Расчет упругих свойств и напряжений на поверхностях разупорядоченных включений композита методом периодических составляющих Текст научной статьи по специальности «Физика»

Паньков А. А.

Расчет упругих свойств и напряжений на поверхностях разупорядоченных включений композита методом периодических составляющих

Abstract

Prezented method of miarosnehanic of composite (method of periodic components) in desistons of problem is influence cfuios places of inclusions on elastic pr'operties and strength of composite. In this method stohastic regional problem of theory of elastic of composite come to two more simple problems are problem on the cell of stohastic. This problems on the cells calculation by modern numerical methods.

Одна из задач микромеханики композитных сред - учет разупорядоченности во взаимном расположении элементов структуры с волокон'' при расчете компонент тензора упругих свойств композита и напряжений в стуктурных элементах. Структуры, в которых разупорядоченность описывается малыми смещениями включений от y периодической схемы укладки. CY=< Y ,Y ,Y > основные периоду:', назовем у квазипериодаческкми. Рассматривая у : квэзипериодическую струкгуру как деформированную

разупорядоченную, поля напряжений на микроуровне не будут периодическими и при простом нагружении композита. Стохастическая же модель у - квазипериодической структуры позволяет решать задачу в у - периодических моментных функциях случайных полей напряжений микроуровня.

Лостановка задачи

Рассмотрим стохастическую задачу о деформировании области v с границей Г. Будем считать, что материал области v представляет собой композит матричного типа, причем характерный размер

неоднородностей с волокою намного меньше такового области V. Из модельных представлений разупорядоченную структуру композита будем описывать статистически однородными квазипериодическими разрывными по координатам функциями упругих свойств, полагая возможным разбиение структуры композита на однотипные ячейки, в каждой из которых содержится одно независимо разупорядоченное включение рис.І.а. Предположим, что форма и свойства однородных компонентов структуры детерминированы и заданы, на межфазных

поверхностях идеальная связь структурных элементов. Пусть в некоторой декартовой системе координат' определяющие сотношения, связывающие тензор деформаций е1 Сг:> и тензор напряжений с с 10, задаются в виде

О.,

Рис. і. а) квазипериодичаская структура б> стохастическая ячейка

^ С г 5

1 *

где а г с г.5 - случайное поле структурных модулей упрут ости

а

С г 3 = а соС г 3 + а

( I 1ГГ1Г.

И а<г))

.; тг, - известные тензоры упругости включений и матрицы,

и<г')-<1,о> - индикаторная функция включений.

Деформации будем считать малыми, так что выполняются соотношение Коши

Для определения компонент тензора упругих модулей композитного материала а*,тп , согласно соотношению

<... > - оператор осреднения по случайным однородным полям или по объему V:., необходимо решить стохастическую краевую задачу С13-с 40 с однородными граничными условиями

и = е г , С 53

1/Г 13 '

где з* ~ <«г> - произвольный симметричный тензор второго ранга., имеющий смысл малых упругих макродеформаций.

Расчет упругих свойств композита

С/1 системы дифференциальных уравнений со,сзз,с4э перейдем к следующей

Пусть заданы и уравнения равновесия среды

а С г) = О.

С а , СгЗи СгЗЗ

О

и расчет , согласно сю, проводам по зависимостям

а = <а _СгЭи * Сг.)>

I ] ШП ». ^О*/ 5 -.'^ГГ.'П

и С гО = и. . С г > е ,

1,Л Оть гпг»

о - известный из постановки задачи тензор.

Полагаем известным решение сопутствующей периодической краевой задачи для области V

г ,{Лт т,Г)

& о>рСгЗ + ат С1-шрСг>>,

I '.тп ^гог» и }гпп

чгз = <1,о> - периодическая индикаторная функция включений,

3сг.->=^ г> если разупорядсченкость в квазишриодаческой

,р

•/Г

согласно методу шриодаческ^ составляющих /6/, выделим периода*ческие составляющие и. лей:

К

структуре отсутствует, и1, = е г. - граничные УСЛОВИЯ И,

^ -Т~- ^ } }

а ОО = ар СгЗ + а" СгЗ, и .С г) = ир СгЗ + и ’ С гЗ

сез

и от системы дифференциальных уравнений С 73 перейдем к системе интегро-дифференциальных:

, ч г,- г- . , а> р . <»>.

и СгЗ = [О С г, г ЗСа’ г и Сг 3

V,} ьСИ,]1] а/зтп т,г>

V

С Ш

+ а . Сг Эи Сг 2Юс1г ,

Су этг» т , п

о. с г, г (1Ъ - тензор Грина неограниченной однородной среда с

тензором упругости » а сг>=а . <г>-Ь

|гпп 11тп ^ггт ъзгпг»

73 приводится разложение второй производной тензора Грина

в. на сингулярную, пропорциональную дельта-функции Дирака *сг-г *1>5, и регулярную составляющие, "Сингулярное приближение" решения уравнения типа еда /7,- основано на приближенном раВвНСТЕЭ сьоей сингулярной составляющей. Домножим обе

части урвнения СЭЗ на тензор а”. ^г^=а( ь. ^СгЗ-<ааь1 .> И полученное уравнение осредним оператором <а . .> - а . . в +а™ С1 , О =<ш> - ОТНОСИГЄЛЬНОЄ ОбЪвМНОв

сі Ь і J ] І аЬі з і Г

содержание волокон. Осредненное уравнение решаем в сингулярном приближении и, доказав вспомогательное соотношение

<со’ ’ pCw’ ’5k>

constС к? ,

где со’*cr^=cjcr3-e . oj’ 1 pcrj =;,/’(>j -Gf - пульсации индикаторных

функций; к=1,2,...; р - коэффициент периодичности

разупорядоченной структуры вычисляется по формуле

«осЛ-G*

р = ---------L, с 105

G C1-G Э Г f

получим формулу

а *с

а = а р + а С1 ~р5 СЮ

i jmn i jmn x jmn

- формулу расчета тензора упругих свойств а*^ композита с

р с

разупорядоченной структурой через **jrnn и а* - тензоры упругости композитов с периодической структурой и структурой "статистическая смесь" /з,в,7/, соответственно, и с использованием р - коэффициента периодичности ciсо. Компоненты *р

тензора а. . вычисляются с использованием численных методов на

* v jmn

ячейке периодичности неразупорядоченной структуры /2/. а

с

компоненты тензора ах. вычисляются по известным аналитическим

г х j mn

формулам /з,б,7/.

Для однонаправленного волокнистого композита с

квазипериодаческой структурой, согласно СШ , а* % а*.^, что и иллюстрирует рвсчет е* - модуля Юнга композита в направлениях

I и 2 и его сравнения с е*р рис.2, если р(. =2оМПа, »=о,г и мт=1МПа, >^=0,зу - модули сдвига и коэффициенты Пуассона соответственно волокон и матрицы композита.

р=0 0<р<1 р= *

/в

<г

о 0,2 0,6 г,00,° 0,2 0.6 1,0 %

£"

с»)

4>)

Рис.г. Расчет упругих свойств квазипериодического композита

а) структурные модели неоднородных сред

б) зависимость коэффициента периодичности р от содержания волокон в композите

в) 1 -- Е** /3/, если ь = <а >,

-1- ь _)тп

2 - Е* СЦ), 3 - Е*р /6/.

Расчет полей напряжений

Поля деформирования на структурном уровне композита вычис.вдм методом периодических составляющих, не прибегая к сингулярному приближению, эффективному лишь при вычислении упругих СВОЙСТВ композита. С использованием соотношений

а С. гО = аг Гг-Г .. ЮЗ , а Сг) = ирС г-6С п_0+и°С г 3 ,

\.ггтп г;тг II I.

С 12^

бсп> - вектор смещения включения из периодического неразупорядоченного положения в п-ой ячейке, дифференциальные уравнения с7з преобразуем к интегро-дафференциальным:

и°СгЗ = Гб Сг.г'^ЗСа^ Сг(<>-б1пЗЗ ——С г(1>-6С пЗ 3 +

I -* (л/:тп ( 1> т

С 133

( 1 >.. д о,- < 1 >. ( 1 >

1 _ (- г _>-------и С Г -> 3 лс1г

сл[1тп - ( 1> т , [3

(ТГ

е сг ,г(1Ъ - тензор Грина области с границей Г и с элементарным неоднородным шлем упругих СВОЙСТВ Ь „СгО; однородное поле

матрицы Са”|тг1) С ОДНИМ включением Са.| , координаты центра которого соответствуют координатам центра исследуемого включения б каазиперисдической структуре. Согласно методу последовательных приближений, решение уравнения С1з> представим в виде

СО

асимптотического ряда ^ и’1'с

1 --- >

я>г , г ^>- & , р - -ч ч д р.- >

и С.г-> - Го 1 г, г —-------------------Са , с г —------------------■—-и С г —

V ^ 10 . < 1> аИгпп ,, { 1> т

ог . ог

а '• с 14:

-бСпЗЗЗ •

V при ■ -

Магемат. моде лир. систем и г; рои. Ы2С23, 1094

л>,. . л,, <»>•. <9 _ ~ <1>^ д и-1),. (1ч-ч , '1>

и ( г .) = I Ь С. г , г -С а л С г ,*------и С'' 3 3с1г

Ji.cs _ < 1> ет.втп _ < 1>

V *-р *■„

В формуле с 1.43 переход от интегрирования по неограниченной области V к интегрированию по з - малой окрестности контура стохастической ячейки, образованного пересечением серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющих центры разупорядоченных ькж'чений с рис .1,6:*, сделан на основе равенства

Сар С г 3 ир С г 3 3 =0 И ПрИНЦИПЭ ЛОКЭЛЬНОСТИ /7/, В

V ^тг»п т,п » л

з-окрестности 1-ой грани стохастической ячейки индикаторная функция взаимного положения включений равна 2, если

рг-..стояние между соответствующей парой включений в результате рзоупорядоченности увеличилось, и равна 1/2 - если уменьшилось.

Численный расчет показал, что вблизи межфазных поверхностей включений илг) % и^сгз и поля напряжений здесь с хорошей точностью описываются формулой

а СгЗ = о С г - <5 '

V ) I)

)<Ч'

с а

д)

д Р <1>

-----С а , С г

< 1> ротгг

-- 6С пО Г> -

<?г

Расчет по формуле 0 53 приведем для армированного однонаправленными волокнами композита, обладающего при отсутствии разупорядоченности волокон тетрагональной симметрией структуры и упругих СВОЙСТВ. При Ет=1 ГПа и ^=0,35 - модуль Юнга и коэффициент Пуассона матрицы, с ег=0.545 - относительное объемное содержание жестких волокон, расчитаем рис.З радиальных <?_гсрз и касательных <рг<рс'р^ напряжений на межфазной поверхности одного из разупорядоченных волокон при нагружении композита в поперечной направлению армирования плоскости, соответствующего ©^=0,30, е“2=-о,12. Безразмерные координаты с отнесенные к

радиусу волокназ центров поперечных сечений волокон при совмещении начала системы с центром поперечного сечения

исследуемого сна рисунке центрального^ волокна следующие:

С-г, 2; 0,2}; СО;2,43; С2,£;0,гГ> , СО; -3,4Г> , ИМ8ЮЩИХ В

■•еразупорядоченном состоянии координаты с -а, 4; оз, с о; . .-о ; •с. со;-2,4з. На рис.з штриховой линией показаны ряс-четы

соотве •'ствущих величин по методам граничных элемент ов к локального приближения /1.е/.

Рис з. Межфазные напряжения на поверхности разупорядоченных волокон.

Таким образом, решение задачи теории упругости для области с мн* огими включениями методом периодических составляющих с хорошей

точностью сводится к по сле дователъному решению двух значительно более простых задач: на ячейке периодичности и на стохастической ячейке. К решению задач на ячейках применяются современные численные методы, например метод граничных элементов.

Литература

1. Аношкин А.Н., Паньков А.А, Статистическое моделирование и оценка прочности квазишриодических композитов /Тез. докл. Всесоюзи.научно-технич. конференции "Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и технических средств Обучения’1,: Г,Куйбышев, 19-21 СвНТ. 1989. -0.11-12.

2. Бахьалов Н.С,, Пэвасенко Г.П. Осреднение процессов в и-риодических средах. -М.:Наука, 1984. -352с.

3. Волков С.Д., Стзвров В.П. Статистическая механика

композитных материалов. -Минск: йз-во Белорус, гос.ун-та, Ю7«

-20йс

4. Композиционные материалы: В е-и т. Т. г. Механика

композиционных материалов /Сендецки Дч.-М.:Мир, 1978. -безе.

Ломакин Б,А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. -М.:Наука, 1970.-1зэс.

6. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. -М.:Из-во

МГУ, 1984 -336с.

7. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушений структурно-не однородных тел. -М.: Наука, 1984. -нес.

8. Шерменгор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.:Наука, 1977. -4оос.

Пермский государственный технический университет