О c* -алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и коэффициентами вида | x |Iа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

~ * „

О N -АЛГЕБРЕ, ПОРОЖДЕННОЙ МНОГОМЕРНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ

И КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВИДА | x\Ш

© 2008 г. О.Г. Авсянкин

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова, 8а, 344090, Rostov-on-Don, Milchakov St., 8a,

avsyanki@math. rsu. ru avsyanki@math. rsu. ru

Рассматривается С*-алгебра Р, порожденная многомерными интегральными операторами, ядра которых однородны степени (n ) и

I \ia

инвариантны относительно группы вращений SO(n), и операторами умножения на функции вида X . Для алгебры Р строится символическое исчисление, в терминах которого установлен критерий обратимости и нетеровости операторов из этой алгебры.

Ключевые слова: интегральный оператор, однородное ядро, символ, С*-алгебра, группа.

We establish the symbol calculus for the C -algebra В generated by the multidimensional integral operators with homogeneous kernels and operators by \Xa -type function. The criterion of invertibility and Fredholmness of the operators of the algebra В is proved.

Keywords: integral operator, homogeneous kernel, symbol, C*-algebra, group.

В настоящее время имеется немало работ, посвященных многомерным интегральным операторам, ядра которых однородны степени (- п) и инвариантны относительно группы вращений SO(n) [1-6]. Для таких операторов получены критерии обратимости и нетеровости, описаны порожденные ими банаховы алгебры, найдены условия применимости проекционного метода. Кроме того, рассматривались некоторые алгебры, порожденные операторами с однородными

ядрами и переменными коэффициентами [3, 6].

~ *

В данной работе рассматривается N -алгебра B, порожденная многомерными интегральными операторами с однородными степени (-п) ядрами и операторами умножения на радиальные осциллирующие функции вида х . Отметим, что коэффициенты х играют в теории операторов с однородными ядрами ту же роль, что и коэффициенты вида в1ах в теории операторов свертки. Упомянутая алгебра B существенно некоммутативна. У нее не существует скалярного символа, и при ее исследовании возникает ряд затруднений. Для их преодоления в нашей работе используется подход, основанный на теории N -алгебр, порожденных динамическими системами [7, гл. 2]. Он позволяет построить для алгебры B операторное символическое исчисление, в терминах которого ниже получен критерий обратимости и нетеровости операторов из этой алгебры. Выделен один класс операторов из алгебры B, для которых указано скалярное условие обратимости.

Ниже использованы следующие обозначения: rп -п -мерное евклидово пространство; х = (х1;..., хп )е Rп ;

|Х = д/х2 +...+ х^;х■ y = +...+ хпуп; z+ - мно-

жество всех целых неотрицательных чисел; z+ х я -компактификация множества z+ х я одной бесконечно удаленной точкой; С (Н) - С* -алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н .

1. Предварительные сведения

При исследовании многомерных интегральных операторов с однородными ядрами и коэффициентами

вида |х|ы естественным образом возникают С - алгебры, порожденные динамическими системами. Для

*

таких С - алгебр А.Б. Антоневичем установлена теорема об изоморфизме, которая будет играть важную роль и в данной работе. Ниже, для полноты изложения, мы приводим эту теорему, а также другие необходимые нам факты [7, §6-8].

* *

Определение 1. Пусть В - С - алгебра; А - С -подалгебра алгебры В; Т - унитарное представление группы О в В; пусть выполнены следующие аксиомы:

1) Т(Я)аТ(Я)е А Уа еА Уg еО;

2) множество В0 конечных сумм 2 а{Т^), где

г

аi е А, gi е О, плотно по норме в алгебре В.

* *

Тогда говорят, что С - алгебра В порождена С -лгеброй А и представлением Т группы О и пишут

в=С* (а , о,т).

Условие 1) означает, что каждый элемент Т^) порождает отображение Т ^): А^А ы ^ Т^)аТ_1 ^), являющееся автоморфизмом алгебры А.

Следуя [7], ниже будем считать, что С -алгебра А изоморфна алгебре Ш (Е) гомоморфизмов N -мерного комплексного векторного расслоения Е над компактным топологическим пространством X (обозначается А ~ НОМ (е) ). В частности, при N = 1 алгебра А изоморфна алгебре С(х). *

Пусть А - С - алгебра вышеуказанного типа. Каждый автоморфизм О^) алгебры А порождает гомеоморфизм п : X —■ X . Гомеоморфизмы задают действие группы О на пространстве X .

Определение 2. Действие группы О на алгебре А автоморфизмами называется топологически свободным, если для любого конечного набора Р элементов группы О и любого открытого множества W с X существует точка х0eW такая, что все точки пё(х0),

где g е Р, попарно различны.

*

Предложение 1 [7, с. 83]. Пусть заданы две С - алгебры В = С* (а ,О,Т) и В = С* (А1, О,Т1) с одной и той же группой О и существует изоморфизм р: А — А

такой, что р(т ^ )аТ _1 ^ ))= Т1 ^ )р(а )Т1"1 ^ ).

Если А ~ 111 (Е), а группа О допустима и действует автоморфизмами на А топологически свободно, то соответствие 0: 2 агТ^) — — Т р(аг )Т ^ )

г г

продолжается с множества В0 конечных сумм до изо*

морфизма С - алгебр В и

Определение допустимой группы можно найти, например, в [7, с. 79]. Отметим только, что аддитивная группа Я допустима.

*

Предложение 2 [7, с. 92]. Пусть С - алгебра В=С (А, О,Т) является алгеброй операторов в гильбертовом пространстве, группа О допустима и действует на А топологически свободно. Если алгебра А не содержит компактных операторов, кроме нулевого, то каждый нетеров оператор из алгебры В обратим. *

2. С - алгебра В

В пространстве Ь2 (яп) рассмотрим оператор

(Kp)(x) = j k (x, y)p(y)dy, x e r n .

(1)

R n

k = i |k(eb y) y ' Rn

x dy<œ, где ^=(1,0,...,0).

Как известно [1, с. 70], оператор K ограничен в L2 (rn ), причем ¡Kl ^ k . Далее, если ядра операторов Ki и K2 удовлетворяют условиям 1о-3о, то ядро оператора KK также удовлетворяет условиям 1о-3о и

справедливо равенство K1K2 = K2Kj [1, с. 380].

*

C - алгебру, порожденную всеми операторами вида Л1 - K, где ЛеС, обозначим через А. Нетрудно видеть, что алгебра А коммутативна. Из результатов [5] следует, что каждому оператору A е A соответствует однозначно определенная функция a a (ш,4)е е C(z+ x r), которую будем называть символом оператора A . В частности, символ оператора Л1 - K определяется равенством

аЛ-K (т,4)=Л- J k(ei, y)Pm(ei • y0|y|-n/2+4dy, (2)

Rn

где y = y /| y| ; Pm (t ) - многочлены Лежандра порядка

m. Следующее утверждение также является следствием результатов, полученных в [5].

Предложение 3. Отображение a: A ^ C(z+ x r), A ^ aA(m,4) (3)

является изоморфизмом.

Определим в пространстве L2 (rn ) оператор Ma, где a е R, равенством

(Ma(p)x) = \X\aq(x). (4)

Нетрудно видеть, что оператор Ma унитарный, причем MaMр = Ma+p , R. Следовательно,

гомоморфизм Tm :r ^ L (l2 (rn )), a ^Ma является унитарным представлением группы R .

Лемма 1. Пусть A е A- Тогда для любого a е R

оператор Aa = MaAM'-i принадлежит алгебре А При этом символы операторов A и Aa связаны равенством

aAa (m, 4) = a a (m, 4-a). (5)

Доказательство разобьем на два этапа. 1. Пусть A = K , где K - оператор вида (1). Непосредственно проверяется, что оператор Ka = Ma x

x M al задается формулой (Ka((x)= = J ka(x, y )((y)dy,

R n

x е Rn , где

предполагая, что функция к(х, у) определена на

Яп х Яп и удовлетворяет условиям: 1.° однородности степени (- п), т.е.

к (ах,ау) = а~пк (х, у), Уа> 0 ; 2^ инвариантности относительно группы вращений БО (п) , т.е. к(т(х),т(у)) = к(х,у), Уте БО(п);

Зо

. суммируемости, т.е.

I —п /2

kа(Х у) = k (Х У)

Пх\Л а

y

(6)

Так как функция ка (х, у) удовлетворяет условиям 1о-3о, то Ка е А.

Далее найдем символ оператора Ка. Учитывая (2) и (6), имеем

&Ка(т,4)= \ ка(еЪ у)Рт (е1 ' у0| У|_п ¿у =

Rn

= j k(euy)Pm(ej • y'^y\ nl2+li( аdy =aK (m

(m, 4 ~а).

Rn

Таким образом, для оператора К вида (1) лемма установлена.

2. Пусть А - произвольный оператор из алгебры А. Так как множество, состоящее из всех операторов вида М - K, всюду плотно в алгебре А, то найдется последовательность {Мя1 - Ks , сходящаяся к А в равномерной операторной топологии. В силу равенства

М - (Ks )а - Аа\\ = | р а (V - К - а)М; = \М,1 - К, - А||

последовательность {мя1- (Ксходится к оператору Аа . Так как (Кя )а е А, то Аа е А. Далее по доказанному в части 1)

^М!-(К, )а (т, £) = - К, (т^-а). (7)

'а

Из предложения 3 следует, что для любого оператора

A е A имеет место равенство sup \аА (т> £) HI A •

Z + х R

Учитывая это и переходя в равенстве (7) к пределу

при s ^ да, получаем (5). Лемма доказана.

*

Обозначим через В C -алгебру, порожденную всеми операторами Я1 - K и Ma. Она представляет собой замыкание в равномерной операторной топологии мно-

= jin(V -Kj)Ма jj

, где суммы и произве-

жества Во дения конечны.

* *

Лемма 2. С -алгебра В порождена С -алгеброй А и унитарным представлением Тр группы Я, т.е.

В = С * (А, Я,Тм).

Доказательство. Воспользуемся определением 1. Справедливость аксиомы 1) была установлена в лемме 1. Проверим аксиому 2), т.е. докажем, что множество Во конечных сумм 2(МI -К Ма всюду плотно i

в алгебре В. Для этого покажем, что В0 = В0. Чтобы

убедиться в этом, достаточно проверить справедливость равенства К1МЩК2М^= , где

К1,К2 и К3 - операторы вида (1). Действительно,

(К1Ма1 К 2 Ма2р)(х) =

= | к1(х, г)\¿Р Л | к2 (¿, у)\у|а ср(у)йу = Я" Я"

= 1 р(у) |уГ2 йу 1 к1(х, 0к2 у) Л =

R"

R"

= J h(x,y) |у|г(а+а2V(y)dy = (кМаа<р№,

R"

где K3 - оператор, ядро k3 (x, y) которого определя-

ется

формулой кз(x,y)= J k]_(x,t)k2(t,y)

i\t\ Yci

R "

y

dy.

Нетрудно проверить, что функция кз (х, у) удовлетворяет условиям 1о—3о, т.е. К3 есть оператор вида (1).

Таким образом, выполнены обе аксиомы из определения 1. Следовательно, В = С * (А, Я,Тм ).

Всякий оператор Ма вида (4) порождает отображение Ма : А ^ A, A ^ МаАМа1, которое является

*

автоморфизмом C -алгебры А. Справедлива

Лемма 3. Действие группы R на алгебре А автоморфизмами Ма является топологически свободным.

Доказательство. В силу предложения 3 отображение Fc=ooМа ост-1 является автоморфизмом алгебры C(z+ x r). С учетом равенства (5) автоморфизм

¥а задается формулой Га(а(т,^^) = а(т,^-а), где a(m,Ç) - произвольная функция из C(z+x r) . В

свою очередь автоморфизм Fc порождает гомеоморфизм яа компактного топологического пространства z+ x r, который определяется следующим образом: жа(т,^)=(т,^ + а), V(m,^)e z+x r, жа(х) = ж .

Таким образом, если а Ф 0, то единственной неподвижной точкой гомеоморфизма па является бесконечно удаленная точка. Вспоминая определение 2, получаем требуемый результат.

3. Критерий обратимости и нетеровости

*

в C - алгебре В

Будем говорить, что f (m, Ç) eL2(z+ x r) , если при любом фиксированном значении m е z+ функция f (m, •) измерима на R и

\1/2

< х .

2 1 \Г{т,4)\2

кт=0 -<х у

Пусть сг(т,£) е С(ь+ х я). Определим в пространстве ^ + х Я) оператор Мст равенством

(Мст /)(т,^) = а(т,^)/(т,$. (8)

*

Обозначим через А1 С - алгебру, порожденную всеми операторами Мст умножения на функции из

х Я). Нетрудно проверить, что отображение

И

: C(z+ x r) ^ Ai, cr(m,4) ^ m,

является изоморфизмом.

Далее в пространстве Z2 (Z +x R) оператор

Ра fXm,4) = f(m,Ç-cc), ае R.

(9)

рассмотрим

(10)

Ясно, что гомоморфизм %: Я ^ С (¿2 (Z+ х Я)), а ^ иа является унитарным представлением группы Я .

*

С - алгебру, порожденную всеми операторами вида (8) и всеми операторами иа вида (10),

Мс

обозначим через В1. Она представляет собой замыкание в равномерной операторной топологии множества

(Bi )о = jzn M

ааРаи

где суммы и произведения

конечны.

Лемма 4. С -алгебра Вг порождена С -алгеброй А1 и унитарным представлением Тц группы Я, т.е. .

В1 = С* А я,%).

Доказательство. Для любой функции с(т,£)е е С(х+ X Я) и для любого а е Я справедливо равенство ЦаМсЦ—1 = Мс , где с а (т = £ - а) .

Следовательно, иаМси— е А1, т.е. аксиома 1) из определения 1 выполнена.

Проверим аксиому 2), т.е. докажем, что множество

в0 конечных сумм Т Мс иа всюду плотно в ал-

г

гебре В1. Для этого достаточно показать, что о. Последнее сразу получается из легко проверяемого равенства и а!Мст2 иа2 = МсЦа 1+ а2 , где с(т,4) = с1(т,£)с2 (т,£ - а). Таким образом, В1=С * (аь Я,Тц).

Рассмотрим отображение с^: А —А1, А — Мс , где с а - символ оператора А . Поскольку

с1 = /л о с, где с и / определяются из (3) и (9) соответственно, отображение с является изоморфизмом.

Теорема 1. Соответствие /о: В0 — В0 ,

ТАгМа —Тс1(Аг)и а , определенное на множестве

г г

конечных сумм В0, продолжается до изоморфизма /: В — В ,

Доказательство. Как было отмечено выше, отображение С1: А —А1 является изоморфизмом. Покажем,

что С"1

М а АМ—1) = иас1(А)и—1. В самом деле, используя лемму 1, имеем с

= UaMaAU-1 = Uaal(A)U~l.

— ) Mct j I m, £ - a)

4(m,f-a) :

3) символ /(в) оператора В обратим в £ (12 (¿+ х к)).

Доказательство. Вначале заметим, что поскольку В является С * -подалгеброй С * -алгебры £ {ь2 (я п)),

то оператор В обратим в £ (¿2 (я п)) тогда и только тогда, когда он обратим в В [8, с. 59]. Аналогично

обратимость оператора /(В) в £ (¿2 (я+х я)) равно*

сильна его обратимости в С * -алгебре В1.

Докажем, что 1) » 2). Леммы 2 и 3 утверждают, что В = С (А, Я, Тм) и группа Я действует на А автоморфизмами топологически свободно. Далее нетрудно видеть, что оператор К вида (1) коммутирует с операторами мультипликативного сдвига Нд вида (Ндр)=р(х /д), д> 0 . Поскольку операторы 21 - К являются образующими алгебры А, то каждый оператор из алгебры А коммутирует с операторами мультипликативного сдвига. Но тогда алгебра А не содержит компактных операторов, кроме нулевого. В силу предложения 2 каждый нетеров оператор В е В обратим.

Докажем, что 2) » 3). В самом деле, так как отображение /: В — В1 является изоморфизмом, то

*

оператор В обратим в С * -алгебре В тогда и только тогда, когда оператор /(в) обратим в С * -алгебре В1.

В заключение выделим класс операторов, для которых можно получить условия обратимости не в операторной, а в скалярной форме. Рассмотрим в

Ь2 (я п) оператор

В = 21 + К1 + К2Ма , (11)

где Л ес, К1, К2 - операторы вида (1), а М а - (4). В силу вышесказанного символом оператора В является оператор

r(ß)=ÄI + + MaUa

(12)

Далее С* - алгебра А изоморфна С* - алгебре С(ь+ X я) (предложение 3), а группа Я допустима и

действует на алгебре А автоморфизмами топологически свободно (лемма 3). Применяя предложение 1, получаем, что /0 продолжается до изоморфизма /: В — В1. Теорема доказана.

Таким образом, в теореме 1 определен изоморфизм /: В — В1. Назовем символом оператора В е В его

образ /(В)еВ1. В частности, если В = ТАМа , то его

г=1 '

символом является оператор /(В) = Т )иа =

г=1 '

I

= Т МсАи .

г=1 А '

Теорема 2. Пусть В е В. Тогда следующие условия равносильны:

1) оператор В нетеров в £ [ь2 (я п));

2) оператор В обратим в £ [ь2 (яп));

сК1 сК 2 а '

действующий в ¿2 (я+х я).

Найдем эффективные условия обратимости оператора /(В) вида (12). Заметим, что ¿2 (я+х я) =

= © ¿2 (Я) .

теЪ +

Тогда /(В) можно представить в виде /(В)= © Ст, где Ст - действующий в ¿2 (Я) опе-

теЪ+

ратор, определяемый равенством {Ст! )(£)=(Л + Ск1 Ы))/ (£) +

+ aK im,£)fa)

(13)

(здесь т е Ъ+ - фиксированное число).

Ясно, что оператор /(В) обратим тогда и только тогда, когда для любого т е Ъ+ обратим оператор Ст . Известно [9, с. 47-48], что оператор Ст обратим

тогда и только тогда, когда Л+сК^ 0, У£е Я,

где Я - одноточечная компактификация Я .

Теорема 3. Оператор В вида (11) нетеров тогда и только тогда, когда он обратим, необходимым и достаточным условием чего является

Л + аК1 (т,%)ф 0, У(т,^)е z+k r . (14)

Доказательство. Условие (14) является необходимым и достаточным для того, чтобы при любом т е z+ оператор Cm вида (13) был обратим, что равносильно обратимости оператора у(Б) вида (12). и остается лишь применить теорему 2.

Следствие 1. Оператор Б1 =Л + К + MaK2 не-теров тогда и только тогда, когда он обратим, необходимым и достаточным условием чего является (14). Доказательство. Достаточно представить Б^ в

виде Бх =Я1 + K1 + KaMa , где Ка = MaK2M—, и воспользоваться теоремой 3.

Литература

1. Karapetians N., Samko S. Equations with Involu-tive Operators. Boston; Basel; Berlin. 2001.

2. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Многомерные интегральные операторы c однородными степени

Поступила в редакцию

(- n) ядрами // Докл. РАН. 1999. Т. 368. № 6. С. 727729.

3. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Об алгебре многомерных интегральных операторов с однородными ядрами с переменными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2001. № 1. С. 3-10.

4. Авсянкин О.Г. О применении проекционного метода к парным интегральным операторам с однородными ядрами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 8. С. 3-7.

5. Авсянкин О.Г. Об алгебре парных интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки. 2003. Т. 73. Вып. 4. С. 483-493.

6. Авсянкин О.Г., Деундяк В. М. Об алгебре многомерных интегральных операторов с однородными SO(n)-инварианшыми ядрами и радиально слабо осциллирующими коэффициентами // Мат. заметки. 2007. Т. 82. № 2. С. 163-176.

7. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения: операторный подход. Минск, 1988.

8. Мерфи Дж. С -алгебры и теория операторов. М., 1997.

9. Kravchenko V.G., Litvinchuk G.S. Introduction to the theory of singular integral operators with shift. Dordrecht; Boston; London, 1994.

26 ноября 2007 г.