К вопросу об ограниченности многомерных интегральных операторов с однородными ядрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 DOI 10.18522/0321-3005-2015-3-5-9

К ВОПРОСУ ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ

© 2015 г. О.Г. Авсянкин

Авсянкин Олег Геннадиевич - доктор физико-математических Avsyankin Oleg Gennadievich - Doctor of Physical and наук, заведующий кафедрой дифференциальных и интеграль- Mathematical Science, Head of the Department of Differen-ных уравнений, Институт математики, механики и компью- tial and Integral Equations, Vorovich Institute of Mathemat-терных наук им. И.И. Воровича Южного федерального уни- ic, Mechanic and Computer Science of the Southern Federal верситета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Ruse-mail: avsyanki@math.sfedu.ru sia, e-mail: avsyanki@math.sfedu.ru

Рассматриваются многомерные интегральные операторы с однородными степени (-n) ядрами, действующие в пространствах Lpi (Rn) суммируемых функций, имеющих различные показатели суммируемости pi и Р2 соответственно внутри и вне окрестности нуля. Получены достаточные условия ограниченности операторов с однородными ядрами в этих пространствах. Кроме того, выделен важный для приложений класс интегральных операторов, ядра которых

инвариантны относительно группы вращений пространства Rn . Для таких операторов установлены более простые условия ограниченности в пространствах Lp , p (Rn ) . Построены примеры операторов, удовлетворяющих этим условиям.

Ключевые слова: интегральный оператор, однородное ядро, ограниченность, группа вращений, Lp -пространство.

We consider the multidimensional integral operators with homogeneous of degree (-n) kernels. These operators act in the space Lp_^ p2 (Rn) , which consist of integrable functions with different summability exponent pi and Р2 inside and outside the nullelement neighbourhood respectively. We obtain the sufficient conditions of the boundedness of the operators with homogeneous kernels in these spaces. In addition, we study important for applications class of integral operators whose kernels are invariant with

respect to rotations of the space Rn . For such operators we establish more simple conditions of boundedness in the space Lp_^ p^ (Rn ) . We construct the examples of operators satisfying these conditions.

Keywords: integral operator, homogeneous kernel, boundedness, rotation group, Lp -space.

В настоящее время ищется немал0 работ по- где функция k(x, y), заданная на Rn х Rn, измери-

священных теории многомерных интегральных „

ма и является однородной степени (-n), т.е. операторов с однородными ядрами, действующих в г

Lp -пространствах (см. [1-6] и цитированные в них k()^x, Xy) = X-nk(x, y), VX > 0 . (2)

источники). Для таких операторов были получены Операг°р К изучается в пространствах достаточные условия ограниченности, установлены Lp , p (Rn) суммируемых функций, имеющих раз-критерии обратимости и нетеровости, описаны по-

рождаемые этими операторами банаховы алгебры, найдены условия применимости проекционного метода.

В данной работе рассматривается оператор К вида

(Кф)(х) = I к(х, у)ф(у)аУ, х е Яи , (1)

я"

ные показатели суммируемости внутри и вне окрестности нуля. Отметим, что эти пространства можно интерпретировать как частный случай пространств функций, суммируемых со степенью р(х), когда р(х) является кусочно-постоянной функцией. В работе получены достаточные условия ограниченности оператора К в пространствах

Ьр, (Яп) в зависимости от соотношения между

показателями суммируемости.

Ниже использованы следующие обозначения: Яп - п -мерное евклидово пространство векторов

х = (х,..., Хп); | х х2 +... + хП ; х' = х/\х |; х • у = х^+... + хпУп ;е = (1,0,.,0);Ва = {хе Яп : | х|<а}.

Предварительные сведения

Пусть 1 <р < да и ае Я. Обозначим через Ьр (Яп) пространство измеримых на Яп ком-плекснозначных функций с нормой

( р

II-4а (Яп ) = 1 [/"ИРИа ^

Р V Я п

Условия ограниченности интегральных операторов с однородными ядрами в таких пространствах были установлены в [5]. Для полноты изложения приведем формулировку основной теоремы из этой работы. Предварительно введем две функции: |Г| |яг/р'—п—ат/р

*!(ст) = 1 \к (ст, y)\r|y|n

dy,

CTeSn-l

K2 = ess sup ¿2 (ст) < да,

CTeSn-1

(4)

где a e R, 1 <r < да, причем выполнено равенство

111,

— = - +--1.

q r p

(5)

Тогда оператор K ограничен из Lap (Rn) в

LLq (R П ), где ß определяется формулой

ß = (a + n) — - n . P

При этом справедливо неравенство

INILß (Rn) <кГ p K2 qll

(6)

llLp (Rn )•

Основные результаты

Зафиксируем произвольное положительное число а . Обозначим через Ь^,р (Яп), где 1 < р1,

P2 <, пространство измеримых на Rn ком-плекснозначных функций q>(x) таких, что

Фе Lp1 (Ba)

Г (ъ n^

"P^ P2

феLp2 (Rn \Ba). Норму в

L (Rn ) определим равенством

"lp1,p2(R )

p1 (Ba)

I!Lp2(R n \Ba )•

Ниже, с целью упрощения записей, будем ис-

пользовать обозначение

вместо

P1,P2 (R ) '

Рассмотрим вопрос об ограниченности операторов вида (1) в пространствах Ь ^ (Яп) в зависимости от соотношения показателей р1 и р2 .

Теорема 1. Пусть 1 < р2 < р1 <да , ядро к(х, у) оператора К однородно степени (—п) и

удовлетворяет условиям

,l-n 1 Pj

ess sup J \k(ст, y)||y|

CTeSn-1 Rn

dy <<

esssup J |k(x,ст)||x| n 1 Pj dx <да ,

CTeSn-1 Rn

где j = 1,2, а также условиям

esssup J |k(ст,y)|r|y|nr 1P1 -ndy <да,

CTeSn-1 Rn

esssup J |k(x,ст)r|x|nr 1P1 ndx <да ,

CTeSn-1 Rn

к2(а) = | |к(х,ст)т|х|пт/р п+ат/рсх. Я п

Предложение 1 [5]. Пусть 1 < р, д <да , ядро к(х, у) оператора К однородно степени (—п) и удовлетворяет условиям:

К1 = е888ир к1(ст) <да, (3)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

где т определяется равенством 1 = J___1_

т р1 р2 '

Тогда оператор К ограничен в пространстве

Ьр,р2(Яп) •

Доказательство. Определим в Ь^, ^ (Яп) проектор Р формулой

|ф( х), х е Ва, 0, х е Яп \ В

(^)(x) =

и положим Q = I - P. Тогда

K = PKP + QKQ + QKP + PKQ. (12)

Докажем ограниченность в пространстве

L

'Pb P2

(Яп) каждого слагаемого из правой части

равенства (12).

Отождествляя проектор Р с оператором сужения на шар Ва , имеем

(РКРф)(х) = / к(х, у)ф(у)Су , х е В а .

Ва

Тогда из условий (7) и (8), где у = 1, на основании [1, теорема 6.4] следует ограниченность опера-

и

+

L

П

R

тора РКР. Аналогично из условий (7) и (8), где у = 2, следует ограниченность оператора QKQ .

Рассмотрим оператор QKP . Условия (7) и (8) при ] = 2 гарантируют ограниченность оператора

К в пространстве Ь^ (Яп). Поэтому для любой функции ф е Ьр1, р2 (Я п) получаем

РКРФ\ь ^11КРФ|ьр2(Яп) * С\\РФ\ьп (Яп) = С\\Ф\ьп (Б.)-

Поскольку р^ > Р2, то Ьр^ (Б.) с Ьр2 (Ба), причем

||ф|| Ьр2(Б„) * №)1/р2-1/р1||ФЬр1 (Б„). Тогда ^КРф\ь< СЦф||^, т.е. оператор QKP

ограничен в Ьр , ^ (Я п).

Рассмотрим последнее слагаемое в равенстве (12). Возьмем произвольную функцию

фе Ьр1, р2 (Яп) . Тогда функция Qф принадлежит весовому пространству Ьа (Яп) при любом а< 0,

Р2

причем

IN'

'¿1 (Rn) "

(

< a

а / p2

ч1/Р2

<a

а / Р2

(13)

Ф

\L'

nr ar nr --n--=--n .

Р Р1

nr ar nr --n H--=--n .

Р РР1

операторы, ядра которых инвариантны относительно всех вращений.

Определение. Будем говорить, что функция к (х, у) инвариантна относительно группы вращений БО(п), если

к(ю(х),ю(у)) = к(х, у), Уие £О(п). (14)

Следствие 1. Пусть 1 < р2 < р1 < ^ , ядро к(х, у) оператора К однородно степени (-п), инвариантно относительно группы вращений БО(п) и удовлетворяет условиям:

,1-п / р.!

J \k(ei,y)\\y\Pj dy <«, j = 1,2,

R n

J frei-У)>П/^> <» =

(15)

(16)

| ф( х) 1 йх

\1х1> а у

Покажем, что при определенном подборе числа а оператор К ограниченно действует из (Яп) в

Ьр1 (Яп). Для этого воспользуемся предложением 1,

полагая, что г определяется равенством (11), р = р2 и а = -пр2 / г'. Тогда

где г определяется равенством (11). Тогда оператор К ограничен в пространстве Ьр , р (Яп) .

Доказательство. Так как ядро к(х, у) инвариантно относительно всех вращений, то условия (7) и (8) равносильны и имеют вид (15) [1, с. 69]. Следствие будет доказано, если мы покажем, что условия (9) и (10) также равносильны и принимают вид (16).

В самом деле, в интеграле из формулы (9) сделаем замену у = юа (¿), где <ва - элемент группы БО(п) такой, что юа (е^ = а, а в интеграле из (10) -замену х = юа(?). Тогда, пользуясь условием (14), получим

еззБир | |к(а,у)|г|у|пг/р1-п йу =

oeSn_i Rn

= I |к(еь у)>Г/ р1-пйу := /1,

Я п

е888ир | |к(х,а)г|х|пг р1 " йх =

ае^п-1 Яп

= | |к(х,61)г|х|пг/р1 п йх := /2.

Яп

Покажем, что /1 = /2 . Так как функция к(х, у) удовлетворяет условию (14), то найдется такая функция ко (г, р, ¿), что к(х, у) = ко(| х |,| у |, х' • у') [7, с. 36]. Учитывая это и переходя к сферическим координатам у = ра , запишем

а значит, условия (3) и (4) принимают вид (9) и (10) соответственно. Далее из формул (5) и (6) вытекает, что д = р1 и р = 0. Следовательно, оператор К

ограничен из пространства Ьа (Яп), где

а = -пр2/ г', в пространство Ь (Яп). Тогда, учитывая неравенство (13), для любой функции

фе Ьр1, р2 (Я п) получим

1№ф|1ь <11К0ФЬЛ (Яп) < С0Ф1^ (Яп) < с11Ф1Ь .

Значит оператор PKQ также ограничен в Ьр1, р2 (Яп). Теорема доказана.

В теории многомерных интегральных операторов с однородными ядрами особое место занимают

Х г пг/ ' 1

Ii = J J |k0(1, р, ei -ст)| pnr Р1 dpda .

0 S„

Сделаем замену р = 1/ т и затем воспользуемся условием (2); в результате получим цепочку равенств

I1 = J J

0 S„

k011,1 ст-e1

—nr / р1 —1

dxdCT =

n

R

r

да

X

= J J

0 Sn-1

kl ст, — в1

-nr / pj —1

dxda =

да

= J J |k(ro, e1 )r xnr / p1 -1dxdст =

0 Sn-1

= J |k(x,e1)rxnr/p1 -ndx = I2 .

Следствие доказано.

Пример. Приведем пример функции к(х, у), удовлетворяющей условиям следствия 1. Рассмотрим функцию

k (x, y) = -

1

-expl i

x • y

J |k(e1, y)||y|"n / pjdy = J

1

i-n / p

Rn 1 +

1 + 1 y|K

j dy < да,

если 1 < Pj < да, где j = 1,2. Аналогично проверяется условие (16):

г I; ч|Г| nr/pl-n ,

J |k(e1, y)| |y| dy =

R "

= J

R n

1 + y

I inr / p\ -n ,

-y dy <да

при всех вышеуказанных значениях р1 . Таким образом, оператор К с ядром вида (17) ограничен в пространстве Ь^,р (Яп), если 1 < р2 < р1 < да .

Теорема 2. Пусть 1 < р1 < р2 <да , ядро к(х, у) оператора К однородно степени (—п) , удовлетворяет условиям (7), (8) и (9), (10), где т определяется равенством

1

1 1 ,

---+1.

r P2 P1 а также еще одному условию

f \Pl/ P1

b := J

|y|> a

J |k (x, y)|P1 dx

у | x | <a

dy < да

(18)

(19)

\\PKQ4r =

J

|x|<a

J k (x, у)ф( y)dy

y\>a

P1

у/ P1

dx

Применяя сначала обобщенное неравенство Минковского, а затем неравенство Гельдера с показателями р2 и р2, получим

С Л1/р1

\\P^\L < J |ф(y)| J |k(x, y)P1 dx

,- (17)

| х |п +1 у |п V | х || у |у

Очевидно, что эта функция однородна степени (—п) и инвариантна относительно группы вращений БО(п). Проверим условие (15). Имеем

| y|> a у| x|<a

Л1/Pl

dy <

b

1/p2 < b1/p2

"L '

Лф(у) р2 Су ч1у1>а у

Остается доказать ограниченность оператора QKP . Предварительно заметим, что если функция

/ принадлежит весовому пространству Ь^ (Яп) при некотором р > 0, то О/ е Ьр р (Яп), причем

(

\1/P2

\QA\l = Л f (x)|P2 dx

< a

-ß / P2

у | x|>a (

J| f (x)| P2 |x|ß dx

у| x|> a

V/P2

(20)

< а"Р//II п

< а II]\\ьР (Яп).

р2 '

Покажем, что оператор К ограничен из

Ьрх (Яп) в Ьр (Яп), где р = п(р2/р1 — 1). В самом

деле, воспользуемся предложением 1, полагая, что т определяется равенством (18), р = р1, а = 0 . Тогда условия (3) и (4) принимают вид (9) и (10) соответственно. Далее из формул (5) и (6) вытекает, что д = р2 и р = п(р2 / р1 — 1). Следовательно, оператор К ограничен, а потому

< СРЧ1 ™пл (21)

\\KPФ1 Lß (Rn)

_ , IL„ (Rn)

P2 4 ' p1 v '

для любой функции ф е Lpi, р2 (R n). Из неравенств (20) и (21) следует, что

IIQ^IIL < С\\pф|l

11Lp. (Rn)

< С

l

Тогда оператор К ограничен в пространстве

Ьрър2 (Я")•

Доказательство. Как и в теореме 1, докажем ограниченность в пространстве Ьр , р (Яп) каждого слагаемого из правой части равенства (12).

Ограниченность операторов РКР и QKQ была установлена в ходе доказательства теоремы 1. Покажем ограниченность оператора PKQ. Для любой

фе Ьр1,р2 (Яп) имеем

т.е. оператор ОКР ограничен в пространстве

Ьр\, р2 (Я п ) •

Следствие 2. Пусть 1 < р1 < р2 < да , ядро к(х, у) оператора К однородно степени (—п), инвариантно относительно группы вращений БО(п) и удовлетворяет условиям (15), (16), где т определяется равенством (18), а также условию (19). Тогда

оператор К ограничен в пространстве Ь , (Яп).

r

да

X

n

R

n

R

<

<

Доказательство полностью аналогично доказательству следствия 1.

В заключение отметим, что функция k(x, y) вида (17) удовлетворяет условию (19). Это проверяется непосредственно.

Литература

1. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Opera-

tors. Boston; Basel; Berlin, 2001. 427 p.

2. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Проекционный ме-

тод в теории интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. зам. 2004. Т. 75, № 2. C. 163— 172.

3. Авсянкин О.Г. О многомерных интегральных операторах

с однородными ядрами и осциллирующими радиальными коэффициентами // Диф. ур. 2007. Т. 43, № 9. С. 1193-1196.

*

4. Авсянкин О.Г. О C -алгебре, порожденной многомер-

ными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН. 2008. Т. 419, № 6. С. 727-728.

5. Авсянкин О.Г., Перетятькин Ф. Г. Об ограниченности и

компактности многомерных интегральных операторов с однородными ядрами // Изв. вузов. Математика. 2013. № 11. С. 64-68.

6. Авсянкин О. Г. Проекционный метод для интегральных

операторов с однородными ядрами, возмущенных односторонними мультипликативными сдвигами // Изв. вузов. Математика. 2015. № 2. С. 10-17.

7. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их прило-

жения. Ростов н/Д., 1984. 208 с.

References

1. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Opera-

tors. Boston; Basel; Berlin, 2001, 427 p.

2. Avsyankin O.G., Karapetyants N.K. Proektsionnyi metod v

teorii integral'nykh operatorov s odnorodnymi yadrami [The projection method in the theory of integral operators with homogeneous kernels]. Matematicheskie zametki, 2004, vol. 75, no 2, pp. 163-172.

3. Avsyankin O.G. O mnogomernykh integral'nykh operato-

rakh s odnorodnymi yadrami i ostsilliruyushchimi radikal'nymi koeffitsientami [Multidimensional integral operators with homogeneous cores and oscillating radical coefficients]. Differentsial'nye uravneniya, 2007, vol. 43, no 9, pp. 1193-1196.

4. Avsyankin O.G. O ^-algebre, porozhdennoi mnogo-

mernymi integral'nymi operatorami s odnorodnymi yadra-mi i operatorami mul'tiplikativnogo sdviga [About the C*-algebra generated by multidimensional integral operators with homogeneous kernels and multiplicative operators shift]. DokladyRAN, 2008, vol. 419, no 6, pp. 727-728.

5. Avsyankin O.G., Peretyat'kin F.G. Ob ogranichennosti i

kompaktnosti mnogomernykh integral'nykh operatorov s od-norodnymi yadrami [Boundedness and compactness of multidimensional integral operators with homogeneous kernels]. Izvestiya vuzov. Matematika, 2013, no 11, pp. 64-68.

6. Avsyankin O.G. Proektsionnyi metod dlya integral'nykh

operatorov s odnorodnymi yadrami, vozmushchennykh od-nostoronnimi mul'tiplikativnymi sdvigami [The projection method for the integral operators with homogeneous kernels perturbed unilateral multiplicative shifts]. Izvestiya vuzov. Matematika, 2015, no 2, pp. 10-17.

7. Samko S.G. Gipersingulyarnye integraly i ikh prilozheniya

[Hypersingular integrals and their applications]. Rostov-on-Don, 1984, 208 p.

Поступила в редакцию

12 апреля 2015 г.