об ограниченности и компактности многомерных интегральных операторов с однородными ядрами // Изв. вузов. Математика.—2013.—№ 11.—С. 64-68.

4. Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и коэффициентами, осциллирующими на бесконечности // Диф. уравнения.—2015.—Т. 51, № 9.—С. 1174-1181.

5. Авсянкин О. Г. О С*-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН.—2008.—Т. 419, № 6.— С. 727-728.

6. Авсянкин О. Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами, возмущенных операторами одностороннего мультипликативного сдвига // Владикавк. мат. журн.—2013.—Т. 15, № 1.-С. 5-13. DOI: 10.23671/VNC.2013.1.10501.

7. Авсянкин О. Г. Проекционный метод для интегральных операторов с однородными ядрами, возмущенных односторонними мультипликативными сдвигами // Изв. вузов. Математика.—2015.— № 2.-С. 10-17.

8. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.—М.: Наука, 1971.-352 с.

9. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения.—Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1984.— 208 с.

Статья поступила 15 июня 2017 г.

Авсянкин Олег Геннадиевич Южный федеральный университет,

профессор каф. дифференц. и интегральных уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: avsyaiLki@math.rsu.ru

Ковальчук Алиса Марковна Южный федеральный университет,

магистр кафедры дифференц. и интегральных уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: alica759@mail.ru

PAIRED INTEGRAL OPERATORS WITH HOMOGENEOUS KERNELS PERTURBATED BY OPERATORS OF MULTIPLICATIVE SHIFT

Avsyankin O. G., Koval'ehuk A. M.

In the space Lp(Rn), where 1 < p < to, we consider an operator B, which is the sum of two terms. The first term is a paired multidimensional integral operator, whose kernels are homogeneous of degree (—n) and invariant with respect to the rotation group of Rn-space, and the second term is a series, convergent in the operator norm, composed of multidimensional multiplicative shift operators with complex coefficients. We

B

ensure the boundedness of this operator in the space of summable functions. The main aim of the paper

B

allows the reduction of the multidimensional paired operator to an infinite sequence of one-dimensional paired operators Bm, where m £ Z+. It is shown that the operator B is invertible if and only if all the operators Bm are invertible, where m runs through all values from zero to some finite number mo. In turn, the operators Bm reduce to integral-difference convolution operators whose theory is well known.

B

(Pi (m, £), (m, £)), defined on the set Z+ x R. If the symbol is non-degenerate, then we define in a natural

way a real number v and integers xm, where m £ Z+. Numbers v and Km are called indices. The main result of the work is the invertibility criterion of the multidimensional paired operator B in the space Lp(Rn). According to this criterion, the operator B is invertible if and only if its symbol is non-degenerate, and all its indices are zero.

Key words: paired operator, integral operator, homogeneous kernel, multiplicative shift, invertibility, spherical harmonics.

References

1. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin, 2001, 427 p.

2. Avsyaakia O. G., Karapetyaats N. K. On the pseudospectra of multidimensional integral operators with homogeneous kernels of degree (—n), Siberian Math. J., 2003 vol. 44, no6, pp. 935-950. DOI: 10.1023/B:SIMJ.0000007469.86630.6b.

3. Avsyaakia O. G., Peretyat'kia F. G. Boundedness and compactness of multidimensional integral operators with homogeneous kernels, Russian Mathematics, 2013, vol. 57, no. 11, pp. 57-60. DOI: 10.3103/S1066369X13110054.

4. Avsyaakia O. G. Multidimensional integral operators with homogeneous kernels and with coefficients oscillating at infinity, Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 9, pp. 1165-1172.

5. Avsyaakia O. G. On the C*-algebra generated by multidimensional integral operators with homogeneous kernels and multiplicative translations, Dohlady Mathematics, 2008, vol. 77, no. 2, pp. 298-299.

6. Avsyaakia O. G. On multidimensional integral operators with homogeneous kernels, perturbated by one-sided multiplicative shift operators, Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal [ Vladikavkaz Math. J.], 2013, vol. 15, no. 1, pp. 5-13 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2013.1.10501.

7. Avsyaakia O. G. Projection method for integral operators with homogeneous kernels perturbed by one-sided multiplicative shifts, Russian Mathematics, 2015, vol. 59, no. 2, pp. 7-13. DOI: 10.3103/S1066369X15020024.

8. Gohberg I. G., Feldman I. A. Uravneniya v Svertkah i Proekcionnye Metody ikh Resheniya [Convolution Equations and Projection Methods of Their Solution], Moskow, Nauka, 1971, 352 p.

9. Samko S. G. Gipersingulyarnye Integraly i ikh Prilozheniya [Hypersingular Integrals and Their Applications], Rostov-on-Don: RSU, 1984, 208 p.

Received 15 June, 2017 Avsyankin Oleg Gennadievich

Vorovich Institute of Mathematic, Mechanic and Computer Science, of the Southern Federal University,

Professor of the Departmeat of Differeatial and lategral Equations 8 a Mil'chakova St., Rostov-on-Don, 344090, Russia E-mail: avsyarLki@math.rsu.ru

Koval'chuk Alica Markovna

Vorovich Institute of Mathematic, Mechanic and Computer Science, of the Southern Federal University,

Student of the Departmeat of Differeatial and lategral Equations 8 a Mil'chakova St., Rostov-on-Don, 344090, Russia E-mail: alica759@mail.ru