CC BY
23
Закономерности скейлинга в случайных нолях структуры однонанравленно армированных волокнистых комнозитов
A.B. Зайцев, A.B. Лукин, H.B. Трефилов
Пермский государственный технический университет, Пермь, 614990, Россия
Определены закономерности скейлинга в случайных полях структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов, полученных в результате компьютерного синтеза.
Scaling reqularities in random structure fields of unidirectional fibre-reinforced composites
A.V. Zaitsev, A.V. Lukin, and N.V. Trefilov
Scaling regularities in random structure fields of unidirectional fibre-reinforced composites which are obtained as a result of computer synthesis procedure realization have been defined.
1. Введение
Прогнозирование эффективных деформационных свойств и определение статистических характеристик случайных полей микронапряжений и микродеформаций в компонентах волокнистых композитов связаны с необходимостью решения стохастически нелинейных краевых задач, для построения приближенных решений которых (например, полного корреляционного приближения) требуется исходная информация о структуре этих материалов в виде совокупности двух- и трехточечных моментных функций структурных модулей упругости второго, третьего, четвертого и пятого порядков, описывающих многочастичное взаимодействие в системе армирующих элементов. Полученные решения будут обладать универсальностью только в том случае, если содержащиеся в них коэффициенты и функции будут определены для всего диапазона изменения объемной доли волокон. В связи с этим возникает потребность в детальном исследования закономерностей скейлинга случайных полей структуры композитов.
2. Статистическое описание и синтез случайной структуры
Случайная структура однонаправленно армированных волокнистых композитов, которая исследуется экспериментально путем обработки микрошлифов, а также
на основе анализа модельных плоских структур, полученных при помощи компьютерного синтеза (рис. 1), может быть описана совокупностью условных и безусловных моментных функций [1]. Пусть Я(г) — случайная индикаторная функция, которая принимает значение, равное единице, в случае, если точка г принадлежит волокну (объемная доля которых равна vf), и нулю, если эта точка принадлежит матрице. Тогда математическое ожидание
К(Г1, г2, к, ги) = (к° (Г1)Х° (Г2) к Г (ги)) произведения пульсаций Х° (г) = Л(г) - Vf, определенных в отличных друг от друга точках Г1, Г2, ... и гп назовем моментной функцией случайной структуры порядка п.
Моментные функции второго порядка позволяют определить степень взаимодействия и характер упорядоченности между соседними и удаленными друг от друга элементами структуры; третьего порядка характеризуют форму, а четвертого порядка позволяют установить, как группируются включения. Поскольку морфология исследуемых композитов такова, что волокна имеют круглое поперечное сечение, ограничимся анализом моментных функций второго порядка случайных полей структуры.
Синтез структуры однонаправленно армированных композитов с круглыми в поперечном сечении волокна-
© Зайцев A.B., Лукин A.B., Трефилов H.B., 2004
Рис. 1. Генерируемая модельная случайная структура однонаправленно армированного волокнистого композита
ми одинакового диаметра D проводится при помощи следующего алгоритма [2]. В единичном квадрате случайным образом размещается волокно, координаты центра которого фиксируются только в том случае, если оно не выходит за границы исследуемого фрагмента. При синтезе следующих волокон производится проверка пересечения с ранее размещенными. В случае одновременного выполнения двух условий: принадлежности исследуемому фрагменту и отсутствия пересечений со всеми армирующими элементами вновь сгенерированное волокно «включается» в структуру композита. В противном случае армирующий элемент исключается из рассмотрения и производится синтез очередного волокна. Генерация волокон продолжается до достижения необходимой (или максимально возможной) объемной доли, а также до выполнения условия превышения числом неудачных попыток размещения армирующих элементов своего предельного значения. Этот алгоритм не предполагает коррекцию взаимного расположения волокон и позволяет синтезировать структуры с максимальным объемным наполнением 0.53 (при условии, если не исключается соприкосновение между армирующими элементами) [2].
0.8
0.4
0.0 -0.2
Рис. 2. Нормированные моментные функции второго порядка случайных структур композитов с предельной для й/Б объемной долей волокон
Предположение о случайности характерных размеров волокон не вносит существенных корректировок в алгоритмы синтеза: возможна дополнительная модификация последних процедурами предварительной сортировки (по возрастанию значений) диаметров. Предварительная сортировка и размещение волокон внутри фрагмента в порядке уменьшения диаметров оправдано необходимостью строгого соответствия заданного теоретического и эмпирического (построенного по сгенерированной случайной структуре) законов распределения характерных размеров. Невыполнение этого условия (вероятность размещения внутри синтезируемого фрагмента волокон с малыми диаметрами намного больше вероятности расположения волокон большого диаметра) имеет место в случае, когда композиты содержат крупные и мелкие фракции частиц армирующего наполнителя.
3. Закономерности скейлинга
Композитные конструкции проектируются таким образом, чтобы основная нагрузка воспринималась волокнами, а связующее перераспределяло напряжения, обеспечивая взаимодействие между армирующими элементами. Поэтому одной из важных задач, решение которой свидетельствует о технологическом совершенстве процесса получения материалов с максимальной объемной долей включений, является разработка специальных покрытий и адгезионных композиций, наносимых на армирующий наполнитель с целью создания гарантированной прослойки матрицы вокруг каждого волокна.
На рис. 2, а представлены нормированные, отнесенные к дисперсии, моментные функции второго порядка К^2 (| Аг |)*, построенные для статистически изотропных (о чем свидетельствовало совпадение Кх2)(| Аг |), построенных в различных направлениях) фрагментов случайной структуры однонаправленно армированных композитов, имеющих предельную степень наполнения для заданной относительной толщины гарантированной прослойки матрицы й/Б. При построении Кх2)(| Аг |) постулировалась статистическая однородность полей структуры X (г ) в широком смысле (инвариантность КХ2) (г1 , г2) относительно параллельного переноса точек г и Г2 = Г + Аг, т.е. К~Х2)(Г1, Г2) = К~Х2)(1 Аг |), при постоянстве ( Х(г}) = у{) [1], а шаг вспомогательной сетки (2.5 -10 -2 Б) был выбран таким, что полученные результаты ни качественно, ни количественно не изменялись с уменьшением расстояния между точками г и г + Аг.
Увеличение относительной толщины гарантированной прослойки матрицы приводит к возрастанию разма-
Все количественные результаты и графические зависимости получены в результате осреднения по 20 независимым реализациям соответствующих сгенерированных случайных структур.
ха периодической составляющей у корреляционных функций, о чем свидетельствуют возрастающие по абсолютной величине минимумы первых полупериодов КХ2)(| Аг |). Обратим внимание на отсутствие зависимости максимумов вторых полупериодов КХ2) (| Аг |) от й/Б, а также на полное затухание этих функций на расстояниях (3.0-3.5)D.
При описании случайной структуры повреждаемого зернистого композита авторами [3] показана возможность построения единых «универсальных» зависимостей при определенном подборе коэффициентов, масштабирующих аргументы нормированных моментных функций второго порядка КХ2) (| Аг |), в качестве которых были выбраны интегральные масштабы (интегралы) корреляции статистически однородных и изотропных случайных полей Х (г ) [4]
0
= \КХ2)(ц) dn, ц = |Дг|.
0
Выбор масштабных коэффициентов должен быть объективным, однозначно определяться характеристиками случайного поля. Наряду с интегралом корреляции в качестве коэффициентов могут быть выбраны дифференциальный масштаб корреляции [4]
Ялг ={ -12 [[2) (0)]4 [э 2 [2) (п)/дц2 ] } 12, П = |Дг| ,
значения аргумента КХ2)(| Аг |), соответствующие первому, второму и третьему пересечению графиков этих функций с осью абсцисс (называемые в дальнейшем первым х1, вторым х2 и третьим х3 «нулями» соответственно), минимум первого Ки максимум второго Кполупериодов. Несмотря на то, что значения ЯЩ. и оказываются близкими, дифференциальный масштаб корреляции является единственным параметром для апериодических и слабозатухающих мо-ментных функций локально-эргодических и квазило-кально-эргодических полей [5], определяющим характерный размер области статистической зависимости.
На рис. 3 представлены зависимости значений (в характерных точках) нормированных моментных функций, дифференциального и интегрального масштабов корреляции от относительной толщины гарантированной прослойки матрицы. По мере увеличения й/Б значения х1, КХ2тп, Яег и ЯП остаются постоянными. Это позволяет сделать вывод о том, что нормировка аргумента функций КХ2)(| Аг |) на вышеперечисленные масштабные коэффициенты не приведет к изменению взаимного расположения кривых.
Х1Ю, х2Ю, х3/Р, К|21ах/Р, К^О, ^егЮ,
0.0 0.125 0.250 0.375 сШ
Рис. 3. Зависимости положения характерных точек нормированных корреляционных функций: *1 (О), X2 (■), Хз (А), К <21 (•) и К^2пах (^); значений Я<Хег (0) и кП (□) от относительной толщины гарантированной прослойки матрицы
Обратим внимание на то, что монотонное возрастание значений второго и третьего «нулей», а также максимумов вторых полупериодов происходит по линейным законам, причем все кривые (рис. 3) имеют одинаковый угол наклона. Это свидетельствует о важной закономерности изменения характеристик случайных полей X (г ) при увеличении й/Б. Масштабирование аргумента КХ2)(| Аг |) на любой из параметров х2, х3 или КХ2^, приводит к одному и тому же результату: вне зависимости от толщины гарантированной прослойки матрицы эти функции будут иметь четыре общие точки (максимум второго полупериода, первый, второй и третий «нули»). Этот вывод подтверждается характером взаимного расположения кривых, представленных на рис. 2, б. Кроме того, вследствие зависимости значений корреляционных функций, в точках, соответствующих минимуму первого полупериода, от й/Б единой «универсальной» кривой для КХ2)(| Аг |) построить невозможно.
На рис. 4 показаны зависимости первого и второго «нулей», минимума первого и максимума второго полупериодов КХ2)(| Аг |), а также среднего расстояния между соседними волокнами йау от объемной доли у^ Отметим еще одну закономерность случайных полей структуры. По мере роста vf имеет место линейное
х-|/0, х2Ю, К^/О, К^Ю, с1а„Ю
0.0 1------1------1------1------1------1-----1------1------
0.1 0.2 0.3 0.4
Рис. 4. Зависимости нормирующих множителей аргумента нормированных корреляционных функций от объемной доли
Рис. 5. Нормированные моментные функции второго порядка случайных структур, построенные для фрагментов с различной объемной долей волокон
убывание значений х1, х2, и К. Причем,
что особенно важно, все зависимости имеют одинаковый угол наклона. Вместе с тем, уменьшение dav во всем диапазоне изменения объемных долей имеет ярко выраженный нелинейный характер.
Нормировка аргументов К[2)(| Лг |) на среднее расстояние между волокнами dav (параметра, который наиболее просто определяется и, как следствие, широко используется многими исследователями) приводит к неожиданному результату: функции группируются таким образом, что ни одна из них не имеет ни одной характерной общей точки друг с другом (рис. 5, а). Это свидетельствует о том, что dav для данного типа структур не может рассматриваться в качестве масштаба подобия. Нормировка аргументов моментных функций на любой из параметров х1, х
одному и тому же результату. Все кривые, представленные на рис. 5, б и в, имеют две общие точки: первый и второй «нули». Однако также, как и в случае структур волокнистых композитов с предельным для заданной относительной толщины гарантированной прослойки матрицы объемным наполнением, единая «универсальная» кривая для Кр) (| Лг |) не существует.
2> K Атт или ^max приводит к
4. Заключение
Таким образом, в результате проведенного исследования закономерностей скейлинга случайных полей структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов, обоснован выбор масштабов подобия для нормированных моментных функций второго порядка и показано отсутствие единой «универсальной» зависимости.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ-Урал № 04-01-96067).
Литература
1. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных
материалов. - Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 208 с.
2. Зайцев А.В., Лукин А.В., Трефилов Н.В. Статистическое описание структуры двухфазных волокнистых композитов // Математ. моделирование систем и процессов. - 2002. - Вып. 10. - С. 17-26.
3. Вилъдеман В.Э., Зайцев А.В., Горбунов А.Н. Закономерности и ме-
ханизмы повреждения неоднородных тел на закритической стадии // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 4. - С. 41-53.
4. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика: Механика
турбулентности. Ч. 2. - М.: Наука, 1967. - 720 с.
5. Мелъников С.В., Соколкин Ю.В. Свойства случайных полей приме-
нительно к задачам механики стохастически неоднородных сред // Упругое и вязкоупругое поведение материалов и конструкций. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. - С. 113-118.
