Численное решение граничных интегральных уравнений на криволинейных многоугольниках Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Hartman P., Wintrier A. On sine series with monotone coefficients //J. London Math. Soc. 1953. 28, N 1. 102-104.

4. Aljancié S., Bojanie R., Tomic M. Sur le comportement asymptotique au voisinage de zéro des séries trigonométriques de sinus à coefficients monotones // Publ. Inst. Math. Serbe Sei. 1956. 10. 101-120.

5. Сенета E. Правильно меняющиеся функции. M.: Наука, 1985.

6. Бари H.K. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

Поступила в редакцию 18.06.2013

УДК 519.6

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ

И. О. Арушанян1

Предлагается приближенный метод решения интегрального уравнения теории потенциала задачи Дирихле для оператора Лапласа в случае областей, являющихся криволинейными многоугольниками с кусочно-аналитическими границами. Данный метод обладает экспоненциальной скоростью сходимости относительно числа узлов применяемой квадратурной формулы.

Ключевые слова: потенциал двойного слоя, граничные интегральные уравнения, угловые точки, сгущающиеся сетки, метод квадратур.

An approximate method of solving the integral equation of the potential theory for the Dirichlet problem for the Laplace operator is proposed in the case when the domains are curvilinear polygons with piecewise analytic boundaries. The proposed method is exponentially-convergent with respect to the number of quadrature nodes in use.

Key words: double-layer potential, boundary integral equations, corner points, condensing grids, quadrature method.

Одним из методов численного решения эллиптических краевых задач в областях сложной формы является метод граничных интегральных уравнений. В граничных интегральных уравнениях неизвестными могут быть функции, имеющие смысл в содержательной постановке задачи, либо вспомогательные функции, по которым решение исходной задачи находится интегрированием. В последнем случае такие уравнения более известны как интегральные уравнения теории потенциала [1].

При численном решении граничных интегральных уравнений методом квадратур приходится решать систему линейных уравнений с несимметричной заполненной матрицей. Поэтому существенно важным представляется уменьшение размерности системы за счет повышения точности аппроксимации. Если граница области содержит угловые точки, то задача построения аппроксимирующей линейной системы значительно усложняется, так как соответствующие интегральные уравнения становятся слабосингулярными. Стандартный подход в этом случае состоит в построении составной квадратурной формулы, элементарные отрезки которой сгущаются к угловым точкам. На каждом элементарном отрезке используется формула с одинаковым числом узлов. Этот метод обеспечивает степенной порядок убывания погрешности приближенного решения при увеличении числа узлов применяемой формулы численного интегрирования [2-5].

В работе [6] аппроксимация интегралов в граничных уравнениях строилась на основе использования составных квадратурных формул Гаусса, в которых элементарные отрезки сгущаются к угловым точкам контура, а число узлов элементарных формул меняется при приближении к углам. Такой подход позволил получить экспоненциальную скорость сходимости относительно числа узлов в случае, когда рассматриваемая область является многоугольником. В настоящей статье предложенный в [6] метод обобщается на случай области, являющейся криволинейным многоугольником с кусочно-аналитической границей.

Пусть Q — ограниченная обл асть в R2 с границ ей Г, являющейся замкнутой кривой без самопересечений и допускающей следующее параметрическое представление:

Г = {ж = x(s) = (xi(s),x2(s)), s e [0,T], x(0) = x(T)}.

1 Арушанян Игорь Олегович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

[email protected].

Будем считать, что существует такое конечное число точек

0 = ¿0 <81 < ... < SJ-l <SJ = Т, что при 8 € [¿з, ¿з+1], ] = 1,...,,] — 1, имеем

= Ж1 (¿), = Х2 з (¿),

причем существует число 6з > 0, такое, что хг,з (¿) допускают ограниченное аналитическое продолжение с отрезка [¿3+1] вещественной оси в круг на комплексной плоскости с центром в точке (0,5^ + ¿3+1), 0) и радиусом Гз = 0,5^+1 — ) + 63.

Для каждого ] = 0,...,7 существует такое число ш(]), что в точке для левых и правых предельных значений производных функций Хij-l(s) ш Хг 3(¿) выполнено

x(fcj)-l(Sj) = х^^), г = 1, 2, к = 0,..., ш(з) — 1,

г- 1 п )) / ч / (т(3)) , \

и хотя бы при одном г = 1, 2 справедливо неравенство х\з—{ (¿3) = (¿3).

Если ш(]) = 1, то соответствующую этому значению точку границы Р^ = {х^з),Х2(¿3)) назовем угловой, причем потребуем, чтобы внутренний угол 03 облает и О в этой вершине не был равен 0 или 2п (в этом случае точка Рз будет точкой заострения). Если ш(^) > 1, то такую точку также будем считать угловой с аз- = п.

В области О рассмотрим задачу Дирихле для оператора Лапласа:

Ди(х) =0, х € О;

(1)

и(х) = Г(х)/2, х € Г.

В дальнейшем будем считать, что функция Г является бесконечно дифференцируем ой всюду на Г, кроме, быть может, угловых точек, где допускаются особенности вида \х — Рз\в, 0 < в < 1. Решение задачи (1) будем искать в виде потенциала двойного слоя

1 Г _ , д_

1у

и^ = 2тг / ~дп~ 1п ~ гМу

с неизвестной плотностью распределения Ф, которая является решением граничного интегрального уравнения

~ J—1

Ф(х) + К(х,у)Ф(у) (Ну = Г(х), х € Г^ Рз, (2)

Г з=0

где

1 д

К(х,у) = - — Ы\х-у\.

Уравнение (2) однозначно разрешимо в пространстве непрерывных функций при условии непрерывности функции Г [7].

Для каждого ] = 0,...^ введем в рассмотрение величины з такие, что вз = п(п + \п — аз\) 1. Справедлив следующий результат [8]. Рассмотрим набор чисел Л = {Лз}, ] = 0,1,...,,1, таких, что 0 < Лз < вз Тогда существует постоянная с(Г,Г, Л), зависящая только от вида кривой Г, функции Г и набора чисел Л, такая, что для решения уравнения (2) при каждом € [0, Т] выполнено неравенство

|Ф(х) — Ф(Рз) | < с(Г, Г, Л) \х — .

Уравнение (2) может быть записано (см. [7]) в виде, позволяющем использовать при численном реФ

2Ф(х) + У К(х,у)(Ф(у) — Ф(х)С (1у = Г(х). (3)

г

х

Утверждение 1. Пусть функция Ф является решением уравнения (3). При сделанных выше предположениях существует натуральное число и\, такое, что для любого натурального п > п1 может быть построена, квадратурная формула с узлам,и } и коэффициент ами {Л^}, ] = 1, 2,...,п, для, которой справедливо неравенство

max

жег

/и

K(х,у)(Ф(у) - Ф(х)) dly - £ A(u)K{x,y(u)) (Ф(у(и)) - Ф(х)) г 3 = 1

^ Ьоехр(-со\/й),

п

Введенное семейство квадратурных формул позволяет при каждом и > п\ построить следующую систему линейных алгебраических уравнений:

п

2ф(п) + £ Л(п) К(у(п),у(п)) (Ф^ - ф(п)) = F (у(п)), г = 1,...,п. (4)

з=1

Утверждение 2. При сделанных выше предположениях существует натуральное число п2, такое, что при всех п > п2 система линейных алгебраических уравнений, (4) однозначно разрешим,а,.

Полученный результат позволяет построить приближенное решение уравнения (3). Пусть величины

Ф(п\ г = 1,...,п, являются решением системы (4). Рассмотрим функцию

, п Ч/ п \-1

Фп(х) = и(X) ^Л^К&у^)Ф(;Л 2 - £ЛПК(х,у(п))) . (5)

з=1 з=1

Утверждение 3. Существует натуральное число щ, такое, что для любого натурального п > п3 (5)

тах|ф(ж) — Фп(ж)| ^ Ъ\ ехр(—соу/п),

где Ф — решение уравнения (3), постоянна,я, во определена в утверждении 1, а постоянная Ь1 положи-

п

Таким образом, доказана экспоненциальная скорость сходимости предложенного метода относительно числа узлов применяемой квадратурной формулы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 11—01—00767-а, 12-01-00960-а, 12-01-00283-а, 12-01-91330-ННИО-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kress R. Linear integral equations. Heidelberg: Springer, 2012.

2. Bremer J., Rokhlin V. Efficient discretization of Laplace boundary integral equations on polygonal domains // J. Comput. Phys. 2010. 229. 2507-2525.

3. Graham I.G., Chandler G.A. High-order methods for linear functionals of solutions of second kind integral equations // SIAM J. Numer. Anal. 1988. 25, N 5. 1118-1137.

4. Helsing J., Ojala R. Corner singularities for elliptic problems: integral equations, graded meshes, quadrature, and compressed inverse preconditioning //J. Comput. Phys. 2008. 227. 8820-8840.

5. Kress R. A Nystrom method for boundary integral equations in domains with corners // Numer. Math. 1990. 58, N 2. 145-161.

6. Арушанян И. О. Семейство квадратурных формул для численного решения граничных интегральных уравнений // Вычисл. методы и программир. 2013. 14. 461-467.

7. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Т. 27. М.: ВИНИТИ, 1988. 131-228.

8. Заргарян С. С., Мазья В.Г. Об асимптотике решений интегральных уравнений теории потенциала в окрестности угловых точек контура // Прикл. матем. и механ. 1984. 48, вып. 1. 169-174.

Поступила в редакцию 22.11.2013