Метод расчета рассеяния энергии в конструкциях из гибридных композитов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Метод расчета рассеяния энергии в конструкциях из гибридных композитов*

Ю.И. Димитриенко1, Е.А. Губарева1, Н.Н. Федонюк2, Д.О. Яковлев1

1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.

2 ФГУП «Крыловский государственный научный центр», 196158, Санкт-Петербург, Российская Федерация, Московское шоссе, 44.

A method of calculation of energy dissipation

in hybrid composite structures

Y.I. Dimitrienko1, E.A. Gubareva1, N.N. Fedonyuk2, D.O. Yakovlev1

1 Bauman Moscow State Technical University, building 1, 2-nd Baumanskaya str., 5, 105005, Moscow, Russian Federation.

2 Krylov State Research Centre, Moskovskoe shosse, 44, 196158, St. Petersburg, Russian Federation.

e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Для многих изделий машиностроения, авиастроения и судостроения важным элементом являются системы гашения вибраций из полимерных композиционных материалов, которые кроме высоких удельных упруго-прочностных свойств обладают и значительными диссипативными характеристиками, что обеспечивает возможность создания многофункциональных силовых конструкций, обладающих одновременно и значительными демпфирующими свойствами. Представлен метод расчета параметров рассеяния энергии в особых типах композитных конструкций — на основе гибридных материалов с различными типами армирующих волокон и полимерных матриц. Метод базируется на использовании модели линейно-вязкоупругих сред при установившихся колебаниях и асимптотической теории многослойных пластин, которая обобщена для вязкоупругих сред. Эта теория позволяет с высокой точностью вычислять все шесть компонент тензора напряжений в тонких многослойных композитных пластинах при циклическом нагружении, включая поперечные напряжения и напряжения межслойного сдвига, поскольку диссипативные свойства слоисто-волокнистых полимерных композитов проявляются, существенным образом, как раз в этих направлениях. С помощью разработанного метода проведено численное моделирование напряжений в вязкоупругой пластине из композитного гибридного слоисто-волокнистого материала при изгибных колебаниях на основе стеклянных и арамидных волокон, а также содержащего специальные слои высокодемпфирующего полимера МПВТ-А. Численные расчеты показали, что максимальные значения коэффициента рассеяния энергии реализуются в слоях композитной пластины из высокодемпфиру-ющего материала МПВТ-А, а также в слоях с арамидными волокнами, обладающими вязкоупругими свойствами. Обнаружен эффект, состоящий в том, что максимум коэффициента рассеяния энергии в гибридной композитной пластине при изгибных колебаниях реализуется при определенном значении угла 35° . Этот эффект может быть использован при проектировании оптимальных структур гибридных композитных пластин.

Ключевые слова: рассеяние энергии, гибридные композиты, вязкоупругость, коэффициенты рассеяния, асимптотическая теория пластин.

* Исследование выполнено за счет средств Задания № 1.445.2014/К Минобрнауки РФ.

Vibration damping systems made of polymer composite materials are important elements of engineering, aerospace, and shipbuilding products. These systems, along with high specific elastic and strength properties, have significant dissipative characteristics, which makes it possible to create multifunctional power structures with high damping properties. A method for calculating the energy dissipation parameters in special types of composite structures made of hybrid materials with various types of fiber reinforcements and polymer matrices is presented. The method is based on the linear viscoelastic media model under steady-state vibrations and the asymptotic theory of laminated plates generalized to viscoelastic media. This theory makes it possible to accurately calculate all components of the stress tensor in thin multilayered composite plates under cyclic loading including interlayer transverse stresses and strains. The dissipative properties of multilayered fiber polymer composites are manifested mainly in these directions. This method was used for the numerical simulation of flexural vibrations of a viscoelastic plate made of hybrid laminated composite material containing glass and aramid fibers, as well as special MPVT-A polymer layers. The results of analysis show that the energy dissipation is maximum in the MPVT-A polymer layers and in the layers containing viscoelastic aramid fibers. It has been found that the energy dissipation in a hybrid composite plate under flexural vibrations is maximum at a certain angle. This phenomenon can be used in the design of optimal structures of hybrid composite plates.

Keywords: energy dissipation, hybrid composites, viscoelasticity, dampimg coefficients, asymptotic plate theory.

Полимерные композиционные материалы кроме высоких удельных упруго-прочностных характеристик имеют существенные диссипативные характеристики, что позволяет создавать на их основе силовые конструкции, обладающие одновременно и значительными демпфирующими свойствами [1-3]. Особый интерес представляют конструкции из гибридных композитов, в которых используется несколько типов армирующих волокон, например, стеклянные и арамидные, имеющие ярко выраженные диссипативные свойства [4]. Такие гибридные композиты позволяют за счет определенного подбора их структуры получать материалы с разнообразными свойствами, которыми не обладают традиционные композиты с одним типом армирующих наполнителей [5-7]. Перспективным является исследование возможности создания конструкций из гибридных композитов, имеющих одновременно высокие жесткостные и диссипатив-ные характеристики. Эта проблема до настоящего времени еще не была исследована. Для анализа достаточно тонких эффектов влияния внутренней структуры армирования гибридных композитов на их жесткостные и диссипативные свойства необходимы высокоточные методы расчета параметров рассеяния энергии.

Существующие методики расчета диссипации (рассеяния) энергии в композитных конструкциях [1, 2, 8, 9] основаны на инженерных подходах к определению коэффициентов демпфирования на основе так называемых упруго-диссипативных моделей и приближенных тео-

риях расчета упругих напряжений в пластинах, которые не учитывают поперечных напряжений и напряжений межслойного сдвига. Поскольку диссипативные свойства полимеров проявляются существенным образом как раз при межслойных сдвигах, для точного расчета рассеяния энергии в композитных конструкциях необходима разработка теории, в которой рассчитывались бы все шесть напряжений.

Цель работы — разработка метода расчета рассеяния энергии в конструкциях из гибридных композитов.

Для моделирования диссипативных характеристик в работе используется не приближенная упруго-диссипативная модель материалов, а хорошо теоретически обоснованная модель вязкоупругого поведения полимерных композиционных материалов [10-12]. Расчет всех шести ненулевых компонент тензора напряжений в вязкоупругих конструкциях осуществляется на основе обобщения асимптотической теории тонких пластин, предложенной в работах [1317], для вязкоупругих материалов.

Коэффициенты рассеяния энергии в вязко-упругих конструкциях. Рассмотрим конструкцию, механическое поведение которой можно моделировать с помощью модели линейно-вязкоупругой среды [18]. В этом случае при моногармонических колебаниях такой среды тензоры напряжений и деформаций являются моногармоническими функциями

а1} = Ке(ф^); г0 = Ие«* еш),

где с* , £у — комплексные амплитуды тензоров напряжений и деформаций; Ие (•) — действительная часть комплексной величины; 1 — мнимая единица; ю — частота колебаний.

Введем локальный коэффициент рассеяния энергии, который определен для каждой точки конструкции с декартовыми координатами хт:

8 = (1)

Здесь V * — функция рассеяния энергии, осред-ненная за цикл колебаний. В качестве V выберем накопленную энергию за цикл колебаний, которые определяются по формулам [18]

V * =-2 (Ке(ст*| )1ш(еу) - 1ш(ау )Ке(еу)); (2)

V = юю (Ые (с/ Же(еу) + 1ш(С/ )1ш(е/)), (3)

где 1ш (•) — мнимая часть комплексной величины.

Для линейно-вязкоупругих сред амплитуды тензоров напряжений и деформаций связаны следующими линейными соотношениями:

Су = С// (ю, Хт )£*к!; е* = П/к/ (ю, Хт )Ск/, (4)

Здесь С/к/ (ю, хт) — тензор комплексных модулей упругости; П/к/ (ю, хт) — обратный к нему тензор комплексных податливостей, П/к/ = = С*-1. Эти тензоры зависят от частоты колебаний, а для неоднородных конструкций, к которым относятся конструкции из композитов, тензоры Суй и П*к зависят также и от координат хт.

Подставив соотношения (4) в (2) и (3), выразим V* и V через амплитуды напряжений:

V* =ю П/и (Ие(оУ )Ие(окг)+1ш(с/ )1ш(оы));

ю.

(5)

V=уИеШуи )(Ке(Су Же(аи) + 1ш(аг/ )1ш(аи)),

где П/г = -1ш(П/к/).

Введем интегральный коэффициент рассеяния энергии конструкции, который определим следующим образом:

- Ш* Л Л

8 =-; ш = | V йУ; Т = | vdV. (6)

^ V V

Если конструкция представляет собой плоскую пластину, то суммарные величины рассеяния энергии Ш* и накопленной энергии V можно представить в виде

0.5 0.5

Ш* = | | VйЪ; ¥ = | | уйЫЪ. (7)

Здесь Ъ — срединная поверхность пластины; ^ = х3/к — безразмерная координата по нормали к срединной поверхности пластины; к — толщина пластины.

Многослойные гибридные композитные пластины. Рассмотрим случай когда пластина представляет собой гибридный слоисто-волокнистый композит (ГСВК), часть слоев которого является однонаправленными материалами, вообще говоря с различными типами волокон (гибридные композиты), повернутыми на угол фа вокруг оси Ох3, а другая часть слоев — это изотропные материалы, где ае{1...N}, N — число слоев в пластине. В единой для всех слоев ГСВК системе координат Охт компоненты тензора комплексных модулей упругости а-го слоя вычисляются с помощью формул преобразования компонент тензора 4-го ранга [19]:

С/ы (ю, £) = ста„м (ю)О

а О а

]П

О а крО.0

^ е [^а-1, ^о

(8)

Здесь Оат — элементы матрицы поворота слоя с номером а,

[О0

С08 фа - эт фа 0

эт фа

С0Э фа 0

0

1

(9)

^а-1, ^а — координаты а-го слоя по направлению Ох3; С*/а1 (ю) — компоненты тензора комплексных модулей упругости слоя в повернутой (собственной) системе координат Ох^ слоя, ось Ох(а) которой совпадает с направлением ориентации волокон каждого слоя. Для однонаправленных слоев компоненты С*"/ тензоров комплексных модулей упругости в собственной системе координат вычисляются следующим образом [20]:

Т7*а

с/Он = -Д-(1 - ут°2);

Е *а

С *а = С *а = Т (1 -,/а2К *).

С2222 _ С3333 _ . » (1 к );

Ъ -0.5

Ъ -0.5

Е а

С03з = ^т(< + ^ак*);

у*а Е а

С*а = С*а = ь Т (1 , *а С1133 — С1122 УТ );

С1313 — С1212 ; С2323 _ ^Т ;

Д * = 1 - уТ°2 - 2уьа2 (1 + уТО )к К * =

(10)

Е а

Здесь Е*]а — продольный комплексный модуль упругости однонаправленного (Ш) слоя в направлении ориентации волокон; ЕТа — поперечный комплексный модуль упругости слоя;

— продольный комплексный коэффициент Пуассона; V*? — поперечный комплексный коэффициент Пуассона; 01а — продольный комплексный модуль сдвига; — поперечный комплексный модуль сдвига. Эти характеристики рассчитываются по смесевым формулам для Ш композита, состоящего из волокон и матрицы (для однонаправленных слоев и волокна и матрица полагаются вязкоупругими) [20]:

Е**а = Е }аф f + Ета (1 -ф f); 1 -Фf Л-

E a — —

ф f

E *а V Ef

vla-va^ f + (1 -ф f); vTa-v

a.

m >

(11)

GLa — L 2

G*a _ T —"

ф f(1+va) + (1 -фf )(1+vma)

E a T

s-1

2(1 + v^a)

где Е— модуль упругости волокон; VI? — коэффициент Пуассона волокон; ф f — относительное объемное содержание волокон в Ш композите; Е*т и V*,? — комплексные модуль упругости и коэффициент Пуассона матрицы, которые вычисляются через комплексный модуль сдвига и модуль объемного сжатия Кт по формулам, подобным аналогичным формулам в теории упругости [18]:

£*a _

m

9Km Gm *a 3Km 2Gm

3Km + Gn

V " — -

Vfl7

I 2G „

-. (12)

(12), но в них следует положить фа = 0,

Qа _ £ р*а _ р*а _ р*а , .*а _ Л.*а _ Л.*а

т ~и1ту СЬ ~ СТ ~ ст > ~ УТ ~ ут >

01а = 0*Та = С*а, в результате формулы (8) и (10) принимают следующий вид:

С*ы (ю, £) = С*й (ю); ^е[^а-1, ^а ];

C1111 _ C2222 ~ C3333 _

C2233 _ C1133 — C1122 _ '

A*

V*a E

\m J-i:

(1 -v ma2);

(1 + v;a );

С1313 — С1212 — С2323 _ Ст ;

д*=1 ^;а2 - 2v;а2(l+v;а).

Таким образом, в представленной модели ГСВК вязкоупругие свойства однонаправленных слоев определяются комплексными модулями сдвига матриц С*а и комплексными модулями упругости волокон Е, а для изотропных слоев СВК — только комплексными модулями сдвига С*а. Упругие свойства матриц, кроме того, характеризуются модулями объемного сжатия Ка, а для волокон — коэффициентами Пуассона V". Примем далее для характеристик С*а и Е*а модель вязкоупруго-сти с экспоненциальными ядрами релаксации [18] при учете температурно-временной аналогии. Тогда для С*а и Еимеем следующие аналитические выражения от частоты колебаний [18]:

С*а = Ие(С*а) + 11ш(С*а);

N

Re(Gm ) Gmhm + I " . ~ Y—1 1 + (СО

4a -TimY

m LmY >

■mY*~

"mY

rr-U*

m LmY

)2

Предполагается, что матрица при всестороннем сжатии проявляет только упругие свойства [18], тогда модуль объемного сжатия является вещественной константой и рассчитывается по формуле

2са 1 + vа

т^а _ т 1 ^ ут Кт = " ~ ~ ,

3 (1 )

где vm — начальное значение коэффициента Пуассона при ю = 0. Для волокон коэффициент Пуассона полагается вещественной константой:

vfx = vaa .

Часть слоев ГСВК представляет собой изотропные неармированные материалы. Для этих слоев также справедливы формулы (8)-(10),

Im(Gma) — I t

Y—1 1 + (СО

E f— Re(E }a) + iIm(E }a);

N

Re(E *a) — Ea ha + I

f Y

Im(E *a) — I

Y—1 1 + (СО aTaY )2

A^,® xJ,

Y—1 1 + (CC^ )2 Сm —czm (0); zm(0) — exp

(13)

Сa— cqZJ (0); Zj (0) — exp

amA0) v^m+A0 ' aaA0) 4

ba +A0

v f

a — 1,..., N;

hm (1 dm ) exp( cmA0) + dm ;

h^ — (1 - dj) exp(-cj A0) + dj,

гттр па \>а аа та па ьа г1а га ра \jrny уш> ^-шу у > иш> м-ш>

, , х^а у, аа, Ьа, , са, а — вещественные константы, характеризующие упругие и вязкоупругие свойства матриц и волокон в слоях ГСВК; 6 — температура, Д9 = 9 - 90; 90 — начальное значение температуры.

После определения компонент тензора комплексных модулей упругости ГСВК Спо (8)-(13), вычислим компоненты тензора упругих податливостей П**к = С*- . Для расчета коэффициентов рассеяния энергии (1) и (6) необходимо также рассчитать амплитуды напряжений а**( хш) в рассматриваемой конструкции (пластине).

Расчет амплитуд напряжений в композитных пластинах. Рассмотрим квазистатические колебания пластины из ГСВК под действием давления на внешней и внутренней сторонах пластины 5 = ±0,5 с амплитудными значениями р+ и р-. На торцах пластины заданы амплитуды колебаний перемещений и*. Распределение амплитуд напряжений а**(хш) в пластине, рассматриваемой как трехмерное тело, под действием такой системы нагрузок будет определяться решением следующей задачи линейной вязкоупругости при установившихся колебаниях [18]: V} а * = 0;

е** = 2 (V X +Vи]);

а* = СуЫ ек1; (15)

Xз± : а*з = -р±3, ХТ : и* = и*, X5: [а*з] = 0, [и*] = 0,

состоящей из уравнений равновесия, соотношений Коши, соотношений линейной вязко-упругости (4), граничных условий на внешней и внутренней поверхностях X3±(их уравнение имеет вид Х3 = ±Н/2) и на торцевой поверхности Хт , а также граничных условий на поверхности контакта X5 слоев пластины. Здесь [и*] — скачок функций; и* — компоненты вектора комплексных амплитуд перемещений; V) = Э / ЭХ} — оператор дифференцирования по декартовым координатам.

Принимаем допущения: 1) малым является параметр к = к / Ь << 1, представляющий собой отношение толщины пластины к к характерному размеру всей пластины Ь (ее максимальной длине); 2) амплитуда колебаний давления р± на внешней и внутренней поверхностях пластины имеет порядок малости 0(к3) по сравнению

с Е0. Характерное значение модуля упругости материала пластины (размерная величина)

р ±=к3 р±; р±= 0(1) Е0, (16)

где 0(1) — безразмерная величина, порядка 1.

Для решения задачи (15) используем аналогию между упругим и линейно вязкоупругим решением [18]. Тогда, применяя асимптотический метод решения упругой задачи для многослойной пластины, предложенный в [13], выражения для компонент тензора амплитуд напряжений в вязкоупругой пластине, можно записать в следующем виде:

а *п = а *(0); а*3

= -к2 | (<

т*(1)

'31,1

>-а

(1) 3 ], ]

С5 +

-0,5

+к3

5 , ,

-р- -Д/(5 + 0,5) + | (<а*(2)> - а**®) С5

0,5

а*3 =ка;<1) + к2 | (<а*}1)>-а™)сЦ. (17)

-0,5

Здесь и далее индексы I, ], К, Ь пробегают значения 1, 2. Входящие в эти выражения напряжения а*(0), а*(31), а*(1) и а*(32) вычисляются по формулам

*(0) = С40) е*(0).

'и

= С*Кь е КЬ ;

*(0) *(0)

а и = 5С*КЬ Л КЬ + N ЩЬМ^КЬ,М;

5

а « =е%Ъ I (<С*(КЬ > - С*КЬ) С5; (18)

-0.5

5 , к

а*31) = 0; а 1(2) = | (<а*Ц)>- а$) С5,

0.5

где тензоры осредненных вязкоупругих констант пластины

С7/К°Ь = СЦКЬ-Сик3Ск-13С>3КЬ ;

СЦКЬ =< С*КЬ >=< СЦКЬ > - < СЦк3Скз!3С13КЬ > ;

(19)

> СРМКЬ ) с5;

Ш М = Ш*КЬМ + Фдам;

5 .

Ш*(0) = -С% С*-1 Г (<С*(0) ШЦКЬМ = Сик3Ск3Р3 I \< СРМКЬ -0,5

ФКЬМШ (5) = ФКЬМШ (5)-<<ФКЬМШ (5)>;

ФКЬМШ (5) = - I (С*31г385Ь + СЬ3г385К ) Сг3ММС5,.

0,5

В формуле (19) введена операция осреднения по толщине пластины

0,5

<и*(1)> = I и*(1)С5.

0,5

*(0)

Компоненты тензора амплитуд деформаций

и кривизн Цкь срединной поверхности

пластины определяются по формулам

лКь = -Издх;

*(0) _

3(0) .

3(0)

Т/3,и = 0; О/,и =Др*; М*ц,и - О/ = 0;

Ти = СЦКЬекь + БЩь ЛКь + ±еК'м ;

(0)

(22)

М 3J = Бщь еК? + А щь Лкь + Кщьм е К0

Здесь Т* — амплитуды усилий; Му — амплитуды моментов; ОЗ — амплитуды перерезывающих сил. Компоненты осредненных тензоров Б*цкь , Бщь , Кщьм и К3*кьм вычисляются по формулам

(0)

м

Б

икь

>; к

икьм

= К<М'

(0)

икьм

к

икь

= к<

I (<С

(0) > -С(0) ) икь > Сикь иЪ

(23)

-0,5

Адаь =к2<^2С(0Кь >; К икьм =к2<^М°Кьм >.

Выражения (17) дают точные значения для компонент напряжений с точностью до членов 1-го порядка малости для а* и 3-го порядка малости для ау3 и а33 относительно параметра к.

Амплитуды перемещений в пластине с точностью до членов 2-го порядка малости имеют следующий вид:

и/ = и/(0) +к(-( + е Ж}и 3кь (5)

и/ = и/(0) +ке К0]и 3кь (5),

(0)

где

и/кь (5) =

(24)

= 2

( 5 5

< I Сг3/3С/3кьй5> - I С13]3С]3кьй5

V -0,5 -0,5

(25)

Изгибные колебания многослойных пластин.

Рассмотрим задачу об изгибных квазистатических колебаниях многослойной вязкоупругой пластины прямоугольной формы под действием равномерно распределенного давления. Полагаем, что слои пластины расположены

симметрично относительно плоскости 5 = 0. В этом случае для задачи изгиба пластины нулевыми являются следующие функции:

= 2 (+ и}(0) (21)

и зависят от трех функций: и/(0) — амплитуд продольных перемещений платины и и/(0) — амплитуды прогиба, для вычисления которых имеем следующую систему дифференциальных уравнений квазистатических колебаний теории пластин и определяющих соотношений теории пластин:

и/(0) = 0; еК? = 0; Т/ = 0; а /Г = 0; а ;?> = 0,

(26)

а ненулевыми неизвестными функциями — только и/(0)( х), м/1(х), О3( х). Здесь х = х1 — безразмерная продольная координата пластины. Тогда тождественно ненулевые уравнения (12) и кинематические соотношения (14) принимают вид

м/1,11 = Др*; мп = АЗШлЗЪ Л11 = -и/(101). (27)

Решение уравнений (27) вместе с граничными условиями шарнирного закрепления: при х = 0 и х = 1: и/(0) = 0, и3(п = 0 — это решение для прогиба пластины в теории Кирхгофа — Лява [18]:

и/(0) =--Др-х(х3 -2х2 + 1);

(28)

24Вц = <52С/(?)1>,

тогда напряжения (16) принимают следующий вид:

с2йдр*

С и =■

2к2 А/1

» Др

С/3 =—— I х -13 кВ/1 ^ 2

а/3 =-р- - Др*(5 + 0,5) +

5х(х -1); 1] 5 - 5С/(01 ); (29)

-0,5

Др *

5

I (<а/(2)>-а(2))й5.

А11 -0,5

Здесь Др * = к 3Др*; р- =к3 р-, а также учтено,

что

Др* _ Др* _ Др *

Аш Вп кА

Результаты численного моделирования. Применим разработанную методику для расчета коэффициентов рассеяния энергии в ГБСК, которые состоят из семи слоев N = 7): слои 1 и 7 — однонаправленные композиты с волокнами 1-го типа и матрицей 1-го типа; слои 3 и 5 — однонаправленные композиты с волокнами 2-го типа и матрицей 1-го типа; остальные слои (№ 2, 4 и 6) — изотропные неармированные материалы с матрицей 2-го типа. Таким образом, в таком ГБКМ имеется четыре различных типа материала: два типа волокон и два типа матриц. В качестве матрицы 1-го типа была выбрана

е

матрица эпоксидного типа — один из наиболее широко применяемых типов полимерных матриц для волокнистых композитов, а в качестве матрицы 2-го типа был выбран тетразол-содер-жащий полимер МПВТ-А (поли-Ы-метилаллил-5-винилтетразол), обладающий повышенными вязкоупругими свойствами [21]. Армирующие волокна 1-го типа были выбраны стеклянными. Эти волокна практически не проявляют вязко-упругих свойств и поэтому полагались упругими, а в качестве волокон 2-го типа были выбраны органические волокна Армос [4], которые проявляют достаточно существенные вязко-упругие свойства, эти волокна при численном моделировании рассматривались как вязко-упругие. Константы (14) для эпоксидной матрицы ЭД-20 имеют следующие значения: 0? = 0,5 ГПа; VI = 0,35; с? = 0,01;

tg 8 E*« = Im(E*а (9)) / Re(E f (9))

d« = 0,02; nm = 1; A«^ = 0,5 ГПа; T«, = 10"4с; a« = 30 К; b« = 300 К,

(30)

m1

a = 1,3,5,7.

Константы (14) для тетразолсодержащего полимера МПВТ-А имеют следующие значения:

Ga= 0,2 ГПа; vm = 0,35; c« = 0,01; da= 0,02; n« = 1; A«1 = 0,9 ГПа;

Tam1 = 10_3 с; a«= 20 К; b« = 300 К,

(31)

ит1

а = 2,4,6.

Характеристики арамидных вязкоупругих волокон:

б? = 120 ГПа; ^ = 0,25; с? = 0,003;

йа = 0,02; пт = 1; А" = 120 ГПа; 7 т f1 (32)

х?1 = 10"5с; а?= 30 К; Ьа = 300 К,

а = 1,7.

Характеристики стеклянных упругих волокон:

E« = 200 ГПа; v« = 0,25; nm = 1; A«1 = 0 ГПа, a = 3,5.

(33)

с/

7

от температуры материалов с помощью аналитических зависимостей (13).

Зависимости действительной части комплексных модулей сдвига Ке(Ста) полимера МПВТ-А и эпоксидной матрицы, а также относительной действительной части комплексного модуля упругости арамидного волокна Ие(Б }а )/Яе(Б }а) 0 от температуры показаны на рис. 1. Наибольшей теплостойкостью обладают арамидные волокна, а теплостойкость эпоксидной матрицы выше, чем у тетразолсодержащего полимера.

Зависимости от температуры тангенса угла механических потерь tg 8С»? (9) для тетразол-содержащего полимера МПВТ-А и эпоксидной матрицы, а также тангенса угла механических

ке(ё}а)/ке(е}а)0

250 310 370 430 490 550 9, К

Рис. 1. Зависимости действительной части комплексных модулей сдвига Re(Gma) тетразолсодержащего полимера МПВТ-А (1), эпоксидной матрицы (2) (ГПа) и относительной действительной части комплексного модуля упругости арамидного волокна Re (E*a) / Re(E*a )0 (3) от температуры:

— эксперимент; ■

по формулам (13)

- аппроксимация

Коэффициент армирования Ш однонаправленных слоев с обоими типами волокон был принят равным 0,6. Все характеристики (30)-(33) полимерных материалов и волокон, кроме коэффициентов Пуассона, определялись путем наилучшей аппроксимации экспериментальных кривых изменения действительных частей модуля сдвига Ке(Ст? (9)) и модуля упругости Ке(Б*а (9)), а также экспериментальных зависимостей тангенсов углов потерь

tg 8с*а (9) = 1ш(ста (9))/Ие(Ста (9));

tgs

1,5 1,2 0,9 0,6 0,3

\

// // i 2 Д

/7 / / f \\ УЧ. \\Ж ^Ч. 3

У V j у/

0 250

310

370

430

490

550 9, К

Рис. 2. Зависимости тангенса угла механических потерь tg 8а*а. для тетразолсодержащего полимера МПВТ-А (1), эпоксидной матрицы (2) и тангенса угла механических потерь tg 8 Б»а (3)

для арамидного волокна от температуры:

----эксперимент;-— аппроксимация

по формулам (13)

потерь tg 8Е/а арамидных волокон, полученные экспериментально и путем аппроксимации по формулам (13), представлены на рис. 2. Экспериментальные данные по полимеру МПВТ-А заимствованы из работы [21], по эпоксидной матрице ЭД-20 — из работы [22], а по арамид-ным волокнам — из [4]. Полимер МПВТ-А имеет очень высокое значение экстремума тангенса угла механических потерь, превышающее 1, эпоксидная матрицы имеет максимальное значение tg 8с»а (9) = 0,7, а максимум тангенса угла потерь арамидных волокон составляет около 0,5. Однако все материалы отличаются температурой достижения экстремумов — 350, 395 и 440 К соответственно, что обусловливает различные частотные зависимости тангенсов угла потерь данных материалов в диапазоне 1...1 000 Гц (рис. 3). Максимум функции tg 8с/а (ю) для МПВТ-А достигается на частоте ют = 65 Гц, для эпоксидной матрицы этот максимум реализуется при ют = = 382 Гц, а для арамидного волокна частота экстремума превышает выбранную границу 1 КГц и функция tg 8Е/а (ю) в рассмотренном диапазоне является монотонновозрастающей.

ГСВК имеет 7-слойную структуру: [0о/П/ +45о/П/-45о/П/0о], где П — полимер МПВТ-А, относительные толщины слоев ка =5а - 5а-1 были выбраны следующими: к2 = к6 = 0,03; к1 = к7 = 0,225; к3 = к5 = 0,225; к4 = 0,04. Геометрические размеры пластины: ь = 1 м, к = = 2 -10-2 м, давление на поверхностях пластины Яе( р +) = 0,2 МПа, Ие( р -) = 0,1МПа.

Распределения действительных частей комплексных амплитуд тензоров изгибных напряжений Ие Сп , сдвиговых напряжений Ие С13 и поперечных напряжений по толщине Ие с/3 пластины для различных значений продольной координаты х приведены на рис. 4. Максимальные значения изгибных напряжений Ие Сп реализуются в 1-м и 7-м слоях с продольной ориентацией стеклянных волокон ф1 = ф7 = 0° в срединной части пластины при х = 0,5, а максимальные значения сдвиговых напряжений Ие С13 — на краях пластины при х = 0 и 1 в 3-м и 5-м слоях с ориентацией арамидных волокон ф3 = 45°, ф5 = -45°. Поперечные напряжения Ие С33 одинаковы для всех значений х. Для рассмотренного типа композита все действительные части комплексных амплитуд тензоров напряжений Ие а/ практически не зависят от частоты колебаний ю , в том числе сдвиговые и поперечные напряжения. Этот факт объясняется тем, что напряжения Ие С13 и Ие с/1 соглас-

но формулам (29) определяются значениями комплексного модуля упругости С1Ц1, которые практически не зависят от вязкоупругих свойств матрицы и арамидных волокон.

О 150 300 450 600 750 900 ю,Гц

Рис. 3. Расчетные частотные зависимости тангенса угла механических потерь tg для тетразолсодержащего полимера МПВТ-А (1), эпоксидной матрицы (2) и тангенса угла механических потерь tg8E*a (3)

для арамидного волокна

-0,6 -0,4 -0,2

Re cji3, МПа

3 2 1 0 -1 -2 -3

Л

^3

2

1

z1

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4

Re СТ33, МПа

Рис. 4. Распределение действительной части амплитуды:

а — изгибных напряжений Re où по толщине пластины из ГСВК в различных зонах (1 — x = 0,1,2 — 0,4, 3 — 0,5);

б — касательных напряжений Re по толщине пластины из ГСВК в различных зонах (1 — x = 0, 2 — 0,25, 3 — 0,5, 4 — 0,75, 5 — 1); в — поперечного напряжения Re 0З3 по толщине пластины из ГСВК

Распределения локального коэффициента (1) рассеяния энергии по пластине представлены на рис. 5. Результаты расчетов показывают, что максимальные значения коэффициента рассеяния энергии реализуются в слоях композитной пластины № 2, 4 и 6 из высокодемпфи-рующего материала МПВТ-А, а также в слоях с арамидными волокнами с ориентацией волокон ±45°. Значения коэффициента рассеяния энергии в слоях с продольной ориентацией стеклянных волокон 0° значительно меньше.

1- Y1

1-

_

2' 1^ -1 л

2ч

-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 \

Рис. 5. Распределение локального коэффициента демпфирования 8(х,по толщине композитной пластины в различных зонах для частоты 15 Гц: 1 — х = 0,25, 2 — х = 0,5

Рис. 6. Зависимость интегрального коэффициента рассеяния энергии от частоты колебаний композитной пластины для различных углов ориентации арамидных волокон в ГСВК: 1 — ф3 = 0°; 2 — ф3 = 15°; 3 — ф3 = 30°; 4 — ф3 = 45°; 5 — ф3 = 60°; 6 — ф3 = 75°; 7 — ф3 = 90°

Re(D*ll)max

9,5 9,0 8,5

0 0,05 0,10 0,15 б,,,,,*

Рис. 7. Соотношение между действительной частью комплексной изгибной жесткости пластины К.е(Оп)тах и интегральным коэффициентом рассеяния энергии 8тах для различных углов

ориентации арамидных волокон в ГСВК: 1 — ф3 = 0°; 2 — фз = 15°; 3 — фз = 30°; 4 — ф3 = 45°; 5 — ф3 = 60°; 6 — ф3 = 75°; 7 — ф3 = 90°

Зависимость интегрального коэффициента рассеяния энергии 8(ю) (6) от частоты колебаний ю при различных значениях углов ориентации армирования ф3(ф5 = _ф3) арамидных волокон показана на рис. 6. Для угла ф3 = ф5 = 0° функция 8(ю) является монотонной и максимум функции достигается при максимальном значении частоты, при остальных значениях угла ф3 функция 8(ю) имеет характерный максимум 8тах на некоторой частоте Ютах, причем с увеличением угла ф3 частота ютах снижается. Следует отметить, что при изменении угла ф3 от 0 до 90° максимум функции 8(ю) изменяется не монотонно: сначала он возрастает до значения ф3 = 35°, а потом начинает убывать при изменении ф3 от 35 до 90°. Таким образом максимальное рассеяние энергии в пластине из ГСВК реализуется при угле армирования арамидных волокон ф 3 = 35°.

Для проектирования композитных пластин, обладающих одновременно высокими жест-костными и демпфирующими свойствами, введем специальную параметрическую характеристику: зависимость действительной части комплексной изгибной жесткости пластины Ке(Сп)тах, определяемой по (29), от максимального значения интегрального коэффициента рассеяния энергии 8тах композитной пластины. Такая параметрическая характеристика для различных ГСВК с разными углами армирования ф3 арамидных волокон, полученная расчетным путем по разработанной методике, представлена на рис. 7. Зависимость Ке(Б1*1)тах от 8тах для ГСВК не является монотонной: значения угла ф3 = 35° обеспечивают максимальные значения коэффициента рассеяния энергии при достаточно высоких значениях изгибной жесткости. Этот эффект может быть использован при проектировании оптимальных структур ГСВК.

Выводы

1. Разработан метод расчета рассеяния энергии в конструкциях из гибридных композиционных материалов, состоящих из двух типов армирующих волокон, полимерной матрицы и высокодемпфирующих промежуточных слоев между силовыми слоями. Метод основан на использовании модели вязкоупругих матриц и армирующих волокон, а также асимптотической теории тонких пластин для расчета напряжений в гибридной пластине. Важным преимуществом этой теории является возможность применения аналитических формул для

расчета всех шести компонент напряжений в слоях многослойных пластин.

2. Выполнено численное моделирование напряжений при изгибных колебаниях вязко-упругой пластине из композитного гибридного слоисто-волокнистого материала, на основе стеклянных и арамидных волокон, а также содержащего специальные слои высокодемпфи-рующего полимера МПВТ-А. Численные расчеты по разработанной теории показали, что максимальные значения коэффициента рассеяния энергии реализуются в слоях композитной пластины из высокодемпфирующего материала МПВТ-А и в слоях с арамидными волокнами,

Литература

обладающими вязкоупругими свойствами. Значения коэффициента рассеяния энергии в слоях с продольной ориентацией стеклянных волокон значительно меньше.

3. С помощью численного моделирования обнаружен эффект, состоящий в том, что при изменении угла ориентации арамидных волокон от 0 до 90о максимум коэффициента рассеяния энергии в гибридной композитной пластине при изгибных колебаниях реализуется при определенном значении угла 35° , этот эффект может быть использован при проектировании оптимальных структур гибридных композитных пластин.

[1] Zinoviev P.A., Ermakov Y.N. Energy Dissipation in Composite Materials. Lancaster (USA),

Technomic Publishing Co., 1994. 246 p.

[2] Смердов А.А. Рассеяние энергии при колебаниях композитных оболочек. Инженерный

журнал: наука и инновации, 2013, № 7. URL:

http:// engjournal.ru/catalog/machin/rocket/858.html (дата обращения 28 августа 2014).

[3] Зиновьев П.А., Смердов А.А., Кулиш Г.Г. Экспериментальное исследование упруго

диссипативных характеристик углепластиков. Механика композитных материалов, 2003, т. 39, № 5, с. 595-602.

[4] Ульяненко С.Н., Магомедов Г.М., Лебедев Л.Б., Машиноская Г.П., Зеленев Ю.В. Роль

межфазного слоя в формировании вязкоупругих свойств высокопрочного органопластика. Механика композитных материалов, 1987, № 3, с. 414—419.

[5] Ушаков А.Е., Кленин Ю.Г., Сорина Т.Г., Хайретдинов А.Х., Сафонов А.А. Мостовые

конструкции из композитов. Композиты и наноструктуры, 2009, № 3, с. 25-37.

[6] Димитриенко Ю.И., Яковлев Н.О., Ерасов В.С., Федонюк Н.Н., Сборщиков С.В., Губа-

рева Е.А., Крылов В.Д., Григорьев М.М., Прозоровский А.А. Разработка многослойного полимерного композиционного материала с дискретным конструктивно-ортотропным заполнителем. Композиты и наноструктуры, 2014, т. 6, № 1, с. 32-48.

[7] Димитриенко Ю.И., Федонюк Н.Н., Губарева Е.А., Сборщиков С.В., Прозоровский А.А.

Многомасштабное конечно-элементное моделирование трехслойных сотовых композитных конструкций. Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014, № 7. URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/717805.html, doi: 10.7463/0714.0717805 (дата обращения 28 августа 2014).

[8] Соломатов В.И., Черкасов В.Д., Фомин Н.Е. Вибропоглощающие композиционные ма-

териалы. Саранск, Изд-во Мордовского ун-та, 2001. 95 с.

[9] Черкасов В.Д., Юркин Ю.В., Авдонин В.В. Прогнозирование демпфирующих свойств

композита с учетом температурной зависимости свойств полимера. Вестник ТГАСУ, 2012, № 4, с. 216-225.

[10] Matzenmiller A., Gerlach S. Micromechanical modeling of viscoelastic composites with compliant fiber-matrix bonding. Computational Materials Science, 2004, vol. 29, issue 3, pp. 283-300.

[11] Haasemann G., Ulbricht V. Numerical evaluation of the viscoelastic and viscoplastic behavior of composites. Technische Mechanik, 2010, vol. 30, no. 1-3, pp. 122-135.

[12] Masoumi S., Salehi M., Akhlaghi M. Nonlinear Viscoelastic Analysis of Laminated Composite Plates - A Multi Scale Approach. International Journal of Recent advances in Mechanical Engineering (IJMECH), 2013, vol. 2, no. 2, pp. 11-18.

[13] Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных тонких пластин. Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3, с. 86-100.

[14] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости. Инженерный

журнал: наука и инновации, 2013, № 7. URL:

http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html (дата обращения 15 августа 2014).

[15] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория конст-руктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, с. 36-57.

[16] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин. Механика композиционных материалов и конструкций, 2014, т. 20, № 2, с. 260-282.

[17] Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин. Известия РАН. Механика твердого тела, 2006, № 6, с. 71-79.

[18] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 4: Основы механики твердых тел. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. 580 с.

[19] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 1: Тензорный анализ. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 463 с.

[20] Димитриенко Ю.И., Сборщиков С.В., Соколов А.П., Шпакова Ю.В. Численное моделирование процессов разрушения тканевых композитов. Вычислительная механика сплошных сред, 2013, т. 6, № 4, с. 389-402, doi: 10.7242/1999-6691/2013.6.4.43.

[21] Пазников Е.А., Белоусов А.М., Петреков П.В., Насонов А.Д., Калинин М.А. Исследование вязкоупругих свойств структурированного тетразолсодержащего полимера акустическим методом. Ползуновский вестник, 2008, № 1-2, с. 63-65.

[22] Хоанг Тхе Ву, Осипчик В.С., Смотрова С.А., Горбунова И.Ю. Влияние добавок эластомера на свойства эпоксидных композиций. Пластические массы, 2008, № 4, с. 32-34.

References

[1] Zinoviev P.A., Ermakov Y.N. Energy Dissipation in Composite Materials, Lancaster (USA),

Technomic Publishing Co., 1994. 246 p.

[2] Smerdov A.A. Rasseianie energii pri kolebaniiakh kompozitnykh obolochek [Energy dissipa-

tion in vibration of composite shells]. Inzhenernyi zhurnal: nauka i innovatsii [Engineering Journal: Science and Innovation]. 2013, no. 7. Available at:

http:// engjournal.ru/catalog/machin/rocket/858.html (accessed 28 August 2014).

[3] Zinov'ev P.A., Smerdov A.A., Kulish G.G. Experimental Investigation of Elastodissipative

Characteristics of Carbon-Fiber-Reinforced Plastics. Mechanics of Composite Materials, 2003, vol. 39, no. 5, pp. 393-398.

[4] Ul'ianenko S.N., Magomedov G.M., Lebedev L.B., Mashinoskaia G.P., Zelenev Iu.V. Rol'

mezhfaznogo sloia v formirovanii viazkouprugikh svoistv vysokoprochnogo organoplastika [Role in the formation of the interfacial layer of visco-elastic properties of high organoplasty]. Mekhanika kompozitnykh materialov [Mechanics of Composite Materials]. 1987, no. 3, pp. 414-419.

[5] Ushakov A.E., Klenin Iu.G., Sorina T.G., Khairetdinov A.Kh., Safonov A.A. Mostovye kon-

struktsii iz kompozitov [Bridge structures made of composite materials] Kompozity i nano-struktury [Composites and Nanostructures]. 2009, no. 3, pp. 25-37.

[6] Dimitrienko Iu.I., Iakovlev N.O., Erasov V.S., Fedoniuk N.N., Sborshchikov S.V., Gubare-

va E.A., Krylov V.D., Grigor'ev M.M., Prozorovskii A.A. Razrabotka mnogosloinogo po-limernogo kompozitsionnogo materiala s diskretnym konstruktivno-ortotropnym zapol-nitelem [Development of a multilayer polymer composite material with discrete structural-orthotropic fillers]. Kompozity i nanostruktury [Composites and Nanostructures]. 2014, vol. 6, no. 1, pp. 32-48.

[7] Dimitrienko Iu.I., Fedoniuk N.N., Gubareva E.A., Sborshchikov S.V., Prozorovskii A.A.

Mnogomasshtabnoe konechno-elementnoe modelirovanie trekhsloinykh sotovykh kompozitnykh konstruktsii [Multiscale Finite-Element Modeling of Sandwich Honeycomb Composite Structures]. Nauka i obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education. Bauman MSTU]. 2014, no. 7. Available at: http://technomag.bmstu.ru/doc/717805.html (accessed 28 August 2014). Doi: 10.7463/0714.0717805.

[8] Solomatov V.I., Cherkasov V.D., Fomin N.E. Vibropogloshchaiushchie kompozitsionnye ma-

terialy [Vibration composite materials]. Saransk, Ogarev Mordovia State University publ., 2001. 95 p.

[9] Cherkasov V.D., Iurkin Iu.V., Avdonin V.V. Prognozirovanie dempfiruiushchikh svoistv

kompozita s uchetom temperaturnoi zavisimosti svoistv polimera [Forecasting of Damping Properties of Composite According to the Temperature Dependences of Polymer Properties]. Vestnik TGASU [Vestnik of TSUAB]. 2012, no. 4, pp. 216-225.

[10] Matzenmiller A., Gerlach S. Micromechanical modeling of viscoelastic composites with compliant fiber-matrix bonding. Computational Materials Science, 2004, vol. 29, issue 3, pp. 283-300.

[11] Haasemann G, Ulbricht V. Numerical evaluation of the viscoelastic and viscoplastic behavior of composites. Technische Mechanik, 2010, vol. 30, no. 1-3, pp. 122-135.

[12] Masoumi S, Salehi M., Akhlaghi M. Nonlinear Viscoelastic Analysis of Laminated Composite Plates - A Multi Scale Approach. International Journal of Recent advances in Mechanical Engineering (IJMECH), 2013, vol. 2, no. 2, pp. 11-18.

[13] Dimitrienko Iu.I. Asimptoticheskaia teoriia mnogosloinykh tonkikh plastin [Asymptotic theory of multilayer thin plates]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural Sciences]. 2012, no. 3, pp. 86-100.

[14] Dimitrienko Iu.I., Iakovlev D.O. Sravnitel'nyi analiz reshenii asimptoticheskoi teorii mnogosloinykh tonkikh plastin i trekhmernoi teorii uprugosti [Comparison analysis of asymptotic theory of multilayer composite plates and three-dimentional theory of elastisity]. In-zhenernyi zhurnal: nauka i innovatsii [Engineering Journal: Science and Innovations]. 2013, no. 7. Available at: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html (accessed 15 August 2014).

[15] Dimitrienko Iu.I., Gubareva E.A., Sborshchikov S.V. Asimptoticheskaia teoriia kon-struktivno-ortotropnykh plastin s dvukhperiodicheskoi strukturoi [Asymptotic theory of constructive-orthotropic plates with two-periodic structures]. Matematicheskoe modeliro-vanie i chislennye metody [Mathematical modeling and computational methods]. 2014, no. 1, pp. 36-57.

[16] Dimitrienko Iu.I., Iakovlev D.O. Asimptoticheskaia teoriia termouprugosti mnogosloinykh kompozitnykh plastin [Asymptotic theory of Thermoelasticity of Multilayer Composite Plates]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsii [Journal on Composite Mechanics and Design]. 2014, vol. 20, no. 2, pp. 260-282.

[17] Sheshenin S.V. Asimptoticheskii analiz periodicheskikh v plane plastin [Asymptotic analysis of plates with periodic cross-sections]. Izvestiia Rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tver-dogo tela [A Journal of Russian Academy of Sciences. Mechanics of Solids]. 2006, no. 6, pp. 57-63.

[18] Dimitrienko Iu.I. Mekhanika sploshnoi sredy. Osnovy mekhaniki tverdykh sred [Continuum Mechanics. Fundamentals of mechanics of solid media]. Moscow, Bauman Press, vol. 4, 2013. 580 p.

[19] Dimitrienko Iu.I. Mekhanika sploshnoi sredy. Tenzornyi analiz [Continuum Mechanics. Tensor analysis]. Moscow, Bauman Press, vol. 1, 2011. 463 p.

[20] Dimitrienko Iu.I., Sborshchikov S.V., Sokolov A.P., Shpakova Iu.V. Chislennoe modeliro-vanie protsessov razrusheniia tkanevykh kompozitov [Computational modeling of failure of textile composites]. Vychislitel'naia mekhanika sploshnykh sred [Computational continuum mechanics]. 2013, vol. 6, no. 4, pp. 389-402. Doi: 10.7242/1999-6691/2013.6.4.43.

[21] Paznikov E.A., Belousov A.M., Petrekov P.V., Nasonov A.D., Kalinin M.A. Issledovanie viazkouprugikh svoistv struktuturirovannogo tetrazolsoderzhashchego polimera akustich-eskim metodom [Investigation of the viscoelastic properties of the polymer structured te-trazole acoustic method]. Polzunovskii vestnik [Polzunov Herald]. 2008, no. 1-2, pp. 63-65.

[22] Khoang Tkhe Vu, Osipchik V.S., Smotrova S.A., Gorbunova I.Iu. Vliianie dobavok elasto-mera na svoistva epoksidnykh kompozitsii [Influence of additives on the properties of epoxy elastomer composition]. Plasticheskie massy [International Polymer Science and Technology]. 2008, no. 4, pp. 32-34.

Статья поступила в редакцию 08.09.2014

Информация об авторах

ДИМИТРИЕНКО Юрий Иванович (Москва) — доктор физико-математических наук, директор Научно-образовательного центра «Суперкомпьютерное инженерное моделирование и разработка программных комплексов», зав. кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: [email protected]).

ГУБАРЕВА Елена Александровна (Москва) — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: [email protected]).

ФЕДОНЮК Николай Николаевич (Санкт-Петербург) — кандидат технических наук, начальник лаборатории. ФГУП «Крыловский государственный научный центр» (196158, Санкт-Петербург, Российская Федерация, Московское шоссе, 44).

ЯКОВЛЕВ Дмитрий Олегович (Москва) — аспирант кафедры «Вычислительная математика и математическая физика». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: [email protected]).

Information about the authors

DIMITRIENKO Yuriy Ivanovich (Moscow) — Dr. Sc. (Phys. Math.), Director of Research and Education Center «Supercomputer Engineering Modeling and Software Development», Head of «Computational Mathematics and Mathematical Physics» Department. Bauman Moscow State Technical University (BMSTU, building 1, 2-nd Baumanskaya str., 5, 105005, Moscow, Russian Federation, e-mail: [email protected]).

GUBAREVA Elena Aleksandrovna (Moscow) — Cand. Sc. (Phys. Math.), Associate Professor of «Computational Mathematics and Mathematical Physics» Department. Bauman Moscow State Technical University (BMSTU, building 1, 2-nd Baumanskaya str., 5, 105005, Moscow, Russian Federation, email: [email protected]).

FEDONYUK Nikolay Nikolaevich (St. Petersburg) — Cand. Sc. (Eng.), Head of Laboratory. Krylov State Research Centre (Moskovskoe shosse, 44, 196158, St. Petersburg, Russian Federation).

YAKOVLEV Dmitriy Olegovich (Moscow) — Post-Graduate of «Computational Mathematics and Mathematical Physics» Department. Bauman Moscow State Technical University (BMSTU, building 1, 2-nd Baumanskaya str., 5, 105005, Moscow, Russian Federation, e-mail: [email protected]).

В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышел в свет учебник И.Ф. Кобылкина, В.В. Селиванова

«Материалы и структуры легкой бронезащиты»

Рассмотрен комплекс вопросов, связанных с баллистической стойкостью материалов и защитных структур, предназначенных для индивидуальной и локальной бронезащиты от воздействия высокоскоростных пуль и осколков. Приведены физические и математические модели процессов высокоскоростного взаимодействия пуль и осколков с различными типами бронепреград. Изложены современные представления о механизмах заброневого действия баллистического удара пуль.

По вопросам приобретения обращайтесь:

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. Теп.: +7 499 263-60-45, факс: +7 499 261-45-97; [email protected]; www.baumanpress.ru