Об одной теореме о среднем в теории чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ О СРЕДНЕМ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

В. Н. Чубариков1

Доказана теорема о среднем для суммы значений "зубчатой" функции от многочлена. Оценка является точной по основному параметру — длине интервала суммирования.

Ключевые слова: "зубчатая" функция, среднее значение.

A mean-value theorem for the sum of a "saw-tooth" function of a polynomial is proved. The estimate is exact relative to the main parameter which is the length of the interval of summation.

Key words: "saw-toothe" function, mean value.

Пусть f(x) = ao + oi\X + ... + anxn — многочлен с вещественными коэффициентами степени п. Рассмотрим сумму вида

S = S(a) = S(ao, ai,..., ап) = ^^ р(ао + а\х + ... + i

Ж5СР

где Р ^ 1, р(х) = \ — {х} и {х} — дробная часть числа х.

Функция 3(ао, а\,..., ап) является периодической по каждой переменной а8,0 ^ в ^ п, с периодом 1, поэтому ее достаточно рассматривать внутри (п + 1)-мерного единичного куба 11,, = П„Оо,Л.1, ■■■,1гп) вида

^ а0 < + 1,..., Нп ^ ап < кп + 1,

где Но, ..., ¡1п — произвольные вещественные числа. Интеграл ■] = <1(Р] щ к) вида

J

У^ р(а0 + Oi\x + ... + апхп)

х<Р

2 к

daodai... dan

называется средним значением суммы Б = Б (а). Он является аналогом известного интеграла И.М. Виноградова в его теореме о среднем значении тригонометрических сумм Г. Вейля [1-6].

Заметим также, что в 1924 г. Френель [7] (см. также [8-10]) нашел критерий справедливости гипотезы Римана через распределение последовательности дробей Фарея. Он получил, в частности, что для любых натуральных чисел т, п справедлива формула

1

/(171 11] 2

р(та)р(па) da = -,

± £ 11о IЬ

о

где (т, п) обозначает наибольший общий делитель чисел тип. Теперь сформулируем утверждение теоремы о среднем.

Теорема. Пусть т ^ 0 — целое число, к ^ пт, и Р ^ 1. Тогда 3 = 3{Р] щ к) ^ ИР2к ^

где 5(т) = - 1 /п)т, Б = Б(т) = (пт)6пт(2п)4п(-п+1^.

Далее отметим, что справедлива следующая оценка снизу. Лемма 1. Для величины 3 = 3(Р]П,к) имеем

0 < П(П+ 1)

j > ср2к--4-1.

где с = 4"2fc(4(n + 1))

—га— 1

1 Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математических и компьютерных

методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubariklQmech.math.msu.su.

Действительно, выберем область Пга(0,..., 0). Рассмотрим внутри нее область 7, определяемую неравенствами

1 Р~п

0 ^ ао < 77—• • •) 0 ^ ап <

4(п + 1):

4(п + 1)'

п(п+1)

Объем этой области равен теав^} = (4(п+1)) п 1Р " а' '. Для любых точек а = (ао, а\,..., ап) и а' = («о, а^,... , а'п) из области 7 имеем неравенство

15(а) - 5(а01 < Р Е(К1 + \а/8\)Р* < (п + 1 = 0,25Р.

Кроме того, 5(0) = 0, ЪР. Следовательно,

№)| ^ 5(0) - |5(а) -5(б)| ^ 0, 25Р.

Таким образом, получаем

.7^1... 1\3(а)\2к<1а>сР2к-гА1^,

где с = 4~2fc(4(п + 1))~п~1.

Так как функция р(х) является нечетной на R \ Z и периодической с периодом 1, то ее достаточно изучать при 0 ^ х ^ 1/2. Для любого М ^ 2 имеем р(х) = sm{%) + Дм(^), где

, . 1 ^ sin27rsa; . ^ , .. , . 8

sm{x) = - У -, Дм (ж) ^ (ТМ{х) = , ==•

^ - s V1 + М2 sin2 7ГЖ

S=1

Представим sm(%) в виде

8м{х) Е

sin 2irsx

¿Л4(ж), b = [In M].

Отсюда получим

t=0 Me-t-1<s^Me-t

b Р

t=0

Р

= Е Е + Е rm(i(x)).

t=0ж=1 х=1

Далее, используя при натуральных а и m и неотрицательных вещественных щ,... ,иа неравенство

/ „ \ m / „ \

ЕЧ <Е

иа

ч«=1

ч«=1

найдем

ъ р

2 к Р

х=1

\S(a)\2k < (Ь + 2)2*-1 f ¿2M№) +

\t=0 ж=1

Таким образом, имеем

2 АЛ

где

Ji

t —

p

Ж=1

2fc

da, R =

п„

p

E Дм№))

Ж=1

2fc

da.

Теперь воспользуемся тождеством Эйлера-Фурье

i

/ е2™ da = í Ш =

0,m/0,meZ.

Получим, что значение Jt ■ (Me (i+1))2fc не превосходит числа решений 1(Р]Ме ь',к) следующей диофантовой системы уравнений:

mi + ... + тк = mk+i + ... + т2к,

тixi + ... + ткхк = тк+гхк+1 + ... + т2кх2к, ^

тix™ + ... + ткхк = mk+ix^+1 + ... + т2кх^к, где

1 ^ Xi,.. .,xk,xk+i, ...,х2к^Р, Me"(i+1) <rrii,.. .,т2к ^ Ме~ь.

Лемма 2. Пусть ni\, Х\,..., т2к, х2к — решение системы уравнений (1). Тогда для, любого целого а набор т\,Х\ + а,..., т2к,х2к + а будет решением (1).

Зафиксируем набор т\,..., тк, тк+■ ■ ■, ш2к, при котором система уравнений (1) имеет максимальное число решений I = 1(Р; к) в неизвестных х\,..., х2к.

Лемма 3. Пусть к,п — натуральные числа, к ^ п, и Р ^ 1. Тогда найдется простое число р, принадлежащее промежутку [Р1/п, 2Р1/п] и такое, что

I(P; k) < 4fc2(n+iyfc-2n-M"+i)/2pn/(pi; к _ п) + (2п)2кРк,

где Рг = Рр'1 + 1.

Доказательство. Положим F(x, т) = тао + та\Х + ... + тапхп. Тогда получим

1

1 = 1{Р-,к) =

о

Е-Е-

^2ni(F(x1,m1)+...+F(xk,mk))

Ж15CP xkiCP

2

daodai... dar. (2)

Далее, наборы х = (х\,..., хк), 1 ^ Х\,..., хк ^ Р, разобьем на два класса А и В. Рассмотрим отображение С = (С\,..., Сп):

= тгх 1 + ... + ттхк,

Gn = mix1 + ... + тпхк.

D(G G )

Тогда матрица Якоби I = Ig{x) = в^'"'^) этого отображения имеет вид

mi,..., nik

,пткхк 1

К классу А отнесем те наборы х, для которых матрица Якоби 1с(х) хотя бы для одного простого р3,1 г. имеет максимальный ранг по модулю р3, равный п. Все остальные наборы х отнесем

к классу В.

Преобразуем (2). В понятных обозначениях находим

J

+ Е

Е

хеА хев

da ^ 2 Ji + 2J2,

где

j i =

Е

х£А

da, J2 =

E

х£В

da.

Все наборы х из класса А разобьем на п совокупностей А3,в = 1 ,...,п, причем х относится к совокупности А3, если матрица Якоби отображения С имеет максимальный ранг по модулю р3. При условии что таких р3 несколько, набор х отнесем в совокупность с наименьшим р3. Далее находим

■h =

п„

Е

хеА

da =

ЕЕ

s=l x£AS

da ^ nJ\3,

где

J Is —

Отсюда, пользуясь неравенством

1

Е

x&As

da.

2к-2п

(uf-2n + ... + U.

2к—2п\ 2к—2п' '

ПОЛУЧИМ

Jls <

п

п„

Е'

х\ ,... ,xri

2m(F(x1;m1)+...+F(x„);m„)

Е<

х<Р

2TTÍF(x,m*)

2к—2п

da,

где штрих в знаке суммы означает, что суммирование ведется по наборам х\,... ,хг, для которых

матрица Якоби I = д^!'"'1^ по модулю ps имеет максимальный ранг п, и набору чисел т = т* в

F(x), для которого интеграл максимален.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № НК-13-0Ю0835.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1980.

2. Hua L.-K. An improvement of Vinogradov's mean-value theorem and several applications // Quart. J. Math. 1949. 20. 48-61.

3. Архипов Г.И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы // Матем. заметки. 1975. 17. 84-90.

4. Архипов Г.И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орлов, гос. ун-та, 2013.

5. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. 40, № 1. 209-220.

6. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N., Karatsuba A.A. Trigonometrie sums in number theory and analysis //De Gruyter expositions in mathematics. Vol. 39. Berlin; N.Y., 2004.

7. Franel J. Les suites de Farey et le problème des nombres premiers // Göttinger Nachr. 1924. 198-201.

8. Landau E. Vorlesungen über Zahlentheorie. Vol. 2. Leipzig, 1927.

9. Романов H.П. Теория чисел и функциональный анализ: сб. трудов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2013.

10. Greaves G.R.H., Hall R.R., Huxley M.N., Wilson J. С. Multiple Franel integrals // Mathematika. 1993. 40. 51-70.

Поступила в редакцию 28.1Í.2014

УДК 512.572

ГРАДУИРОВАННЫЕ ТОЖДЕСТВА КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР КОРАЗМЕРНОСТЕЙ ТОЖДЕСТВ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР

М.В. Зайцев1

Изучаются числовые характеристики тождеств конечномерных Z2-градуированных алгебр. Доказано, что градуированная кодлина такой алгебры является полиномиально ограниченной функцией.

Ключевые слова: тождества, действие симметрической группы, кодлина.

Numerical characteristics of identities of finite-dimensional Z2-algebras are studied in the paper. We prove that the graded colength of any such an algebra is polynomially bounded function.

Key words: identities, symmetric group action, colength.

В работе изучаются числовые характеристики конечномерных алгебр, связанные с их тождествами. Пусть А = Ао ф А\ — Z2-rpaflvnpoBanHaH алгебра над полем F нулевой характеристики,

1 Зайцев Михаил Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zaicevmvQmail.ru.