CC BY
45
УДК 539.3
А.В. Зайцев, А.В. Лукин, Н.В. Трефилов Пермский государственный технический университет
ЗАКОНОМЕРНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ СТРУКТУРЫ ДВУХФАЗНЫХ ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННЫХ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
Abstract
Influence of fiber diameter distribution laws on types of the random fields of generated stochastic structures on unidirectional reinforced composites is analyzed. In the course of investigation it was determined that dispersion of fiber diameters is the reason of the localization occurrence which prevents the regularization phenomena appearance as well as the factor which predetermines the absence of a non-random periodic component in random fields of composite structure.
Стохастический характер структуры композитов обусловлен случайностью формы, взаимного расположения и ориентации волокон, разбросом характерных размеров частиц армирующего наполнителя. В настоящее время существует потребность определения «скрытых» параметров порядка стохастических структур (например, детерминированных периодических и квази-детерминированных составляющих), практически не отражающихся на эффективных упругих характеристиках этих материалов, но предопределяющих сценарии развития процесса разрушения.
Исследование закономерностей случайных структур будем проводить на основе анализа сгенерированных плоских фрагментов (синтез которых связан со случайным размещением непересекающихся гладких дисков на плоскости [1-3]), считая, что волокна двухфазного композита имеют круглое поперечное сечение. При моделировании структур композитов будем считать, что координаты центров размещаемых внутри синтезируемого фрагмента дисков (поперечных сечений волокон) являются независимыми равномерными случайными величинами, а характерные размеры волокон описываются одномодальными статистическими законами распределения: симметричными (нормальный) и несимметричными (логнормальный). Кроме того, ограничим законы распределения диаметров слева заданным минимальным значением Dmin (которое для всех генерируемых структур будет равно Dmin = (D)/2 ) и будем считать неизменным отношение {D)/L = 0,01 среднего диаметра волокон (D) к характерному размеру фрагмента L .
Эти предположения и ограничения согласуются с результатами построения законов распределения диаметров волокон однонаправленно армированного стеклопластика на основе эпоксидной [1] и ненасыщенной полиэфирной смолы горячего отверждения ПН-1 [4], оправданы организацией технологического процесса получения волокнистых наполнителей. Как свидетельствуют представленные в этих работах
результаты, проверка по критерию х2 Пирсона показала, что нормальный закон может быть принят с вероятностью ошибочного отклонения гипотезы не более 6 %, а логнормальный - не более 2 %.
Расположение волокон в сечении может быть охарактеризовано распределением длин промежутков между волокнами, измеренных в произвольном направлении. В
монографии [1] приведены результаты, показывающие, что с вероятностью не более 6 % по критерию х Пирсона можно отклонить гипотезу о нормальном распределении минимальных расстояний между волокнами. Вместе с тем авторами [4] была доказана эквивалентность законов распределения длин промежутков и минимальных расстояний между волокнами.
Предположение о том, что диаметры волокон двухфазных однонаправленно армированных композитов являются случайными, не вносит существенных корректировок в алгоритмы синтеза структур этих материалов. Для достижения объемных наполнений, близких к предельным, генерация структуры может, при необходимости, сопровождаться дополнительным взаимным перемещением вновь и ранее размещаемых волокон [1-3], а также запрещением выхода какой-либо части поперечного сечения армирующего элемента за границы области.
Однако возможна дополнительная модификация алгоритмов [1-3] процедурой предварительной сортировки (по возрастанию значений) последовательности псевдослучайных диаметров волокон, распределенных по заданному статистическому закону. Последующее случайное размещение волокон внутри фрагмента происходит в порядке уменьшения диаметров. Использование предварительной сортировки оправдано необходимостью строгого соблюдения соответствия заданных теоретического и эмпирического (построенного по сгенерированной случайной структуре) статистических законов распределения характерных размеров включений. Можно предположить, что невыполнение этого условия может наблюдаться у материалов, которые содержат как крупные, так и мелкие фракции (поскольку вероятность размещения внутри синтезируемого фрагмента волокон с малыми диаметрами намного больше вероятности расположения волокон большого диаметра).
Самостоятельный интерес представляет определение важной характеристики случайных структур двухфазных композитов - предельной объемной доли армирующего наполнителя. В табл. 1 представлены предельные объемные доли круглых в поперечном сечении волокон, диаметры которых распределены по нормальному и логнормальному законам при отсутствии гарантированной прослойки матрицы, относительная толщина которой ^(Р) = 0,0 *.
Таблица 1
Предельные объемные доли Vтах круглых в поперечном сечении волокон ( ії/(р) = 0,0)
Коэффициент вариации диаметров волокон, кр 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600
Нормальный закон 0,820 0,823 0,826 0,830 0,833 0,835
Логнормальный закон 0,820 0,825 0,830 0,835 0,840 0,845
Достижение значений Vтах = 0,845, которые превосходят предельную степень наполнения композитов с тетрагональным расположением частиц армирующего наполнителя V= 0,785 (при условии равенства детерминированного диаметра
волокон в периодической Р и среднего значения (Р) стохастической структурах), но
* Все количественные результаты, представленные в настоящей статье, полученны в результате осреднения по 20 независимым реализациям соответствующих сгенерированных случайных структур.
не превышают максимально возможную объемную долю включений для материала
гексагональной структуры (V ^ах = 0,907). На рис. 1 показаны соответствующие этому
объемному наполнению реализации фрагментов однонаправленно армированных
композитов. Необходимо также отметить, что регистрируемые величины Vтах немного
превосходят значение предельного наполнения для случайных плотных упаковок из «гладких» непересекающихся дисков одинакового диаметра [5].
Рис. 1. Фрагменты модельных случайных структур (кр = 0,60 , ^(Р) = 0,0)
волокнистых композитов с предельной объемной долей волокон, диаметры которых описываются нормальным (а) и логнормальным (б) законами
Для определения совместного влияния законов распределения диаметров волокон и толщины гарантированной прослойки матрицы на предельные объемные наполнения композитов были сгенерированы фрагменты случайной структуры. Предполагалось, что распределение диаметров описывается нормальным законом, коэффициенты вариации которого изменялись в пределах от кр = 0,1 до кр = 0,6, а распределение минимальных расстояний ё между волокнами - логнормальным законом с математическим ожиданием (*ё) = 0,3(Р), коэффициентом вариации - кё = 0,6 и минимальном значении ётт/Ь = 0,0, которое не исключает, в отдельных случаях, соприкосновение частиц армирующего наполнителя. Соотношение между параметрами распределений соответствует экспериментальным данным для однонаправленно армированного стеклопластика на основе эпоксидной смолы и жгута ЖСР [1].
В табл. 2 показаны значения максимального объемного наполнения волокнистых композитов. Как видим, величины Vтах во всех рассмотренных случаях превосходят
предельную объемную долю волокон, равную V тах = 0,48 [3], которая достигается при
генерации случайных структур, на основе того же самого алгоритма, но для случая, когда не только диаметры волокон, но и толщина гарантированной прослойки матрицы детерминированы и составляют Р/Ь = 0,01 и ё/Р = 0,3. Это отличие может быть объяснено присутствием в случайной структуре композита более мелких фракций, обусловленных разбросом характерных размеров включений.
Таблица 2
Предельные объемные доли V таХ круглых в поперечном сечении волокон при толщине гарантированной прослойки матрицы, распределенной по логнормальному закону
«а) = 0,3 б) , кй = 0,6)
Коэффициент вариации диаметров волокон, кв 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60
Нормальный закон 0,49 0,50 0,51 0,53 0,54 0,55
На рис. 1 проиллюстрировано влияние вида закона распределения диаметров волокон на свойства случайных полей структуры ^(г). Нормированные корреляционные функции ^2)(Лг|) были построены для модельных фрагментов статистически
изотропных структур композитов с фиксированной объемной долей включений Vу = 0,4 и постоянной толщиной гарантированной прослойки матрицы, равной
^(Б) = 0,25. Диаметры частиц армирующего наполнителя предполагались случайными, распределенными по логнормальному (см. рис. 1, а) и нормальному (см. рис. 1, б) законам с постоянным (Б) и различными кБ. При построении функций шаг
вспомогательной сетки был выбран таким, при котором результаты ни качественно, ни количественно не зависели от его величины.
кв 0,2 0,4 0,6
Н/Ф)
Рис. 2. Нормированные корреляционные функции случайных структур (Vу = 0,4 , <і = 0,25(Б)) композитов, диаметры волокон которых соответствуют
логнормальному (а) и нормальному (б) законам распределения
Все функции К_2)(Лг|) затухают на расстояниях 3,0(Б) вблизи асимптоты, смещенной на расстояние 0,02 относительно оси К^ ^Лг)) (рис. 2). Это
свидетельствует о слабой макронеоднородности синтезированных структур композитов, квази-локально-эргодическом типе случайных полей ^(г), а также о присутствии в этих полях квази-детерминированных составляющих (проявления которых вызваны корректировкой взаимного расположения поперечных сечений волокон) [2, 3].
Увеличение коэффициента вариации диаметров включений приводит к
уменьшению размаха периодических составляющих у функций ~2) (Аг|). Кроме того, при значениях кБ, превосходящих 0,45, случайные поля структур, диаметры волокон в которых распределены по логнормальному закону, вообще не содержат периодические составляющие (рис. 2, а). Принципиально иной характер имеют случайные поля ^(г) двухфазных волокнистых композитов, разброс диаметров частиц армирующего наполнителя которых описывается нормальным законом распределения.
Обращает на себя внимание неожиданный результат, который является важной (которая не была очевидна заранее) «скрытой» закономерностью случайной структуры. Вид (симметрия) закона распределения существенным образом влияет на характер поведения нормированных корреляционных функций (отражающих степень осредненных многочастичных взаимодействий в ансамбле включений) в интервале от 0,5(Б) до 2,0(Б). Именно эти масштабы предопределяют характер неоднородности
полей напряжений и деформаций в неповрежденном композите, оказывают решающее влияние на начальный этап образования дефектов в матрице.
Обнаруженный эффект интересен еще и тем, что для заданной объемной доли волокон его проявление (апериодический характер нормированных корреляционных функций при больших степенях разброса диаметров) абсолютно не зависит от типа алгоритма, который используется при генерации случайной структуры. Однако алгоритм, основанный на методе статистических испытаний и не предусматривающий дополнительную корректировку взаимного расположения волокон [2, 3] позволяет получать макрооднородные структуры двухфазных композитов, в локально-эргодических случайных полях которых отсутствуют квазидетерминированные составляющие. Это доказывает отсутствие влияния процедуры предварительной (до начала размещения волокон внутри моделируемого фрагмента) сортировки в порядке возрастания диаметров на генерируемую структуру материала.
В работе [3] авторами был сделан вывод о том, что отсутствие периодической составляющей в случайных полях ^(г) является следствием дополнительной коррекции взаимного расположения армирующих элементов, предусмотренной алгоритмом синтеза, при условии отсутствия гарантированной прослойки матрицы. Рассматриваемый случай интересен тем, что последнее условие не закладывалось в алгоритмы генерации (относительное минимальное расстояние между волокнами а/(Б) = 0,25 предполагалось постоянным). Таким образом, еще одним фактором,
препятствующим появлению периодической составляющей в случайных полях структуры, является разброс характерных размеров частиц армирующего наполнителя.
Сравнивая сгенерированные фрагменты композитов (см. рис. 1), можно сделать еще один важный вывод: при одинаковых объемной доле и статистических характеристиках размеров включений симметричные законы распределения предопределяют более однородный фракционный состав материала (см. рис. 1, а). Следствием выбора несимметричных законов распределения является наличие в материале крупных фракций (см. рис. 1, б), диаметры которых превышают (Б) в 4-5
раз. Таким образом, наличие в случайной структуре композита фракций, значительно отличающихся своими характерными размерами, должно предопределять выбор
несимметричных законов распределения. Поэтому очень важной является оценка степени влияния вида законов распределения на свойства случайных полей.
На рис. 3 представлены нормированные корреляционные функции, построенные для статистически изотропных фрагментов случайной структуры композитов с предельным объемным наполнением и отсутствием гарантированной прослойки матрицы (ё/{Р) = 0). Распределения диаметров волокон описывались нормальным и
логнормальным законами с различными коэффициентами вариации кр. В отличие от корреляционных функций ( построенных для композитов, волокна которых имеют одинаковый диаметр, а минимальное расстояние между ними - постоянную толщину ^(Р) = 0,3), слабо затухающих при |Аг|/Р, принадлежащих интервалу от 5,5(Р) до
6,0р (о чем свидетельствует практически постоянная в этом диапазоне изменения
аргумента амплитуда осцилляций К_2)(Аг|) [3]), полное затухание ~2 )(Аг|)
происходит на значительно меньших расстояниях (см. рис. 3). Так, например, осциллирующие вблизи асимптот К)(Аг|)= 0,02 нормированные корреляционные функции, построенные для фрагментов с кр = 0,1 и кр = 0,2, затухают на расстояниях 3,0{р, а функции ~2)(Аг|), построенные для фрагментов с кр, превышающими 0,3, -на расстояниях 1,5(Р). Как показывают результаты, разброс диаметров частиц
армирующего наполнителя является фактором, приводящим к локальности случайных полей структуры композитов.
42'
К2'
0,8
0,8 -4 0,6
0,6 \ 0,4
0,4 V 0,2
0,2
0,0
кр 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
о А + 0 X □
2,0
4,0
М(»)
0,0 [ 2,0 4,0 |Аг|/(Р)
Рис. 3. Нормированные корреляционные функции случайных структур однонаправленно армированных композитов (р = 0) с предельной объемной долей волокон, диаметры которых соответствуют нормальному (а) и логнормальному (б) законам распределения
Если значение кр не превышает 0,3, то вид закона распределения не оказывает заметного влияния на свойства полей А,(г). Об этом свидетельствуют практически
полностью совпадающие (вследствие малого разброса диаметров волокон относительно среднего значения (Р)) функции ) (см. рис. 3, а и б).
Минимальное расстояние между включениями является одним из основных параметров, предопределяющих тип случайных полей структуры композиционных материалов. Так, например, в работе [3] было показано, что для композитов с круглыми в поперечном сечении волокнами постоянного диаметра увеличение относительной толщины гарантированной прослойки матрицы ёр, которая является детерминированной величиной, приводит к возрастанию размаха периодических составляющих у нормированных корреляционных функций ~2) (| Аг|).
На рис. 4 проиллюстрировано влияние разброса значений ё/(р) на характер затухания функций, построенных для фрагментов случайных структур, минимальные расстояния между волокнами которых распределены по логнормальному закону с одинаковым средним значением (ё) = 0,3(Р) и различными коэффициентами вариации, изменяющимися в пределах от 0,1 до 0,6. Совпадение нормированных корреляционных функций (см. рис. 4) свидетельствует, что разброс ё/(р) у композитов, волокна которых имеют постоянный диаметр, не оказывает заметного влияния ни на размах периодической составляющей, ни на характер затухания ~2)(Лг|) вблизи асимптоты
К [2)(Лг| )= 0,02. Следует отметить, что представленные на рис. 4 кривые не отличаются от зависимостей К~-[2)(Аг|), построенных для ё/Р = 0,3 [3].
К21
-0,2
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
□ + Д о X Ж 0
|Дг|/(В)
Рис. 4. Нормированные корреляционные функции случайных структур однонаправленно армированных композитов с круглыми в поперечном сечении волокнами одинакового диаметра
Авторы [3] обнаружили и объяснили еще одно парадоксальное явление - эффект регуляризации случайной структуры двухфазного однонаправленно армированного композита с волокнами одинакового диаметра. Этот эффект проявляется в образовании доменов с периодическим расположением частиц армирующего наполнителя в структуре, синтезированной с использованием алгоритмов, основанных на методе
статистических испытаний, и не
предназначенных для генерации областей с регулярным расположением включений. Наличие ярко выраженного максимума, который соответствует а = п/3 (рис. 5), на распределении углов между ближайшими соседними волокнами постоянного диаметра (окруженными детерминированными
матричными прослойками с относительной толщиной ё/(р) = 0,3), построенном для
синтезированных фрагментов
композиционных материалов с объемным наполнением V ^ = 0,5, свидетельствует о
1/
а
0,4
0,2
0,0
п/6 п/3 а , рад
Рис. 5. Распределения углов между соседними круглыми в поперечном сечении волокнами ( V ^ = 0,5, ё/Я = 0,6 ),
диаметры которых постоянны (|Ц
и случайны, распределены по логнормальному закону ( )
преимущественно гексагональном характере взаимного расположения частиц
армирующего наполнителя.
Основными причинами проявлений эффекта регуляризации являются предусмотренный алгоритмом генерации
механизм интенсивного взаимного перемещения армирующих элементов, имеющих одинаковый диаметр (при условии наличия «жестких» границ фрагмента, которые не позволяют смещаемой частице выйти за пределы рассматриваемой области), и гарантированная прослойка матрицы (при степени наполнения, близкой к максимально возможной). Даже незначительный разброс характерных размеров включений и минимального расстояния между ними является фактором, препятствующим регулярности расположения частиц армирующего наполнителя.
] )
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
кв 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
о Д + 0 X □
Н/< В
Рис. 6. Нормированные корреляционные функции случайной структуры однонаправленно армированных композитов, построенные для фрагментов с предельным наполнением. Толщина гарантированной прослойки матрицы и диаметры волокон распределены по логнормальному и нормальному законам
Так, например, в случайных структурах материалов с предельным объемным наполнением при коэффициенте вариации кр = 0,1 максимумы гистограмм
соответствуют углам 56° для логнормального (см. рис. 5) и 52° для нормального распределения диаметров волокон соответственно.
На рис. 6 для двухфазных композитов с предельной объемной долей волокон проиллюстрировано совместное влияние разбросов диаметров частиц армирующего наполнителя и минимального расстояния между ними на свойства случайных полей структур, сгенерированных при помощи алгоритма, предусматривающего коррекцию взаимного расположения включений. Диаметры волокон (окруженных слоем матрицы, относительная толщина которого была распределена по логнормальному закону с постоянным средним значением (ё) = 0,6(Р) и различными коэффициентами вариации,
изменяемыми в диапазоне от кё = 0,1 до кё = 0,6) описывались нормальным законом
распределения с кр = 0,6 .
Как видим, при малых коэффициентах вариации функции К_2)(Лг|) имеют
развитую периодическую составляющую и полностью затухают на расстояниях 4-5 средних диаметров волокон вблизи оси абсцисс (см. рис. 6). Увеличение разброса ё/^Р) приводит к снижению размаха периодической составляющей и более раннему
затуханию моментных функций на расстояниях, не превышающих 2,5 - 3,0(Р).
Поэтому разброс минимального расстояния между волокнами (точно так же, как и характерных размеров частиц армирующего наполнителя) являются причиной проявления локальности в случайных полях структуры двухфазных волокнистых композитов.
Кроме того, в отличие от результатов, представленных на рис. 3, для фрагментов (сгенерированных при помощи того же самого алгоритма) с предельным объемным наполнением волокнами, диаметры которых распределены по нормальному и логнормальному статистическим законам, поля ^(г) являются локально-эргодическими. Это позволяет сделать вывод о том, что квазидетерминированные составляющие могут быть исключены из случайных полей структуры двухфазных композитов одновременным заданием разбросов характерных размеров частиц армирующего наполнителя и минимальных расстояний между ними.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Урал № 01-01-96479).
Библиографический список
1. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. -Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 208 с.
2. Зайцев А.В., Лукин А.В., Трефилов Н.В. Компьютерный синтез случайной структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов // Молодежная наука Прикамья. - 2001. - Вып. 1. - С. 78-87.
3. Зайцев А.В., Лукин А.В., Трефилов Н.В. Статистическое описание структуры двухфазных волокнистых композитов // Математ. моделирование систем и проц. -2002. - № 10. - С. 52-62.
4. Ван Фо Фы Г.А., Клявин В.В., Гордиенко В.П. Исследование распределения волокон в ориентированных стеклопластиках // Механика полимеров. - 1969. - № 2. - С. 282-287.
5. Берлин А.А., Ротенбург Л., Басэрст Р. Особенности деформации неупорядоченных полимерных и неполимерных тел // Высокомолек. соединения. Сер. А. - 1992. -Т. 34, № 7. - С. 6-32.
Получено 30.05.2003
