CC BY
11Теорема 2. Пусть n ^ 1, a0, ai, ...,an — вещественные числа, и пусть
f (x) = anxn + ... + ai x + ao, ßr (x) = f (r\x)/r\, r = 1,...,n,
b
H = H(a) = H(an,...,ai,a0) = min max \ßr(x)\i/r, J = p(f(x)) dx.
a^x^bi^r^n J
a
Тогда для интеграла J справедлива оцемка \J\ ^ min (b — a; 4en2H_i).
Доказательство по своей схеме близко к доказательству теоремы 1 работы [3, с. 20-22]. Имеем ßn(x) = an. Если \an\ ^ Hn, то на всем отрезке [a, b] справедливо неравенство \f (n)(x)\ ^ n\Hn, и по теореме 1 находим \ J\ ^ min {b — a; 4n(n!)-i/nH-i} ^ min {b — a; 4eH-i}.
Предположим, что \an\ < Hn. Тогда рассмотрим ßn-i(x) = nanx + an-i. Если для всех x из [a, b] имеем \ßn-i(x)\ ^ Hn-i, т.е. \f(n-i (x)\ ^ (n — 1)!Hn-i, то то теореме 1 получаем \J \ ^ min {b — a; 4eH-i}. Если же найдутся точки x из [a, b], для которых \ßn-i(x)\ < Hn-i, то они образуют один интервал, а оставшееся множество образует не более двух промежутков А, на каждом из которых имеет место искомая оценка:
p(f(х)) dx
^ min(A|; 4eH-1).
(1)
Далее подобным образом поступаем с коэффициентами fjn-2(x),...,pl(x). В результате этой процедуры получим не более 2 + 3 + ... + n < n2 отрезков Д, таких,что для любого А найдется r с условием \вг(x)| ^ Hr, т.е. имеет место оценка (1). Покажем, что для любой точки y е (a, b) найдется отрезок А (полученный в результате предыдущей процедуры), которому точка y принадлежит. Из определения величины H имеем H ^ max \вг(y)\1/t, т.е. найдется s, 1 ^ s ^ n, такое, что
l^r^n
\в3(y)\ ^ Hs. Тем самым точка y будет принадлежать одному из отрезков А, построенных на s-м шаге рассматриваемой выше процедуры.
Таким образом, IJ| ^ У^
де[а,ь]
Теорема 2 доказана.
p(f(х)) dx
^ ^ min (|A|; 4eH-1) ^ min (b - a;4en2H-1). Ae[a,b]
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.
2. Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Матем. заметки. 1976. 20, № 1. 61-68.
3. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
4. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2006.
Поступила в редакцию 28.11.2014
УДК 519.6
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ
И. О. Арушанян1
Предложен численный метод решения систем граничных интегральных уравнений плоской теории упругости в областях с кусочно-аналитической границей и конечным числом угловых точек, основанный на применении семейства составных квадратурных фор-
1 Арушанян Игорь Олегович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ,
e-mail: i.arushanQgmail.com.
мул на сгущающихся сетках. Доказана экспоненциальная скорость сходимости метода относительно числа узлов используемой квадратурной формулы.
Ключевые слова: потенциал двойного слоя, граничные интегральные уравнения, теория упругости, угловые точки, сгущающиеся сетки, метод квадратур.
A numerical method for solving boundary integral equations of the plane theory of elasticity in domains with piecewise analytic boundaries and a finite number of corner points is proposed. This method is based on the application of a family of composite quadrature formulas on condensing grids. It is proved that the proposed method is exponentially convergent with respect to the number of quadrature nodes in use.
Key words: double-layer potential, boundary integral equations, theory of elasticity, corner points, condensing grids, quadrature method.
Численное решение граничных интегральных уравнений как классическим методом квадратур, так и методом граничных элементов сводится к решению систем линейных уравнений с несимметричными заполненными матрицами. Для экономии вычислительных затрат можно предложить два пути. Первый состоит в выборе узлов квадратуры или граничных элементов таким образом, чтобы матрица аппроксимирующей системы имела вид, позволяющий либо быстро решить систему прямыми методами, либо построить эффективно сходящийся к решению итерационный процесс. Второй путь, являющийся предметом изучения в данной работе, состоит в уменьшении размерности системы за счет повышения точности аппроксимации. Если граница области содержит угловые точки, то задача построения аппроксимирующей линейной системы существенно усложняется, так как соответствующие интегральные уравнения становятся слабосингулярными.
На таких областях для некоторых типов прямых граничных интегральных уравнений за счет специального выбора граничных элементов можно добиться экспоненциальной относительно числа степеней свободы скорости сходимости [1]. При численном решении интегральных уравнений теории потенциала второго рода более простым в практической реализации, чем метод граничных элементов, является метод квадратур. Стандартный подход в этом случае состоит в построении составной квадратурной формулы, элементарные отрезки которой сгущаются к угловым точкам. На каждом элементарном отрезке используется формула с одинаковым числом узлов. Этот метод обеспечивает степенной порядок точности относительно числа узлов [2-5]. Известно, что если граница области и граничные условия являются аналитическими, то метод, основанный на использовании составной формулы средних прямоугольников, имеет экспоненциальную скорость сходимости [3]. В этой связи становится важным вопрос о возможности численного решения интегральных уравнений теории потенциала методом квадратур с экспоненциальной точностью в случае, когда граница области имеет угловые точки.
Экспоненциальная точность может быть достигнута, если аппроксимация интегралов в граничных уравнениях производится с использованием составных квадратурных формул Гаусса, в которых элементарные отрезки сгущаются к угловым точкам контура, а число узлов элементарных формул меняется при приближении к углам. Такой подход позволяет получить экспоненциальную точность относительно числа узлов. Он был разработан автором в работах [6-10] при решении граничных интегральных уравнений теории потенциала.
В настоящей работе рассматривается система граничных интегральных уравнений плоской теории упругости в области, являющейся криволинейным многоугольником с кусочно-аналитической границей. Эта задача рассматривалась ранее в [7, 10] для областей, ограниченных многоугольниками.
Пусть Q — ограниченная обл асть в R2 с границ ей Г, являющейся замкнутой кривой без самопересечений и допускающей следующее параметрическое представление:
Г = {x = x(s) = (xi(s),X2(s)), s G [0,T], x(0) = x(T) j.
Будем считать, что существует такое конечное число точек 0 = so < si < ... < sj-i < sj = T, что при s G [sj, sj+i], j = 1,...,J — 1, имеем xi(s) = xitj(s), x2(s) = x2,j(s), причем существует число ôj > 0, такое, что xi j(s) допускают ограниченное аналитическое продолжение с отрезка [sj,sj+i] вещественной оси в круг на комплексной плоскости с центром в точке (0,5 (sj + sj+i), 0) и радиусом Tj = 0,5(sj+i — sj) + ôj.
Для каждого j = 0,...,J существует такое число m(j), что в точке sj для левых и правых предельных значений производных функций xij-i(s) ш xi j (s) выполнено соотношение
xt]j-i(sj) = xtj(sj), i = 1, к = m(j ) — 1
и хотя бы при одном г = 1, 2 имеет место неравенство х^т——(sj) = х^")^^ (^)• Если т(3) = 1 т0 соответствующую этому значению точку границы Р' = (х1(5'),Х2)) назовем угловой, причем потребуем, чтобы внутренний угол а' облает и О в этой вершине не был равен 0 или 2п (в этом случае точка Р' будет точкой заострения). Если т(3) > 1, то такую точку также будем считать угловой с а' = п.
В области О рассмотрим первую краевую задачу теории упругости
¡Ди + (Л + ¡)Уё1у и = 0, х е О; и = Е, х е Г, (1)
где и = (П1,П2)Т — неизвестная вектор-функция; Л, л — постоянные Ламе; Е = (Р- , Р2)т.
В дальнейшем будем считать, что функции г = 1, 2, являются непрерывными бесконечно
Г
особенности вида \х — Р'\в, 0 < в < 1.
Решение задачи (1) будем искать в виде плоского потенциала двойного слоя
и = У (Т (ду, п) Г (у — х))ф(у) й\у,
г
где Г(у — х) — фундаментальное решение задачи (1), представляющее собой матрицу с элементами
Г--(у-х)- А + 3/Х (V \n\x-y\- А + /Х ^-У^-УА гЛУ ~ 27г/х(Л + 2/х) \ У1 Л + З/х \х-у\2 )>
а через Т(ду, п) обозначен оператор псевдонапряжения (см., например, [7, 111):
(т(в„, „))у = А + (Л+,0 -,(,) 4 + («м I- - "Л.) 4) •
Здесь гз = 1, 2 и 5' — символ Кронекера. Тогда компоненты неизвестной вектор-функции ф являются решением следующей системы интегральных уравнений:
ф(х) + 1 (Т (ду, п) Г (у — х)) ф(у) Лу = 2Е(х). (2)
г
Система (2) однозначно разрешима в пространстве непрерывных функций при условии непрерывности функции Е [11]. Асимптотика функции ф вблизи угловых точек контура исследована в
Г
Утверждение 1. Пусть в', 3 = 0,...,,], — корень уравнения
с наименьшей положительной вещественной частью. Тогда, существует постоянная в, зависящая только от, вида, кривой Г и функции Е; такая, что для решения системы (2) при каждом, х е Г справедливо неравенство
\ifii(х) — <^ч(Р')| ^ в |х — Р'\Х] (3)
при некотором Л' е (0, И,е в' )•
Перейдем к построению численного метода решения рассматриваемой системы интегральных уравнений. Обозначим К(х,у) = Т(ду, п)Г(у — х), Г = 2Е. Учитывая геометрические свойства потенциала двойного слоя, запишем систему (2) в эквивалентном виде
2ф(х) + У К(х, у) (ф(у) — ф(х)) й1у = {(х). (4)
г
Неравенство (3) позволяет применить полученные в [7, 10] результаты для доказательства следующего утверждения.
Утверждение 2. При сделанных выше предположениях существует натуральное число и1; такое, что для любого натурального и > и1 может быть построена квадратурная, формула с
узлам,и {уЗ^^} и коэффициентами {А^ }, ] = 1, 2,...,и, для, которой справедливы, неравенства
max
жег
/и
к(x,y)(4>(y) - v(x)) dly -J2 3K{x,yju)) ^(yjn)) - v(x)) г 3=1
^ b\ exp(—ciy/n),
где ф — решение системы интегральных уравнений (4), а, все постоянные строго положительны
и
Введенное выше семейство квадратурных формул позволяет при каждом и > и\ построить следующую систему линейных алгебраических уравнений:
п , 2
й + £К1т(у(п),У{П))) (фЦ *(пЛ~ —(пЬ
(5)
и /2 \
2Ф<8 + A3nUj2 Kim^j)) (<j - <i) = МУП ),
3=1 ^т=1 '
и / 2 \
+l A3UUj2 Ът^у?)) «з - <i)=/2(УП ).
3=1 m=1
Здесь г = 1,...,и. В случае разрешимости этой системы можно построить вектор-функцию ф(п), компоненты которой при каждом х € Г могут быть представлены как решение следующей системы двух линейных уравнений:
п Кц(х,у(п))) ^ (х) - ( £ 3 К1,2 (х,у(п)Л- (п)
3 = 1 3
п , 2
ктхз ^
3=1 ^т=1
(2 - £ Aju) KiA(xjn)) № (x) -( £ j Ki,2 (x,y(n))] ^(x)
3=1 3=1
и , 2
=fi(x) -£ A^i^ Kim(x,y{n)Ф
j=1 ^m=1
-(£ 3K2,1 (x,yjl))) <p<r\x) + (2- £ j K2,2(x,yju))) ^ (x)
\j=1 J \ j=1 J
и , 2
=f2(x) A^lY: K2m(x,yiU))Ф
3п( ¿ К(,т(х3 )Ф«3з
3=1 т=1
Осуществимость этого представления исследована в работе [7]. Следовательно, справедливо
и2
и > и2 линейная систем,а, (5) однозначно разрешима и справедливо неравенство
т&х\ф(х) — фп(х)\ ^ Ь2 ехр(—С1л/й),
где ф — решение уравнения, (4), постоянна,я, с1 определена в утверждении 2, а, пост,оянная, Ь2
и
Таким образом, доказана экспоненциальная скорость сходимости предложенного метода относительно числа узлов применяемой квадратурной формулы.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 13^01—00096а, 14—01—00731а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Babushka I., Guo B.Q., Stephan Е.Р. On the exponential convergence of the h p version for boundary element Galerkin methods on polygons // Math. Methods Appl. Sci. 1990. 12, N 5. 413-427.
2. Bremer J., Rokhlin V. Efficient discretization of Laplace boundary integral equations on polygonal domains // J. Comput. Phys. 2010. 229, N 7. 2507-2525.
3. Chandler G.A. Superconvergent approximations to the solution of a boundary integral equation on polygonal domains // SIAM J. Numer. Anal. 1986. 23, N 6. 1214-1229.
4. Kress R. A Nystrom method for boundary integral equations in domains with corners // Numer. Math. 1990. 58, N 1. 145-161.
5. Kress R. Linear integral equations. Heidelberg: Springer, 1999.
6. Арушанян И. О. О численном решении граничных интегральных уравнений второго рода в областях с угловыми точками // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. 36, № 6. 101—113.
7. Арушанян И. О. Применение метода квадратур для решения граничных интегральных уравнений плоской теории упругости на многоугольниках // Вычисл. методы и программир. 2003. 4. 142-154.
8. Арушанян И.О. Семейство квадратурных формул для численного решения граничных интегральных уравнений // Вычисл. методы и программир. 2013. 14. 461-467.
9. Арушанян И. О. Численное решение граничных интегральных уравнений на криволинейных многоугольниках // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 4. 55-57.
10. Арушанян И. О. Экспоненциально сходящийся метод решения граничных интегральных уравнений на многоугольниках // Вычисл. методы и программир. 2014. 15. 417-426.
11. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Т. 27. М.: ВИНИТИ, 1988. 131-228.
Поступила в редакцию 19.li.2014
УДК 511
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА КОМПОЗИТА НА ОСНОВЕ ФЕНОЛЬНЫХ СМОЛ, АРМИРОВАННЫХ КОРОТКИМИ ВОЛОКНАМИ
С. В. Шешенин1, П. В. Чистяков2, В. В. Галатенко3, Д. И. Калугин4, О. Н. Шорникова5, А. П. Малахов6
1
Исследованы упругие модули композиционного материала на основе высокотемпературных модифицированных фенольных смол, наполненных короткими углеродными волокнами. Выполнены сравнительный анализ некоторых аналитических методик определения эффективных модулей таких композитов и их экспериментальная проверка.
Ключевые слова: углеродные волокна, короткие волокна, фенольная смола, эффективные модули, тензор Эшелби.
Elastic moduli of composite material based on high-temperature modified phenolic resins filled with short carbon fibers are estimated. Comparison of several closed-form formulas used to determine the effective moduli of such composites is the aim of the paper. Results of experimental verification are also given.
Key words: carbon fibers, short fibers, phenolic resin, effective moduli, Eshelby tensor.
Введение. На основе различных полимерных смол производятся разного рода композиты, в том числе материалы, наполненные короткими углеродными волокнами. Для успешного решения задачи создания перспективных материалов наряду с эмпирическими подходами необходимо применять математическое моделирование и оптимизацию свойств. В настоящей работе рассмотрены композиционные материалы на основе высокотемпературных модифицированных фенольных смол [1] и углеродных волокон. Цель исследований — сравнительный анализ аналитических методик определения эффективных модулей таких композитов и их экспериментальная проверка. Рассматриваются
1 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shesheninQmech.math.msu.su.
2 Чистяков Петр Владимирович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: chist206Qyandex.ru.
3Галатенко Владимир Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vgalatQimscs.msu.ru.
4Калугин Денис Иванович — канд. хим. наук, ст. науч. сотр. каф. химической технологии и новых материалов хим. ф-та МГУ, e-mail: kalugin-denisQmail.ru.
5Шорникова Ольга Николаевна — канд. хим. наук, доцент каф. химической технологии и новых материалов хим. ф-та МГУ, e-mail: onshornikovaQgmail.com.
вМалахо Артем Петрович — канд. хим. наук, вед. науч. сотр. каф. химической технологии и новых материалов хим. ф-та МГУ, e-mail: malakhoQinumit.ru.
