CC BY
41
Компьютерный синтез, закономерности случайных структур и моделирование процессов разрушения волокнистых композитов
при продольном сдвиге
А.В. Зайцев, А.В. Лукин, Н.В. Трефилов
Пермский государственный технический университет, Пермь, 614990, Россия
Определены закономерности случайных структур, представлены результаты моделирования процессов разрушения при мак-рооднородном продольном сдвиге представительных объемов однонаправленно армированных волокнистых композитов.
Computer synthesis, regularities of random structures and modeling of fiber composite failure in antiplane shear
A.V. Zaitsev, A.V. Lukin, and N.V. Trefilov
Perm State Technical University, Perm, 614990, Russia Regularities of random structures are determined. The modeling results for damage accumulation in representative volumes of unidirectional fibre-reinforced composites macrohomogeneous under antiplain shear are presented.
1. Введение
Многослойные композитные конструкции проектируются таким образом, чтобы основная силовая нагрузка воспринималась волокнами, а связующее перераспределяло напряжения, обеспечивая взаимодействие между армирующими элементами. Появление и развитие повреждений в матрице в результате силового воздействия не приводит к полному исчерпанию несущей способности материала в элементах конструкций.
Прогнозирование прочностных свойств и моделирование процессов структурного разрушения однонаправленно армированных композитов при антиплоском (продольном) сдвиге являются актуальными задачами, требующими значительных аппаратных и программных затрат. Подобные задачи для материалов с периодической тетрагональной укладкой круглых в поперечном сечении волокон одинакового диаметра были решены численно для фрагментов материала, которые состоят из центральной ячейки, окруженной слоем точно таких же типовых элементов [1]. При этом предполагалось, что
в матрице центральной ячейки периодичности могут накапливаться повреждения, а соседние типовые элементы деформируются упруго и не разрушаются.
Стохастический характер структуры однонаправленно армированных композитов обусловлен случайностью формы и взаимного расположения, разбросом характерных размеров волокон. В настоящее время существует потребность определения «скрытых» параметров порядка стохастических структур этих материалов (детерминированных периодических и квазидетер-минированных составляющих), предопределяющих характер процессов разрушения. В настоящей работе определены закономерности случайных структур стеклопластиков и подтверждена гипотеза о существовании параметров геометрии и взаимного расположения армирующих элементов, которые являются ключевыми (или определяющими) с точки зрения основных закономерностей процессов накопления повреждений и формирования условий макроразрушения, на основе численного решения краевых задач о продольном (анти-плоском) сдвиге методом конечных элементов.
© Зайцев А.В., Лукин А.В., Трефилов Н.В., 2004
Таблица 1
Предельные объемные доли круглых В поперечном сечении ВОЛОКОН ($Цр = 0-0) [5]
Коэффициент вариации диаметров волокон, kD 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600
Нормальный закон 0.820 0.823 0.826 0.830 0.833 0.835
Логарифмически нормальный закон 0.820 0.825 0.830 0.835 0.840 0.845
Исследование закономерностей стохастических структур будем проводить на основе анализа сгенерированных плоских фрагментов, синтез которых связан со случайным размещением непересекающихся гладких дисков на плоскости [2-5], считая, что волокна композитов имеют круглое поперечное сечение. При моделировании структур будем предполагать, что координаты центров размещаемых внутри синтезируемого фрагмента поперечных сечений волокон являются независимыми равномерными случайными величинами, а диаметры включений распределены по нормальному или логарифмически нормальному законам, ограниченным слева заданным минимальным значением Dmin (которое для всех генерируемых структур будет равно Dmin = = (р/ 2). Кроме того, будем считать неизменным отношение среднего диаметра волокон 1р} к характерному размеру фрагмента. Эти предположения и ограничения согласуются с результатами построения законов распределения диаметров волокон стеклопластиков на основе эпоксидной [2] и ненасыщенной полиэфирной смолы горячего отверждения ПН-1 [6], оправданы организацией технологического процесса получения волокнистых наполнителей.
Предположение о том, что диаметры волокон однонаправленно армированных композитов являются случайными, не вносит существенных корректировок в алгоритмы синтеза [5]. Для достижения объемных наполнений, близких к предельным, генерация структуры этих материалов может, при необходимости, сопровождаться дополнительным взаимным перемещением вновь и ранее размещаемых волокон [2-5], а также запрещением выхода какой-либо части поперечного сечения армирующего элемента за границы области.
2. Предельные объемные доли волокон
В табл. 1 представлены предельные объемные доли волокон, диаметры которых распределены по нормальному и логарифмически нормальному законам при отсутствии гарантированной прослойки матрицы, относительная толщина которой ^{р = 0.0*. Все достигнутые значения превосходят предельное наполнение композитов тетрагональной у^™* = 0.785 (при условии ра-
Все количественные результаты получены в результате осреднения по 20 независимым реализациям соответствующих сгенерированных случайных структур.
венства детерминированного диаметра частиц армирующего наполнителя в периодической D и {р стохастической структуры) и не превышают максимально возможную объемную долю включений для материала гексагональной структуры (у!™* = 0.907). Необходимо отметить, что регистрируемые у^™* незначительно превосходят величины предельных наполнений У,тах = 0.800 для случайных плотных упаковок из «гладких» непересекающихся дисков одинакового диаметра [7].
3. «Скрытые» закономерности стохастических полей структуры
С помощью аппарата корреляционных функций проведем исследование закономерностей случайных полей структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов. Введем случайную кусочно-однородную единичную индикаторную функцию А(г) детерминированного радиус-вектора г = г(х1, х2), которая принимает значение 1, если точка г принадлежит волокну, и 0, если матрице. Тогда математическое ожидание произведения пульсаций Х° (г) = Я(г ) - уг, определенных в двух отличных друг от друга точках г и г + Дг, назовем корреляционной функцией К£2)(| Дг|) = = (х° (г)А° (г + Дг)^. Эти функции, построенные экспериментально в результате обработки микрошлифов реальных композитов или на основе анализа модельных плоских случайных структур, позволяют определить степень усредненных взаимодействий и характер упорядоченности волокон.
На рис. 1 проиллюстрировано влияние вида закона распределения диаметров (в качестве которых были выбраны логарифмически нормальный и нормальный законы с постоянным ^р и различными коэффициентами вариации kD) на свойства случайных полей А(г). Нормированные, отнесенные к дисперсии у{ (1 - у{), корреляционные функции К^ (|Дг|) были построены для синтезированных фрагментов статистически изотропных структур композитов с заданной объемной долей волокон у{ = 0.4 и постоянной толщиной гарантированной прослойки матрицы ^(р = 0.25. Все функции К^2)(|Дг|) затухают на расстояниях 3.0^р вблизи асимптоты, смещенной на 0.02 относительно оси К^2)(| Дг|) = 0 (рис. 1). Это свидетельствует о слабой макронеоднородности синтезированных структур, а
Рис. 1. Нормированные корреляционные функции случайных структур у = 0.4, d = 0.25^р) композитов. Диаметры волокон соответствуют логнормальному (а) и нормальному (б) законам. кр = 0.2 (■,□); 0.4 (Ф,0); 0.6 (0,0)
также о присутствии в случайных полях Х(г) квази-детерминированных составляющих (проявления которых вызваны корректировкой взаимного расположения поперечных сечений волокон) [3-5].
Увеличение коэффициента вариации диаметров приводит к уменьшению размаха периодических составляющих у функций К|2)(|Дг|). Кроме того, при кр > 0.45 случайные поля структур, диаметры волокон в которых распределены по логарифмически нормальному закону, не содержат периодические составляющие (рис. 1, а). Принципиально иной характер имеют случайные поля X(г) композитов, разброс диаметров волокон которых описывается нормальным законом (рис. 1, б). Обращает на себя внимание неожиданный результат, который является важной, не очевидной заранее, «скрытой» закономерностью случайных структур: вид (симметрия) закона распределения существенным образом влияет на характер поведения нормированных корреляционных функций в интервале от 0.5(р до 2.0^р (рис. 1). Именно эти масштабы предопределяют характер неоднородности полей напряжений и деформаций в неповрежденном композите, оказывают решающее влияние на начальный этап образования дефектов в матрице.
4. Краевая задача
Пусть неоднородное тело ^ состоит из двух фаз ^г = и ) — армирующего наполнителя и матрицы ^т =^ \ ^г (^ = ^ и ^т, ^г I ^т = 0). Будем
считать, что элементы структуры прочно соединены по
границам раздела, а само тело ^ до приложения нагрузки находится в естественном недеформированном состоянии. Для описания геометрии тела ^ зададим закон взаимного расположения областей ), составляющих множество ^г. Если ) являются цилиндрическими телами, образующие которых совпадают с направлением оси х3 декартовой ортогональной системы координат, то геометрическая модель тела ^ будет соответствовать однонаправленно армированному волокнистому композиту с круглыми в поперечном сечении волокнами.
Пусть один характерный размер неоднородного тела ^ вдоль образующей волокон много больше двух других характерных размеров. Если предположить, что характер приложения нагрузки — однородное распределение в направлении х3 поверхностных усилий и/или перемещений, не имеющих в направлениях х1 и х2 своих составляющих (вследствие чего Сп(г) = 0,
С 22 (г) = 0, Сзз(г) = 0, 012 (г) = 0, еп(г) = 0,
822 (г) = 0, 833 (г) = 0 и 812(г) = 0), то для всех поперечных сечений, одному из которых принадлежит фрагмент случайной структуры однонаправленно армированного волокнистого композита, обеспечиваются одинаковые условия антиплоского (продольного) сдвига в плоскостях х1х3 и/или х2х3. Следствием отсутствия перемещения в поперечной плоскости х1 х2 является то, что из трех компонент вектора и (г) отличной от нуля будет единственная компонента и3(г). Обратим также внимание на то, что поля напряжений о (г), деформаций £ (г) и перемещений и (г) не зависят от координаты х3, т.е. г = г(х1, X2).
Выделим в неоднородном теле □ представительный объем □ЕГр (определение характерного размера которого представляет задачу, описание решения которой выходит за рамки настоящей статьи) и рассмотрим краевую задачу о деформировании и структурном разрушении однонаправленно армированного волокнистого композита при продольном сдвиге в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, параллельных оси армирования х3.
Будем предполагать, что элементы структуры волокнистого композита не изменяют геометрию, тип упругой симметрии и взаимное расположение в процессе накопления повреждений. Приращения структурных напряжений dc(r) в области □ЕГр в отсутствие массовых сил удовлетворяют уравнению равновесия:
^13 ,1(г) + ^23 ,2 (г) = 0 (1)
а приращения бесконечно малых деформаций d8(r) связаны с приращениями перемещений du(r) геометрическими соотношениями Коши:
d813(г) = У2^ 1,3(г X (2)
^ 23 (г) = У2Аи 2,3 (г).
Определяющие соотношения
dc13 (г) = 2О13 (г У82))d813 (гX
dС2з(г) = 2С~23(г, лР) d823(г) (3)
содержат кусочно-однородные случайные функции пространственных координат г
£«3(г, /(2)) = О^С/Р) Х(г) + Оа”^) [1 -Х(г)],
а = 1, 2, (4)
по а суммирование не производится. Индексы f и т соответствуют волокну и матрице.
Будем считать, что волокна однонаправленно армированного композита изотропные, упругие и неразру-шаемые, а матрица — изотропная упругохрупкая. Введем независимую материальную функцию g, однозначно описывающую формоизменение повреждаемой матрицы. Пусть О(о) — сдвиговые упругие модули двух фаз (волокна и матрицы), а £ — индикатор, равный 0 при разгрузке и нагружении до предела упругости, и 1 — при активном нагружении. Тогда материальные функции О^ в уравнениях (4), которые входят в определяющие соотношения (3), представим следующим образом:
оа^о/Р) - о(г), оа/=о (т)[1 -^ § сл(2))],
где / (2) (г) = -^ 2[(^3(г) + (23(г)] — второй инвариант тензора структурных деформаций.
Пусть /(С. — прочностная постоянная материала матрицы, характеризующая способность сопротивляться формоизменению. Материальные функции g в равенствах (5), входящие в определяющие соотношения
(3), принимая свои предельные значения 0 при /82)(г) < /(.Г или 1 при /'(2)(г) > /'(.Г, позволяют учесть состояние потери несущей способности элементом структуры.
Будем предполагать, что на межфазных поверхностях волокнистого композита выполняются условия непрерывности напряжений [С/ (г) П/ (г)] - = = [С/ (г) П/ (г)] + и перемещений [0 (г) ] -= [сг- (г) ] +, на участках Ц и Г2 границы ЕГр представительного объема, соответствующих плоскостям симметрии, заданы условия
ип (г) I Г1, Г2 = 0 Спт (г) Г1> Г2 = 0 (6)
(индексы п и т определяют положительные направления нормали и касательной), а на остальных участках Г3 и Г4 — условия
[du3(г)] I Г3, Г4 = ^3 гп , (7)
обеспечивающие макрооднородный продольный сдвиг в плоскостях х1х3 и х2х3. Здесь d£* — приращения определяемых в результате осреднения по □ЕГр макродеформаций.
5. Моделирование пошагового квазистатического пропорционального нагружения
В работе [8] рассмотрены вопросы повышения эффективности итерационных алгоритмов, моделирующих пошаговое нагружение. Разработанный вариант автоматического выбора шага, позволяющий зарегистрировать каждый акт изменения деформационных свойств при частичной потере несущей способности элементами структуры, будем использовать для определения закономерностей эволюции повреждений в матрице однонаправленно армированных волокнистых композитов при продольном сдвиге. Моделирование процессов накопления повреждений будем исследовать на основе численного решения краевой задачи (1)-(3) с граничными условиями (6), (7) для представительного объема □ЕГр волокнистого композита методом конечных элементов, пропорционально увеличивая на каждом шаге нагружения компоненты тензора макродеформаций и проверяя условия прочности. В случае невыполнения последних, в соответствии с равенствами (5), будем корректировать деформационные постоянные поврежденных участков матрицы.
Систему уравнений метода конечных элементов в перемещениях для решения краевых задач продольного сдвига можно получить при помощи вариационного принципа Лагранжа из условия минимума функционала полной потенциальной энергии механической системы
П = 1 } [13 (г) (13 (г) + 023 (г) 823 (г)] (8)
который для частного случая, соответствующего равновесию представительного объема □ в отсутствии
массовых сил и заданию на участках границы однородных перемещений (6) и (7), не содержит слагаемые, отражающие вклад работы массовых и внешних сил на перемещениях и з(г ).
Пусть (аа} = (а13 а23}т — вектор напряжений, { 8а} = = (813 8 23}т — вектор деформаций, а (и а} = [Ьа ] {£/} — вектор степеней свободы конечного элемента Эа, связанный с вектором глобальных степеней свободы {£/} при помощи матрицы инцидентности [La ]. Тогда, используя матричные аналоги геометрических (2) и определяющих (3) соотношений:
{8а } = [Ва } {иа },
(«^а } = [Ра ] {8а } = [Ра ] [Ва ] {«а },
где [Ва ] и [Ра ] — матрицы градиентов и деформационных характеристик материала, имеющие, в отличие от плоских задач, иную структуру:
[ Ра ] =
[ Ва ] =
С
1313
0 С
0
2323
Vдх1 зфО7 Vдх1
Vдх2 дФа Vдх2
дфак узх
ЭФак Vдх
где фа*) — функции формы п-го узла конечного элемента Эа, запишем дискретный аналог функционала полной потенциальной энергии механической системы (8), необходимое условие экстремума которого эквивалентно системе алгебраических уравнений:
[ Ьа ]Т / [ Ва ]Т[ Ра ] [ В а ] ]
{Ц/}:
^ = [К {1/} = {0}. (9)
Здесь [ К] — симметричная матрица узлового ансамбля, а {0} — нулевой вектор, размерность которого определяется количеством глобальных степеней свободы,
совпадающим в краевых задачах о продольном сдвиге с количеством узловых точек в дискретизованном на конечные элементы теле. Необходимо отметить, что удовлетворение кинематических граничных условий при построении системы уравнений для узлового ансамбля (9) осуществляется традиционно. Матрица [К/], в случае устойчивого состояния и исключения мод движения тела как абсолютно жесткого, положительно определена.
6. Закономерности локализованного разрушения стеклопластиков
Будем считать, что исследуемый материал — стеклопластик, стохастическая структура которого представляет случайным образом размещенные волокна с диаметрами, распределенными по нормальному и логарифмически нормальному законам. При синтезе фрагментов не исключалась возможность соприкосновения волокон, а параметры распределения диаметров были выбраны следующими: (в)/вягр = 0.046 (Вягр — характерный размер представительного объема) и кр = = 0.60. Упругие и прочностные постоянные соответствовали О(г) = 10.5 ГПа — стекловолокну; О(т) = = 2.1 ГПа и /(^ = 0.025 — эпоксидной матрице.
На рис. 2-4 проиллюстрировано влияние типа закона распределения диаметров волокон на характер структурного разрушения эпоксидной матрицы при деформировании стеклопластика в условиях продольного сдвига (*3 > 0. Дискретизация одной из реализаций представительных объемов композитов, диаметры волокон которых распределены по нормальному и логарифмически нормальному законам, была проведена на 25 722 и 41008 треугольных симплекс-элементов (13 022 и 20705 узловых точек) соответственно.
Если диаметры волокон распределены по нормальному закону, возникновение первых областей разруше-
а
Рис. 2. Поврежденная структура стеклопластика (а) и распределение второго инварианта тензора структурных деформаций /(2)(г) (б) при 9•10-3
8
13 ■
оСЗ
:
Рис. 3. Эволюция структурных повреждений в матрице стеклопластика при продольном сдвиге (*3 > 0. Диаметры волокон распределены по нормальному закону
ния матрицы происходит у правой границы фрагмента (рис. 2, а). Дальнейшее увеличение макродеформаций приводит к появлению зародыша макродефекта в центральной части представительного объема. Рост этого макродефекта, который происходит вблизи межфазных границ, приводит к локализации деформаций, о чем свидетельствуют большие градиенты второго инварианта (рис. 2, б), сопровождается интенсивным перераспределением напряжений. Обратим внимание на то, что заданные макродеформации (*3 обеспечиваются формоизменением областей матрицы и участков волокон, непосредственно примыкающих к растущему дефекту. В верхней и нижней частях макродефекта (не только вблизи межфазных границ, но и в областях матрицы, находящихся на удалении от волокон) располагаются зоны концентрации напряжений, а слева и справа — области стеклопластика, в пределах которых матрица
и волокна находятся в состоянии упругой разгрузки. При (*3 = 4.0 • 10-3 наблюдается рост дефекта, расположенного в центральной части представительного объема, без увеличения заданных на границах макродеформаций. В рассматриваемом случае, когда диаметры волокон стеклопластика распределены по нормальному закону, макродефект постепенно увеличивает свою длину вверх и вниз, «прорезая» неповрежденные участки матрицы.
У композитов, диаметры волокон которых распределены по логарифмически нормальному закону, первые повреждения, из которых формируется зародыш макродефекта, появляются в центральной части представительного объема. По мере увеличения макродеформаций наблюдается рост зародыша за счет «прорезания» участков матрицы вблизи межфазных поверхностей. При достижении (*3 = 4.5 • 10-3 происходит
Рис. 4. Эволюция структурных повреждений в матрице стеклопластика при продольном сдвиге (*3 > 0. Диаметры волокон распределены по логарифмически нормальному закону
смена механизма локализации разрушения: дальнейший рост единственной во всем объеме поврежденной области происходит путем объединения последовательно возникающих на достаточном удалении от верхней и нижней части макродефекта очагов матрицы, потерявших способность сопротивляться формоизменению (рис. 4, а).
Макроскопическое разрушение стеклопластика (полную потерю несущей способности) будем связывать с отсутствием в математическом смысле решения краевой задачи (1)-(3) с граничными условиями (6), (7) при вырождении матрицы [К] узлового ансамбля, свидетельствующем о физической неустойчивости композита при заданном сочетании приложенной внешней нагрузки, прочностных и деформационных свойств элементов структуры [8]. В соответствии с этим условием полное исчерпание несущей способности стеклопластика регистрируется в момент разделения представительного объема материала плоскостью дефекта на два фрагмента (рис. 3, б и 4, б), способных при заданном внешнем воздействии перемещаться друг относительно друга как жесткое целое.
7. Заключение
Принципиально разные механизмы локализованного разрушения стеклопластиков, несмотря отсутствие визуальных различий у синтезированных фрагментов (рис. 3, а и 4, а), объясняются «скрытыми» закономерностями (наличием или отсутствием в случайных полях структуры этих материалов в интервале от 0.5^р до 2.0^р периодических составляющих), предопределяющими характер неоднородности полей напряжений и деформаций. Симметрия закона распределения харак-
терных размеров частиц армирующего наполнителя является одним из ключевых факторов с точки зрения описания основных закономерностей локализованного разрушения однонаправленно армированных волокнистых композитов случайной структуры при продольном сдвиге.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Урал № 04-01-96067).
Литература
1. АношкинА.Н. Неупругое деформирование и прочность однонаправленных композитов при продольном сдвиге // Математическое моделирование систем и процессов. - 1995. - Вып. 5. - С. 4-10.
2. Волков С.Д., СтавровВ.П. Статистическая механика композитных
материалов. - Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 208 с.
3. Зайцев А.В., Лукин А.В., Трефилов Н.В. Компьютерный синтез случайной структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов // Молодежная наука Прикамья. - 2001. - Вып. 1. -С. 78-87.
4. ЗайцевА.В., ЛукинА.В., ТрефиловН.В. Статистическое описание структуры двухфазных волокнистых композитов // Математическое моделирование систем и процессов. - 2002. - Вып. 10. - С. 5262.
5. Зайцев А.В., Лукин А.В., Трефилов Н.В. Закономерности случайных
полей структуры двухфазных однонаправленно армированных волокнистых композитов // Математическое моделирование систем и процессов. - 2003. - Вып. 11. - С. 29-37.
6. Ван Фо Фы Г.А., Клявин В.В., Гордиенко В.П. Исследование распре-
деления волокон в ориентированных стеклопластиках // Механика полимеров. - 1969. - № 2. - С. 282-287.
7. Берлин А.А., Ротенбург Л., Басэрст Р. Особенности деформации неупорядоченных полимерных и неполимерных тел // Высокомолекулярные соединения. Сер. А. - 1992. - Т. 34. - № 7. - С. 6-32.
8. Зайцев А.В. Разносопротивление, локальная неустойчивость и са-моподдерживаемое разрушение зернистого композита на стадии деформационного разупрочнения // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск: Нелинейные проблемы механики сплошных сред. - 2003. - Т. 32. - С. 196-206.
