CC BY
42
УДК 539.3
В.И. Большаков, В.В. Данишевский
Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПЕРЕДАЧИ НАГРУЗКИ ОТ ВОЛОКОН К МАТРИЦЕ В СЛУЧАЕ НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА
В работе получено решение задачи о продольном растяжении (сжатии) однонаправленного композита, состоящего из упругой матрицы и бесконечно длинных цилиндрических линейно упругих волокон постоянного радиуса. Определены закономерности перераспределения нагрузки и исследован краевой эффект при идеальном и неидеальном контакте между компонентами стеклопластика на основе эпоксидной матрицы.
Ключевые слова: однонаправленно армированные композиты, асимптотические методы осреднения, краевой эффект, неидеальный контакт, закономерности перераспределения нагрузки.
Введение. Краевые эффекты, связанные с перераспределением нагрузки между компонентами, играют важную роль в микромеханике композитных материалов и конструкций [1-6]. Протяженность зоны краевого эффекта невелика и, как правило, находится в пределах одно-го-двух характерных размеров элементов структуры композита. Однако именно в этой зоне возникают наибольшие локальные напряжения, которые могут приводить к развитию дефектов на микроуровне.
г
Рис. 1. Схема нагружения Рис. 2. Расчетная модель
В настоящей работе рассматривается задача о продольном растяжении (сжатии) фрагмента однонаправленного композита, состоящего из упругой матрицы О*-1-* и бесконечно длинных цилиндрических
линейно упругих волокон О*2* с постоянным радиусом а (рис. 1). Будем считать, что к поперечному сечению г = 0 каждого волокна в на-
правлении образующей приложена нагрузка интенсивностью а0. Вы-
делим в рассматриваемом сечении ячейку периодичности и, в первом приближении, заменим ее внешнюю границу окружностью радиуса Я (рис. 2). Используемая расчетная схема аналогична полидисперсной модели [7], которая дает хорошие результаты для эффективных упругих модулей трансверсально-изотропных композитов при малых
и средних объемных наполнениях с(2) = ( а Я )2. Среди моделей сред с регулярной структурой наиболее близкие свойства проявляет композит с гексагональным размещением волокон.
Краевая задача. Будем считать, что компоненты тензора деформаций в точках, принадлежащих матрице, удовлетворяют геометрическим соотношениям Коши:
дм^
дг
8(і)_ м2
оа —
8«_
_дмР, ^ьдм^+дмР 8(()
д2 ’ гг д2 дг
(1)
8г0 _ 802
_ 0,
где и
(1) м(1)
щ' - перемещения в радиальном и продольном направлени-
ях, а компоненты тензора напряжении сутствующими массовыми силами:
уравнениям равновесия с от-
да
(1)
а(1) - а(1)
да
(1)
_ 0,
-2- + -
да 1 даг а
(1 а«
г | Г2 _ 0 дг г
, (1)
дг г & & дг г
Здесь и далее верхние индексы (г), г = 1, 2, 3, обозначают матрицу (область О(1)), волокна (область О(2) ) и межфазную границу дО .
Определяющие соотношения:
'ї1 ^ <М II С1 5ч ь :(1 -^
а01) _ Ж^1 :(1 -^(1))
а^ _ 2К{1) :(1 -(1))
8« + ^801) + Ц(1)8!1)
Д1) + м(1)8(1) + м(1)8(1)
І0 +Ц 8г +Ц 82
8: + Ц(1)8Г1> + Ц(1)801)
,14 _ е(1)8(Ч
>Г2 в Г
(1) _ а(1) _
аг0 _ а
02
_ 0,
4>_-
в
(1)
,(1)
1 - 2ц1
содержат модуль сдвига 0(1) и коэффициент Пуассона ц(1) матрицы.
Будем предполагать, что внешняя граница ячейки свободна от напряжений:
г
о
(1)
г-Я
- 0,:
о
(1)
г-Я
- 0.
(2)
Для моделирования эффекта неидеального контакта примем ги-
(1)
-ай
^ гг
на меж-
потезу о том, что касательные напряжения о^г2 фазной границе дО пропорциональны скачку продольных перемеще-
- Ли!3-1:
ний
и!1)- и¥}
о
(?- ^Ли(3)
ь
(3)
где С(3) - модуль сдвига материала межфазного слоя, а Ь - его толщина.
В рассматриваемом случае нарушение связи между компонентами проявляется в проскальзывании волокна относительно матрицы. В то же время в радиальном направлении условия контакта на границе раздела фаз остаются идеальными:
о
(1)
- о
(3) и(1)
- и
(3)
Предложенная модель справедлива в случае слабого поперечного взаимодействия компонентов, характерного для большинства волокнистых композитов при продольной деформации.
Введем параметр связи а (0 < а < 1):
0{Ъ) - 1 -а Ь 0(1) а а
и положим Ь/а ^ 0. В асимптотическом пределе а - 0 соответствует идеальному контакту ( Ли(3) - 0), а -1 - полному отсутствию контакта между волокнами и матрицей (- 0), а промежуточные значения 0 < а < 1 описывают случай неидеального контакта.
Еще одно упрощающее предположение заключается в том, что для высокомодульных волокон можно пренебречь поперечными деформациями:
,(1)
- 0.
(4)
Данная гипотеза используется во многих работах [2, 4] и позволяет рассматривать волокно как одномерный объект.
Г
г-а
г
г-а
г-а
г
г-а
Уравнение равновесия для волокна запишем в виде
d а(2)
dz
+ /0 (z) + /1 (z ) = 0.
где о!) - Е(2) du!2 /- продольное напряжение, Е(2) - модуль Юнга; /0 (г) - о05(г) - приложенная к волокну объемная сила; 5(г) - дельтафункция Дирака; /1 (г) - £ о(i)adбД па2)- 2о^г3} /а - объемная сила,
связанная с перераспределением напряжений между волокном и матрицей.
Аналитическое решение. Компоненты вектора перемещений и тензора напряжений в матрице удобно выразить через упругий потенциал Лява Ж [8]:
drdz
u(1)_ 2 ( 1 -
( і-м(1))
V2W -
d 2w
dz2:
(6)
аГ1 = 2Gw ^1 м1 4V2W-dz'
(1) _ 9G(1)-dl M(1)V2W d W
dr 2
аЦ) _ 2G(1) d ( m(1)V2W -1 dW), dz\ r dr )
а^ = 2G(1) — z dz
a« = 2G(1)-^
dr
(1)
( 2-M
( 1 -M(1))
V 2W -
V 2W -
d 2W dz2 J
d 2W dz
2
Тогда уравнения равновесия (1) удовлетворяются тождественно, а условия совместности деформаций сводятся к бигармоническому уравнению
V2V2W - 0. (7)
Применим к соотношениям (2)-(7) преобразование Фурье
f (s) - J f (z) exp {-isz) dz. Тогда в пространстве изображений получим следующие зависимости для компонент вектора перемещений:
—2~ 2^
dr
( 1 -M(1)) VW + sW,
2 а(3)
a
и тензора напряжении:
а? - 2G(1)is ^ ^(1)V2W -уг), а01) - 2G(1)is ( ^(1W -1W), (9)
—? - 2G(1)is
( 2 -ц(1)) V2W + s 2W
—^ - 2G(1) — dr
( 1 -ц(1)) V2W + s 2W
-(2) • р(2Г(2) -(3)
az - isE Uz , -rz
_-(1)
- — rz
а также граничные условия
-(1) —rr
r-R
—(3)
—rz
r-R
n _(1)
- 0 , — rz
- G11 -a
r-a a a
n “(1)
- 0 , Ur
- 0,
(10)
—(1) - _(2)" Uz Uz
и уравнение для упругого потенциала:
—2—2—
V V W - 0.
(11)
Решение уравнения (11) имеет вид
W - C1 ( s) I0 ( Nr) + C2 ( s) |slrI1 ( H r) + C3 ( s) K0 ( Is|r) +
+C4 ( s) HI rK1 ( H| r), где I0, I1 и K0, Kx - модифицированные функции Бесселя первого второго рода соответственно. Функции C1 ( s), C2 ( s), C3 ( s) и
и
C4 ( s) находятся из граничных условий (10).
—!z 7— 0
0 0,8
-0,01 - 0,4
-0,02 - #0,2
-0,03 - th 0,1
I— a = 0
-0,04 -
:/1
^ z / ^0
-0,46 -0,47 -0,48 -0,49 -0,5
a = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 z /1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Рис. 3. Касательные напряжения на межфазной границе
Рис. 4. Продольные напряжения в волокне
Окончательное решение строится путем обращения изображений (8), (9) по формуле
r-a
r -a
r-a
r -a
f (г)- 2 п 1 f (г) ехр (^)
—да
В работе выполнялось численное интегрирование с использованием пакета Мар1е.
Численные результаты. Для иллюстрации полученного решения рассмотрим однонаправленный композит на основе эпоксидной
матрицы (0(1) -1,53 ГПа и ц(1) - 0,33), армированной стеклянными волокнами (Е(2) - 69 ГПа). На рис. 3 и 4 представлены зависимости напряжений о^3, о!2 от безразмерной продольной координаты г/1 (I - расстояние между центрами соседних волокон, а г - 2Я ). Расчеты были выполнены для объемного наполнения стекловолокном
с(2) - 0,4.
В случае идеального контакта (а - 0) наличие сосредоточенной нагрузки в точке г - 0 приводит к сингулярности решения. Имеют место следующие пределы:
о
(3)
■ да,
о
(2)
о
2
о
(3)
о
(2)
о0с(2)Е(2)
2Еа
да,
где Е0 « ( 1 — с(2)) Е(1) + с(2)Е(2) - эффективный модуль Юнга в направ-
определенный по правилу смеси,
(1 + Ц(1)).
лении армирования
и Е(1) - 20(1)
„ах/о0
0
-0,02 -0,04 1 -0,06
-С(2) = 0,6; 0,4; 0,2; 0,1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Рис. 5. Максимальные касательные напряжения при г - 0
Г
г
0
г
На рис. 5 проиллюстрирована зависимость max от параметра а.
Как видим, ослабление связи между волокнами и матрицей снимает сингулярность и позволяет ограничить максимальные напряжения
g(3) = g(3
w rz, max
на границе раздела dQ.. При этом обеспечивается бо-
z=0
лее равномерное перераспределение нагрузки, а также увеличивается протяженность зоны краевого эффекта.
Библиографический список
1. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. - М.: Машиностроение, 1980. - 411 с.
2. Маневич Л.И., Павленко А.В. Асимптотический метод в микромеханике композитных материалов. - Киев: Вища школа, 1991. -131 с.
3. Гузь А.Н., Коханенко Ю.В. Краевые эффекты в композитах // Прикл. механика. - 1995. - Т. 31, № 3. - С. 3-23.
4. Lenci S., Menditto G. Weak Interface in Long Fibre Composites // Int. J. Solids Structures. - 2000. - Vol. 37. - P. 4239-4260.
5. Andrianov I.V., Danishevs’kyy V.V., Weichert D. Analytical Study of the Load Transfer in Fibre-Reinforced 2D Composite Materials // Int. J. Solids Structures. - 2008. - Vol. 45. - P. 1217-1243.
6. Большаков В.И., Андрианов И.В., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. - Днепропетровск: Пороги, 2008. - 196 с.
7. Кристенсен Р.М. Введение в механику композитов. - М.: Мир, 1982. - 334 с.
8. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.; Л.: Изд-во ОНТИ, 1935. - 674 с.
Получено 22.11.2010
