Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 1, С. 5-13
УДК 517.9
О МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРАХ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ, ВОЗМУЩЕННЫХ ОПЕРАТОРАМИ ОДНОСТОРОННЕГО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО СДВИГА
О. Г. Авсянкин
А. Г. Кусраеву в связи с шестидесятилетним юбилеем
Рассматриваются многомерные интегральные операторы, ядра которых однородны степени (—п) и инвариантны относительно группы вращений, возмущенные операторами одностороннего мультипликативного сдвига. Получены критерии обратимости и односторонней обратимости таких операторов в Ьр-пространствах.
Ключевые слова: интегральный оператор, однородное ядро, мультипликативный сдвиг, обратимость.
1. Введение
Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами играют заметную роль в математике и в приложениях. В настоящее время для интегральных операторов, ядра которых однородны степени (—п) и инвариантны относительно группы вращений БО(п), получены критерии обратимости и нетеровости, описаны порождаемые этими операторами банаховы алгебры, найдены условия применимости проекционного метода (см., например, [1-6] и цитированные в них источники). В работе [5] рассматривалась С*-алгебра, полученная присоединением к С *-алгебре операторов с однородными ядрами всех операторов мультипликативного сдвига. Для этой С *-алгебры было построено символическое исчисление, в терминах которого были получены необходимые и достаточные условия обратимости и нетеровости операторов. В статье [6] некоторые результаты, полученные в [5], были перенесены на случай пространства Ьр при р = 2.
Данная работа продолжает исследования, начатые в [5] и [6]. В ней рассматривается оператор А вида
ГО р
(А(Р)(х) = ^ а(Щ¥)(х)+ к(х,у)^(у) йу, |х| ^ 1,
■?_1 |уК1
где и$^ — оператор одностороннего мультипликативного сдвига, а функция к(х,у) однородна степени (—п) и инвариантна относительно всех вращений (ниже эти понятия будут конкретизированы). Для такого оператора в работе определен символ, в терминах которого получены критерии обратимости и односторонней обратимости.
© 2013 Авсянкин О. Г.
Ниже использованы следующие обозначения: Ж” — п-мерное евклидово пространство; х = (XI,Х”) € Ж”; |х| = \/х\ + ... + х”; х' = х/|х|; х • у = Х\у\ + ... + ж„у„; В” = {х € Ж” : |х| ^ 1}; Бп-\ = {х € Ж” : |х| = 1}; Х+ — множество целых неотрицательных чисел; Ж+ = (0, ж); Ут^(а) — сферические гармоники порядка т; (1и(т) — размерность пространства сферических гармоник порядка т:
ё”(т) = (п + 2т - 2)(п + т ^;
т!(п — 2)!
/(£) = Ю / (I) е%^ йг — преобразование Фурье функции /.
2. Предварительные сведения
В пространстве ЬР(Ж+), 1 ^ р ^ ж, рассмотрим оператор одностороннего аддитивного сдвига УТ (т € Ж), который задается равенством
(ут т) = ¡*’(г — т 1 г> т
[о, о <г<т,
при т > 0, и формулой (УТф)(г) = ф(г — т) при т < 0.
Пусть Н € ^(Ж). В пространстве ЬР(Ж+), 1 ^ р ^ ж, рассмотрим интегрально-разностный оператор Винера — Хопфа
СО
СО р
(С'ф)(г) = ^2 а^ (у^ -ф)(г) + Н(г — в)-ф(в) йв, г € ж+, (1)
з=1 0
в предположении, что а3 € С и ^О=1 |а^| < ж.
Теория интегрально-разностных операторов Винера — Хопфа хорошо известна (см. [7, гл. VII]). Символом оператора С называют функцию
О
с(0 = £ а3 вгт* + Щ), £ € Ж.
3 = 1
Если
то можно определить два числа
1
іМ |е(^)| > 0, (2)
1
7 = Ді^ 2£А[&Щ а(^)] «, К = 2ПАагё(1 + а1 (0Ч0)
2п
где
а вгт *.
а(0 = Е'
3 = 1
Предложение 1 [7, с. 239]. Для того чтобы оператор С вида (1) был обратим в пространстве Ьр(Ж+) хотя бы с одной стороны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (2). Если условие (2) выполнено, то при ^ > 0 оператор С обратим только слева, при ^ < 0 оператор С обратим только справа, а при 7 = 0 обратимость оператора С согласована с индексом к, т. е. оператор С обратим, обратим только слева, обратим только справа в зависимости от того будет ли индекс к равным нулю, положительным или отрицательным.
СО
3. Постановка задачи и основные результаты
1. Пусть 1 ^ р ^ ж. В пространстве ЬР(В”) рассмотрим оператор
(К(р)(х)^ к(х, у) (р(у) йу, х € В”, (3)
Вп
где функция к(х,у) определена на Ж” х Ж” (здесь и далее предполагается, что п ^ 2) и удовлетворяет следующим условиям:
1° однородность степени (—п), т. е.
к(ах,ау) = а-”к(х,у) (Vа> 0);
2° инвариантность относительно группы вращений БО(п), т. е.
к(ш(х),ш(у)) = к(х,у) (Vш € БО(п));
3° суммируемость, т. е.
к := J |к(в1 ,у)||у|-”/р йу < ж, в1 = (1, 0,..., 0).1
Из [1, теорема 6.4] следует, что оператор К ограничен в Ьр(Шп), причем ||КУ ^ к. Далее, для каждого 5 > 0 определим в пространстве Ьр(Шп) оператор одностороннего мультипликативного сдвига и$ формулой
и ,)(*) = (0-ПЛ' ^ '*'<* (4)
10, |х| > 5,
если 0 < 5 < 1, и формулой
(и5 ф)(х) = 5~п/р^(х/5), (5)
если 5 > 1. Нетрудно видеть, что іи \| = 1.
Основным объектом исследования в данной работе является оператор
ГО
А = Е аз щ + К, (6)
3 = 1
где К — оператор вида (3), ІІ5. — операторы вида (4) или (5), а постоянные а3- Є С таковы, что
ГО
Е|а31 < (7)
3 = 1
Очевидно, что оператор А ограничен в Ьр(Шп). Наша цель — установить необходимые и достаточные условия обратимости и односторонней обратимости оператора А.
2. Рассмотрим в пространстве Ьр(Шп) оператор
ГО
В = ^ аз Щ, (8)
3 из
3=1
Функция к(х,у) = \х\ а\х — у\а п, где 0 < а < п, является примером функции, удовлетворяющей
условиям 1°, 2° и 3° при 1 < р < п/а.
і
предполагая, что выполнено (7). Символом оператора B будем называть равномерно почти периодическую функцию
СО СО
Ь(() = £ а-в-*lns- = £ a-Sf, ( € R. (9)
j = 1 ,= 1
Лемма 1. Для того чтобы оператор B был обратим в пространстве Lp(Bn) хотя бы
с одной стороны, необходимо и достаточно, чтобы его символ b(£) удовлетворял условию
inf lb(£)l > 0. (10)
£€R
Если условие (10) выполнено, то обратимость оператора B согласована с индексом
1 t
v = ,И+ TfA[arg b(^ (11)
t^+О 2С —t
т. е. оператор B обратим, обратим только слева или обратим только справа в зависимости от того будет ли число v равным нулю, положительным или отрицательным.
< Для любого h > 0 положим Uh = Ue—h, где Ue—h определяется формулой (4).
Нетрудно проверить, что семейство изометрических операторов {U^Ih^O, где U0 = I,
образует сильно непрерывную полугруппу операторов. Кроме того, очевидно, что выполнены условия:
1) Uh(Lp(Bn)) = Lp(Bn) для любого h > 0,
2) каждый оператор Uh имеет левый обратный оператор Uh—1, причем U^~1 = Ueh, где Ueh определяется формулой (5). Заметим, что семейство обратных операторов также образует сильно непрерывную полугруппу.
Тогда, учитывая вышесказанное и применяя теорему 4.1 главы VII книги [7], получаем требуемый результат. >
3. Для того чтобы получить критерий обратимости оператора A вида (6), рассмотрим в Lp(Bn) уравнение, порожденное этим оператором:
СО „
J2ajS—n/pV(xlSj) + k(x,y)^(y) dy = f(x), (12)
,=1 b„
где согласно формуле (4) предполагается, что ^(x/S-) = 0, если |x| > S.
Так как функция k(x,y) удовлетворяет условию 2°, то существует такая функция k0(r,p,t), что k(x,y) = k0(|x|2, |y|2,x' ■ y') (см. [8, с. 36]). Учитывая это и переходя в уравнении (12) к сферическим координатам x = ra, y = р9, получим
f а,5—1/рФ +J J rD{p:,a ' в) Ф(Р9) dpdO = F(ra), (13)
j=1 0 s,
n — 1
где
Ф(т) = V(ra)r(n—1)/p, F (ra) = f (ra)r(n—1)/p; D(p,t) = ko(1,p2 ,t)p(n—1)/p.
Нетрудно проверить, что
СО 1
Ц\ОЫ)\р-'/’ (1 - ^ЧРЛ< ». (14)
0 -1
Умножая обе части уравнения (13) на Ym^(a), интегрируя по единичной сфере и применяя формулу Функа — Гекке [8, с. 43], получим бесконечную диагональную систему одномерных уравнений
Е aj5- 1 /рФт^ j + J rDm{Г) (p) dp = Fmß (r), (15)
j=1 0
где r £ (0,1), m £ Z+, ß = 1,2,..., dn(m),
^mß(r) = J Ф(га)Утр(a) da, Fmß(r) = J F(ra)Ymß(a) da,
S„-1 Sn-1
1
2n(n-1)/2 r
Dm(P) = Г ((n - 1)/2) J D(p,t)Pm(t)(1 - t2)(n-3)/2 dt. (16)
-1
Здесь Pm (t) — многочлены Лежандра, определяемые равенством
{cos (m arccos t), n = 2,
m!(n-3)! c(n-2)/2 (t) n > 3
(m+n-3)! Cm (t), П ^ 3,
где Cm-2)/2(t) — многочлены Гегенбауэра.
В пространстве Lp(0,1) рассмотрим оператор Am (m £ Z+), определяемый левой частью уравнения (15):
О п 1
(Amg)(r) = Y^ aj (USj g)(r)+l -Dm{Pp)g(p) dp, r £ (0,1),
j=1 о r r
где оператор Us (5 > 0) задается аналогами формул (4) и (5), а именно: если 0 < 5 < 1, то
(Ug)(r) = {0- 1/Pg(r/5)' 0 <r<f
0, 5 < r < 1,
а если 5 > 1, то
(Us g)(r) = 5-1/p g(r/5).
Лемма 2. Пусть выполнено условие (10). Тогда найдется такое число mо £ Z+, что для любого m > m0 оператор Am обратим, обратим только слева, обратим только справа, в зависимости от того будет ли число v, определенное формулой (11), равным нулю, положительным или отрицательным.
< Положим Am = R + Km, где операторы R и Km задаются в пространстве Lp(0,1) равенствами
~ 1
-Dm (-'
rr
ґ* і
r=Y1 ajUsj, (Kmg)(r) = j rDm[Г) g(p) dp-
j=l
0
Так как выполнено условие (10), то оператор К обратим по крайней мере с одной стороны, причем его обратимость согласована с индексом V. Обозначим через К-1 оператор обратный, обратный слева или обратный справа к оператору К (в зависимости от V). Далее, хорошо известно (см., например, [1, с. 52]), что
СО
\\Кт|| \Бт(р)\р-1/р йр. (17)
о
Из равенства (16) и полноты системы многочленов Лежандра следует, что Ишт^О Вт (р) = 0 для почти всех р £ М+. Тогда, применяя мажорантную теорему Лебега, с учетом (14) получаем, что интеграл в (17) стремится к нулю при т ^ ж. Следовательно, Ишт^О ||Кт|| = 0. Поэтому найдется такое число т0 £ ^+, что ||Кт|| < ||К-1||-1 для всех т > т0. Тогда оператор Ат, где т > т0, обратим с той же стороны, что и оператор К, т. е. обратимость оператора Ат согласована с индексом V. >
4. Определим изоморфизм Шр: Ьр(0,1) ^ Вр(Ж+) формулой
(Шрд)(г)= е-г/р д(е-).
Нетрудно проверить, что оператор
^'т — уу рАт уу р
задается в пространстве Ьр(Ж+) формулой
Ст = ^^рАт Ж-1 (18)
со
СО р
(Ст'Ф)(Ь)=^ а3 (V- 1п 55) ф) (г) + ] Нт (1 - й»,
*3\у (-^ -з
3=1
где
Пт(1)= Вт(е1) ег/р £ Ь1(Ж). (19)
Таким образом, Ст — интегрально-разностный оператор Винера — Хопфа, символом которого является функция
О
Ст (0=£ е-^1п 5з + 11т (£), £ £ К.
3=1
Далее, рассмотрим на множестве х К функцию
°(т,0 = ! к(е1 ,у)Рт(е1 ■ у')\у\-п/р+< йу,
Щ.п
где Рт(Ь) — многочлены Лежандра. Назовем символом оператора А вида (6) функцию а(т,£), заданную на множестве х К равенством а(т,£) = Ь(£) + а(т,£), где функция
Ь(£) определяется формулой (9). Из формул (19) и (16) непосредственно следует, что
при любом фиксированном значении т £ справедливо равенство
а(т,£) = СтЮ, £ £ К- (20)
Символ а(т,£) назовем невырожденным, если
Ы \а(т,£)\ > °. (21)
Z+ хК
В этом случае невырожденной будет и его почти периодическая компонента Ъ(£) (см. [7, с. 218]), т. е. выполнено условие (10). Это позволяет определить индекс V формулой (11). Кроме того, введем индексы кт (т £ ^+):
1 .
Кт =
2п
агё(1 + ь ^) а(ш,0)
Теорема 1. Для того чтобы оператор А вида (6) был обратим в пространстве Ьр (Вп), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия: неравенство (21), V = 0 и Кт = 0 для всех ш Є Ъ+.
< Необходимость. Очевидно, что обратимость оператора А в Ьр(Шп) влечет обратимость в Ьр(0,1) всех операторов Ат, где ш Є Тогда из равенства (18) вытекает обратимость в Ьр(Ж+) всех операторов Ст, ш Є ^+. Используя теперь равенство (20) и предложение 1, убеждаемся в справедливости условий теоремы.
Достаточность. Покажем, что оператор А обратим.
В пространстве £р(Шп) = {Ф(тя) : Ф(та)т-(п-1)/р Є Ьр(Шп)} рассмотрим оператор А, определяемый левой частью уравнения (13). Запишем его в виде А = В + К, где операторы К и В задаются формулами
1
(К$)(та)= I [ -п(Г,а . ^ ф(р0) йрйв, В = Еа^Щ,
0 ЗІ! Г Г 1 =
здесь Т — соответствующий аналог оператора и$ в пространстве Ьр(Шп):
(и§Ф)(тя) = § 1/рФ ^Г ^ , если § > 1,
«ты, ^ \§-Х'р Ф( Г я), 0 <г<§, П . 1
(и§Ф)(та) = < если 0 < § < 1.
(^0, § < т < 1,
Очевидно, что оператор А обратим в пространстве Ьр(Шп) тогда и только тогда, когда оператор А обратим в пространстве Ьр (Вп).
Определим в Ьр (Вп) проектор равенством
N <іп (т)
(Рм Ф)(та) = Е Е Фтц (т)Ут^(С),
т=0 ц=1
и обозначим через QN дополнительный проектор. С помощью формулы Функа — Гекке непосредственно проверяется, что Рм КС QN = 0, QN КС Рм = 0. Кроме того, очевидны равенства PNBQN = 0 и QNBPN = 0. Учитывая это, запишем матричное равенство
PN QN А ( А 0 А / PN QN А = ( -В + PNКСPN _ 0 ^ \
QN PN ) у 0 В ) \QN PN ) у 0 В + QNкQN ) '
Поскольку выполнено условие (21), то, как уже отмечалось выше, выполнено и неравенство (10). При этом по условию теоремы V = 0. Тогда по лемме 1 оператор В вида (8) обратим в Ьр(Шп), и значит, оператор В обратим в Ьр(Шп). Следовательно, оператор А обратим тогда и только тогда, когда обратимы операторы В + PNКСPN и В + QNКСQN. Покажем, что последний оператор обратим при достаточно большом значении N.
ОО
В [1, с. 80-81] показано, что для любого є > 0 найдется функция Нм (р,г) вида Нм(Р,1) = ^ ^ йп(т)Нт{р)Рт(г),
П т=0
где Рт (г) — многочлены Лежандра, такая что оператор Нм вида
1
(Нмф)(тя) = ! I 1 Нм (ре • д) Ф(р0)йрйд
0 Яп-!
удовлетворяет неравенству
\\К — Нм||^(£р(бп)) < є (22)
При этом всегда можно считать, что N > то. Непосредственно устанавливается равенство ЯмНм Ям = 0, из которого следует, что В + Ям КС Ям = В + Ям (КС — Кім )Ям ■ Так как оператор КЗ обратим, то в силу (22) можно добиться выполнения неравенства
\\Ям (К — Нм)Ям ¡1^(£р(Вп)) < \\В 1 \=2’1(£р(Бп))’
из которого вытекает обратимость оператора КЗ + Ям КС Ям.
Таким образом, оператор А обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор К3 + РмКСРм. Обратимость последнего, в силу равенства
В + Рм КС Рм = Рм (К3 + КС )Рм + Ям ВЯм,
равносильна обратимости оператора Рм(В + КС)|1тр^ (см. [1, с. 6]). Ясно, что уравнение, порождаемое этим оператором сводится к конечной системе вида (15), где т = 0,1, ■ ■ ■ ^. Таким образом, необходимым и достаточным условием обратимости оператора А является обратимость операторов Ат, где т = 0,1, ■ ■ ■ ^. Учитывая лемму 2, получаем, что оператор А обратим тогда и только тогда, когда обратимы операторы Ат, где т = 0,1, ■ ■ ■ ,т0.
Если выполнены все условия данной теоремы, то, применяя (20), (18) и предложение 1, получаем, что все операторы Ат, где т Є ^+, обратимы в Кр(0,1). Тогда оператор А обратим в Кр(Шп). >
Замечание. В силу леммы 2 достаточно требовать выполнение условий кт = 0 для значений т = 0,1,^^,то. Однако, использование в записях «неопределенного» числа то весьма неудобно. Поэтому в теореме 1 мы пишем, что т Є ^+.
Обратимся теперь к односторонней обратимости оператора А.
Теорема 2. Для того чтобы оператор А вида (6) был обратим в пространстве Кр(Шп) только слева, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условие (21), а также одно из двух следующих условий:
1) V > 0,
2) V = 0 и все индексы кт неотрицательны, причем среди них есть хотя бы один положительный.
< Рассуждая совершенно аналогично доказательству теоремы 1, получаем, что оператор А обратим в Кр(Шп) только слева тогда и только тогда, когда обратимы слева в Кр(0,1) все операторы Ат, причем хотя бы один из них обратим только слева. Тогда, применяя (20), (18) и предложение 1, убеждаемся в справедливости теоремы. >
Теорема 3. Для того чтобы оператор A вида (6) был обратим в пространстве Lp(Bn) только справа, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (21), а также одно из двух следующих условий:
1) v < 0,
2) v = 0 и все индексы кт неположительны, причем среди них есть хотя бы один отрицательный.
Литература
1. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators.—Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 2001.-427 p.
2. Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени —n ядрами // Докл. РАН.—1999.—Т. 368, № 6.—С. 727-729.
3. Авсянкин О. Г. Об алгебре парных интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки.—2003.—Т. 73, вып. 4.—С. 483-493.
4. Авсянкин О. Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами и осциллирующими радиальными коэффициентами // Диф. уравнения.—2007.—Т. 43, № 9.—С. 1193-1196.
5. Авсянкин О. Г. О C‘-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН.—2008.—Т. 419, № 6.—С. 727-728.
6. Авсянкин О. Г. Обратимость многомерных интегральных операторов с однородными ядрами, возмущенных операторами мультипликативного сдвига // Тр. научной школы И. Б. Симоненко. Сб. науч. трудов.—Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2010.—С. 22-29.
7. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.—М.: Наука, 1971.—352 с.
8. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ,
1984.—208 с.
Статья поступила 4 октября 2011 г.
Авсянкин Олег Геннадиевич Южный федеральный университет,
профессор каф. дифференциальных и интегральных уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: avsyanki@math.rsu.ru
ON MULTIDIMENSIONAL INTEGRAL OPERATORS WITH HOMOGENEOUS KERNELS PERTURBATED BY ONE-SIDED MULTIPLICATIVE SHIFT OPERATORS
Avsyankin O. G.
We study the multidimensional integral operators with kernels homogeneous of degree (—n) and invariant under the rotation group, which are perturbated by one-sided multiplicative shift operators. For these operators the invertibility and one-sided invertibility criterions in Lp-space are obtained.
Key words: integral operator, homogeneous kernel, multiplicative translation, one-sided invertibility.