CC BY
31
УДК 669-41:669.14.218.296:621.763
С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, В. Е. Ольшанецкий, А. С. Лавренко
ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ТЕОРИЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА ПРИ РАСЧЕТЕ КОНСТРУКЦИЙ
Проведено сравнение степени согласия между различными методами проведения расчетов в оценке величины упругого прогиба композитной пластины (матрица 12Х18Н10Т — волокна из проволоки марки ВР27-ЗВП).
В работе [1] для количественной оценки напряженно-деформированных состояний жаропрочного композита авторы использовали соотношения, полученные на основе правила смесей. Поскольку в практике подобных расчетов применяются и другие варианты соотношений, дающие удовлетворительное согласие оценочных и экспериментальных результатов, представляет значительный интерес выяснить адекватность использованного в работе [1] подхода реальным ситуациям путем сравнения оценок результатов, полученных методом конечных элементов для одних и тех же базовых данных.
Для определения упругих характеристик композиционного материала по упругим характеристикам его составляющих существует два альтернативных подхода.
Согласно первому подходу экспериментально исследуется определенный структурный элемент композита, содержащий достаточно большое количество армирующих частиц, чтобы результаты, полученные для него, можно было обобщить на любой объем композиционного материала. Применение такого подхода позволяет учесть изменение упругих свойств матрицы и армирующих волокон в процессе изготовления композита. С другой стороны, для получения композита с требуемыми свойствами приходится проводить большое количество экспериментов, варьируя различными параметрами, такими как объемное содержание арматуры, характер расположения армирующих элементов, применение различных материалов для матрицы и армирующих волокон.
Альтернативный структурный подход предполагает определение упругих характеристик композита через упругие характеристики матрицы и армирующих волокон, их объемные доли в композите, размеры и взаимное расположение армирующих элементов. Существенным недостатком такого подхода является то, что упругие характеристики структурных составляющих могут значительно различаться в исходном состоянии и в композите.
В целом композит можно представить как материал с анизотропными свойствами. Связь
между напряжениями и деформациями для анизотропного материала описывается обобщенным законом Гука
аЧ _ СУЫ Е к1, (1)
где аЧ — компоненты тензора напряжений, ен —
компоненты тензора деформаций, С^к1 — компоненты тензора упругих постоянных.
Таким образом, для описания упругих свойств композиционного материала необходимо знать 81
компоненту тензора с4. Однако учитывая, что коэффициенты тензора упругих постоянных обладают симметрией относительно индексов I,}, к, I
С^к! _ с^Ч с^к! _ с^1к с^к _ сУк с^к! _ ск (2)
Волокнистый композиционный материал представляет собой однонаправленный армированный слой (рис. 1), его можно рассматривать как ортотропную среду, которая определяется 9 независимыми упругими постоянными. Для ор-тотропного материала закон Гука запишется в следующем виде:
Е11 _ а11а11 + а12а22 + а13а33, Е22 _ а12а11 + а22а22 + а23а33 > Е33 _ а13а11 + а23а22 + а33а33 > Е23 _ а44а23, Е13 _ а55а13, Е12 _ а66а12, (3) где ау — компоненты тензора податливости.
Если перейти от компонентов тензора податливости к техническим постоянным, то уравнения (3) запишутся в виде
1
V 21 У31
Е11 а11 ~ а22
Е1 Е2 Е3
_ V12 1 V 23
е22 _ ^~а11 + ТГа22 — а33, Е1 Е2 Е3
Е33 _'
V13 а V 23 а
■ —а11--~ а22 '
Е1 Е2
2
1
Е
33
3
111
е23 —а23, Е13 а13, е12 а12,
^23 ^13 °12
Е2
V
12
V
31
V
13 V32
Е2
Е1 Е3
Е1 Е3
© С. И. Гоменюк, С. Н. Гребенюк, В. Е. Ольшанецкий, А. С. Лавренко, 2009 ШЯЫ1727-0219 Вестник двигателестроения № 2/2009
Х2
О ь 0 ^U—t
Х1
tc
Рис. 1. Элементарный однонаправленный армированный слой
Наиболее распространенные методики определения упругих постоянных для композиционного материала следующие. Рассмотрим сначала упругие постоянные, полученные для плоской задачи теории упругости. В работе Лапина A.A. [3] предложены следующие соотношения:
El = Ec^C + ER (1 -Ус),
v12 = ^УС +vR (l -УС )>
E2 = eE1 /
/
(( + e(l -Ус ))(с +(l -Ус ))-
-Ус (1 -^C )(ev R-v с )2 g
G12 =
Ус + g(1 -Ус)
Gr
(6)
где Е1 , Е2, Е3 — модули упругости в направлении осей х^, х^, Х3; С23, С13, 012 — модули сдвига в плоскостях х 1X3, Х2Х3, х
((, у = 1,2,3; г ф у) — коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие при растяжении в направлении осей координат (определяют сокращение в направлении оси ^ (второй индекс) при растяжении вдоль оси х1 (второй индекс). Учитывая направление армирования (рис. 1) Е1 называют продольным модулем упругости, а Е2 , Е3 — поперечными модулями упругости, аналогично модули С13, С12 — модулями продольного сдвига, С23 — модулем поперечного сдвига.
Если предположить, что частота армирования волокнами достаточно велика, то армированный слой можно считать трансверсальноизотропным с плоскостью изотропии Х2ОХ3. Тогда соотношения (4) можно переписать в виде
21
J22
1 V
£11 = —G11
E1 E2
= V12 1 ( )
£22 = ~G11 + ~lG22 -v23G33 j, E1 E2
V12 1 / \
£33 =- -T2 G11 +T-("V 23G22 + g33 ), E1 E2 = 1 = 1 = 1 £23 =——G23, £13 =——G13,£12 =——g12, g23 g13 G12
E'
v 21 =v12~, G13 = G12,v 23 = E,
E
2
2G
-1.
(5)
23
Таким образом, для определения упругих характеристик армированного слоя необходимо найти 5 независимых величин Е1, Е2, 012, 023, v12.
Ec
Gc
где e =-, g =-, Ec — модуль упругости ма-
E
G
териала корда; ЕК — модуль упругости материала матрицы; Ос — модуль сдвига материала волокна, Ск — модуль сдвига материала матрицы, vс — коэффициент Пуассона материала корда; VК — коэффициент Пуассона материала матрицы; Ус — коэффициент армирования, характеризующий относительное объемное содержание волокон. Для волокон круглого сечения и параметров слоя, изображенного на рис. 1, коэффициент армирования определяется формулой [4]
УС =п£ с,
c 4ho С'
где dc — диаметр волокон; h0
(7)
толщина арми-
рованного слоя; 1с — частота армирования.
В работе [5] предложены следующие соотношения для определения упругих постоянных композиционного материала
Е1 = Ес Ус + Ек (1 -Ус), Ус +VК(1 -Ус),
Е =1+2УсЕ
Е2 = ~—— Ек,
G12 =
1 -Ус 1 -Ус + g (Ус +1) Ус +1 + g(1 -Ус)
(8)
Для решения трехмерных задач механики композитов предложены следующие соотношения для определения упругих постоянных. В работе [4] для простейшей модели композиционного материала
— системы жестко связанных чередующихся изотропных стержней, обладающих характеристиками волокна, и матрицы — представлены следующие соотношения, полученные на основе уравнения аддитивности или правила смесей:
Е - Ее Ус + Ек (1 -Ус), ЕсЕд
Е, =
&12 -
[[ Ус + (1 -Ус)]'
_Сс&к_
[ (1 -Ус)+ Од Ус ]'
с X д +Ус + (1 -Ус )Ок/Ос 23 (1 -Ус +(1 + Ус X д )Ск/Ос д -УсУс д(1 -Ус )
(9)
где X д - 3 - 4у д.
В работе Аболиньша Д.С. [6] предложена несколько другая группа формул:
Е1 - Ес Ус + Ед (1 -Ус ) Е, - еЕ1 / (Ус + е(1 -Ус ))((1 -Ус)+ еУс )--Ус(1 -Ус)(д -vс)2 0 - 1 -Ус + я(Ус +1) 0 12 Ус +1 + я(1 -Ус) д'
бЧз - -
я
'23~ Ус + я(1 -Ус Гд' У12 -УсУс д(1 -Ус).
(10)
Формулы Ванина Г.А. [7], в свою очередь, также отличаются в наборе от предложенных вариантов и имеют следующий вид:
Е - Ес Ус + Ед (1 -Ус )
ЯУс (X д +1)( д ~Ус)
^12 д -
(1 -Ус )(с-1)+Я (2-Ус +Ус X д )'
Е2+X д +1
Е1
8вд
Xс-1 + 2Я
(1 -Ус )(с -1)+я (2 -Ус + Ус X д) 2(я -1)Ус
-
1 -Ус + Я (Ус+X д ). 1 -Ус + я(Ус +1) в Ус+1+-Ус) д'
г - 1 -Ус + я (Ус ^ д) г °23°д'
где Xс - 3 - 4ус .
Все эти зависимости можно использовать для расчета композиционных материалов. Более предпочтительными с точки зрения адекватности модели являются соотношения, полученные для трехмерной теории упругости, т.е. соотношения (9)-(11).
Методика расчета композиционных конструкций реализована в рамках вычислительного комплекса «М1РЕЛА+» [8] на основе метода конечных элементов. Определено напряженно-деформированное состояние однослойной композиционной консольной пластины при действии распределенной нагрузки (рис. 2).
%
' 1 Я г 1 г 1 ' 1 г 1
Рис. 2. Консольная пластина
Размеры плиты: ширина — а = 0,1 м, длина — Ь = 0,22 м, толщина — ? = 0,01 м. Материал матрицы — 12Х18Н10Т, материал армирующих волокон — ВР27-3ВП. Диаметр волокон
dу - 3х10-4 м, объемное содержание волокон — 21 %. Коэффициент Пуассона для волокон принят Ду - 0,3; для материала матрицы — |д,т - 0,35. Модуль упругости для волокон принят Еу - 3,88 • 105 МПа. Модуль упругости матрицы —
Ет - 2,05 105 МПа. Нагрузка д = 100 МПа. Результаты расчетов для сетки разбиения на конечные элементы 5х8х8 приведены в таблице 1.
На рис. 3-5 приведено распределение функции прогибов по конструкции при угле армирования 0 полученное с использованием правила
Таблица 1
рукции
Максимальный прогиб конст-
(11)
Угол армирования Ф Максимальный прогиб, 10-3 м
Правило смесей Теория Д.С. Аболиньша Теория Г.А. Ванина
0° 1,82 1,78 1,76
30° 1,81 1,77 1,76
45° 1,80 1,75 1,75
60° 1,77 1,73 1,73
90° 1,72 1,70 1,70
Ь
1727-0219 Вестник двигателестроения № 2/2009
- 141 -
смесей, теории Д.С. Аболиньша и теории Г.А. Ванина (соответственно). Визуализация выполнялась с использованием постпроцессора системы «М1РЕЛА+» при включенном режиме усиления деформаций.
На рис. 6 приведено распределение напряжений о , рассчитанное согласно теории Д.С. Або-
/Л о
линьша при угле армирования 0 .
Из приведенных данных можно заметить, что различие результатов расчета по разным теориям достигает 5 %, при расчете более сложных конструкций это различие, скорее всего, будет увеличиваться. Кроме того, в приведенной задаче различие упругих характеристик материалов матрицы и армирующих волокон незначительно, в противном случае разброс результатов расчета мог бы быть более значительным.
+0.000Е+00 -2.602Е-04 -5.205Е-04 —7. S07E-04 -1.041Е-03 -1.301Е-03 -1.561Е-03 -1.322Е-03
1+0-000Е+00 -2 -S45E-04 -5.08ЭЕ-04
I—7-634Е-04 -1-01SE-03 -1.S7SE-03 -1-S27E-03 -1.7S1E-03
Рис. 3.
Рис. 4.
Y
Uz
+ 2.9333+03 + 2.2073+03 +1.41ÎI+03 + i.2533+07 -1.5333+07 -Э.3521+07 -1.7473+03 -2.3333+03
Рис. 5.
Рис. 6.
Перечень ссылок
1. Оценка направленно-деформированных состояний в жаропрочном композиционном материале матрица (12Х18Н10Т — волокна (ВР27-ЗВП) для разных схем линейного армирования / [С. Б. Беликов, А. С. Лавренко, В. Е. Ольшанецкий и др.] // Вюник двигуно-будування. - 2008. - № 2. - С. 151-159.
2. Блох В. И. Теория упругости / В. И. Блох. - Х. : Изд-во Харьковского ун-та, 1964. - 483 с.
3. Лапин А. А. Плоская деформация резинокор-довой ткани / А. А. Лапин // Расчеты на прочность в машиностроении: сб. научн. тр. - М. : Машгиз, 1955. - С. 87-99.
4. Композиционные материалы : справочник / [под . общ . ред. Д . М . Карпиноса] . - К. : Наук. думка, 1985. -592 с.
5. Ashton J.E. Primer on composite materials: analysis / J. E. Ashton., J. C. Halpin, P. H. Petit. — Stamford: Technomic, 1969. — 124 p.
6. Аболиньш Д.С. Тензор податливости одно-направлено армированного упругого материала / Д. С. Аболиньш // Механики полимеров. - 1965. - № 4. - С. 52-59.
7. Ван Фо Фы, Г.А. Упругие постоянные и напряженное состояние стеклоленты / Г. А. Ван Фо Фы // Механика полимеров. - 1966. -№ 4. - С. 593-602.
8. Метод конечных элементов в вычислительном комплексе «М1РЕЛА+» / [В. В. Кири-чевский, Б. М. Дохняк, Ю. Г. Козуб и др.]. - К. : Наук. думка, 2005. - 416 с.
Поступила в редакцию 24.06.2009
Проведено поргвняння piern узгодження мгж ргзними методами здшснення розрахункгв в оцтщ величини прогину композитноi пластини (матриця 12Х18Н10Т — волокна i3 дроту марки ВР27-ЗВП).
Comparison of degree of consent is conducted between the different methods of leadthrough of calculations in the estimation of size of the resilient bending of composite plate (matrix of 12Х18Н10Т — fibres from a wire are easily soiled ВР27-ЗВП).
