Ограниченность и обратимость интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа в некоторых весовых Lp-пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОГРАНИЧЕННОСТЬ И ОБРАТИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ КОМПАКТНОГО ТИПА В НЕКОТОРЫХ ВЕСОВЫХ ¿^-ПРОСТРАНСТВАХ

© 2012 г. Е.И. Мирошникова

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Рассматриваются интегральные операторы с однородными ядрами. Доказывается теорема об ограниченности таких операторов в Ьр-пространствах с полумультипликативным весом. Вводится класс однородных ядер компактного типа. Для алгебры, порожденной операторами с такими ядрами, устанавливается связь с операторами свертки и строится символическое исчисление. В терминах символа формулируется критерий обратимости операторов из этой алгебры.

Ключевые слова: интегральный оператор, оператор свертки, однородное ядро, ограниченность, обратимость, символ.

Integral operators with homogeneous kernels are cosidered. The theorem on boundedness of these operators in bp-spaces with semimultiplicative weight. Class of homogeneous kernels of compact type is introduced. For algebra generated by operators with such kernels the relationship with convolution operators is established and the symbolic calculation is constracted. In terms of symbol for operators from the algebra the invertibility criterion is formulated.

Keywords: integral operator, convolution operator, homogeneous kernel, boundedness, invertibility, symbol.

Впервые многомерные интегральные операторы с однородными ядрами были рассмотрены Л.Г. Михайловым [1]. Далее теория таких операторов активно развивалась в работах Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, О.Г. Авсянкина и других авторов (см. [2 - 6] и цитированные там источники). Однако при решении вопроса об ограниченности и обратимости операторов с однородными ядрами в ¿^-пространствах сушест-венно использовалось условие инвариантности ядра относительно преобразований группы Б0(п) вращений пространства Яп. Данное ограничение значительно сужает класс изучаемых объектов [7, с. 36]. В

[8] рассматривается новый более широкий класс интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа.

В настоящей работе получены достаточные условия ограниченности многомерных интегральных операторов с однородными ядрами в ¿^-пространствах с полумультипликативным весом, что является обобщением результата из [6], где рассмотрены Б0(п)-инвариантные ядра. Кроме того, критерий обратимости операторов с однородными 50(п)-инвариантными ядрами из [6] распространен на случай операторов с ядрами компактного типа.

1. Ограниченность интегральных операторов с однородными ядрами

1.1. Введем необходимые обозначения, которые будем использовать на протяжении всей статьи. Для произвольного банахова пространства X через Ь(Х) обозначим банахову алгебру всех линейных ограниченных операторов, действующих в X; через К(Х) - идеал компактных операторов. Пусть 1< р < ж, V и и - весовые функции на снабженных мерами пространствах X и У соответственно; Ь (X; ж) о Ьр (У;и) - алгебраическое

тензорное произведение весовых пространств Ьр (X; м>) и Ьр (У; и), состоящее из функций вида

I

, Р1 е Ьр (X; ж), т е Ьр (У; и). В силу плотности

1=1

Ьр (X; ж) о Ьр (У;и) в Ьр (X х У; ж ® и) топологическое тензорное произведение Ь (X; ж) ® Ьр (У; и), являющееся замыканием Ьр (X; м>) о Ьр (У; и), совпадает с Ь (X х У; ж ® и). Аналогично для банаховых алгебр А(с Ь(Ьр (X; ж))) и Б(с. Ь(Ьр (У; и))) топологическое тензорное произведение А ® Б определяется как замыкание в Ь(Ьр (X х У; ж ® и)) алгебраического тензорного произведения А о Б . Если и - банахова алгебра, то Ои - группа обратимых элементов из и, и+ -унитализация и. Подалгебру V банаховой алгебры и называют наполненной в и, если ОУ = V Ои .

Для компакта X и метризуемого пространства У через С(Х;У) будем обозначать пространство непрерывных отображений X в У с равномерной топологией; пусть С(X) = С(X; С). Если У - топологическая группа или банахова алгебра, то и С^; У) - топологическая группа или банахова алгебра с обычными операциями. Для локально компактного не компактного

топологического пространства X через X будем обозначать компактификацию X точкой ж; пусть

С (X;У) ={р:р е С(X;У),р(ж) = 0} для произвольной алгебры У. Тождественное преобразование произвольного множества О будем обозначать .

Для произвольного изоморфизма банаховых пространств £ : X1 ^ X2 равенство

£(А) = gAg-1, А е Ь(XI), (1)

определяет пространственный изоморфизм подобия £ : Ь(XI) ^ Ь(К2) , при этом £ (К X)) = К&2).

1.2. Пусть К+ = (0; ж) и функция ре С(К+) положительна и удовлетворяет условию

р(г^) < р(г1)р(г2), 4(1,г2 е Я +. (2)

Обозначим через Ь (Я"; р(\ х |)), 1< р < ж, пространство всех измеримых комплекснозначных функ-

( \1р

ций с нормой

\\Lp (R" ;р(\x\))

J \p(x)\p р(1 x | )dx

V R"

Предположим, что измеримая функция к определена на Яп х Яп и удовлетворяет условию однородности степени (-и):

4х, у е Яп , 4р е Я +, к(рх, ¡у) = ¡-пк(х, у) . (3)

Отнесём её к классу XX, если выполняются условия суммируемости: почти для всех а е , где -

единичная сфера с центром в начале координат в Я п ,

к[Яр (а) = Л к( х, а)\\х Г'р' р(\х\)к < ж,

кт (а) = | | к(а, х) \ \ х Г'р Сх < ж, и к классу X2, если

кт (а) = | | к(х, а) || х Г'"' Сх < ж,

кЩр (а)= | | к(а, х)Ц х \-п,р р(\ х р1)Сх < ж, где

1'р + 1' р' = 1 и Кт , К[2] , Кт р , К[21р е Ьж (^п-1 ) .

Нетрудно видеть, что XI, X2 - банаховы пространства

Н^тН },

с нормами ПхГтах{\Ыр1а(S"-i)' (S"_i)j

, ^ J } соответственно.

Ii»(S„_iHl Lc(S„-1)

IN X2 =max{ ы

Обобщением теоремы 2 из [5] на случай весовых Ьр -пространств и теоремы 1 из [6] на случай операторов с произвольными (не обязательно 5"0(п)-инва-риантными) однородными ядрами является Теорема 1. Оператор (Ак (р))(х)= ¡к:(х, у)р(у)Су, (4)

где к е X! ^ X2, ограничен в Ь (Яп; р(\ х |)).

Доказательство. Предположим, что ке X). Пусть

реЬп(Яп;р\х |)), теЬ ,(Кпрах])). Пользуясь свойством

р р

полумультипликативности (2) весовой функции р, имеем

J (AK (<РЖ x)V(x)p(\ x l)dx

< J J N(x, y)l l1p\y\ "lpp'l x l-"pp'lp(y)lpl1p (\ y l р (\ xy l )x

R" R"

X l K(x,y) \Vp'l y ripp'l x \"ipp'l ¥(x) l pVp'Qxl)dxdy . Применим неравенство Гельдера с показателями

p, p'. Получим

f

J (A (р))(x)v(x)p(\ x l )dx

<

<

\i/p

J \Р( y)\p\yfp' p{\y\)li( y)dy

V R" f

■\11p'

J \W( x)\ p'l x rp p(\x\)12( x)dx

V R"

где 11(у) = | | к(х, у)Ц х \-п1р' р^хЩу^, 12(х)= Цк(х,y)| | у |-п!р Су .

Рассмотрим отдельно функцию 1\. Производя замену х =\у\г и используя условие однородности (3), получим

Ь(у) = I КЦуи, y)| | y| n'p|г|-п'р' рЦ г | )Сг =

=\yr1p' J

R"

К\ t

< y Vlp' N

[i]p

y

' l y l \y\

\t\-"lp' p(\t\)dt <

l y r1p' N

[i],p

L» (S"_i)

<

R

R

X

X

"

R

Действуя подобным образом, получаем оценку и для I2:

12(x) <|x r/p k

[2]

. Тогда

J (AK (p))(x)Mx)p(| x |)dx

< k

iii/p

¿о ^„-1) 1К[2] II ¿„ (Sn_1) I™Lp (Я" ;р(|х|)) 1Ш¿р. (Я" ;р(|х|)) '

Воспользуемся следствием теоремы 2 из [9, с. 237] и выведем отсюда ограниченность оператора А:

iii/p'

IK И1 Lp (R»;p(|xD)= . SUP p Mt .

LAR" ;p(|x|))

J (Ax Ш x)M(x)p(| x |)dx

< k

iii/p

iii/p'

[i],p

[2]

\\A,

< k

lli/p

sup |Ax (^)||L

"«Lp (R" ;p(|x|)) l|1/p'

xll L(Lp (R" ;p(|x|))) у] "_T ..........^Lp (R" ;p(|x|))

.. [1],р11 Lо (S„_1) II [2]11 Lо ^„_1) '

Случай к е Х2 рассматривается аналогично.

2. Обратимость интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа

2.1. Обозначим через (г, а) е Я + х _ 1 полярные координаты точки х е Я". Переход к полярной системе координат индуцирует изоморфизм банаховых пространств

д : Ьр (К"; р(| х |)) ^ Ьр (Я + х ; р(г)г„_1 01) =

= Lp (R +; p(r)r"-1) ® Lp (S"_i) ,

(5)

где Ьр (К; р(г)г" 1) - пространство всех измеримых комплекснозначных функций с нормой

( \1/р

| | <р(г) |р р(г)г"_1ёг

V К+ у

Lp(R+ ;p(r)r" !)

Определенную на К х К х х измеримую функцию I, однородную степени (-1) по радиальным аргументам, отнесем к классу X', если почти для всех

с е s

S"_i l[i],p(c)= J J |l(r,\,Зс)|rr"p-lp(r)drdЗ<»

R+ Sn-1

'и (а) = I I 11(1, г,а,3)| г-"'рс1гс1»< о, и к классу

К+ Sn_1

X2, если /щ (а) = | | 11(г,1,$,а)| гп,р_1СгСЗ< о, 1т,Р (а) = I I 11(1, г, а, 3) | г-„'рр{г~1)СгСЗ< о, где

1[1], 1[2], 1[1],р, 1[2],р е ¿о (Я„_1) .

Нетрудно проверить, что X', X' - банаховы пространства с нормами

" " ,

Щх1 = тах{| | i[i]p.

L» (Sn-i)

[2]

L» (Sn-i)

lllllx2 = max{ '[i]|

iL» (Sn-iT11 [2],pll L» (S"_i)

}.

Непосредственными вычислениями доказывается техническая

Лемма 1. Справедливы следующие утверждения: 1) соответствие к ^ ~(к), где ке X1'(X2), а ~ определяется формулой

(~(к))( г,/,а,3) = к(га,/3)/п_1,

{г;/} с Я + ,{а;3} с , (6)

задает изометрический изоморфизм банаховых пространств ~: X1 ^ X' (~: X2 ^ X');

2) для произвольного I е X' ^ X' формула

(¿/)(г, а) = | | 1(г,/,а,3)/(/,3)С/С3 (7)

Я+ х„_1

задает оператор Ц из ¿(¿р (Я+ х 1; р(г)г"_1 0 1)), при этом для изоморфизма ~ (см. (6)) и изоморфизма подобия д, определяемого с помощью изоморфизма (5) и конструкции (1), справедливо соотношение

д(Ак )=;

3) пусть Ор (X1) ( Ор (X2)) - замкнутая подалгебра банаховой алгебры Ц(Ц (Я" ;р(| х |))), порожденная операторами вида (4) с ядрами из X1 (X2), а Ор^') (Ор^')) - замкнутая подалгебра банаховой алгебры Ц(Ц (Я+ х 1; р(г)г"_1 01)), порожденная операторами вида (7) с ядрами из X! (X'), тогда имеет место равенство q(<Op(Xl)) = Ор^') (д(Ор^ 2)) = Ор( X')).

Будем полагать, что измеримая функция а, определенная на х и однородная степени (_1),

принадлежит классу X, если выполнены условия

а[0] = | | а(1, /)| /-п1р& < о ,

а[0] р = I |а(1, / )|/-пПрр(/ _ < о .

Цустъ Ур0 = X о Цо (Я„_1 х Я„_1) - алгебраическое тензорное произведение; У'р - его замыкание в Xl'nl X'; У - класс функций на Я" х Я", полученный из У'р переходом к декартовой системе координат. Аналогично [8] ядра из Ур будем называть ядрами компактного типа.

Замечание. Класс У вложен в X1 ^ X2.

Через Вр (с Ь(Ьр (Я"; р(| х |)))) обозначим унита-

лизацию банаховой алгебры, порожденной операторами вида (4) с ядрами из Ур . Пусть В'р = д(Вр).

Операторы с ядрами компактного типа в безвесовых ¿^-пространствах были рассмотрены в [8, 10]. Исследование обратимости операторов с ядрами компактного типа в пространствах с весом, так же как и в безвесовом случае, удобно проводить с помощью теории операторов свертки.

2.2. Приведем необходимые сведения об операторах свертки, которые доказываются по аналогии с [6, 8].

Пусть функция w е С(Я) положительна и удовлетворяет условию

w(x + у) < w(x)w(у) , Ух, у е Я. (8)

В пространстве Ц (Я; w(х)) рассмотрим банахову алгебру V,, порожденную операторами свертки вида (Са (Ф))(х) = |a(x _ у)ф(у)Су , а е ¿1 (Я; w(x)) . (9)

<

n

R

<

"

R

"

»К1-1"

<

R

Сопоставление оператору свертки Ca преобразования Фурье F(a) его ядра а задает непрерывный мономорфизм 5 у ^ С (Р), где Р = {г еС :т1 <т2},

1п 1п w(-x) пределы тх = 11т-, Ь = 1im- существуют

x^+ад _ x

x

и конечны [11, § 18, с. 122]. Введем на С^ (Р) = у) топологию пространства Ь (Я; ж(х)) -мультипликаторов Фурье, при этом алгебра С0Р(Р) непрерывно вложена и наполнена в С0(Р). Далее под Б : у, ^ С0 р(Р)

будем понимать изоморфизм ограничения на образ.

Зафиксируем компакт с мерой Т, пусть К = К(Ь (Т)). Рассмотрим непрерывный мономорфизм ® I: у, ® К ^ С (Р; К) и введем на алгебре С0 (Р; К ) = (Б ® 1)У ® К ) норму равенст-

вом

iicq, p (р Kp)

= ||(Sp ® I)-\f)I

L(Lp (RxT;w(x)®1))

Отметим, что банахова алгебра С0 (Р; Кр) непрерывно вложена и наполнена в С0 (Р; Кр). Рассмотрим ограничение Бр ® I на образ, перейдем к унитализа-ции и получим изоморфизм:

Таким образом, для каждого оператора Н еУпр определен его символ (Н)(е С0 Р (Р; Кр))+).

Из [6, предложение 2], применяя рассуждения, аналогичные доказательству леммы 2.3 из [8], получаем

Теорема 2. Пусть Н еУК. Тогда

Н е ОУК « БКр (Н) е О(С0,Р (Р; Кр )) + .

2.3. Ниже выявим связь операторов с однородными ядрами компактного типа и операторов свертки с компактными коэффициентами. Для этого нам понадобится следующая техническая

Лемма 2. Соотношение р^ ир (р), где

ре Ь (Я; р(г)гп-1), а ир определяется формулой

(up (р)){x) = ep p(ex) , x e R

(10)

задает оператор ир , изометрично отображающий пространство Ь (Я ;р(г)гп-1) на Ь (Я;р(ех)), причем если функция р полумультипликативна, то функция ж (х) = р(ех) удовлетворяет условию (8). Обратный к нему оператор имеет вид

(u-1(^))(r) = r py([n r) , r e R+ .

(11)

Замечание 1. Так как результаты п. 2.2 справедливы только для положительных функций ^ (х) = р(ех) е С(Я), то это накладывает ограничения на множество значений весовой функции р, а именно она должна удовлетворять условию

р(г) >1, 4г е Я . (12)

Далее будем полагать, что требование (12) выполнено.

Замечание 2. В случае р(г) > 1 классы XI и X2, введенные в п. 1 настоящей статьи, совпадают и, следовательно, X1 X2 = X1 ^ X2.

Пусть компакт Т = 5л1. Тогда из леммы 2 следует, что оператор

ир = ир ® &Ьр(5п-1) (13)

является изометрическим изоморфизмом пространства

Ьр(Я+хБп-1;р(г)гп-1 ®1) на Ьр(ЯхБ^;^(х)®1). С помощью (10), (11), (13) и конструкции (1) определим изоморфизм подобия ир : йр : Ь(Ьр(Я+хБп-1;р(г)гп-1 ®1)) ^ ^Ь(Ьр(Ях5п-1;пр(х)®1)).

Теорема 3. 1) ограничение йр на банахову алгебру Б' задает изоморфизм подобия банаховых алгебр: йр : Б'р^ Ур, ^ (х) = р(ех); 2) йрд(Бр) = Ур .

Доказательство. Из леммы (1) и определения Б'р следует, что Б'р - это унитализация банаховой алгебры, порожденной операторами вида (7) с ядрами из У'р . Рассмотрим такой оператор Ь1 с ядром I = 1112,

где 1Х е X , 12 е Ьж (Бп-1 х Бп-1). В пространствах Ьр (Я + ;р(г)гп-1) и Ьр (Бп-1) введем операторы

(Ь(1\Р1))(г) = I ¡1(г,г)р,(1)йг, г е Я + , и (Ь%(р2)Ха) = я+

= | /2 (а,6)р2 (в)Св, ае . Отметим, что Ь® является

Бп-1

компактным и Ь; = Ь® ® Ь®. Множество операторов вида Ь(2 с ядрами из Ьж (Бп-1) обозначим через К °. Рассмотрим оператор ир (Ь^): (({¡р(Ь^Хр^Хх) =

пх п

= ер I ^ (ех, г)р(1п г)грСг, ре Ьр (Я; (х)) .

Я+

Производя замену 1=еу и пользуясь свойством однородности ядра 1\, получаем

п( х-у)

{(ир0£ЖрЖх) = 1е р 1у(ех-у 1)р(у)Су.

Нетрудно проверить, что а(х) = ер ^ (ех ,1)е Ц (Я; ^ (х)).

Следовательно, ир (Ь^) = Са - оператор свертки вида

(9) в Ьр(Я;м>р(х)) с ядром из Ь^Я;жр(х)). Тогда

й р ь ) = (йр ® (Бп-^Ь ® Щ) = Са ® Щ.

Таким образом, йр (Б'р) с У^р о К0р , где Б'р -

множество операторов вида (7) с ядрами из Ур0 = X о Ьж (Бп-1 х Бп-1); - множество операторов

вида (9) с ядрами из Ь^Я; и>р(х)). Аналогично доказывается, что й~1(У1р оК0р) с Б'р . Следовательно, йр

осуществляет непрерывное биективное отображение Бр0 на У° о Кар. В силу плотности (Б'° ) + в Бр и

nx

R

tix

"

(У° о к0) в получаем, что ограничение пр на

В' задает изоморфизм подобия В' на У^ .

Положение 2) теоремы 3 вытекает из доказанного только что положения 1) и того, что В' = д(Вр).

Построим в банаховой алгебре Вр символическое исчисление. Символом оператора из Вр назовем композицию

= S/upq .

(14)

р р р1

Из теорем 2, 3 и конструкции символа (14) вытекает

Теорема 4. Пусть оператор DeBp. Тогда для того чтобы D е GBp, необходимо и достаточно, чтобы его символ ср(D)еО(С0р(P;Kp))+, где P = {zeC:ri <3z<r2},

_ lnp(ex) _ lnp(e-x) x e R ^ = lim-, т2 = lim-, x e R .

— x

x^+ад x

Автор выражает искреннюю благодарность О.Г. Авсянкину за полезное обсуждение.

Литература

1. Михайлов Л.Г. О некоторых многомерных интегральных операторах с однородными ядрами // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176, вып. 2. С. 263 - 265.

2. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators. Boston; Basel; Berlin, 2001. 360 p.

3. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Об алгебре многомерных интегральных операторов с однородными ядрами с переменными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2001. № 1. С. 3 - 10.

4. Авсянкин О.Г. Об алгебре парных интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки. 2003. Т. 73, вып. 4. С. 483 - 493.

5. Карапетянц Н.К. О необходимых условиях ограниченности оператора с неотрицательным квазиоднородным ядром // Мат. заметки. 1981. Т. 30, вып. 5. С. 787 - 794.

6. Авсянкин О.Г., Мирошникова Е.И. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами в ¿р-про-странствах с полумультипликативным весом // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 2010. № 5. С. 5 - 8.

7. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов н/Д, 1984. 208 с.

8. Деундяк В.М. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами компактного типа и мультипликативно слабо осциллирующими коэффициентами // Мат. заметки. 2010. Т. 87, вып. 5. С. 713 - 729.

9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1984. 752 с.

10. Деундяк В.М., Мирошникова Е.И. Многомерные мультипликативные свертки и их приложения к теории операторов с однородными ядрами // Сб. тр. науч. школы И.Б. Симоненко. Ростов н/Д, 2010. С. 67 - 78.

11. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М., 1960. 315 с.

Поступила в редакцию

14 июля 2011 г.