О точном решении многомерного интегрального уравнения с однородным ядром Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

2017. No. 1

УДК 517.9 DOI 10.18522/0321-3005-2017-1-4-8

О ТОЧНОМ РЕШЕНИИ МНОГОМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С ОДНОРОДНЫМ ЯДРОМ*

© 2017 г. О.Г. Авсянкин

ON EXACT SOLUTION OF MULTIDIMENSIONAL INTEGRAL EQUATION

WITH HOMOGENEOUS KERNEL

O. G. Avsyankin

Авсянкин Олег Геннадиевич - Южный федеральный университет, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой дифференциальных и интегральных уравнений, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: [email protected]

Oleg G. Avsyankin - Southern Federal University, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Head of Department of Differential and Integral Equations, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: avsyanki@math. sfedu.ru

В пространстве L^iR") рассматривается многомерное интегральное уравнение второго рода, ядро которого однородно степени (—") , инвариантно относительно группы SO(n) вращений пространства R" и удовлетворяет некоторому условию суммируемости. Предполагается, что символ уравнения является невырожденным, что обеспечивает уравнению однозначную разрешимость при любом свободном члене. Цель данной работы заключается в том, чтобы построить решение этого уравнения, для чего используется специальный метод, основанный на теории сферических гармоник. С его помощью осуществляется переход от многомерного интегрального уравнения к бесконечной диагонал ь-ной системе одномерных интегральных уравнений, ядра которых однородны степени I(v). Одномерные уравнения рассматриваются в пространстве i, и являются однозначно разрешимыми. С помощью теоремы Винера строятся решения этих уравнений, доказывается, что они представляют собой коэффициенты Фурье - Лапласа искомого решения многомерного уравнения. Более того, нормы операторов, определяющих эти решения, ограничены в совокупности. Основным результатом работы является теорема 1, в которой установлена формула решения исходного уравнения. Это решение строится в виде ряда по сферическим гармоникам, коэффициентами которого являются решения вышеупомянутых одномерных уравнений. Показано, что этот ряд сходится в пространстве (N, v) , а его сумма является решением исходного многомерного уравнения.

Ключевые слова: интегральное уравнение, однородное ядро, символ, сферические гармоники.

We study on the space L (R" ) the multidimensional integral equation of the second kind, which kernel is homogeneous of degree (—n) , invariant with respect to the rotations group SO(n) of the space R" and satisfies to a certain summability condition.

We suppose that the symbol of the equation is a non-degenerate that provides the equation is uniquely solvable for any free term. The purpose of this paper is to construct the solution of this equation. To do this, we use the special method based on the theory of spherical harmonics. Within this method, we perform a transition from a multidimensional integral equation to an infinite diagonal system of one-dimensional integral equations, whose kernels are homogeneous of degree (—l). One-dimensional equations are considered on the space L (R+) and are uniquely solvable. By means of the Wiener theorem we construct the solutions of these

equations and prove that they are coincide with the Fourier-Laplace coefficients of the sought solutions of the multidimensional equation. Moreover, the norms of operators, which determine these solutions, are bounded. The main result of our paper is

*Работа выполнена в рамках международного проекта ГКН МОНРА-ЕГУ-ЮФУ, грант № ВнГр-07/2017-31.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

Theorem 1, which establishes the formula of the solution of the original equation. This solution is constructed as a series by spherical harmonics, coefficients of which are the above-mentioned solutions of the one-dimensional equations. It is proved that this series converges on the space L> (Rn ), and its sum is the solution of the original multidimensional equation.

Keywords: integral equation, homogeneous kernel, symbol, spherical harmonics.

Введение

Интегральные операторы с однородными степени (—п) ядрами играют заметную роль в математике и в приложениях. В настоящее время для таких операторов получены критерии обратимости и не-теровости, исследованы порожденные этими операторами банаховы алгебры, найдены условия применимости проекционного метода и описано предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов ([1-5] и цитированные в них источники). Однако решения многомерных интегральных уравнений с однородными ядрами ранее не строились.

Данная работа посвящена построению точного решения многомерного интегрального уравнения, ядро которого однородно степени (—п) и инвариантно относительно всех вращений пространства Яп. Доказано, что решение такого уравнения в пространстве ¿2(Яп) может быть получено в виде ряда по сферическим гармоникам, сходящегося по ¿2 -норме. Метод исследования основан на редукции многомерного интегрального уравнения к бесконечной диагональной системе одномерных уравнений. Этот метод опирается на теорию сферических гармоник, некоторые положения которой приведены в разделе 1. Во втором разделе содержатся постановка задачи и основной результат работы.

Ниже используются следующие обозначения: Яп - п -мерное евклидово пространство;

х=ххп)еяп; XI= а/х2 + ■■■+хп ; х'= х/\х\;

х • у = х1у1 +... + х„у„ ; 1 =х е Я" : |х| = 1}; ;

2+ - множество целых неотрицательных чисел.

1. Предварительные сведения

Напомним некоторые факты из теории сферических гармоник, полное изложение которой можно найти, например, в [6, § 4].

Определение 1. Сферической гармоникой порядка т называется сужение Ут (х') однородного порядка т гармонического многочлена Ут (х) на единичную сферу Бп—1.

Обозначим через Нт пространство сферических гармоник порядка т. Доказывается, что размерность йп (т) пространства Нт вычисляется по формуле

(п + т - 3)!

dn (m) = (и + 2m - 2)-

m\(n - 2) !

В гильбертовом пространстве ¿2(^-1) со скалярным произведением

(f, g) = í f (o)

Sn-1

можно построить ортонормированный базис {Ym, m е Z+, ц = 1,2,..., dn(m). При этом функции, составляющие базис, можно выбрать вещественными. В дальнейшем будем считать, что выбран и зафиксирован некоторый базис, состоящий из вещественных сферических гармоник.

В теории сферических гармоник заметную роль играют многочлены Лежандра. Многочлен Лежан-дра Pm (t) порядка m определяется на отрезке [-1, l] формулой

ícos(m arceos t), n = 2,

pm (t) 4 m!(n - 3)! emn-2)/2(t), n > 3, [(m + n - 3)! m () ,

где cmn-2)/2(t) - многочлены Гегенбауэра.

Следующая формула является одной из ключевых в теории сферических гармоник.

Предложение 1 (формула Функа - Гекке).

Пусть функция f (t)(1 - t2)(n-3)/2 принадлежит пространству ¿i([-1,1]). Тогда для любой сферической гармоники Ym (х') справедлива формула í f (x'-a)Ym (a)da = XmYm (X) ,

где

9 (n-l)/2 1 X m = ф-1)/2) \f(t)Pm (t)a - /2)(П-3)/2 dt ■

2. Постановка задачи и основной результат

В пространстве L2(Rn) рассмотрим интегральное уравнение

ф(х)= J k(x, y)4(y)dy + f (x) , x e Rn, (1)

5

n-1

и

R

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

предполагая, что функция к(х, у) определена на

Я" х Я" (здесь и далее предполагается, что п > 2) и удовлетворяет следующим условиям: 1° однородность степени (—п), т.е.

к(ах, ау) = аГ"к(х, у) , Уа > 0 ; 2° инвариантность относительно группы вращений 5О("), т.е.

к(ю(х), ю(у)) = к(х, у), V® е БО(п); 3° суммируемость, т.е.

1 к(ех,у)||у|""/2dy < I, е = (1,0,...,0).

Я"

Для любого т е 2+ определим функцию стт (%) = 1 — 1 к(еь у)Рт (е • у')|у|—пdy ,

Я"

% е Я, (2)

где Рт (/) - многочлены Лежандра. В терминах этих функций формулируется критерий разрешимости уравнения (1).

Предложение 2 [1]. Уравнение (1) однозначно

разрешимо в пространстве Х2(Я") при любом свободном члене / е ¿2 (Я") тогда и только тогда, когда при любом т е 2+ выполнено условие

ат (%) * 0, Я . (3)

Замечание. Подчеркнем, что, начиная с некоторого номера т0 , зависящего только от ядра к(х, у) , условие (3) выполняется автоматически.

Пусть условие (3) выполнено. Построим решение уравнения (1). Так как функция к (х, у) удовлетворяет условию 2°, то существует такая функция к0(г,р,0 , что к(х,у) = к0(| х |2,| у |2,х • у') [6, с. 36]. Учитывая это и переходя в уравнении (1) к сферическим координатам х = га, у = р9, получаем

ф(га) = I | 1 ,а-е|ф(ре)ф<Ж + F(га), (4)

0 1 г Vг )

где

ф(га) = ф(га)г("—1)/2, F(га) = /(га)г("—1)/2 ,

Я(р,0 = к0(1,р2,^)р("—1)/2.

Умножая обе части уравнения (4) на сферические гармоники Гтц (а), интегрируя по единичной сфере и применяя формулу Функа - Гекке (предложение 1), получим бесконечную диагональную систему одномерных интегральных уравнений

где r е R+, т е Z+ , ц = 1,2,..., dn (m) , Фтц(r) = J Ф(гст)Гтц(^)da ,

S„

n—1

^тц (r) =

J F(га)7тц (a)da ;

Sn—1

(n —

---t\m (

°т (р) = ф-Ц/2) ^^(р' ^ (?)(1 —12)("—3)/2 Л .

В пространстве ¿2(Я+) определим оператор Ат , т е 2+ , формулой

(Атё)(г) = Я (г) —1 ^т ИЯ (р)ф , г е Я+ .

0 г V г У

Заметим, что символом этого оператора является функция ат (%) вида (2). Так как выполнено условие (3), то оператор Ат обратим в пространстве Ь2(Я+) [7, с. 31]. Построим обратный оператор. Поскольку ат (%) принадлежит расширенному ви-

неровскому кольцу и удовлетворяет условию (3), то по теореме Винера [6, с. 50] найдется такая функция Ьт е ¿1(Я) , что

1

стт ©

= 1 — Ьт © ,

(6)

где Ьт - преобразование Фурье функции Ьт. В пространстве ¿2(Я+) рассмотрим оператор

(ВтЯ )(г ) = Я (г) — Ьт Г 1п (р)ф , г е Я+ . (7)

0у1 гр V г)

Очевидно, что ядро этого оператора однородно степени (— 1). Найдем символ Рт (%) оператора Вт . Имеем

Рт(%) = 1— \^Ьт(1пр)р"1/2+'%ф = 1 — Ьт(%) .

0у1 р

—1 т

Ф тц(г) = J1 Dm (Р)фтц(рУр + F,^(r), (5) \Ы = sup|am1(^)

Тогда из равенства (6) следует, что Вт = Ат при любом т е 2+ .

Перепишем уравнение (5) в виде (АтФтц)(г) = (г). Тогда

Ф тц (г) = (BmFmVi )(г ) (8)

для всех т е 2+ , ц = 1,2,..., ^(т) . Функции Фт)х (г)

представляют собой коэффициенты Фурье - Лапласа функции Ф(га), являющейся решением уравнения (4). Чтобы найти это решение, исследуем некоторые свойства операторов Вт .

Лемма 1. Для нормы оператора Вт выполняется равенство

' (9)

о

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

Доказательство. Определим изоморфизм жем, что ряд в правой части равенства (11) сходит-

V: ¿2 (Я+) ^ ¿2 (Я) равенством

ф)(0 = е-'2£(е~1) . Нетрудно проверить, что оператор

C = WB W

Cm WBmW

—1

(10)

задается в пространстве ¿2 (Я) формулой (СтШ) = У (') — 1 Ьт (г — 5)^(5^5 , г е Я .

Заметим, что || Ф|| =

W —

suP ||Bm|| = suP

meZ, Z, xR

ст-1(т, Q

< ж .

Лемма доказана.

Основным результатом данной работы является Теорема. Пусть выполнено условие (3) и оператор Вт задается формулой (7). Тогда решение уравнения (1) имеет вид

, ,-(п-1)'2 ^ йп(т) , ,

Ф(х) = \х\(п 1)2 Т Т (Вт^тц )(х|)ГтЦ (х') , (11)

т=0 ц=1

где ряд сходится в пространстве ¿2(Яп).

Доказательство. Заметим, что ф(х) = |х|-(п-1)'2ф(х), причем коэффициенты Фурье - Лапласа Фтц (| х |) функции Ф(х) определяются формулой (8). Следовательно, теорема будет доказана, если мы пока-

ся в пространстве Ь2(Яп). Положим

I I-(п-Ы2М+рап(т) I I

-М,р(х) = |х| (п 1)/2 Т I (Вт-тц)(х|)7тц(х'),

т=М ц=1

где М и р - некоторые натуральные числа. Тогда

\\Sm, Л. = i SM,p(x)SM,p (x)dx =

= 1 1БМ р (гст)5Мр (гст)ги ^гаЪ. 0-V1

Так как сферические гармоники }, т е 2+,

ц = 1,2,...(т), образуют вещественный ортонор-мированный базис, то

II ц2 М + Рап(т) ■»,/ \ |2

-М,р 9 = Т Т ШтРтцМ * =

2 т=М ц=1 0 М + р4и (т! 2 М + р4и (т) 2

= Т Т Вт—тц7 — Т Т ||Вт|| —тц7 . т=М ц=1 2 т=М ц=1 2

Учитывая лемму 2, приходим к неравенству

2 М+рёп (т) 2

= 1. Тогда из формулы

(10) следует, что \\Вт\\ = \\Ст\\. Как известно [8, с. 231],

||Ст|| = 5ИР1- Ьт © .

§еЯ

Учитывая (6), приходим к равенству (9). Лемма доказана.

Лемма 2. Нормы операторов Вт ограничены в совокупности.

Доказательство. Множество 2+ х Я с топологией, индуцированной евклидовой топологией пространства Я2, является локально компактным топологическим пространством. Обозначим через 2+ X Я его компактификацию одной бесконечно удаленной точкой. Определим на компакте 2+ X Я функцию а(т, равенствами

а(т, = ат © , если (т, е 2+ х Я ,

ст(да) = 1.

Очевидно, что функция а(т, непрерывна на компакте 2+ X Я и, в силу условия (3), не обращается в нуль. Следовательно, функция а-1(т, ограничена на компакте 2+ X Я . Тогда, используя лемму 1, получаем

SM,p L - C £ £ rmuiu > 112 m=M ц=1 2

(12)

где C = sup ||Bm

Ii2

meZ.

Так как / е Ь2(Яп), то функция / разлагается в ряд Фурье - Лапласа, сходящийся к ней по ¿2 -норме, причем справедливо неравенство |2

112.

<» 4п(т) ^ 12 „ ,

Т Т 1 /тц(г) гп-14г <|

т=0 ц=1 0

Поскольку -(га) = /(га)г(п-1)/2 , то

Т| /тц (г )|2 гп-14г = 7|-тц (г)2 = | -

(13)

2

0 0 Это позволяет переписать неравенство (13) в виде

<» (т)|| ||2 ,, ||2 Т Т ^тц ~ < ||/| к . т=0 ц=1 2

Возьмем произвольное е > 0 и подберем такой номер М0 , что для всех М > М0 и р е N выполняется условие

М+р4п(т) 2 е 2

Т Т -тц 9<ГТ . т=М ц=1 2 С

Но тогда из неравенства (12) вытекает, что

S,

m , p

< е. Следовательно, в силу критерия Ко-

ши ряд (11) сходится по ¿2 -норме. Теорема доказана.

п

R

—ж

ж

1

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 1

Литература

1. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (—n) ядрами // Докл. РАН. 1999. Т. 368, № 6. С. 727-729.

2. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов с однородными степени — n ядрами // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 6. С. 1199-1216.

*

3. Авсянкин О.Г. О C -алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН. 2008. Т. 419, № 6. С. 727-728.

4. Авсянкин О.Г. К вопросу об ограниченности многомерных интегральных операторов с однородными ядрами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ес-

теств. науки. 2015. № 3. С. 5-9.

*

5. Авсянкин О.Г. О C -алгебре интегральных операторов с однородными ядрами и осциллирующими коэффициентами // Мат. заметки. 2016. Т. 99, вып. 3. С. 323-332.

6. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов н/Д., 1984. 208 с.

7. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Уравнения с ин-волютивными операторами и их приложения. Ростов н/Д., 1988. 192 с.

8. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М., 1971. 352 с.

References

1. Avsyankin O.G., Karapetyants N.K. Mnogo-mernye integral'nye operatory s odnorodnymi stepeni (-n) yadrami [Multidimensional integral operators with homo-

geneous degree (-n) kernels]. Dokl. RAN. 1999, vol. 368, No. 6, pp. 727-729.

2. Avsyankin O.G., Karapetyants N.K. O psev-dospektrakh mnogomernykh integral'nykh operatorov s odnorodnymi stepeni -n yadrami [On the pseudo spectra of multidimensional integral operators with homogeneous degree -n kernels]. Sib. mat. zhurn. 2003, vol. 44, No. 6, pp. 1199-1216.

3. Avsyankin O.G. O C*-algebre, porozhdennoi mnogomernymi integral'nymi operatorami s odnorodnymi yadrami i operatorami mul'tiplikativnogo sdviga [On the C*-algebra generated by multidimensional integral operators with homogeneous kernels and multiplicative shift operators]. Dokl. RAN. 2008, vol. 419, No. 6, pp. 727-728.

4. Avsyankin O.G. K voprosu ob ogranichennosti mnogomernykh integral'nykh operatorov s odnorodnymi yadrami [On the question of the boundedness of multidimensional integral operators with homogeneous kernels].

Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2015, No. 3,

pp. 5-9.

5. Avsyankin O.G. O C -algebre integral'nykh operatorov s odnorodnymi yadrami i ostsilliruyushchimi koeffitsientami [On the C*-algebra of integral operators with homogeneous nuclei and oscillating coefficients]. Mat. zametki. 2016, vol. 99, iss. 3, pp. 323-332.

6. Samko S.G. Gipersingulyarnye integraly i ikh prilozheniya [Hyper-singular integrals and their applications]. Rostov-on-Don, 1984, 208 p.

7. Karapetyants N.K., Samko S.G. Uravneniya s involyutivnymi operatorami i ikh prilozheniya [Equations with involutive operators and their applications]. Rostov-on-Don, 1988, 192 p.

8. Gokhberg I.Ts., Fel'dman I.A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resheniya [Convolution equations and projection methods for their solution]. Moscow, 1971, 352 p.

Поступила в редакцию /Received

25 ноября 2016 г. /November 25, 2016