CC BY
54
УДК 539.3
А.В. Зайцев, А.В. Лукин, Н.В. Трефилов Пермский государственный технический университет
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТРУКТУРЫ ДВУХФАЗНЫХ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
Abstract
Random fields properües of completely dïsordered îwo~phase unidirectional fibre reinforced composites are analysed with the heîp of corrélation functions, The maximal volume fraction of inclusions is determined by random structure génération with or without presence of guaranteed matrix loyer, The results presented at the research are shown that additional moving of inclusions leads to random structure regularization as well as transition from locally-ergodical type of random structure field to quasi-locally-ergodical.
Неоднородная структура является одним из важнейших факторов, предопределяющих механическое поведения однонаправленно армированных, дисперсно-упрочненных композитов и гранулированных сред при нагружении. В настоящее время существует потребность разработки принципов построения алгоритмов компьютерного синтеза модельных плоских и пространственных структур композитов с целью исключения факторов, приводящих к изменению типа случайных полей при прогнозировании эффективных упругих и прочностных характеристик. Исключение возможности получения слабопредсказуемых результатов особенно актуально для задач генерации материалов с высокими объемными долями волокон, достижение которых становится возможным благодаря использованию специально сконструированных итерационных процедур упорядочения армирующих элементов.
Алгоритмы генерации случайной структуры волокнистых композитов. Синтез фрагментов случайной структуры однонаправленных волокнистых композитов, армирующими элементами для которых являются круглые в поперечном сечении волокна, связан со случайным размещением непересекающихся гладких дисков на плоскости. В работах [1-3] подробно описаны различные способы генерации волокнистых и дисперсно-упрочненных материалов. С целью определения закономерностей разреженных и плотноупакованных структур однонаправленно армированных композитов, вносимых в эти структуры на этапе конструирования методов компьютерного синтеза, для оценки влияния этих факторов на свойства получаемых случайных полей, были реализованы следующие алгоритмы.
Алгоритм Î (метод статистических испытаний). В исследуемом фрагменте (как правило, единичном квадрате), случайным образом размещается волокно. Если сгенерированное волокно не выходит за границы фрагмента, то координаты его центра фиксируются. При синтезе следующих волокон производится проверка пересечения с ранее размещенными. В случае одновременного выполнения двух условий: отсутствия пересечений со всеми армирующими элементами и принадлежности исследуемому фрагменту сгенерированное волокно «включается» в структуру композита. В
противном случае — армирующий элемент исключается из рассмотрения, и производится генерация очередного волокна. Выбрасывание волокон продолжается до достижения необходимой или максимально возможной объемной доли, а также до выполнения условия превышения числом неудачных попыток размещения армирующих элементов предельного значения.
Алгоритм 2 (дополнительное смещение волокон при «жестких» границах фрагмента). Этот алгоритм является модификацией метода «радиального гравитационного поля», особенности программной реализации которого подробно описаны в работе [2]. Синтез случайной структуры осуществляется дополнительным взаимным перемещением вдоль прямой, соединяющей центры поперечных сечений, вновь и ранее сгенерированных волокон на расстояние, гарантирующее отсутствие пересечений со всеми структурными элементами. Полностью исключается выход какой-либо части поперечного сечения армирующего элемента за границы области: если в процессе коррекции размещения какое-либо волокно соприкасается с границей фрагмента, то его перемещение возможно только вдоль этой границы. Генерация волокон и модификация их расположения производятся до создания случайной структуры с заданным объемным наполнением или достижения числом дополнительно перемещаемых волокон некоторого предельного значения.
Рис. 1. Зависимость объемного наполнения композита от относительного числа дополнительно перемещаемых волокон. Толщина гарантированной прослойки матрицы с1/К составляет: 1 — 0,0; 2 — 0,1; 3 — 0,3; 4 — 0,6 и 5 — 1,0
Предельная объемная доля волокон. Важной характеристикой случайной структуры композитов является объемная доля армирующего наполнителя. Для определения предельной объемной доли волокон необходимо выбрать параметр, в качестве которого для алгоритма 1 может быть использовано общее количество неудачных попыток размещения волокна, а для алгоритма 2 — относительное число дополнительно перемещаемых волокон (нормировка осуществляется к общему количеству волокон) в сгенерированной структуре композита. Будем считать, что выход зависимостей объемной доли от этих параметров (рис. 1) на горизонтальные асимптоты соответствует моменту достижения предельного объемного наполнения при заданной относительной толщине гарантированной прослойки матрицы сЦЯ (Я — радиус волокна), окружающей каждое волокно.
В табл. 1 представлены полученные в результате осреднения по 20 независимым реализациям случайной структуры композитов предельные объемные доли круглых в поперечном сечении волокон одинакового диаметра, окруженных прослойками материала матрицы различной толщины. Размер гарантированной прослойки матрицы является параметром, зависящим от технологии получения материала, состава и свойств специальных покрытий и адгезионных композиций, наносимых на армирующий наполнитель в процессе изготовления композита. Как видим, увеличение толщины гарантированной прослойки до размера, соответствующего радиусу волокна, приводит к снижению более чем в два раза предельной объемной доли.
Таблица 1
Предельные объемные доли у™ах круглых в поперечном сечении волокон
Г арантированная прослойка матрицы ¿//і? 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Алгоритм 1 0,53 0,48 0,44 0,4 0,37 0,34 0,31 0,29 0,27 0,25 0,24
Алгоритм 2 0,80 0,73 0,66 0,61 0,55 0,51 0,48 0,45 0,42 0,40 0,37
Алгоритм 1 позволяет без внесения корректировки в генерируемую случайную структуру синтезировать фрагменты (волокнами круглого поперечного сечения без гарантированной прослойки) с объемным наполнением не более 0,53 (табл. 1). Эта предельная объемная доля волокон в 1,25 раза превышает значение, полученное автором [2] для случайной структуры (также синтезированной при помощи алгоритма 1), состоящей из дисков одинакового диаметра. Это отличие можно объяснить использованием более «совершенного» датчика случайных чисел [4], равномерно распределенных в интервале [0,1]. Статистическая проверка соответствия теоретического и эмпирического законов распределения величин, генерируемых при помощи этого датчика, показала гарантированное выполнение гипотез с вероятностью
0,95 по совокупности параметрических (Пирсона) и непараметрических (Колмогорова — Смирнова и Крамера — Мизеса — Смирнова) критериев согласия.
В реальных композитах объем ¿тая доля армирующего наполнителя, как правило, составляет 0,60-0,70, а в высоконаполненных материалах — до 0,80-0,85. Для получения фрагментов случайной структуры с объемным наполнением, превышающим V г = 0,50, был использован алгоритм 2, в рамках которого предусмотрена итерационная процедура дополнительного смещения волокон. Было обнаружено, что значение V™3* = 0,80 (волокна одинакового поперечного сечения без гарантированной прослойки) превосходит максимально возможную степень наполнения композита с периодическим расположением волокон в узлах тетрагональной сетки (у™ах =0,785), но не достигает предельной объемной доли для материала с периодической гексагональной структурой (у™ах -0,907). Регистрируемая величина у™вх совпадает со
значением предельного наполнения для случайных плотных упаковок из «гладких» непересекающихся дисков одинакового диаметра, полученным авторами [5].
Свойства случайных полей структуры волокнистых композитов. Введем случайную единичную индикаторную функцию Х(г) множества точек, принадлежащих фрагменту однонаправленно армированного композита [1]. Пусть эта функция принимает значение, равное единице, в случае, если точка г принадлежит волокну, и нулю — если точка г принадлежит матрице. Тогда математическое ожидание произведения пульсаций ЛГ(г) = Х(г)-у^ , определенных в двух отличных друг от друга точках г, и г2? назовем статистической моментной функцией второго порядка (1*!, г2) = (X (гг )Х (г2 )^> , Эти функции, построенные экспериментально в результате
обработки микрошлифов реальных композитов или на основе анализа модельных плоских случайных структур, позволяют определить степень усредненного взаимодействия и характер упорядоченности волокон.
Рис. 2. Фрагмент случайной структуры композита с предельной для с1/Я- 0,4 объемной долей волокон, синтезированной с использованием алгоритма 1 (а) и нормированные корреляционные функции (б)
Предполагая статистическую однородность случайных полей структуры в широком смысле (инвариантность ^[2^(г1?г2) относительно параллельного переноса точек г, и г2зт.е. ^2^(г},г2) = ^2')(г1,г1 4-Аг) = Л^2)(|Аг|), при постоянстве начального момента второго порядка [1]), проанализируем свойства полей Я,(г) двухфазных однонаправленно армированных композитов с круглыми в поперечном сечении волокнами одинакового диаметра.
Назовем случайное поле структуры композита локалъно~эргодическ1ш.у если
нормированные (отнесенные к дисперсии) корреляционные функции /С[2)(|Аг|) отличны от нуля только в пределах области статистической зависимости [6]. Из этого определения следует, что функции А^(|Аг|) локально-эргодического поля имеют
горизонтальную асимптоту ЛГ^(|Аг|) = 0. В случае, если за пределами области статистической зависимости ^Г^(|Аг|) принимают постоянное, отличное от нуля,
значение (что свидетельствует также о наличии отличной от прямой /5Г^(|Аг() = 0
горизонтальной асимптоты), то случайное поле структуры будем называть квази-локалъно-эргодическими.
На рис. 2,6 и 3,6 представлены нормированные корреляционные функции, построенные в результате осреднения по 20 независимым реализациям фрагментов структуры (рис. 2,а и 3,а), синтезированных при помощи алгоритмов 1 и 2 соответственно. Каждая из анализируемых случайных структур являлась статистически
изотропной (о чем свидетельствовало совпадение А^2)(|Аг|), построенных в различных
направлениях, ориентированных под углами 0°, 18°, 27°, 33°, 45°, 57°, 63°, 72° и 90° по отношению к горизонтальной оси), имела предельную степень наполнения для заданной относительной толщины гарантированной прослойки матрицы с!/Я. При
построении ^|2)(|Аг|) шаг вспомогательной сетки (0,057?, где Я — радиус волокна) был выбран таким, что полученные результаты ни качественно, ни количественно не изменялись с уменьшением расстояния между точками г и г + Аг.
Случайные поля структуры композитов, синтезированных с использованием алгоритма 1 (см. рис. 2, а), являются локально-эргодическими. Вместе с тем, наличие горизонтальной асимптоты АГ^2^(|Аг|) == 0,04 у моментных функций (см. рис. 3, б), построенных для фрагментов, генерация которых проводилась с помощью алгоритма 2 (см. рис. 3, а), свидетельствует о квази-локально-эргодическом характере полей Х(г).
Рис. 3. Фрагмент случайной структуры композита с предельной для (И/Я = 0,4 объемной долей волокон, синтезированной с использованием алгоритма 2 (а) и нормированные корреляционные функции (б)
Увеличение относительной толщины гарантированной прослойки матрицы приводит к возрастанию размаха периодической составляющей у корреляционных
функций (см. рис. 2, б и 3, б), Однако у функций А^(|Аг|), построенных для фрагментов случайных структур, синтезированных по алгоритму 1, максимумы вторых полупериодов не зависят от ¿/Я, а сами функции затухают на расстояниях 3,0-3,5 диаметров волокон (рис. 2,6). В отличие от этого корреляционные функции волокнистых композитов, структура которых была сгенерирована при помощи алгоритма 2, имеют слабое затухание при |Аг|/Я , принадлежащих интервалу 1,0-6,0 (о чем свидетельствует практически постоянная в этом диапазоне изменения аргумента амплитуда осцилляций А^(|Аг|)). Полное затухание (|Лг|) происходит лишь на расстояниях, соответствующих 5,0-5,5 диаметрам волокон (рис. 3, б).
На рис. 4 представлены нормированные корреляционные функции случайных разряженных и плотноупакованных структур композитов, при синтезе которых предполагалось отсутствие гарантированной прослойки матрицы, т.е. допускалось касание волокон. Несмотря на это, случайные поля, соответствующие этим сгенерированным случайным структурам, являлись статистически изотропными. В отличие от имеющих ярко выраженную периодическую составляющую моментных функций структуры композитов (объемная доля которых не превышает = 0,3),
сгенерированных при помощи алгоритма 1, функции £(2)(|Аг|), представленные на
рис. 4, являются апериодическими, близкими к экспоненциальным, полностью затухающими на расстоянии одного-двух диаметров волокон. Асимптотическое
Статистическое описание структуры двухфазных волокнистых композитов --------------------------------------------------------------------------
О д 0 □ X — ▲ + ■
0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80
ЕИи0 1 а< и о ш о а * 8 **
0,0 2,0 4,0 6,0 |Аг| /Я
Рис. 4. Нормированные моментные функции второго порядка случайных структур однонаправленно армированных композитов, синтезированных с использованием алгоритма 2 при отсутствии гарантированной прослойки матрицы
приближение корреляционных функций /с[2)(|Аг|) к оси абсцисс свидетельствует о .локально-эргодическом типе случайных полей.
Увеличение объемной доли волокон сопровождается смещением асимптоты корреляционных функций на расстояние 0,05-0,07 относительно оси ()Аг|) — 0 (см. рис. 4), что свидетельствует о наличии в случайных полях структуры двухфазных композитов квази-детерм инированных составляющих и соответствует изменению типа этих полей с локально-эргодического на квази-локально-эргодический.
Рис 5. Фрагменты структуры волокнистых композитов (V,- =0,5, = 0),
сгенерированные при помощи алгоритма 2 (а) и комбинации алгоритмов I и 2 (б). Нормированные корреляционные функции (в), построенные для материалов, синтезированных алгоритмами 1 (о) и 2 (□), и «гибридных» композитов (А)
В работе [3] показано, что изменение типа случайного поля является проявлением внутреннего механизма «самоорганизации» структуры. Анализ фрагментов двухфазных композитов, полученных методом статистических испытаний с дополнительной ориентацией эллиптических в поперечном сечении волокон, позволил установить, что синтезированная ранее полностью разупорядоченная структура предопределяют неслучайное расположение и ориентацию вновь генерируемым армирующим элементам. В отличие от рассматриваемого случая (круглые в поперечном сечении волокна), размещаемые на плоскости эллипсы имеют дополнительную степень свободы — угол ориентации большой полуоси, наличие которой и приводит к более ярко выраженному упорядочению волокон и, как следствие, — значительному смещению асимптоты корреляционных функций
А^(]Аг|) относительно оси абсцисс. Аналогичная ситуация возникает в процессе
изготовления композитов: несовершенство технологического процесса (внесение случайных и неслучайных изменений в структуру получаемого материала на «финишной» операции) также способно привести к изменению типа случайных полей.
Увеличение объемной доли волокон приводит к появлению все более возрастающей по своему размаху периодической составляющей у нормированных корреляционных функций (см. рис. 4). Вместе с тем, специально проведенные
исследования характера затухания показали, что амплитуда осцилляций /^(|Аг|) относительно асимптоты существенным образом зависит также и от способа генерации случайной структуры (рис. 5, в). При одной и той же объемной доле волокон ( у у = 0,5),
отличной от максимально возможной, и относительной толщине гарантированной прослойки (с(/Я~ 0) наиболее ярко выраженная периодическая составляющая наблюдается у моментных функций, построенных по фрагментам структуры, сгенерированным при помощи алгоритма 1. Дополнительная коррекция взаимного расположения армирующих элементов (смещение вновь синтезированных и ранее сгенерированных волокон), предусмотренная алгоритмом 2, является причиной
апериодического характера функций ^^(¡Аг|).
«Гибридные» двухфазные композиты могут быть синтезированы в результате совместного использования алгоритмов 1 и 2. Так, например, на рис. 5, б представлен один из фрагментов случайной структуры материала (уу =0,5), который был получен в
результате коррекции взаимного расположения не только первоначально сгенерированных при помощи алгоритма 1 волокон (количество которых составляет 50 % от общего числа волокон, принадлежащих фрагменту), но и вновь размещаемых. Характер затухания нормированных корреляционных функций, построенных для «гибридных» композитов (см. рис. 5, в), свидетельствуют о том, что дополнительное смещение волокон и в этом случае является причиной практически полного отсутствия периодической составляющей в случайных полях.
Необходимо обратить внимание еще на одну важную закономерность, обусловленную использованием для получения плотных случайных упаковок алгоритма 2. При достижении объемного наполнения, близкого к предельному (диапазон изменения V{ — от 0,60 до 0,80), наблюдается значительное уменьшение смещения асимптоты относительно оси Я^2)(|Дг|) = 0. Повторное изменение типа случайного поля с квази-локапьно-эргодического на локально-эргодическое можно объяснить дополнительной гомогенизацией, вызванной интенсивной модификацией структуры композита. Эта корректировка структуры обеспечивается реализацией предусмотренных алгоритмом синтеза специально
сконструированных итерационных процедур дополнительного смещением ранее размещенных и вновь генерируемых волокон. Проявление эффекта повторного изменения типа случайного поля усиливается наличием «жестких» непроницаемых границ фрагмента.
Рис. 6. Фрагмент случайной структуры волокнистого
композита, синтезированной с использованием алгоритма 2 ( у7 = 0,5, а/Я = 0,6)
Таким образом, существенное отличие случайных полей структуры композитов при одной и той же относительной толщине гарантированной прослойки матрицы, окружающей каждое из волокон, одной и той же степени наполнения может быть объяснено принципиально разными подходами, которые были заложены в алгоритмы синтеза. Отсутствие периодической составляющей в случайных полях, соответствующих разряженным и плотнозаполненным структурам, является следствием возможности соприкосновения волокон и дополнительного упорядочения армирующих элементов.
Эффект «регуляризации» случайной структуры. Компьютерный синтез двухфазных композитов, имеющих высокую степенью наполнения, оказывается возможным благодаря предусмотренной алгоритмом 2 существенной корректировке взаимного расположения непересекающихся частиц армирующего наполнителя. Несмотря на то, что основу алгоритма 2 составляют процедуры, реализация которых не предусматривает регулярного расположения частиц армирующего наполнителя, в генерируемой случайной структуре материала можно выделить области («домены») с близким к периодическому размещением волокон. Это парадоксальное явление, проявление которого не было прогнозируемо на этапе конструирования методов синтеза двухфазных волокнистых композитов, назовем эффектом регуляризации случайной структуры.
0,8 0,6
0,4
0,2 0,0
-0,2
Рис. 7. Нормированные корреляционные функции структуры композита, сгенерированной с использованием алгоритма 2 (у^ =0,5) для различных значений
¿//7? : • — 0,407?, — — 0,457?, ■ — 0,507? (а). Для статистически анизотропных (б) и изотропных полей (в), которые соответствуют ¿//7? = 0,607? и ¿//7? = 0,557?, функции построены под углами а по отношению к горизонтальной оси
Предусматриваемое в алгоритме 2 наличие «жестких» границ у синтезируемого фрагмента случайной структуры композита является фактором, способным привести к
локальной регуляризации структуры материала. По мере увеличения объемной доли волокон образование «доменной» структуры начинается вблизи границ фрагмента. Характерный размер очагов периодического расположения частиц армирующего наполнителя, как правило, не превышает 3-4 диаметров волокон. Вместе с тем, размещение волокон в центральной части фрагмента остается по-прежнему случайным.
Еще одним фактором, приводящим к регуляризации случайной структуры при степени наполнения, близкой к максимально возможной, является гарантированная прослойка матрицы. На рис. 6 представлен синтезированный при помощи алгоритма 2 фрагмент композита с объемной долей круглых в поперечном сечении волокон, равной Уу=0,5, каждое из которых окружено слоем матрицы толщиной ¿//7? = 0,60 (для
волокнистого композита гексагональной регулярной структуры ¿//7? = 0,69). Как видим, «домены» с гексагональным расположением армирующего наполнителя в сгенерированном композите (см. рис. 6) находятся не только вблизи границ, но и в центральной части фрагмента. Кроме того, в областях, непосредственно примыкающих к «доменам», размещение волокон остается случайным.
На рис. 7 представлены нормированные моментные функции композитов, сгенерированных по алгоритму 2 при фиксированной объемной доле волокон Уу =0,5 и различной толщине гарантированной прослойки матрицы. Случайные поля структуры при значениях с!/Я, принадлежащих диапазону от 0,40/? до 0,507?, являются статистически изотропными, локально-эргодическими (рис. 7, а). Обращает также на себя внимание совпадение точек пересечения нормированных
корреляционных функций АТ£2'((Дг|) с осью абсцисс (см. рис. 7, а). Практически полное затухание моментных функций происходит на расстоянии 4-5 диаметров волокон. Возрастающий вклад периодической составляющей в случайных полях А,(г) по мере увеличения относительной толщины гарантированной прослойки матрицы (см. рис. 3, б и 7, а) также является следствием проявления эффекта регуляризации структуры композитов.
Необходимо отметить, что отличие типов случайных полей Мг), нормированные корреляционные функции которых представлены на рис. 3, б и 7, а, вызвано более интенсивным (по сравнению со структурами, объемная доля волокон в которых близка к предельной) смещением частиц армирующего наполнителя. Поэтому для устранения проявлений локальной регуляризации необходимо предусмотреть в алгоритмах синтеза процедуры дополнительное случайное изменение взаимного расположения всех сгенерированных волокон.
Локально-эргодические случайные поля структуры композита (уу= 0,5,
с//7? = 0,67?) на расстояниях |Аг|/7?, не превышающих диаметра волокна, являются статистически изотропными (рис. 7, б), о чем свидетельствует совпадение нормированных корреляционных функций АГ[2^(|Аг|). Локальная изотропия полей Л(г) обусловлена изначально (заложенным в алгоритм синтеза) случайным характером размещения волокон. При дальнейшем увеличении |Аг|/7? наблюдается расхождение кривых, построенных для различных (по отношению к оси абсцисс) направлений. Это расхождение, вызванное практически полной регуляризацией структуры волокнистого композита, является проявлением статистической анизотропии случайных полей Я(г).
Таким образом, эффекты регуляризации, сопровождаемые образованием в случайных структурах неоднородных материалов «доменов» с упорядоченно размещенными волокнами, необходимо учитывать при разработке алгоритмов синтеза однонаправленно армированных композитов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 01-01-06116 — программа
поддержки молодых ученых и РФФИ-Урал № 01-01-96479).
Библиографический список
1. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. -Минск; Изд-во БГУ, 1978. -208 с.
2. ГаришинО.К. Геометрический синтез и исследование случайных структур // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. - Екатеринбург: УрО РАН, 1997. - С. 48-81.
3. Зайцев A.B., Лукин A.B., Трефилов Н.В. Компьютерный синтез случайной структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов // Молодежная наука Прикамья. - 2001. - Вып. 1. - С. 78-87.
4. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. - М.: Наука, 1982. -296 с.
5. Берлин A.A., Ротенбург Л., Басэрст Р. Особенности деформации неупорядоченных полимерных и неполимерных тел // Высокомолек. соединения. Сер. А. - 1992. -Т. 34, № 7. - С. 6-32.
6. Мельников С.В., Соколкин Ю.В. Свойства случайных полей применительно к задачам механики стохастически неоднородных сред // Упругое и вязкоупругое поведение материалов и конструкций. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. -С. 113-118.
Получено 15.05.2002
