CC BY
31
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ В Ьр-ПРОСТРАНСТВАХ С ПОЛУМУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ВЕСОМ
© 2010 г. О.Г. Авсянкин, Е.И. Мирошникова
Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090
Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090
Рассматриваются многомерные интегральные операторы, ядра которых однородны степени (—n) и инвариантны относительно группы вращений SO(n) Lp, действующие в -пространствах с полумультипликативным весом. Для таких операторов доказана теорема об ограниченности и установлен критерий обратимости.
Ключевые слова: интегральный оператор, однородное ядро, ограниченность, обратимость, символ.
We study the multidimensional integral operators with homogeneous kernels of degree (—n) and invariant under the rotation group SO(n), acting in Lp -spaces with submultiplicative weight. For these operators the boundness theorem and invertibility criterion are obtained.
Keywords: integral operator, homogeneous kernel, boundness, invertibility, symbol.
В настоящее время имеется немало работ, посвященных многомерным интегральным операторам с однородными ядрами [1-5]. Для таких операторов найдены необходимые и достаточные условия нете-
Предварительные сведения и вспомогательные результаты
Пусть w £ С(Я) неотрицательна и удовлетворяет
ровости и обратимости, описаны порожденные ими усл°вию
банаховы алгебры, исследованы вопросы применимости проекционного метода и соответствующие аспекты спектральной теории. Случай весового Ьр
практически не рассматривался. Исключение состав-
w(t1 +t2 ) < w(t1)w(t2), Vt1,t2 e R. Обозначим через Lpw (R),
(1)
1 < p< œ,
пространство всех измеримых комплекснозначных
Л+» \уp
ляет лишь степенной вес |х|а [1, с. 72], однако этот функций с н°рм°й ||/|
p,w
1 / (t )| pw(t)dt
V-œ
случай сразу сводится к безвесовому.
Данная работа посвящена изучению многомерных интегральных операторов с однородными ядрами в умножения образует к°ммутативную банахову
Пространство L1 w (R) со сверткой в качестве
алгебру, в которой нет единицы. Банахову алгебру, получающуюся из (Я) путем присоединения еди-
весовых Ьр -пространствах с полумультипликативным весом. Для таких операторов ниже получены достаточные условия ограниченности и критерий ницы e, обозначим через Ц ^(Я) • обратимости.
Известно [6, § 18], что если функция w(t)
Ниже используются следующие обозначения: Rn - удовлетворяет условию (1), то существуют конечные
ln w(t) ln w(—t) пределы = lim -, = lim -, причем
t — t t t
n-мерное евклидово пространство ; x = (xx, x2, ■■■ x„ ) e Rn ;
|x| = ijxf + ■■■+ x"2 ; X = x/X ; x • y = x1_y1 +...+ xnyn ; e = (1, о, ■■■P) ; Sn-1 = {xe Rn : |x| = 1}; Ym^(a) - сферические
T1
■ Tf . Рассмотрим полосу P = {z e C : 7 < Im z <72}
и обозначим через Р ее одноточечную гармоники порядка m; dn (ш) - размерность компактификацию. В [6, § 18] показано, что пространства сферических гармоник порядка ш: пространство максимальных идеалов алгебры
Г+ w (Я), снабженное топологией Гельфанда,
, / \ / „ ~\(п + ш — 3) „
Л,\ш)=(п + 2ш - 2)-—т-е1; Ъ+ -множество всех
пУ ' к ' ш.(п-2). +
целых неотрицательных чисел; С - множество всех
- +■» .р
комплексных чисел; /()) = | /{t)el)dt - преобразо-
—да
вание Фурье функции f
гомеоморфно компакту Р . При этом гомеоморфизме каждой точке )0 £ Р соответствует максимальный
идеал алгебры 1+ w (Я), состоящий из всех элементов Яе + /, таких что Я + / ()0) = 0 •
Множество Я„ (Я), состоящее из всех функций
Теорема об ограниченности
вида Л + /(#), 4е Р, где Ле С, / е 4,№(Я), относительно поточечных алгебраических операций и
нормы
Л + f
=\А-
111, w
образует коммутатив-
ную банахову алгебру. Нетрудно видеть, что отображение F: Е+„ (Я) ^ Я„ (Я), Ле + / ^ Л + /
является изометрическим изоморфизмом. Учитывая описание пространства максимальных идеалов
алгебры (Я), получаем
Предложение 1. Пусть функция Л + / е (Я)
такова, что Л + /(4) Ф 0, V 4е Р. Тогда
(Л + /)"1 е (Я) .
В пространстве Цр № (Я), 1 < р < да, рассмотрим
оператор
A = Л + H ,
(2)
где Ле С; Н - оператор свертки с ядром к е Ь1 „ (Я). Назовем символом оператора А вида (2) функцию
<А(4) = Л + к(4), #е Р . (3)
Обозначим через Ур замыкание в равномерной
операторной топологии множества Ур°, состоящего из
всех операторов вида (2). Очевидно, что У р -
коммутативная банахова алгебра. Сопоставление каждому оператору А вида (2) его символа аА (4)
продолжается до гомоморфизма simb :Ур ^ С(Р).
Функцию <В (4) = simb(B) будем называть символом
оператора В еУр.
Предложение 2. Для того чтобы оператор А вида (2) был обратим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
<А(4) Ф 0, V4е р. (4)
Доказательство. Необходимость. Пусть оператор А обратим. Предположим, что в некоторой точке 40 е р условие (4) нарушается, т.е. <(4о) = 0 . Нетрудно видеть, что в алгебре У р определена операция типа сопряжения [7, с. 44]. Но тогда в силу [7, теорема 3.3] оператор А-1 также принадлежит алгебре Ур. Так как АА"1 = I, то справедливо
тождество <а (4)<1 (4) = 1, 4 е Р. Полагая 4 = 40,
приходим к противоречию.
Достаточность. Если выполнено условие (4), то в
силу предложения 1 (Л + к(4))_1 = 1/Л + g(4), где
g е Ц1, № (Я). Рассмотрим оператор В еУ^ , символом
которого является функция < (4) = 1/ Л + g (4). Поскольку <а (4)<в (4) = 1, то ав = i. Следовательно, оператор А обратим.
Рассмотрим весовое пространство
Цр,р(Я") = \/ (х): /(х)р1/р (х|)е Цр (Яп)}, где 1 < р <да, функция ре С(0,да) полумультипликативна, т.е.
р(^2) <р(11)р(12), Vtl, 12 е (0,да), (5)
и удовлетворяет условию р(€) > 1, Vt е (0, да). Последнее исключает из рассмотрения степенной вес р($) = а .
В пространстве Црр (Яп), 1 < р <да, рассмотрим оператор
(Кф)х) = | к(х, уИШ, х е Яп, (6)
я п
предполагая, что функция к (х, у) удовлетворяет следующим условиям:
1) однородность степени (-п), т.е.
к (ах, ау) = а~"к (х, у) , Va > 0 ;
2) инвариантность относительно группы вращений БО(п), т.е. к(ю(х),ю(у)) = к(х,у), Vm е £О(п);
3) суммируемость, т.е.
к := 1 |к(еь у)|| у р/ р р(| у Г1)^ < да. я п
Нетрудно проверить, что
1 | к(еь у)| | у | ~п / р р(| у |-1) ау =
r n
= | | к(х, е1) || х |"п / р'р(| х |)ах.
я п
Теорема 1. Пусть функция к(х, у) удовлетворяет условиям 1) - 3). Тогда оператор К ограничен в пространстве Ьр р (Яп), 1 < р < да, причем
1М1 р,р< к1 И р,р. (7)
Доказательство. Применяя неравенство Гельдера, получим
( У/р'
1( Кф)\(х) <
(
1 \k(х,y)\\y\-n 1 p dy
r n
\1/P
I |к(х, у)| | у |п / р'|^(у)|рау я п
Делая в первом интеграле замену у =| х 11 и используя условие 1), а затем выполняя вращение
t = сох (г) , где а>х е БО(п) таково, что юх (е1) = х',
имеем |(ВДх)|<к1/р' |х|"п/рр' х
с л1/р
1 \k(х,y)\\y\"1 Р\ф(у)\р dy
r n
Тогда lp<kp'p 1 \Ф(у)\ p\y\n7p' dy
r "
X 1 \k(x, y)\ \ x\~n 1 P'p(\x\ )dx. r n
R
w
X
X
/
Производя во внутреннем интеграле замену да 1 г
х =| у 11, а затем выполнив вращение t = ау (г), после (Кш8)(т) = I ~ Вш (~)8т £ (0, да) •
несложных пРеобРазований приходим к неравенству Лемма 1. Норма оператора Km стремится к нулю
\\p,p
\\Щ pnn < kp / p' $ | ф(у) |p dy $ |k (z, ei)||zp7 p 'x при m ^да .
Яп я п Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что
хр(| у11 г \-yiz. да
В силу (5) р(| у||2|)<р(| у |)р(| 21). Тогда ||Кш|| <1 1 Вш(г)1 г 1 Рр^1)^. (13)
0
получим \\К(\ррр < кР/Р I | ф(у) |Р р(| у ^у х В силу (12) Бт(г) ^ 0 при ш ^да для почти всех
я г £ (0, да). Тогда, применяя мажорантную теорему
х | | к (г, е1) || 21—п / Р р(| 2 = кР||р||р • Лебега, с учетом (10) получаем, что интеграл в правой
яп части неравенства (13) стремится к нулю при ш ^ да •
Отсюда следует неравенство (7). Следовательно, \Кш\ ^ 0 •
„ _ Следствие 1. Пусть Я ф 0. Тогда найдется такое Критерии обратимости
число ш0 £ Z+, что для любого ш > ш0 оператор
В пространстве ЬР р(Яп), 1 <Р <да, рассмотрим Я- Кш обратим.
интегральное уравнение, порожденное оператором Лемма 2 Пусть Яф 0 и ш0 - вышеуказанное
Я1- к, где Я £ С, а К - оператор вида (6) число. Тогда оператор Я1 - к обратим в пространстве
Яр(х) = | k(x,y)р(y)dy + / (х) • (8) р(Яп) тогда и только тогда, когда обратимы в
Поскольку ядро к ( х, у) инвариантно относительно группы БО(п), найдется функция
p,p( r и
пространстве Lp p(0,да) все операторы Я! — Kn Поскольку ядро k (x, у) инвариантно p'p
m = 0,1,...,mo .
Доказательство проводится по схеме, изложенной к0(г, Р, 0, такая что к(х, у) = к0({ х | ,| у | , х'-у') [8, в [1, с. 79-82]^
с. 36]. Учитывая это и переходя в (8) к сферическим Определим изоморфизм шР : ЬР р(0,да) ^ Ьр w(Я), координатам х = та, у = тЗ, получаем .
где w(t) = р(е ), равенством (ШРф)(0 = е ' Рф(е ),
Яф(та) = да | -,а■A(&Ddтd$ + F(та), (9) г £ Я •
0 5п-1 Непосредственно проверяется, что оператор
где Ф(та) = р(та)т(п-1)/Р , F(тст) = /(та)т(п-1)/Р, Нш = ШРКшШРХ задается в пространстве (Я)
О(т,0 = к0(1,т2,t)т(п-1)/Р • +да
формулой (Нш¥)(t) = I (t - ь'Ж^Ж, где Легко проверить, что функция и(т, t) -да
удовлетворяет условию ^ (0 = е )et/ Р . Нетрудно видеть, что
да 1
|| | D(т,t)| т "1/Р (1 - ^)(п-:3)/2 р^^тА < да • (10) Ьш (t) £ ^ (Я) •
Назовем символом оператора ЯЛ — Кш символ
соответствующего ему оператора свертки Я1 - Нш интегрируя по единичной сфере и применяя формулу Функа-Гекке [8, с. 43], получим следующую ' _
бесконечную диагональную систему одномерных ()) = я - ()) = Я - IВт (г)г_1/Р+1^т, ) £ I!.
интегральных уравнений: 0
да 1
I „—1/p^i nm е L
m VJ -"^1, w
o—1
Умножая обе части уравнения (9) на Ym^(a),
WmM = V-Dm + FmM(r), (11) Здес1>гт Ч ~ °дн°т°™ компактификация
.1.1," ^ полосы П = \z е C: < Imz < a2), где
0 r V r
где r е(0, да), m е Z+, /л = 1, dn (m), _ ln w(t) lnp(e_t)
г^ч,- чт^ ,-47 a1 = lim -- lim-,
Фm/(r)= $ <&(rv)Ymß(<j)d&, t^+да — t t^+да — t
s
n—1 _ ln w(—t)_ ln p(et)
Fm/(r) = s $ F(ra)YmM(a)da , a2 = t= t'
n 1 Используя (12), перепишем um (£) в виде 2_(n—1)/2 1
Dm (-) n/V> $ D(-, t)Pm (t)(1 — t)(n—3)/2 dt, (12) ^ m (#) = Я— $ k(^1, y)Pm («1 • У) | У fn/pdy , £ е П .
r((n — l)/2)— 1 Rn
Pm(t) - многочлены Лежандра [8, с. 41]. Очевидно, что оператор Я1 — Km обратим в том и Далее рассмотрим в пространстве Lp,p(0,да) только в том случае, когда обратим оператор
оператор Km , определяемый уравнением (11): Я — Hm .
Теорема 2. Для того чтобы оператор Л1 - К был обратим в пространстве Цр р (Яп), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
3. Пусть Р|X
IX )=fi
ст,
0, V^eri , Уш е Z+ .
+ x
v/2
v> 0
Тогда
(14)
Доказательство. Пусть вначале Лф 0. Условие (14) с учетом предложения 2 является необходимым и достаточным для обратимости всех операторов Л - Нт, а значит, и всех операторов Л - Кт,
т е Z+. В силу леммы 2 и следствия 1 обратимость операторов Л1 - Кт - необходимое и достаточное условие обратимости Л — К.
Пусть Л = 0 . Предположим, что К обратим. Тогда найдется такое 8 > 0, что все операторы из 8-окрестности оператора К обратимы. Подберем такие числа т1 еZ + и 4еП, что (41)| <8 . Тогда
оператор К — сгт1 (41 )1 обратим. Однако функция
<т1 (4) -<т1 (41) обращается в нуль при 4 = 41, и,
следовательно по доказанному выше, оператор К -<щ 4)1 необратим. Получили противоречие.
То, что оператор К необратим, согласуется с (14), так как в этом случае <т (да) = 0, Vm е Z+ .
В заключение рассмотрим некоторые важные частные случаи весовой функции р( х\):
1. Пусть Р(х)= (1 + |1п|У, у> 0. Тогда П = Я.
2. Пусть Р(х|)=(Х +1/х|, у>0. Тогда П = {г е С: -у< 1т г <у).
ri = {z е C: 0 < Im z <v).
Работа поддержана ФЦП «Научные и научно-
педагогические кадры инновационной России»,
№ 02.740.11.5024.
Литература
1. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators. Birkhäuser. Boston; Basel; Berlin, 2001. 427 p.
2. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (-n) ядрами // Докл. РАН. 1999. Т. 368, № 6. С. 727-729.
3. Авсянкин О.Г. Об алгебре парных интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки. 2003. Т. 73, вып. 4. С. 483-493.
4. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Проекционный метод в теории многомерных интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки. 2004. Т. 75, вып. 2. С. 163-172.
5. Авсянкин О.Г. О С*-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН. 2008. Т. 419, № 6. С. 727-728.
6. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М., 1960. 315 с.
7. Симоненко И.Б., Чинь Нгок Минь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость. Ростов н/Д, 1986. 64 с.
8. Самко С.Г.Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов н/Д, 1984. 208 с.
Поступила в редакцию
24 февраля 2010 г.
