CC BY
105. Kress R. Linear integral equations. Heidelberg: Springer, 1999.
6. Арушанян И. О. О численном решении граничных интегральных уравнений второго рода в областях с угловыми точками // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. 36, № 6. 101—113.
7. Арушанян И. О. Применение метода квадратур для решения граничных интегральных уравнений плоской теории упругости на многоугольниках // Вычисл. методы и программир. 2003. 4. 142-154.
8. Арушанян И.О. Семейство квадратурных формул для численного решения граничных интегральных уравнений // Вычисл. методы и программир. 2013. 14. 461-467.
9. Арушанян И. О. Численное решение граничных интегральных уравнений на криволинейных многоугольниках // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 4. 55-57.
10. Арушанян И. О. Экспоненциально сходящийся метод решения граничных интегральных уравнений на многоугольниках // Вычисл. методы и программир. 2014. 15. 417-426.
11. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Т. 27. М.: ВИНИТИ, 1988. 131-228.
Поступила в редакцию 19.li.2014
УДК 511
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА КОМПОЗИТА НА ОСНОВЕ ФЕНОЛЬНЫХ СМОЛ, АРМИРОВАННЫХ КОРОТКИМИ ВОЛОКНАМИ
С. В. Шешенин1, П. В. Чистяков2, В. В. Галатенко3, Д. И. Калугин4, О. Н. Шорникова5, А. П. Малахов6
1
Исследованы упругие модули композиционного материала на основе высокотемпературных модифицированных фенольных смол, наполненных короткими углеродными волокнами. Выполнены сравнительный анализ некоторых аналитических методик определения эффективных модулей таких композитов и их экспериментальная проверка.
Ключевые слова: углеродные волокна, короткие волокна, фенольная смола, эффективные модули, тензор Эшелби.
Elastic moduli of composite material based on high-temperature modified phenolic resins filled with short carbon fibers are estimated. Comparison of several closed-form formulas used to determine the effective moduli of such composites is the aim of the paper. Results of experimental verification are also given.
Key words: carbon fibers, short fibers, phenolic resin, effective moduli, Eshelby tensor.
Введение. На основе различных полимерных смол производятся разного рода композиты, в том числе материалы, наполненные короткими углеродными волокнами. Для успешного решения задачи создания перспективных материалов наряду с эмпирическими подходами необходимо применять математическое моделирование и оптимизацию свойств. В настоящей работе рассмотрены композиционные материалы на основе высокотемпературных модифицированных фенольных смол [1] и углеродных волокон. Цель исследований — сравнительный анализ аналитических методик определения эффективных модулей таких композитов и их экспериментальная проверка. Рассматриваются
1 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shesheninQmech.math.msu.su.
2 Чистяков Петр Владимирович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: chist206Qyandex.ru.
3Галатенко Владимир Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vgalatQimscs.msu.ru.
4Калугин Денис Иванович — канд. хим. наук, ст. науч. сотр. каф. химической технологии и новых материалов хим. ф-та МГУ, e-mail: kalugin-denisQmail.ru.
5Шорникова Ольга Николаевна — канд. хим. наук, доцент каф. химической технологии и новых материалов хим. ф-та МГУ, e-mail: onshornikovaQgmail.com.
вМалахо Артем Петрович — канд. хим. наук, вед. науч. сотр. каф. химической технологии и новых материалов хим. ф-та МГУ, e-mail: malakhoQinumit.ru.
31 ВМУ, математика, механика, № 4
два случая расположения волокон: 1) волокна имеют произвольную ориентацию в пространстве, 2) направления волокон занимают раствор некоторого двугранного vivía в пространстве. Второй подход является альтернативой использованию тензора ориентации.
Аналитические вычисления. Входными данными служат объемная доля волокон, модуль Юнга волокна и матрицы, коэффициент Пуассона матрицы, длина и диаметр волокна. Здесь учтено, что коэффициент Пуассона тонких волокон оказывает незначительное влияние на осредненные свойства. В работе представлено сравнение экспериментальных данных, полученных при испытаниях указанного выше материала на растяжение и сжатие, с результатами пространственного осреднения.
Одной из первых работ, посвященных композитам с короткими равномерно распределенными и ориентированными волокнами, является статья [2|. В случае ориентации волокон в пространстве формула для модуля Юнга [2| имеет вид
£eff = ^ + (1 " 7 Ж 6
(1)
где 7 — концентрация волокон (объемное содержание), Е^ — модуль Юнга волокон, Ет модуль Юнга матрицы.
Существуют более современные методики вычисления эффективных свойств. В них процесс осреднения состоит из двух этапов (см., например, [3, 4|). Сначала рассматривается материал с параллельными волокнами. В этом случае эффективная среда является трансверсально-изотропной и закон Гука записывается в виде [4, 5]
^11 — С11£11 + С12£22 + ^12^33, &22 — С12 £11 + С22 £22 + С23 ^33, а\2 = 2С66£12, 0"13 = 2С66 £3Ъ 0"23 — (С22 — С23 )£23 •
(2)
Здесь принято, что ось 1 направлена вдоль волокон и Caß = Caaßß, а, ß = 1, 2, 3, C66 = C1212 = C1313. Другие модули упругости выражаются через модули жесткости Caß следующим образом [4]:
E11 — Си —
2С12
V12 — V13 —
С12
С22 + С23 '
ß12 — ß31 — С66
С22 + С23 ' 1
^23 — ~ (С22 + С23),
A¿23 — - (С22 — С23),
где Ец — модуль Юнга в направлении 1, К23 — модуль расширения-сжатия в плоскости 23, ¡л,ав — модуль сдвига в плоскости ав- Также принято, что в обозначении коэффициента Пуассона щ первый индекс г относится к направлению приложения напряжения, а второй ] — к направлению вызванной им поперечной деформации. В работах [4, 6, 7] для всех пяти констант можно найти формулы, использующие решение Эшелби [8]. Другой вариант формул известен как формулы Халпина Цая (На1рш Тяа1 ес1иа1юп8). Это формулы для продольного Е^ и поперечного Ет модулей Юнга эффективной среды, соответствующей также однонаправленным волокнам. Приведем ниже сравнение обоих вариантов для материала со следующими характеристиками: Е^ =240 ГПа, = 0,3, Ет = 4,5 ГПа, к = (1/1 = 0,002. Здесь ( — диаметр, а I — длина волокна. Графики зависимости продольного модуля Е^ от концентрации 7 приведены па рис. 1: кривая 1 соответствует формулам из работы [4|, кривая 2 расчету по формулам Халпина Цая. Для типичной в случае изучаемого материала концентрации 7 = 0,4 разница составляет 10,6%. Далее будет видно, что такая точность соответствует разбросу экспериментальных данных для этого материла.
Соотношения для эффективных модулей композитов со случайно ориентированными волокнами выводятся на основе результатов, полученных для композитов с параллельными волокнами. Используется процедура осреднения [9, 10]. В случае равномерного пространственного распределения результирующие формулы имеют вид [4|
Рис. 1. Зависимость модуля Еь от концентрации 7 для однонаправленных волокон: 1 — график. соответствующий формулам из [4]; 2 расчет по формулам Халпина Цая
1
1
р = — (Еп + 4(1 - 2v12)2K23 + 6(^12 + №)), К = - (Еп + 4(1 + vV2fK23)
(3)
Модули, рассчитанные по формулам (3) при 7 = 7,25%, имеют следующие значения: ц = 2,96, К = 5,97, Е = 7,62, V = 0,29. Графики зависимости эффективного модуля Юнга от объемной доли волокон при равномерном пространственном (ЗБ) ориентировании волокон показаны на рис. 2: кривая 1 построена по формулам [4|, кривая 2 по формуле (1), кривая 3 по формуле
Е, ГПа 40
ЕеП = Е + 4Ет )/5 (4)
из работы [10].
Итак, формулы (3) соответствуют случаю равномерного пространственного армирования, т.е. при осреднении эйлеровы углы, задающие направление волокон, менялись в пределах 0 ^ р ^ п, 0 ^ в ^ п. При прессовании композита возможно отклонение от равномерности распределения ориентации волокон. Для оценки влияния этого явления на эффективные свойства можно считать, что но направлениям, выходящим за раствор заданного угла, волокон нет, т.е. во ^ в ^ п — в^. Внутри двугранного угла раствора 2(п — в0) распределение волокон по направлениям принято равномерным. В этом случае эффективная среда является трансверсально-изотропной. Если ось 1 есть ось симметрии, то закон Гука записывается в виде (2), но оередненные модули в данном случае будем обозначать через вместо С^ (последние соответствуют однонаправленным волокнам). Были получены формулы зависимости С™^ от во, которые из-за громоздкости не приводятся. В табл. 1 приведены значения С™^.
Как видно, при во < 15° и 7 = 7,25% максимальное различие модуля Юнга составляет не более 5%, что несущественно по сравнению с разбросом экспериментальных из-
30
20
10
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 У Рис. 2. Зависимость модуля Е от концентрации 7 для равномерно ориентированных волокон: 1 график, построенный по формулам [4], по формуле (1), 3 по формуле (4)
Таблица!
00,° 0 5 10 15
C'i'înd, ГПа 9,16 9,11 8,90 8,79
Т а б л и ц а 2
ац 1/3 0,3 0,25
/пап H L'll 7,7 7,5 7,0
-Strand О 22 7,7 8,1 8,4
мерений. Рассмотренный подход ограничения угла направления волокон является альтернативой известной методике использования тензора ориентации волокон. Оба подхода представляются приближенными, поскольку получить точно тензор ориентации при прессовании кажется затруднительным. Тензором ориентации второго ранга называется тензор с компонентами в декартовом базисе
г2п гп
aij = / / PiPjф(p)sin QdpdQ, где ^(p) — функция распределения
J 0 J 0
направлений волокон. Она определяется как плотность вероятности направления волокон вдоль единичного вектора p и удовлетворяет условию /П ^>(p)sin 6 dp dd = 1. Сумма диагональных членов тензора
ориентации равна единице. Зависимость модулей Юнга C[fnd и C2|nd (C3fnd = C2|nd) от ац приведена в табл. 2, где учтено, что а22 = азз = 1/2(1 — ац). Видно, что при изменении вероятности направления волокон вдоль оси 1 (оси прессования) на 25%; модули меняются не более чем на 10%;.
Сравнение с экспериментальными данными. Сравним данные, полученные теоретически при помощи пространственного осреднения, с экспериментальными данными. Эксперименты проводились на образцах материала, армированных короткими углеродными волокнами, объемная доля которых составляла 7,25%;. Свойства волокон и матрицы, детали структуры уже описаны выше. Была испытана серия из четырех образцов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами 10 15 и 120 мм. Испытания проводили на испытательной машине Instron 5985 кафедры химической технологии и новых материалов химического факультета МГУ, на машине Zwick Zlüü НИИ механики МГУ и на неавтоматизированной установке ИМАШ КБ2 лаборатории упругости и пластичности того же института.
На испытательной машине Instron испытания на растяжение и сжатие выполнили с датчиком усилия 250 кН, используя гидравлические клиновые захваты. Продольную и поперечную деформацию при нагружении измеряли с помощью двухкомпонентного экстензометра Epsilon 3560-ВЮ. Экстензометр позволяет измерять поперечную и усредненную (по двум сторонам) продольную деформацию на базе 20 мм. Для измерения деформаций использовались также тензодатчики TML FCA с базой 3 и 5 мм. На каждой боковой стороне наклеивалось но 2 датчика (продольный и поперечный). Испытания образцов проводили в упругой области со скоростью перемещения траверсы 1 мм/мин. Было выполнено по 5 циклов растяжения-сжатия в пределах от 500 до —500 H для каждого образца. На машине Zwick с датчиком усилия 10 кН были проведены опыты по растяжению образцов до максимального усилия 500 H с последующей разгрузкой. На установке ИМАШ испы-
3"2 ВМУ, математика, механика, № 4
тывались образцы на растяжение путем ступенчатого нагружения живым весом (гирями) от 5 до 55 кг с шагом 5 кг и последующей разгрузки. Деформация измерялась с помощью тензодатчиков. Во всех испытаниях по тангенсу угла наклона линейной зависимости напряжение-деформация рассчитывали продольный модуль Юнга. Коэффициент Пуассона определяли как абсолютное значение отношения поперечной деформации к продольной. Деформацию по тензодатчикам во всех опытах снимали с измерений на четырех сторонах образца с использованием тензометрической станции Spider8 (НИМ. Германия).
При анализе результатов экспериментов был обнаружен максимальный разброс модуля Юнга в 15%. Среднее значение модуля Юнга при растяжении, полученное с помощью тензодатчиков, соответствовало 7,2 ГПа, а с помощью навесного экстензометра — 7,6 ГПа. Отметим, что значение модуля Юнга, полученное по теории Кристенсена [4], равно 7,6 ГПа, а с использованием коммерческой программы — 7,8 ГПа. Таким образом, измерения с помощью экстензометра кажутся более
достоверными. Они приведены в табл. 3, где жирным шрифтом выделены значения, которые являются промахами, по критерию Шовене, и не учитывались при расчете среднего значения. Поскольку число образцов было невелико, эти значения были отброшены при вычислении средних, а статистическая обработка не проводилась.
Средний коэффициент Пуассона образцов при растяжении, также измеренный с помощью навесного экстензометра, оказался равным 0,28, а по теории Кристенсена и с использованием коммерческой программы — 0,29.
Таким образом, в работе изучены зависимости эффективного модуля Юнга композита с короткими волокнами от концентрации волокон 7 и угла, ограничивающего расположение волокон Qq. Проведено сравнение с экспериментальными данными. Сравнение для достаточно малой концентрации приблизительно в 7% показало, что вычисленное значение модуля Юнга по теории Кристенсена [4] для произвольно направленных волокон с равномерным распределением вполне согласуется со значением, полученным экспериментально. В дальнейшем будет проанализирована точность аналитического и вычислительного подходов для концентраций вплоть до 40%.
Работа выполнена в рамках договора между ФКП "Алексинский химический комбинат" и МГУ имени М.В. Ломоносова по теме "Разработка технологии и организация производства термостойких композиционных пресс-материалов для серийного изготовления облегченных деталей сложной формы, используемых в аэрокосмической технике, наземном и морском транспорте" согласно Постановлению Правительства РФ от 9 апреля 2010 г. "О мерах государственной поддержки развития кооперации российских высших учебных заведений и организаций, реализующих комплексные проекты по созданию высокотехнологичного производства" (договор № 02.G36.31.0006).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bulgakov В., Kalugin D., Babkin A., Malakho A., Avdeev V., Кертап A. Synthesis and characterization of cured allyl/propargyl ether novolac resins //J. Chem. and Chem. Eng. 2013. N 7. 199-208.
2. Cox H.L. The elasticity and strength of paper and other fibrous materials // Brit. J. Appl. Phys. 1952. 3, N 3. 72-79.
3. Thorvaldsen T. A model study of the effective Young's modulus for randomly distributed short-fiber composites // FFI-rapport 2011/00212. 2011. Norwegian Defence Research Establishment (FFI).
4. Кристенсен P. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982.
5. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
6. Russel W.B. On the effective moduli of composite materials: effect of fiber length and geometry at dilute concentrations //J. Appl. Math, and Phys. 1973. 24, N 4. 581-600.
7. Hashin Z., Rosen B.W. The elastic moduli of fiber-reinforced materials //J. Appl. Mech. 1964. 31. 223-232.
8. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems // Proc. Roy. Soc. London A. 1957. 241, N 1226. 376-396.
9. Christensen R.M., Waals F.M. Effective stiffness of randomly oriented fibre composites //J. Compos. Mater. 1972. 6. 518-532.
10. Lavengood R.E., Goettler L.A. Stiffness of non-aligned fiber reinforced composites // US Gov. RD reports, AD886372. Nat. Techn. Inf. Serv. Springfield, VA, 1971.
Поступила в редакцию 09.06.2014
ТаблицаЗ
Номер образца Сторона Е, ГПа V
1 1 8,2 0,31
1 2 7,7 0,43
2 1 7,7 0,29
2 2 7,4 0,23
3 1 7,7 0,29
3 2 7,7 0,26
5 1 7,4 0,31
5 2 7,7 0,37
Среднее значение _ 7,6 0,28
