Численное решение граничных интегральных уравнений плоской теории упругости на криволинейных многоугольниках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Из (17) и (18) получим

lnln£±i infl-^

1+ , ^ д, +

е . ч К. + 1

1 ln(K + 1) ln(K + 1) inlnlogp H

< -V V ■ -, V 7 < -IZTZ^TT- (19)

K + 1 K + 1 ln logp H

Подставляя (19) в (16), заключаем, что

ln(K + 1)! < lnlogp H 1 +

(1 +е) 1п1п \ogpH 1п Я

откуда

/ (1 + £)1п1п1о8р Н\

()С+1)! < ыо8ря ^ ()С+1)! ^ е1»Чя+(1+£)1,11пЧя1 (К+1)! ^ еКЧя,(1пЧя) ),

(К + 1)! < 1о§р Н ■ (1п 1о§р И)1+£, р(к+1) < Н(1п1о§Р. (20)

Выбирая окончательно Но = Но(й,е) = шах{Н1,Н2,Нэ} и подставляя последнее неравенство из (20) в (12), получаем утверждение теоремы. Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.

Поступила в редакцию 20.10.2014

УДК 511

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ

М. Ш. Шихсадилов1

В работе доказывается следующий результат: если при некотором вещественном А>0 для некоторого натурального п > 1 и для всех х € [0,1] имеет место неравенство |](п) | ^ А, то справедлива оценка

III

p(f (x)) dx

< min {1, 4uA-1/n},

где p(t) = 0.5 - {t}.

Ключевые слова: "зубчатая" функция, тригонометрические интегралы.

The following result is proved in the paper: if for some real A> 0 and some natural number n > 1 for all x from [0,1] we have the inequality If(n)(x)| > A, then the following estimate is valid:

III

p(f (x)) dx

< min {1AnA-1/n},

where p(t) = 0.5 — {t}.

Key words: "saw-tooth" function, trigonometric integrals.

Шихсадилов Марий Шихсадилович — асп. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubariklQmech.math.msu.su.

1

1

В настоящей статье продолжены исследования по теории тригонометрических интегралов [1-3]. Здесь мы находим оценки интегралов от "зубчатой" функции р(х) =0, 5 — {х}, где {х} — дробная часть числа х. Типичным примером подобного рода интегралов с вещественной функцией / (х) является интеграл вида

ь

I = I(/) = У р(/(х)) бх.

Предположим сначала, что /(х) имеет монотонную производную на отрезке [а,Ь] и при некоторой постоянной А > 0 на всем отрезке [а, Ь] справедливо неравенство /'(х) ^ А. Тогда по второй теореме о среднем значении интеграла находим \1\ ^ (8А)-1.

Далее, пусть для любого х из отрез ка [а, Ь] выполняется нерав енство / ''(х) ^ В > 0. Тогда, применяя предыдущую оценку /, получим |/| ^ л/2В~1?2.

/(х),

изводные более высокого порядка. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть при некотором А > 0 и некотором натуральном, п > 1 для, ееех х из отрезка [0,1] имеем \/(п)(х)\ ^ А. Тогда, справедлива оценка

\1 \

1

у р(/(х)) бх 0

< ш1п {1;4пА-1/п }.

Отметим, что теорема 1 является обобщением оценок тригонометрических интегралов в работах В основе ее доказательства лежит следующий результат [2, 3].

Лемма 1. Пусть при 0 < х < 1 вещественная функция /(х) имеет производную п-го порядка, (п > 1), причем при некотором А > 0 для вс ех х из отрез ка, [0,1] выполняется неравенство

\/(п)(х)\ > А.

Пусть также Е обозначает множество точек из отрезка [0,1 ], для которы,х \/'(х)\ ^ В. Тогда, для, меры, ц = ц(Е) этого множества справедлива оценка,

Ц

< (2п — 2)(ВА-1 )1/(п-1).

А п.

Лемма 2. Пусть вещественная функция /(х) = ахп,а > 1, задана, на, отрезке [0,1]. Тогда, для, интеграла I справедлива оценка, снизу

\1 \

1

0

6

Доказательство. Имеем А = п!а и для любого х го отрез ка [0,1] находи м / (п)(х) = А. Далее получаем

1

1 = / „(ах") бх =

где

а

\а-1/п [ _,„л

Ь = \сГ1,пI р{у)

п .) • у1-1/п'

0

Оценим снизу величину 11. Представляя 11 в виде знакочередующегося ряда, имеем неравенство

1

1 мп [0,5 — у, п п п

п 7 у1-1/п 2 п +1 ^ 6'

Следовательно, |/| ^ 1а 1/п.

Теорема 2. Пусть n ^ 1, а0, ai, ...,an — вещественные числа, и пусть

f (x) = anxn + ... + ai x + ao, ßr (x) = f (r)(x)/r!, r = 1,...,n,

b

H = H(a) = H(an,...,ai,a0) = min max \ßr(x)\i/r, J = p(f(x)) dx.

a^x^bi^r^n J

a

Тогда для интеграла J справедлива оцемка \J\ ^ min (b — a; 4en2H_i).

Доказательство по своей схеме близко к доказательству теоремы 1 работы [3, с. 20-22]. Имеем ßn(x) = an. Если \an\ ^ Hn, то на всем отрезке [a, b] справедливо неравенство \f (n)(x)\ ^ n!Hn, и по теореме 1 находим \ J\ ^ min {b — a; 4n(n!)-i/nH-i} ^ min {b — a; 4eH-i}.

Предположим, что \an\ < Hn. Тогда рассмотрим ßn-i(x) = nanx + an-i. Если для всех x из [a,b] имеем \ßn-i(x)\ ^ Hn-i, т.е. \f(n-i)(x)\ ^ (n — 1)!Hn-i, то по теореме 1 получаем \J\ ^ min {b — a; 4eH-i}. Если же найдутся точки x из [a, b], для которых \ßn-i(x)\ < Hn-i, то они образуют один интервал, а оставшееся множество образует не более двух промежутков А, на каждом из которых имеет место искомая оценка:

p(f (x)) dx

^ min(A|; 4eH-1).

(1)

Далее подобным образом поступаем с коэффициентами fjn-2(x),...,pl(x). В результате этой процедуры получим не более 2 + 3 + ... + n < n2 отрезков А, таких,что для любого А найдется r с условием \вг(x)| ^ Hr, т.е. имеет место оценка (1). Покажем, что для любой точки y е (a, b) найдется отрезок А (полученный в результате предыдущей процедуры), которому точка y принадлежит. Из определения величины H имеем H ^ max \вг(y)\1^, т-б- найдется s, 1 ^ s ^ n, такое, что

l^r^n

\в3(y)\ ^ Hs. Тем самым точка y будет принадлежать одному из отрезков А, построенных на s-м шаге рассматриваемой выше процедуры.

Таким образом, IJ| ^ У^

де[а,ь]

Теорема 2 доказана.

p(f(x)) dx

^ ^ min (|A|; 4eH-1) ^ min (b - a;4en2H-1). Де[а,Ь]

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

2. Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Матем. заметки. 1976. 20, № 1. 61-68.

3. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.

4. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2006.

Поступила в редакцию 28.11.2014

УДК 519.6

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ

И. О. Арушанян1

Предложен численный метод решения систем граничных интегральных уравнений плоской теории упругости в областях с кусочно-аналитической границей и конечным числом угловых точек, основанный на применении семейства составных квадратурных фор-

1 Арушанян Игорь Олегович — канд. фнз.-мат. наук, доцент каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: i.arushanQgmail.com.