CC BY
9
www.volsu.ru
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2018.3.1
УДК 517.983 ББК 22.162
ОБРАТИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ КОМПАКТНОГО ТИПА НА ГРУППЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА
Виктор Владимирович Денисенко
Аспирант кафедры алгебры и дискретной математики,
Южный федеральный университет, институт математики, механики
и компьютерных наук им. И.И. Воровича
ул. Мильчакова, 8а, 344090 г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация
о
см
Владимир Михайлович Деундяк
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и дискретной математики,
Южный федеральный университет, институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича [email protected]
ул. Мильчакова, 8а, 344090 г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация; &арший научный сотрудник, ФГНУ НИИ «Спецвузавтоматика»
пер. Газетный, 51, 344002 г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация
г Аннотация. Рассматривается группа Гейзенберга Нга с нормой Кораньи.
В пространстве Ьр(Нга), 1 < р < ж, вводятся интегральные операторы с ц однородными ядрами компактного типа. Для банаховой алгебры с единицей
Э Ш+(Нга), порожденной операторами такого типа, строится символическое ис-
^ числение, и в его терминах формулируются необходимые и достаточные усло-
~ вия обратимости операторов из Ш+(НП). Эти результаты получены с помощью
ш перехода к сферической системе координат на группе Гейзенберга Нга и свер-
| точного представления алгебры Ш+(Нга).
| Ключевые слова: группа Гейзенберга, линейные интегральные операто-
5 ры, операторы с однородными ядрами, сверточное представление, символиче-
ское исчисление, обратимость операторов.
Введение
В пространстве Ьр(Шп), 1 < р < то, рассмотрим оператор растяжения §а, определяемый равенством (<да!= f (ж/а), а > 0. В [8] введен и изучен класс однородных операторов, коммутирующих со всеми операторами Этому классу принадлежат интегральные операторы с однородными ядрами, которые в настоящий момент хорошо изучены (см., например, [1;4; 14] и цитированные там источники). Для таких операторов получены условия ограниченности и обратимости, для операторов с различными классами коэффициентов получены условия фредгольмовости и формулы для вычисления индекса. В [5] рассмотрены интегральные операторы с анизотропно однородными ядрами компактного типа, а в [13] — однородные операторы в гильбертовых модулях.
В связи с развитием в последнее время некоммутативного гармонического анализа и его применением в различных областях науки и техники [12; 15; 16] представляется актуальным распространить теорию операторов с однородными ядрами с группы Мга на некоммутативные группы. В работе [3] введен класс интегральных операторов с однородными ядрами на группе Гейзенберга, для которых получены условия ограниченности и регулярности. В настоящей статье на группе Гейзенберга вводится новый класс однородных ядер компактного типа и для унитализации банаховой алгебры (Нга), порожденной интегральными операторами с ядрами такого типа, строится символическое исчисление, в терминах которого формулируется критерий обратимости.
1. Группа Гейзенберга
В этом разделе приведем в удобном для дальнейшего виде необходимые сведения о группе Гейзенберга (см., например, [16, с. 209-212]). Пусть N — множество натуральных чисел; М — аддитивная группа вещественных чисел; М+ — мультипликативная группа положительных чисел; Сп — и-мерное унитарное пространство со скалярным произведением
г ■ т = ^2 ^ Ь)к, к= 1
и нормой
I
Й
С
г е Сга
Группой Гейзенберга называется множество Нга = Сга х М с бинарной операцией
(г, а)(т, Ь) = (г + 'Ю,а + Ь + 2\ш(г ■ 1^)), (г, а), (т, Ь) Е Нп.
Нейтральный элемент группы имеет вид (0, 0), где 0 — нулевой вектор пространства Сга, а обратный элемент вычисляется по формуле (г, а)-1 = (-г, -а). Заметим, что в некоторых источниках групповая операция может определяться иначе (см., например, [11, с. 13]). Кроме того, следует отметить, что группу Гейзенберга часто определяют как подгруппу группы квадратных верхнетреугольных матриц размера п + 2 следующего вида:
'1 ас 0 Еп Ьт 0 0 1
2
где Еп — единичная матрица порядка п, а и Ь — вектор-строки из Кга, Ь м Ьт — операция транспонирования, с Е К. Все упомянутые подходы приводят к изоморфным группам.
Для любого г Е К+ существует автоморфизм Ьг : Нга м Нга, определяемый формулой
бг(г, а) = (гг,г2а), (г, а) Е Нга.
Автоморфизм бг называют растяжением. Группа автоморфизмов (6Г}гек+ с операцией композиции изоморфна группе К+, при этом 6гр = бг6р и б-1 = 61 для любых г, р Е К+.
г
Снабдим группу Нга нормой Кораньи:
\\(г,о)\\ = (И4 + а2)1 , (г,а) Е Ига, которая удовлетворяет условию однородности:
Ух Е Ига,г Е К+ : \\6Г(х)\\ = г\\х\\. (1)
Норма Кораньи позволяет определить на группе Гейзенберга единичную сферу
§га = (ж Е Ига : \\ж\\ = 1}
с центром в точке (0,0) Е Нга, которая гомеоморфна стандартной 2п-мерной сфере в пространстве К2га+1.
На группе Гейзенберга преобразование декартовых координат х Е Нга \ ((0,0)} в сферические (г, в) Е К+ х §га определяется по формулам
г = \\х\\, 8 = 6-цОг), (2)
при этом для любой определенной на Нга интегрируемой функции f
о
! ¡(х) ¿х = 1! /(6Г(в)) г2п+1 йгйз. (3)
Нп §п 0
Стандартная мера Лебега на группе К2га+1 задает биинвариантную меру Хаара на группе Гейзенберга Нга [16, с. 192]. Ниже мы будем рассматривать лебеговы банаховы пространства Ьр(Нга), где 1 < р < то и Ьо(§„). Кроме того, далее понадобится естественный аналог пространства со смешанной нормой Ь(1,о)(Кп х Кга) (см., например, [2, с. 8-11]), а именно весовое пространство Ь(1,о)(Ига х Нга,и1 ® ш2), то есть пространство, состоящее из определенных на Нга х Нга измеримых функций f, для которых конечна норма
La™ )(HnxHn,wi®w2) — esssup ( ' ) уешп
где ш\,ш2 — весовые функции на Hra.
(у) / |/(х,у)1 Шх(х) dx
(4)
2. Интегральные операторы с однородными ядрами на группе Нга
Пусть 1 < р,р' < то, 1/р +1/р' = 1. Определенную на Нга х Нга функцию к назовем однородной степени т, если
Уу Е М+, Ух,у Е Ига : к(Ьу(х), ьу(у))= утк(х,у). (5)
Однородную степени (—2п — 2) измеримую функцию к отнесем к классу М.р(Нп),
если
Кх(к) = евв вир
ст€§„
к2(к) = евв вир
2п+2
\к(х, а)| ЦжЦ р' Ах
2п+2
\к(в,у)\\у\ р Ау
<,
<.
(6) (7)
Лемма 1. Мр(Шп) — банахово пространство c нормой
\\к\\мР(шп) = шах(к (k), К2(к)).
(8)
Доказательство. Для любой функции к Е М.р{Ш.п) и соответствующих чисел кг(к), к2(к) справедливы равенства
Кх(к) = евв вир
уешп
к2(к) = евв вир
хешп
2п+2 I 2п+2
\\у\\ р' \к(х,у)\\\х\\ р' <1х
2П + 2 I _ 2П + 2
\\ж\\ р \к(х,у)\\\у\\- р Ау
(9)
(10)
Действительно, используя замену х м- Ь\\у\\(х),Ах м- \\у\\2га+2^ж, а также воспользовавшись свойством однородности нормы Кораньи (см. (1)) и свойством однородности функции к (см. (5)), легко убедиться, что
2 п+2 I 2п+2
Уу Е Ига : \\у\\ р' \к(х,у)\\\х\\ р' ¿х
2п+2
\\ж\\ р' Ах.
Далее, замечая, что
евв вир
уешп
2п+2
\\ж\\ р' Ах
евв вир
ст€§„
2п+2
\к(х, а)\\\ж\\ р' Ах
и учитывая (6), получаем (9). Выполнение равенства (10) доказывается аналогично.
Множество определенных на Нга х Нга измеримых функций к, удовлетворяющих условию Кх(к) < то (см. (9)), является банаховым пространством
(2п+2 2п+2 \
Н х Ига, \\ж\\ р' ®\\у\\ р' ]
(см. (4)). Подпространство этого пространства, порожденное однородными степени (—2п— — 2) функциями, обозначим МЦН). Норма в данном пространстве задается равенством
1М1м1(н„) = к1(к).
Множество определенных на Нга х Нга измеримых функций к, удовлетворяющих условию к2(к) < то (см. (10)), обозначим М°(Нга). Каждой функции к Е Мр(Нга) сопоставим функцию к(х,у) = к(у,х), которая, как несложно заметить, удовлетворяет условию
евв вир
уешп
, 2п+2
р \к(х, у)\ ||х|| р dx
< то.
Множество определенных на Нга х Нга измеримых функций к, для которых справедливо это условие, является банаховым пространством
(2п+2 2п+2 \
H х H, ||хП р ®!Ы! р )
откуда следует, что Мр(Нга) также является банаховым пространством. Подпространство пространства М°(Нга), порожденное однородными степени (—2п — 2) функциями, обозначим М^(НП). Норма в данном пространстве определяется равенством
Ш\м1(Нп) = К2(к).
Банаховы пространства Мр(Нга) и М2(Нга) образуют банахову пару, а их пересечение
Мр(Шп) = м;(и„) р| м2р(Н) является банаховым пространством с нормой (8) (см. [6, с. 20]). Лемма доказана.
В пространстве Ьр(Шп) рассмотрим интегральный оператор
(Кк ¡)(х)= [ к(х,у) ¡(у) ¿у, к ЕМр(Шп). (11)
Из теоремы 1 работы [3] вытекает следующее утверждение. Теорема 1. Оператор Кк вида (11) ограничен в Ьр(Шп).
Для произвольного банахова пространства X через £(£) будем обозначать банахову алгебру всех линейных, ограниченных в X, операторов. Замкнутую подалгебру банаховой алгебры £(Ьр(Шп)), порожденную интегральными операторами вида (11), обозначим Ор(Мр(Ига)).
3. Операторы из Ор(Мр(Нга)) в сферической системе координат
Для того чтобы в алгебре Ор(Мр(Нга)) выделить подалгебру операторов с однородными ядрами компактного типа, рассмотрим операторы из Ор(Мр(Нга)) в сферической системе координат. Преобразование декартовых координат в сферические на группе Нга индуцирует изометрический изоморфизм
д : Ьр(Шп) ^ ЬР(Ж+ х $п, г2п+1 0 1)
(см. (2)-(3)), который определяется по формуле
(Я!)(г,з) = f (Ьг(з)), Г Е М+, 8 Е 8,
(12)
Определенную на М+ х М+ х 8га х 8га измеримую функцию I, удовлетворяющую условию
Уу,г, р Е М+, Уз, а Е 8га : 1(уг,ур,з, а) = у-11(г, р,в, а), отнесем к классу Мр^Нп), если
к' (I) = евв вир
ст€8„
к2 (I) = евв вир
«€8П
8„ 0
8„ 0
2п+2 1
\1(г, 1,5, а)\г р ¿г ¿з
_ 2П + 2
\1(1, р, в, а)\ р р <!р(1а
< то,
<.
Аналогично лемме 1 доказывается, что М'р(Шп) — банахово пространство с нормой
\И\мр(и„) = шах(к(l), к2(1)).
Изометрический изоморфизм <5 : Мр(Шп) м М'р(Шп) определим по формуле
(ф)(г, в, р, а) = р2га+1 к(Ьг(в), Ьр(а)), г, р Е М+, в, а Е 8„. (13)
В пространстве ЬР(М+ х 8п,г2п+1 0 1) рассмотрим интегральный оператор
(и ¡)(т,з)= 1(г, р,з, а) ¡(р, а) &р ¿а, I ЕМ'(Шп).
(14)
8„ 0
Для любого изоморфизма произвольных банаховых пространств Т : Х1 м Х2 пространственный изоморфизм подобия банаховых алгебр Т : С(%\) м С(%2) определяется с помощью равенства
Т(0) = Т 0Т-1, 0 ЕС(Хг). (15)
Непосредственными выкладками доказывается, что для отображения <5 (см. (13)) и изоморфизма подобия
<5 : £(ЫШп)) м С(Ьр(М+ х 8п, г2п+1 0 1)), (16)
определяемого с помощью изоморфизма Q (см. (12)), справедливо соотношение
Ук Е Мр(Шп) : §(Кк) = Ьт, (17)
откуда, в частности, следует, что в силу теоремы 1 оператор вида (14) ограничен в пространстве ЬР(М+ х 8га, г2п+1 0 1). Замкнутую подалгебру банаховой алгебры £(£Р(М+ х х 8га, г2п+1 0 1)), порожденную интегральными операторами вида (14), обозначим Ор(М'р(Шп)), тогда
д(Ор(мр(ига))) = Ор(м;(ига)).
4. Операторы с однородными ядрами компактного типа на группе Нп
Будем полагать, что определенная на М+ х М+ измеримая функция а, удовлетворяющая условию
Уу,т, р Е М+ : а(уг, ур) = у-1 а(г, р), (18)
принадлежит классу Лр(К+,г2п+1), если
те те
/2п+2 1 С 2п+2
|а(г, 1)|г р с1г= |а(1, р)| р р ¿р < то. (19)
о о
Нетрудно доказать, что ЛР(М+, г2п+1) — банахово пространство с нормой
||а Щр(К+,г2«+1) = а(а).
В пространстве Ьр(М+, г2п+1) рассмотрим оператор мультипликативной свертки
те
(Аа /)(г) = ! а( г, р)!(р)йр, а Е Л(®+, т2п+1). (20)
о
Известно, что оператор Аа вида (20), ограничен в Ьр(Ш+, г2п+1) [14, с. 53]. Замкнутую подалгебру банаховой алгебры £(Ьр(М+, г2п+1)), порожденную интегральными операторами вида (20), обозначим Ур(М+, г2п+1).
Рассмотрим алгебраическое тензорное произведение
Лр(Ш+, г2п+1)©Ьте(§пх§п) = |^ агъг : аг Е Лр(М+, г2п+1), Ъг Е ¿те(§п х §п), 3 Е н|
вложенное в М.'р(Нп). Через Ср(Нп) обозначим замыкание Лр(М+, г2п+1) © Ьте(Б,п х §п) в ^Р(Ип). Пусть
Ср(Шп) = С^-1(С'р(Шп)).
В силу того что интегральные операторы с ядрами из Ьте(§пх§п) компактны в пространстве Ьр(Вп), ядра из Ср(Шп) будем, аналогично работе [4], называть ядрами компактного типа.
Замкнутую подалгебру банаховой алгебры Ор(^р(Нп)), порожденную интегральными операторами (11) с ядрами из Ср(Нп), обозначим Шр(Нп). Для произвольной банаховой алгебры А через А+ обозначим ее унитализацию. В частности, Ш+(Нп) — унитализация Шр(Нп).
Из равенства (17) следует, что алгебра Ш'р(Нп) = <5(Шр(Ип)) совпадает с замкнутой подалгеброй банаховой алгебры Ор(^р(Нп)), порожденной интегральными операторами (14) с ядрами из С'р(Шп).
Топологическое тензорное произведение Ьр(Х, ц) © Lр(Y, у) весовых пространств Ьр(Х, ц) и Ьр(у, у) определяется как замыкание в Ьр(Х х V, ц © у) алгебраического тензорного произведения
LP(X, ц) © LP(Y, у) = j£fi9i : ft Е LP(X, ц), дг Е LP(Y, у), j Е N j ISSN 2587-6325. Математ. физика и компьютер. моделирование. 2018. T. 21. № 3 11
Поскольку ЬР(Х, ц)©ЬР(У, V) плотно в ЬР(Х х У, ц®V), то ЬР(Х, ц)®ЬР(У, V) совпадает с ЬР(Х х У, ц ® V). Топологическое тензорное произведение А ® В банаховых алгебр А С С(ЬР(Х, ц)) и В С С(ЬР(У, V)) определяется как замыкание в С(ЬР(Х х У, ц ® V)) алгебраического тензорного произведения
А © В = | X] ^ ® ^ : ^ е А, вг е В,] е N | ,
где Кг ® Бг — непрерывное продолжение оператора Кг © Бг, ограниченного в линеале ЬР(Х, ц) © ЬР(У, V), на банахово пространство ЬР(Х х У, ц ® V) [7, с. 110].
Идеал компактных в пространстве Ьр(§п) операторов обозначим ^р(§п). Следующее утверждение доказывается по схеме доказательства леммы 1.1 из [4]. Лемма 2. шр(Ип) = УР(М+,г2га+1) ® КР(Бп).
Пример 1. Построим интегральный оператор с однородным ядром компактного типа. Определенная на Нп х Нп функция
К(х,У) = ||ж||2п+2 + Ы2п+2 ^ (6|М|(ж), 6Й|(^) , 4 е ^(§га х §га),
является однородной степени (—2п — 2) (см. (5)). Проверим для функции к выполнение условий к1(к),к2(к) < то, (см. (6)-(7)). Рассмотрим функцию
йх, а е §п.
К1 (а)= /-1-^^ 4 (б-!,,(х), а)
] ,, ,,221+2 .....(2п+2)( 1V )
шп ¡ж! р' + И( + ^р' +) Справедлива оценка
-21+2-(2п+2)/ 1 +Л .
н„ Ы — + 1М|(2п+2Ч7+1)
Интеграл в правой части неравенства сходится в силу утверждения 3 леммы, доказанной в [3], и, следовательно,
к1(к) = (§„) <
Аналогично проверяется выполнение условия к2(к) < то. Таким образом, к е ^Р(Нп). Применяя к функции к отображение <5 (см. (13)), получим
д(к)(г, P, а) = Р2п+1 г2п+2 + р2п+2 4(^ а), ^ Р е R+, ^ а е ^
Функцию <5(к) представим в виде <5(к) = к0 4, где
кс(г, Р) = Р2п+1 1
г2п+2 + р2п+2
Несложно видеть, что функция к0 удовлетворяет условию (18), а интеграл
а(ко)^У |ко(1, Р)| Р р dp = ! 1 21+2 1 (1р
00
р р' + р ' р
(см. (19)) сходится и, следовательно, к0 Е АДМ+, г2п+1). Таким образом, мы установили, что <(к) Е С'р(Нп), к Е Ср(Нп), а оператор вида (11) с ядром к
(*кЛ(*) = ! ||ж||2п+2 + ы?п+, ^мО^ ьы(у)) {(у)Лу (21)
нп
является ограниченным в Ьр(Шп) интегральным оператором с однородным ядром компактного типа.
5. Символическое исчисление и условие обратимости для Ш+(Нп)
Рассмотрим сверточное представление алгебры Ш+(Нп). С помощью изометрического изоморфизма и2п+1 : Ьр(М+, г2п+1) ^ Ьр(М) вида
(ирп+1 т) = е^4/(е% 1Е М и конструкции (15) определим изоморфизм подобия банаховых алгебр
ирп+1 : С(Ьр(М+, г2п+1)) ^С(Ьр
Замкнутую подалгебру банаховой алгебры С(Ьр(М)), порожденную операторами аддитивной свертки
( Се f )(t)= C(t - x)f(x) dx, С Е Li
c_
— oo
обозначим Ур
Непосредственными выкладками доказывается, что ограничение ирп+1 на Ур(М+,г2п+1) задает изоморфизм
ирп+1 : Ур(М+, г2п+1) ^ ^(М),
причем и2п+1(Аа) = Сс, где Аа - оператор вида (20), а Сс - оператор свертки с ядром
2п+2 . ,
c(t) = е р а(е , 1).
Отметим, что ограничение < (см. (16)) на алгебру Шр(Нп) задает изоморфизм Q : Шр(Нп) ^ шр(Нп) и рассмотрим оператор
ирп+1 0 I : Ур(М+, г2п+1) 0 Кр(Бп) ^ Ур(М) 0 Кр(Бп).
Учитывая лемму 2, построим оператор
(ирп+1 0 I) Q : Шр(Шп) ^ Ур(М) 0 Кр(Бп),
порождающий изоморфизм
Ир : Ш+(Нп) ^ ( Ур(М) 0 Кр(Бп))+. (22)
Изоморфизм ир мы будем называть сверточным представлением алгебры Ш+(Нга).
Построим символ для операторов из алгебры ("^(К)0^р(8га))+. Пусть К — компак-тификация пространства К бесконечно удаленной точкой то; А — произвольная банахова алгебра, тогда через С (К, А) обозначим банахову алгебру непрерывных отображений К в А с равномерной топологией. Будем полагать, что
Со (К, А) = {/ е С (К, А) : f (то) = 0}.
Известно, что сопоставление оператору свертки Сс е ^(К) преобразования Фурье его ядра задает непрерывный мономорфизм фр : ^р(К) ^ Со(К, С) [9]. Рассмотрим оператор
Фр : УР(К) 0^р(§„) ^ Со(К, ^р(8га)), определяемый по формуле
^Р (Е0 (*) = Е(Фр(д^))(^) &, 1 е К.
Оператор Фр может быть непрерывно продолжен до оператора
Фр : Ур(К) 0 ^р(§га) ^ Со (К, £р (§„)). Легко видеть, что алгебра операторнозначных функций Со,р(К, ^р(8га)) = Фр(Ур(К) 0 ^р(8га))
с нормой
II/ 11со,р(1К,^р (§„)) = II Фр V 1кыКх§п))
является банаховой.
Ограничение оператора Фр на образ порождает изоморфизм
Фр : (Ур(К) 0^р(8„))+ ^ С0+р(К, £р(8га)), (23)
который мы будем называть символом для операторов из ("^р(К) 0 ^р(8га))+. Лемма 3. Пусть С е (^р(К) 0 ^р(8га))+. Тогда для того, чтобы оператор С был обратим в алгебре (^р(К) 0 ^р(8га))+, необходимо и достаточно, чтобы его символ Фр(С) был обратим в алгебре С+(К, Кр(8га))).
Доказательство. Пусть Ь(га, С) — банахова алгебра т х т матриц над полем С. Из того, что Фр — изоморфизм алгебр, следует, что оператор С обратим в алгебре (Ур(К) 0 ^р(8га))+ тогда и только тогда, когда его символ Фр(С) обратим в алгебре С+р(К, Кр(8га)). Обратимость же символа в С+р(К, £р(§п)) равносильна его обратимости в С+(К, £р(§п)). Данное утверждение выводится из результата И.Б. Симоненко о том, что обратимость матричнозначной функции в аналогичной банаховой алгебре С+р(К, Ь(га, С)) равносильна ее обратимости в С+(К, Ь(га, С)) (см. [9, с. 307; 10, с. 46]) и того факта, что индуктивный предел Ь(то, С) плотно вложен в £р(§п). Лемма доказана.
Символ для операторов из алгебры Ш+(Нп) построим с помощью ее сверточного представления Ир (см. (22)) и символа Фр (см. (23)) для операторов из алгебры ( УР(Ш)0
0 М§п))+
Т — ФИ
Из леммы 3 вытекает следующий критерий обратимости операторов из Ш+(Нп). Теорема 2. Пусть К е Ш+(Нп). Тогда для того, чтобы оператор К был обратим в алгебре Ш+(Нп), необходимо и достаточно, чтобы его символ Тр(К) был обратим в алгебре С+(М, £р(§„))).
Таким образом, проверка обратимости произвольного оператора К е Ш+(Нп) сводится к проверке обратимости параметризованного М семейства операторов более простого вида.
Пример 2. В алгебре Ш+(Нп) рассмотрим оператор
К — XI + Кк,
где Кк — оператор (21) из примера 1, X е С. Воспользуемся конструкцией символического исчисления для алгебры Ш+(Нп) и вычислим символ оператора К. Тогда
Тр (К )(п) — X /м§п) + в(п)Т,
где п е ИМ, Т е Кр(Бп) — компактный оператор вида
(Т/)( ^ ) — у в, а)/(а)йо
§п
с ядром 4 е £те>(§п х §п), в(п) — преобразование Фурье функции
2п+2 ^
е р г
е Ьг
е(2п+2)г + 1
Итак, проверка обратимости оператора К — XI + Кк(е Ш+(Нп)) сводится к проверке обратимости параметризованного М семейства операторов более простого вида из алгебры Кр+(§п).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Авсянкин, О. Г. О С*-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига / О. Г. Авсянкин // Доклады Академии наук. — 2008. — Т. 419, вып. 6. — С. 727-728.
2. Бесов, О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. — М. : Наука, 1975. — 480 с.
3. Денисенко, В. В. Об ограниченности интегральных операторов с однородными ядрами на группе Гейзенберга с нормой Кораньи / В. В. Денисенко, В. М. Деундяк // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. — 2017. — № 3-1. — С. 21-27.
4. Деундяк, В. М. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами компактного типа и мультипликативно слабо осциллирующими коэффициентами / В. М. Деундяк // Мат. заметки. — 2010. — Т. 87, вып. 5. — С. 704-720.
5. Деундяк, В. М. Об ограниченности и фредгольмовости интегральных операторов с анизотропно однородными ядрами компактного типа и переменными коэффициентами / В. М. Деундяк, Е. И. Мирошникова // Изв. вузов. Математика. — 2012. — № 7. — C. 3-17.
6. Крейн, С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов. — М. : Наука, 1978. — 400 с.
7. Люстерник, Л. А. Краткий курс функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. — М. : Наука, 1982. — 270 с.
8. Симоненко, И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. II / И. Б. Симоненко // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1965. — Т. 29, вып. 4. — C. 757-782.
9. Симоненко, И. Б. Операторы типа свертки в конусах / И. Б. Симоненко // Мат. сб. — 1967. — Т. 74, № 2. — C. 298-313.
10. Симоненко, И. Б. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов и их огибающих / И. Б. Симоненко. — Ростов н/Д : Изд-во ЦВВР, 2007. — 120 с.
11. An Introduction to the Heisenberg Group and the Sub-Riemannian Isoperimetric Problem / L. Capogna, D. Danielli, S. D. Pauls, J. Tyson. — Basel : Birkhauser, 2007. — 224 p.
12. Chirikjian, G. S. Engineering applications of noncommutative harmonic analysis: with emphasis on rotation and motion groups / G. S. Chirikjian, A. B. Kyatkin. — Boca Raton : CRC Press, 2001. — 698 p.
13. Deundyak, V. M. Convolution Operators with Weakly Oscillating Coeffcients in Hilbert Moduli on Groups and Applications / V. M. Deundyak // Journal of Mathematical Sciences. — 2015. — Vol. 208, iss. 1. — P. 100-108.
14. Karapetiants, N. Equations with Involutive Operators / N. Karapetiants, S. Samko. — Boston : Birkhauser, 2001. — 642 p.
15. Kisil, V. V. Symmetry, geometry, and quantization with hypercomplex numbers / V. V. Kisil // Geometry, Integrability and Quantization. — 2017. — Vol. 18. — P. 11-76.
16. Krantz, S. G. Explorations in harmonic analysis: with applications to complex function theory and the Heisenberg group / S. G. Krantz. — Boston : Birkhauser, 2009. — 360 p.
REFERENCES
1. Avsyankin O.G. O C*-algebre, porozhdennoy mnogomernymi integralnymi operatorami s odnorodnymi yadrami i operatorami multiplikativnogo sdviga [On the C*-Algebra Generated by Multidimensional Integral Operators with Homogeneous Kernels and Multiplicative Shift Operators]. Doklady Akademii nauk [Doklady Mathematics], 2008, vol. 419, iss. 6, pp. 727-728.
2. Besov O.V., Ilin V.P., Nikolskiy S.M. Integralnye predstavleniya funktsiy i teoremy vlozheniya [Integral Representations of Functions and Imbedding Theorems]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 480 p.
3. Denisenko V.V., Deundyak V.M. Ob ogranichennosti integralnykh operatorov s odnorodnymi yadrami na gruppe Geyzenberga s normoy Korani [On the Boundedness of Integral Operators with Homogeneous Kernels on the Heisenberg Group with Koranyi Norm]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Severo-Kavkazskiy region. Estestvennye nauki, 2017, no. 3-1, pp. 21-27.
4. Deundyak V.M. Mnogomernye integralnye operatory s odnorodnymi yadrami kompaktnogo tipa i multiplikativno slabo ostsilliruyushchimi koeffitsientami [Multidimensional Integral Operators with Homogeneous Kernels of Compact Type and Multiplicatively Weakly Oscillating Coefficients]. Mat. zametki [Mathematical Notes], 2010, vol. 87, iss. 5, pp. 704-720.
5. Deundyak V.M., Miroshnikova E.I. Ob ogranichennosti i fredgolmovosti integralnykh operatorov s anizotropno odnorodnymi yadrami kompaktnogo tipa i peremennymi koeffitsientami [The Boundedness and the Fredholm Property of Integral Operators with Anisotropically Homogeneous Kernels of Compact Type and Variable Coefficients]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 2012, no. 7, pp. 3-17.
6. Kreyn S.G., Petunin Yu.I., Semenov E.M. Interpolyatsiya lineynykh operatorov [Interpolation of Linear Operators]. Moscow, Nauka Publ., 1978. 400 p.
7. Lyusternik L.A., Sobolev V.I. Kratkiy kurs funktsionalnogo analiza [Brief Course of Functional Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1982. 270 p.
8. Simonenko I.B. Novyy obshchiy metod issledovaniya lineynykh operatornykh uravneniy tipa singulyarnykh integralnykh uravneniy. II [A New General Method of Investigating Linear Operator Equations of Singular Integral Equation Type. II]. Izv. AN SSSR. Ser. mat. [Izvestiya: Mathematics], 1965, vol. 29, iss. 4, pp. 757-782.
9. Simonenko I.B. Operatory tipa svertki v konusakh [Operators of Convolution Type in Cones]. Mat. sb. [Sbornik: Mathematics], 1967, vol. 74, no. 2, pp. 298-313.
10. Simonenko I.B. Lokalnyy metod v teorii invariantnykh otnositelno sdviga operatorov i ikh ogibayushchikh [The Local Method in the Theory of Shift-Invariant Operators and Their Envelopes]. Rostov-on-Don, Izd-vo TsVVR Publ., 2007. 120 p.
11. Capogna L., Danielli D., Pauls S.D., Tyson J. An Introduction to the Heisenberg Group and the Sub-Riemannian Isoperimetric Problem. Basel, Birkhauser, 2007. 224 p.
12. Chirikjian G.S., Kyatkin A.B. Engineering applications of noncommutative harmonic analysis: with emphasis on rotation and motion groups. Boca Raton, CRC Press, 2001. 698 p.
13. Deundyak V.M. Convolution Operators with Weakly Oscillating Coeffcients in Hilbert Moduli on Groups and Applications. Journal of Mathematical Sciences, 2015, vol. 208, iss. 1, pp. 100-108.
14. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators. Boston, Birkhauser, 2001. 642 p.
15. Kisil V.V. Symmetry, Geometry, and Quantization with Hypercomplex Numbers. Geometry, Integrability and Quantization, 2017, vol. 18, pp. 11-76.
16. Krantz S.G. Explorations in harmonic analysis: with applications to complex function theory and the Heisenberg group. Boston, Birkhauser, 2009. 360 p.
THE INVERTIBILITY OF INTEGRAL OPERATORS WITH HOMOGENEOUS KERNELS OF COMPACT TYPE ON THE HEISENBERG GROUP
Victor Vladimirovich Dеnisеnko
Postgraduate Student, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Southern Federal University, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science [email protected]
Milchakova St., 8a, 344090 Rostov-on-Don, Russian Federation
Vladimir Mikhaylovich Dеundyak
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics,
Southern Federal University, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics
and Computer Science
Milchakova St., 8a, 344090 Rostov-on-Don, Russian Federation; Senior Researcher,
Specvuzavtomatika Research Institute
Gazetny lane, 51, 344002 Rostov-on-Don, Russian Federation
Abstract. Let Cn be a n-dimensional complex coordinate space and let R be a set of real numbers. The Heisenberg group is a set Hn = Cn x R with the
binary operation
(z, a)(w, b) = (z + w, a + b + 2Im(z ■ w)), (z, a), (w, b) E Hn. The group under consideration is endowed with a family of dilations
br(z, a) = (rz, r2a), rE R+, (z, a) E Hn, and is equipped with the Koranyi norm
| | (z, a) || = (|z|4 + a2)1 , (z, a) E H.
This norm allows us to define the notion of the unit ball on the Heisenberg group
Sn = (x E H : | | x\\ = 1} .
The transformation of Cartesian coordinates on the Heisenberg group x E Hra \ {(0,0)} to spherical coordinates (r, s) E R+ x Sn is defined by
r=| | ^^ s = 5-c1||(x).
The function k : Hn x Hn ^ C is said to be homogeneous of degree m if it satisfies the condition of homogeneity
Vy E R+, Vx,y E Hn : k(by(x), 6y(y)) = ymk(x, y).
This paper is concerned with the study of linear integral operators on the Heisenberg group of the form
(Kk f)(x)= f k(x, y)f(y)dy,
where function k is an element of the special Banach space Mp(Hn) of homogeneous (-2n — 2) degree functions. It is claimed that operator under consideration is bounded in the space Lp(Hn), where 1 < p < to.
A new class Cp(Hn) c ^p(Hn) of homogeneous kernels of compact type is introduced. The main object of the research is the unitary Banach algebra V+(Hn) generated by integral operators with Cp(Hn) kernels. It should be pointed out that spherical coordinate system on the Heisenberg group plays a significant role in construction of the Cp(Hn) class.
The convolutional representation of the unitary Banach algebra V+(Hn) is constructed using the technique of tensor products. This representation makes it possible to define the symbol for integral operators in V+(Hn) algebra and formulate the necessary and sufficient conditions for invertibility of these operators in terms of their symbol.
Key words: Heisenberg group, linear integral operators, operators with homogeneous kernels, convolutional representation, symbolic calculus, invertibility of operators.
