CC BY
13Краткие сообщения
УДК 511
ТОЧНАЯ ОЦЕНКА СНИЗУ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА ОТНОШЕНИЯ СУММЫ РЯДА ПО СИНУСАМ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
К ЕЕ МАЖОРАНТЕ А. Ю. Попов1, А. П. Солодов2
Найдена неулучшаемая оценка снизу верхнего предела отношения суммы ряда по синусам с монотонными коэффициентами к ее мажоранте.
Ключевые слова: ряд по синусам, асимптотическое поведение, монотонная последовательность.
A sharp lower estimate of the upper limit of the ratio of the sum of sine sériés with monotone coefficients to its majorant is obtained.
Key words: sine sériés, asymptotic behavior, monotone sequence.
Мы изучаем асимптотическое поведение при x — 0+ суммы ряда по синусам g(b, x) = ^£=1 bk sin kx, последовательность коэффициентов b = {bk}keN которого монотонно стремится к нулю:
bi > 0 bk+1 < bk V к G N lim bk = 0. (1)
k^X
Класс всех последовательностей (1) обозначим Ш. В [1] доказано, что функция v(b,x) = xY^kbk, m(x) = [п/x], является мажорантой g(b, x) на интервале (0,п), какова бы ни была последовательность b G Ш. Следовательно, для всех b G Ш верно неравенство
щ = пе 4г4 < 1- (2)
v(b,x)
Асимптотическая оценка g(b,x) — v(b,x) = k3bk), x — 0+, выведенная С. А. Теляковским [2],
и теорема Хартмана-Винтнера [3], согласно которой
Иш 9^ = / кЬк> если кЬк < +00;
X \+оо, если YlkLi кЬк = +оо,
позволяют доказать предельное соотношение
Ък = О (к-2), 6 = {Ък} G Ш=> lim = L (3)
4 7 v(b,x)
Из (2), (3) находим тах {1(6) | b G = 1.
Чему же равна точная нижняя грань 1(6), взятая по всем последовательностям 6 G С. Алян-чич, Р. Боянич и М. Томич [4] доказали, что если на луче [1, +œ>) задана положительная, убывающая,
b
x
^b(k)sinkx ~ x-1 b{x-1), x — 0. k=1
А так как в этом случае x^kb(k) ~ (1/2) xb (x-1) m2(x) ~ (n2/2) x-1b (x-1), x — 0, то
g({b(n)}2 lim —--— = —
v({b(n)}n2'
1 Попов Антон Юрьевич — доктор физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: apsolodovQmail.ru.
2 Солодов Алексей Петрович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
apsolodovQmail .ru.
Следовательно, верно неравенство inf {1(6) | b £ ШТ} ^ 2тг~2. Мы доказали, что на самом деле имеет место равенство.
Теорема 1. Справедливо равенство min {1(6) | b £ ШТ} = 27г~2.
В свете цитированной теоремы Алянчича-Боянича-Томича для доказательства теоремы 1 достаточно убедиться в том, что l(b) ^ 2п-2 (Vb G M). Мы получили более тонкий результат.
Теорема 2. Для любой последовательност,и b G M существует такая последоват,ельност,ь положительных чисел {xp}, limp^^ xp = 0; что при всех p G N верны неравенства g (b,xp) > 2п-2v (b,xp).
Теорема 2 в свою очередь следует из теоремы 3.
Теорема 3. Даны, произвольные b G M и n G N. Тогда существует такое натура,л,ьное число N > n, ч,т,о выполняется неравенство
ж
/2 га
ж (g(b, x) — 2п-2v(b, x)) dx > 0. (4)
■In
Существование последовательности {xp}peN, которое утверждается в теореме 2, выводится из теоремы 3 методом математической индукции. Действительно, возьмем и = 1 и, согласно теореме 3, найдем такое натуральное N > 1, что выполняется (4). Положим щ = N. Если последовательность номеров {nk}pk=i уже построена, то для и = np снова найдем такое N, чтобы выполнялось условие (4), и обозначим его через np+i. В результате получим последовательность номеров np, такую, что
7Г
f 2 га
/ p (g(b,x) — 2п-2v(b,x)) dx > 0.
2га.
р+1
На каждом интервале (п/ (2пр+{) ,п/ (2пр)) выберем точку хр, в которой д(Ь,хр) — 2п-2у(Ь,хр) > 0. Очевидно, построенная последовательность {хр} удовлетворяет всем условиям теоремы 2. Доказательству теоремы 3 предпошлем четыре леммы. Лемма 1. Пусть п,и Е N {вк}кем € М. Тогда,
га(4^+1) , .
п к \
/ ,ч
k=ra(4^-3)+1
Доказательство. Обозначим А = n(4v — 3) и разобьем сумму S на две части:
* - Е А - (£) + Е А «»(£)= Е^ - +
k=A+1 4 7 k=A+2ra+1 7 j=1 4 7
2П Уп(А + 2n + j )\ ^ inj'
S^o (n (A + 2n + j)\ 0 , . inj\
+ ßA+2n+j COS ^-—-J = E ^A+2n+j ~ ßA+j ) Sm ^ ) '
j=1 7 j=1
Поскольку $т(п ]/(2и)^ > 0 при 1 ^ ] < 2п, вA+2n+j ^ вA+j, то все слагаемые в последней сумме неположительны, а значит, и 5 ^ 0. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть п,Ы Е N {вк}кем € М. Тогда, верны неравенства
<х / k \
Е äcos U^ P ~Nß2N>
k=2N ^ 7
k=2N
< 2nß2N.
Доказательство. Разобьем первую сумму на две части:
3М / к \ / к \ 3N—1 / к \
Еасой ^ + Е ^ = Е Асов ^ - Е (5)
к=2М 7 к=3М+1 4 7 к=2М 7 ^=N+1
Ввиду двойного неравенства — 1 < ео^(пк/(22И)) < 0 2Ы ^ к < 3Ж, а также неотрицательности и { вк }
3М —1 / п к \ Ш —1
Е Асов(2ж) ^- Е а ^(6)
к=2М ^ 7 к=2М
Последнюю сумму в (5) разобьем на блоки:
те те N (4v+1)
Е /W,cos(||) £ /W,cos(||). (7)
q=N +1 v=1 q=N (4v-3)+1
По лемме 1 каждая внутренняя сумма в (7) неположительна, а значит, Ylq=N+1 в2N+q cos(nq/(2N)) ^ 0. Отсюда и из (5), (6) получаем первое неравенство леммы.
Второе неравенство является прямым следствием (при x = n/(2n)) оценки модуля остатка ряда с монотонными коэффициентами вк cos kx\ ^ втп/x, 0 < x ^ п. Эта оценка доказывается при
помощи преобразования Абеля с использованием оценки ядра Дирихле, как в [6, с. 658]. Лемма доказана. Лемма 3. Если {bk }keN G M n G N, то верно неравенство 4^= kbk ^ b1 + k=i kbk-Доказательство. Пользуясь монотонностью последовательности {bk}ken G M, находим
E2™ ^ , V^ , , 3n2 + n 3n2 + 3n - 2 kbk^bn к = bn---^ bn---=
k=k+1 k=k+1
(2 n \ n n
3+Efc 26i + 3 ^ fcbfc = -bi + 3 k=2 / k=2 k=1
Прибавив к обеим частям Y^n=1 kbk: получим доказываемое неравенство. Лемма доказана.
Лемма 4. Если {bk}keN G M N G N, m,о верно нера,венетво ^k=i
1 kbk < Nh + 2N2b^ .
Доказательство. Разобьем левую часть доказываемого неравенства на две суммы и оценим каждую отдельно, пользуясь монотонностью последовательности {bk}• Имеем
2N— 1 2N—1 2N—1 2N—1
Y,kbk=J2kbk+ i+6[Vlv] I] k^Nh+Ь^щ k^Nbl+2N2b^.
к=1 k=1 fc=[Vw]+l fc=1 fc=[Vw]+l fc=1
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3. Для произвольных n,s G N положим N = n(2s + 1) и вычислим интеграл
П п / ^ \ п
те \ /т(х) \
/n>N = I (g(b, x) — 2n-2v(b,x)) dx = I I ^ bk sin kxldx — 2п-2 I x I kbk 11
2N 2N \k= 1 / ,J 2N \ k=1
те „JL 2JV-1 / m \ Г~
У^ bk / sin kxdx — 2п-2 ^ ^kbk / xdx =
fc=l I/V m=2n \k=l /
2N—1
g т («• (ж) - - (£)) - ((£ - ct) gtM •(8)
Мы воспользовались возможностью изменить порядок интегрирования и суммирования при вычислении интеграла от д(Ь, х) вследствие равномерной сходимости ряда по синусам с коэффициентами из М на любом отрезке, лежащем внутри интервала (0, 2п), а также постоянством функции ^ ^Ьк на интервалах п/(т + 1) < х < п/т, т Е N. Преобразуем последнюю сумму в (8) по Абелю:
2М-1 / / 1 1 ч т\ 1 2п 1 2М-1 2М-1 ^
Е (^-(^ттр)Е^ = + Е i■ о)
т=2п\ у ' 7 к=1 / к=1 к=1 к=2п+1
Объединяя (8), (9), получим
k=1 \ 4 7 / k=1 k=1 k=2n+1
Разобьем найденное представление In, N на несколько сумм;
" = -2 Y Т cos (-)+ У Т (4)2у bi (eos (.)- 1) +
' ик \2п> ¿?Nk\ \2NJ [2nJJ [2 N) J
2n , n,/ / í \ \ 1 2n 2N-1
+ E т + Щ-™ Í -¿E^ + ^E^- a»)
k=n+1 k=1 \ v 7 / k=1 k=1
Оценим отдельно первые пять слагаемых. По лемме 1
n(4í¡+:L) s n(4v+1)
eHS=E E Mi <">
k=n+1 v 7 v=1 k=n(4v-3)+1 v 7
Поскольку cos(-7r k/(2n)) ^ G n(4s + l) К k К n(4s + 2), то
bk
— cos -k \2n
n(4s+2)-1
к=п(4«+1)+1
Складывая (11), (12) и учитывая, что 2Ж = п(4з + 2), приходим к оценке первого слагаемого в (10):
к=п+1 4 7
Применив лемму 2 для второго слагаемого в (10) при ßk = Ь^/к, получим
^ bk( ( пк\ (п к\\ b2N nb2N b2N b2N ^ , ,ллЛ
> — cos — — cos — ^----=----> —62 TV- (14)
fcàvH \2пУУ 2 N 2 2s +1 2N { }
Оценим остальные слагаемые:
2N— 1 , / / , \ \ 2N— 1 , / 7 \ 2 2N-1 г 2N-1
Е ! - = £ £ ^ > -ér Е > -ils Е ».. с*>
k=1 \ 4 7 / k=1 4 7 k=1 k=1
2n k=n+1
k=1 \ 4 7 / k=1 4 7 k=1
В последнем переходе мы использовали неравенство sin(-/ri/4) > t/л/2, t G (0,1). Применяя (13)—(IT), выводим из (10) следующую оценку:
1 n 1 2n 1 2N—1
Tn,N > E kbk-b2N.
k=1 k=1 k=1
Отсюда и из лемм 3, 4 получаем ^ &i/ (4n2) — b\/N — 2Ь\[ущ — 62N- Тем самым при любых n, s G N,
s ^ An, N = n(2s + 1), верна оценка снизу 1п>н (8n2) — А так как Игщ^оо Ьк = 0, то при всех
достаточно больших N G N правая часть положительна, а значит, In,N > 0. Теорема доказана.
Работа второго автора выполнена при финансовой поддержке программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-3682.2014.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Попов А.Ю. Оценки сумм рядов по синусам с монотонными коэффициентами некоторых классов // Матем. заметки. 2003. 74, № 6. 877-888.
2. Telyakovskit S.A. On the behavior near the origin of the sine series with convex coefficients // Publ. Inst. Math. Nouvelle sér. 1995. 58, N 72. 43-50.
3. Hartman P., Wintrier A. On sine series with monotone coefficients //J. London Math. Soc. 1953. 28, N I. 102-104.
4. Aljancié S., Bojanic R., Tomic M. Sur le comportement asymptotique au voisinage de zéro des séries trigonométriques de sinus à coefficients monotones // Publ. Inst. Math. Serbe Sei. 1956. 10. 101-120.
5. Сенета E. Правильно меняющиеся функции. M.: Наука, 1985.
6. Бари H.K. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.
Поступила в редакцию 18.06.2013
УДК 519.6
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ
И. О. Арушанян1
Предлагается приближенный метод решения интегрального уравнения теории потенциала задачи Дирихле для оператора Лапласа в случае областей, являющихся криволинейными многоугольниками с кусочно-аналитическими границами. Данный метод обладает экспоненциальной скоростью сходимости относительно числа узлов применяемой квадратурной формулы.
Ключевые слова: потенциал двойного слоя, граничные интегральные уравнения, угловые точки, сгущающиеся сетки, метод квадратур.
An approximate method of solving the integral equation of the potential theory for the Dirichlet problem for the Laplace operator is proposed in the case when the domains are curvilinear polygons with piecewise analytic boundaries. The proposed method is exponentially-convergent with respect to the number of quadrature nodes in use.
Key words: double-layer potential, boundary integral equations, corner points, condensing grids, quadrature method.
Одним из методов численного решения эллиптических краевых задач в областях сложной формы является метод граничных интегральных уравнений. В граничных интегральных уравнениях неизвестными могут быть функции, имеющие смысл в содержательной постановке задачи, либо вспомогательные функции, по которым решение исходной задачи находится интегрированием. В последнем случае такие уравнения более известны как интегральные уравнения теории потенциала [1].
При численном решении граничных интегральных уравнений методом квадратур приходится решать систему линейных уравнений с несимметричной заполненной матрицей. Поэтому существенно важным представляется уменьшение размерности системы за счет повышения точности аппроксимации. Если граница области содержит угловые точки, то задача построения аппроксимирующей линейной системы значительно усложняется, так как соответствующие интегральные уравнения становятся слабосингулярными. Стандартный подход в этом случае состоит в построении составной квадратурной формулы, элементарные отрезки которой сгущаются к угловым точкам. На каждом элементарном отрезке используется формула с одинаковым числом узлов. Этот метод обеспечивает степенной порядок убывания погрешности приближенного решения при увеличении числа узлов применяемой формулы численного интегрирования [2-5].
В работе [6] аппроксимация интегралов в граничных уравнениях строилась на основе использования составных квадратурных формул Гаусса, в которых элементарные отрезки сгущаются к угловым точкам контура, а число узлов элементарных формул меняется при приближении к углам. Такой подход позволил получить экспоненциальную скорость сходимости относительно числа узлов в случае, когда рассматриваемая область является многоугольником. В настоящей статье предложенный в [6] метод обобщается на случай области, являющейся криволинейным многоугольником с кусочно-аналитической границей.
Пусть Q — ограниченная обл асть в R2 с границ ей Г, являющейся замкнутой кривой без самопересечений и допускающей следующее параметрическое представление:
Г = {x = x(s) = (xi(s)x(s)), s G [0,T], x(0) = x(T)}.
1 Арушанян Игорь Олегович — канд. фнз.-мат. наук, доцент каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
i.arushan@gmail.com.
