CC BY
29
References
1. Tamasyan G. Sh. The gradient methods for solving the Cauchy problem. Vestnik St. Petersburg University. Ser. 10, 2009, iss. 4, pp. 224-230 (in Russian).
2. Vasilyev L. V., Demyanov V. F. Nedifferenciruemaja optimizacija [Nondifferentiable optimization]. Moscow, Nauka, 1981. 384 p. (in Russian).
3. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Funkcional'nyj analiz [Functional analysis]. Moscow, Nauka, 1977. 741 p. (in Russian).
4. Demyanov V. F. Usloviya ekstremuma i variacionnoe ischislenie [Extremum conditions and variation calculus]. Moscow, Vysshaya shkola, 2005. 335 p. (in Russian).
5. Vasilyev F. P. Metody optimizacii [Optimization methods]. Moscow, Faktorial Press, 2002. 824 p. (in Russian).
6. Arrowsmith D. K., Place C. M. Ordinary differential equations. A qualitative approach with applications. London, Chapman and Hall, 1982. 243 p.
УДК 512.5
НОВЫЕ СВОЙСТВА ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНОГО МНОГООБРАЗИЯ
ЭКСПОНЕНТЫ ДВА
О. В. Шулежко
Аспирантка кафедры алгебро-геометрических вычислений, Ульяновский государственный университет, [email protected]
В данной работе исследуются числовые характеристики почти нильпотентного многообразия экспоненты два, впервые построенного в статье [1]. Основным результатом данной работы является нахождение точных значений кратностей неприводимых модулей, входящих в разложение полилинейной части многообразия. В качестве следствия получены формулы для коразмерности и кодлины изучаемого многообразия.
Ключевые слова: многообразие, экспонента многообразия, коразмерность, кодлина.
Совокупность алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, называется многообразием. Многообразие будем называть почти нильпотентным, если оно само не является нильпо-тентным, но каждое собственное его подмногообразие нильпотентно. Основой для работы послужила статья [1], в которой впервые был построен пример почти нильпотентного многообразия, рост которого экспоненциален. Более точно было доказано, что асимптотически последовательность коразмерностей этого многообразия ведет себя как 2n, т. е. так называемая, экспонента этого многообразия равна двум. Целью данной работы является вычисление основных числовых характеристик этого многообразия. Заметим, что так как в рассматриваемых алгебрах не предполагается выполнения тождества ассоциативности, то в произведениях следует следить за расстановкой скобок. Договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, например, xyz = (xy)z.
Обозначим через Ф основное поле, которое на протяжении всей работы имеет нулевую характеристику. Все неопределяемые понятия можно найти в книге [2]. Для удобства читателей приведем определения основных понятий, которые используются в данной работе. В свободной алгебре многообразия V со счетным множеством свободных образующих X = {xo,xi,x2,... } рассмотрим множество полилинейных элементов степени n от xl5x2, ...,xn. Они образуют векторное пространство Pn(V), называемое полилинейной компонентой степени n относительно свободной алгебры. Размерность этого пространства обозначим cn(V), n = 1,2,... Хорошо известно, что полилинейную компоненту степени n можно рассматривать как модуль над групповым кольцом Ф£п симметрической группы Sn, задавая действие перестановки на индексах образующих. Известно, что с точностью до изоморфизма неприводимые ФSn модули можно описывать на языке разбиений и диаграмм Юнга. Разбиением числа n называют набор целых положительных чисел А = (А1,..., Ак), при этом А1 > ■ ■ ■ > Ак > 0 и n = k=1 Ai. Разбиение А числа n обозначают следующим образом: А Ь n. Для каждого такого разбиения А строится диаграмма Юнга, состоящая из k строк, причем строка с номером i должна содержать Аг клеток.
Так как характеристика основного поля равна нулю, то по теореме Машке полилинейную часть степени n можно разложить в прямую сумму неприводимых подмодулей. Строение модуля Pn(V) можно представить на «языке характеров». Рассмотрим разложение характера модуля Pn(V) в целочисленную комбинацию неприводимых характеров:
Xn(V) = x(Pn(V)) = £ mA(V)XA, (1)
Ahn
© Шулежко О. В., 2014
О. В. Шулежко. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два
где шл(V) — кратность неприводимого характера хЛ, отвечающего разбиению Л. Асимптотическое поведение размерности сп = сп(V) пространства Рп(V) определяет рост многообразия. Предел Псп^), в случае его существования, называется экспонентой многообразия и обозначается как ехр V. Число слагаемых 1п(V) = ^Л-п тЛ в сумме (1) называют кодлиной многообразия.
Пусть теперь (V) = span{xo...хст(п)|ст £ 8п} — пространство полилинейных левонор-мированных одночленов от х0,...,хп, с х0 в качестве самого левого сомножителя. Симметрическая группа £п действует на перестановкой индексов образующих ... ,хп, и пространство (V)
является Бп-модулем. Рассмотрим разложение его характера в сумму неприводимых
Х^) = £ т? ^)хл, (2)
л| п
где ш2^) — кратность неприводимого характера хЛ в характере х^ (V).
Договоримся использовать черту или волну над образующими для обозначения кососимметриза-ции. Например,
х0Х1у1 у2Х2Х3 = (-1)Р(-1)9х0хр(1)Уд(1)Уд(2)хр(2)хр(3) ,
где £т — симметрическая группа, а (—1)г — четность перестановки г. Поясним процедуру альтернирования элемента по некоторым наборам образующих на следующем примере: результатом альтернирования монома х0х1у1 х2у2у3х3х4 по наборам х1 ,х2,х3, х4 и уьу2, у3 является элемент Х0Х1У1Х2У2 У3Х3 Х4.
Основным объектом в данной статье является алгебра А, построенная в работе [1]. Эта алгебра с одной бинарной билинейной операцией определяется тремя образующими элементами а, Ь, £ и следующими определяющими соотношениями:
1) а2 = Ь2 = аЬ = Ьа = а£ = Ь£ = 0;
2) (¿ад(Яа, Яь))(^ад'(Яа, Яь)) = 0, для любых слов ад, ад' от Яа и Яь;
3) г(ДаЯь)кЯаЯь + г(ДаЯь)кЯьЯа = 0, г(ЯаЯь)к= £(ЯаЯь)кЯ2 = 0 для всех к > 0.
Поясним, что через Яс обозначен оператор правого умножения на элемент с, причем символ отображения мы пишем справа от аргумента й £ А, то есть йЯс = ¿с. Удобство такого обозначения в том, что, например, Я3 — это степень линейного отображения, поэтому запись йЯ3 является корректной и обозначает такое левонормированное произведение йссс, которое нельзя записать как йс3.
Для удобства читателей изложим некоторые результаты, полученные в статье [1]. Базис рассматриваемой алгебры А состоит из элементов:
а, Ь, £ (Да Яь )к, £ (Да Яь )' Да, £ (Яа Яб )' Яь для к > 0. В алгебре А выполняются следующие тождества:
Х1 (Х2Х3) = 0, (3)
х0ххх = 0, (4)
Х0 ХХУ1 . ..у2а+1 УУ = 0. (5)
Из тождества (3) следует, что только левонормированные многочлены относительно свободной алгебры могут иметь ненулевое значение в алгебре А.
Перейдем к изложению результатов, связанных с числовыми характеристиками многообразия г>агА. В статье [1] получено следующее условие на кратности кохарактера:
Х2к+1 (^агА) = 2х(к+1,к), (г>агА) = ах(к,к) + Х(к+1,к-1), где а = 1 или а = 2.
Основным результатом данной работы является доказательство, что на самом деле а = 2, и если W многообразие, определенное тождествами (3), (4) и (5), то W = -иагА. Сформулируем соответствующее утверждение.
Теорема 1. Многообразие W порождается алгеброй А, то есть W = г>агА. Характер хQ(W) имеет следующее строение:
х?к+1(^ = ^(^м^ х?к(W) = 2Х(к,к) + Х^+м-^ к > 1
Доказательство. Как отмечалось выше, согласно результатам работы [1] в сумме (2) для многообразия г>агА ненулевые кратности задаются следующими числами: т2^ к-1)(г>агА) = 1,
ш2;+1 к)(^агА) = 2, 1 < т2 ^(-иагА) < 2. Так как при доказательстве этого факта строение алгебры А не использовалось, а использовались только тождества (3)-(5), то аналогичное утверждение верно и для многообразия W.
Для п = 2к определим следующий элемент: д = х0Х1 Х2 ...Х1Х2 = х0д', в котором содержится к одинаковых пар {х1 ,х2} альтернированных образующих. Заметим, что элемент д' получен из идемпотента, соответствующего следующей таблице Юнга:
Тл =
1 3 п — 1
2 4 п
путем отождествления образующих по каждой строке.
Если к = 2т, то, как показано в работе [1], элемент д по модулю тождеств (3)-5 можно представить в виде линейной комбинации следующих двух элементов:
д1 = х0х1х1 х2х2 ... х1х1 х2х2 + х0х2х2х1 х1 ... х2х2х1 х1, д2 = х0х1х2х2х1 ... х1х2х2х1 + х0х2х1х2х1 ... х2х1х1 х2.
Докажем, что элементы д1 и д2 являются линейно независимыми. Предположим, что д1 и д2 линейно зависимые. Тогда запишем их линейную комбинацию в виде а1д1 + а2д2 = 0, где а2 + а2 = 0. Так как любое соотношение на свободных образующих является тождеством, то проанализируем следствия из тождества
а1 д1 + а2 д2 = 0. (6)
Умножим тождество (6) дважды на х1 справа, получим:
а1 х0х1х1х2х2... х1х1х2х2х1х1 + а1 х0х2х2х1х1...х2х2х1х1х1х1 + +а2 х0х1х2х2х1 ... х1х2х2х1х1 х1 + а2 х0х2х1х2х1 х2 ... х2х1 х1 х2х1 х1 = 0.
Второе и третье слагаемые тождественно равны нулю как следствия тождества (4), а по тождеству (5) четвертое слагаемое также тождественно равно нулю. Поэтому если а1 = 0, то в многообразии W выполнено следующее тождество:
х0х1х1 х2х2 .. .х1х1 х2х2х1 х1 = 0.
Получили противоречие, так как это тождество не выполняется в алгебре А, которая принадлежит многообразию W. Действительно, если подставить х0 = ¿а, х1 = Ь, х2 = а, то получим ненулевой результат, равный (—1)т£(ЯаЯь)ка. Если же а1 = 0, то в этом случае а2 = 0. Тождество (6) примет вид д2 = 0, что также приводит к противоречию, поскольку это тождество не выполнено в алгебре А. Если подставить х0 = х1 = а, х2 = Ь, то получим ненулевой результат, равный 2(-1)т £(ЯаЯь)к.
Таким образом, элементы д1 и д2 являются линейно независимы. Пусть теперь /1 = /¿п(д1), /2 = 1т(д2) — результаты полных линеаризаций рассматриваемых элементов. Так как характеристика поля равна нулю, то хорошо известно, что тождество (6) эквивалентно тождеству а1/1 + а2/2 = 0. Элементы /1 и /2 также являются линейно независимыми. Но в этом случае из леммы 2 статьи [3] будет следовать, что ш2 к) (-иагА) > 2.
Если к = 2т + 1, то д можно записать как линейную комбинацию следующих элементов:
= х0х1 х1х2х2 ... х1 х1х2х2х1х2 — х0х2х2х1 х1 ... х2х2х1 х1х2х1, = х0х1 х2х2х1 ... х1 х2х2х1 х1х2 — Х0Х2Х1Х1Х2 . . . Х2Х1Х1Х2Х2х1.
Аналогично предыдущему случаю рассматриваем тождество
а1 + а2 ^2 = 0. (7)
О. В. Шулежко. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два__
Только в этот раз при получении следствия домножим тождество (7) на справа, а затем и на Ж1 справа. Выпишем полученное тождественное соотношение:
а1 хох1х1 х2х2 .. .х1х1х2х2х1 х2х2х1 — х2х2х1 х1 .. .х2х2х1 х1 х2х1 х2х1 + +а2х0х1х2х2х1 .. .х1х2х2х1 х1 х2х2х1 — а2х0х2х1 х1 х2 .. .х2х1 х1 х2х2х1х2х1 = 0.
С помощью тождества (3) представим второе слагаемое как сумму двух слагаемых
а1х0х1х1х2х2... х1х1х2х2х1х2х2х1 — —а1х0х2х2х1 х1 ... х2х2х1 х1х2х1 х1х2 + а1х0х2х2х1 х1 ... х2х2х1 х1 х2х2х1 х1 + +а2х0х1х2х2х1 .. .х1х2х2х1 х1 х2х2х1 + а2х0х2х1 х1 х2 .. .х2х1 х1 х2х2х1х1х2 = 0.
Первое и второе слагаемые тождественно равны нулю как следствия тождества (5), а третье и четвертое слагаемые при замене х1 на х2 приводят к тождеству
«1 д1 + 2а #2 = 0.
По ранее доказанному элементы д1 и д2 линейно независимы, поэтому а1 = 0 и а2 =0. Следовательно, элементы и к2 линейно независимы. В результате получили, что т^, ^(-шгА) > 2.
Осталось заметить, что А е W, поэтому т^, (шгА) < т^, (W) и мы получаем цепочку неравенств 2 < т^, к) (^агА) < т^, fc)(W) < 2. Окончательно получаем требуемое равенство
т^, (^агА) = т^, fc)(W) = 2, а также совпадение многообразий W = -иагА. Теорема 1 полностью доказана.
Перейдем к изложению полученных результатов о числовых характеристиках многообразия W. Теорема 2. Разложение характера xn(W) в сумму неприводимых имеет вид
Х2к= 2Х(к , к) + 2Х(к+1, к-1) + 2Х(к , к-1 , 1) 5 Х2к+1 = 2Х(к+2, к —1) + 3Х(к+1, к) + 2Х(к + 1, к —1 ,1).
Для кодлины многообразия W верны формулы 12к (W) = 6, 12к+1 (W) = 7, а экспонента многообразия равна двум, ехр W = 2.
Доказательство. Доказательство того факта, что в разложении характера хп(W) присутствуют только такие неприводимые характеры, именно с такими кратностями следует из теории представления симметрических групп [4]. Модуль Pn+1(W) индуцирован из Ф£п-модуля (W). Тогда по теореме 1 и правилу Литтлвуда - Ричардсона получаем, что ненулевые кратности в разложении характера (W) будут только те, которые представлены в формулировке теоремы, причем со следующими ограничениями на кратности:
т(к, к)^) < 2, т(к+1, к-1)< 2, т^, к— ,1)(W) < 2; т(к+2, к-1)^) < 2, т(к+1, к)(W) < 3, т^+1, к— , 1)< 2.
Кроме того, в работе [1] доказано, что ¿¿тРп+1 (W) = (п + (W). В итоге приходим к
равенствам
т(М)^) = 2, т(к+1,к-1) (W) = 2, т(М—М)^) = 2; т(к+2,к-1)^) = 2, т(к+1,к) (W) = 3, т^+^к—М) = 2.
Формулы для кодлины многообразия получаются непосредственным суммированием найденных кратностей.
Используя формулу крюков (см., например, [2, с. 48]), непосредственными вычислениями находим формулы для коразмерностей:
е„ ^)= 2(5п + 8) ( П
(п + 2)(п + 4) V 2 4
(п + 3)
п — 1
2
Перейдем к доказательству, что экспонента многообразия W равна двум. Хорошо известно, что
п
сумма биномиальных коэффициентов равна ^ (П) = 2п. Так как п = 2к или п = 2к +1, то (П) > (П)
8 = 0 ^ ^ для всех других 5, отличных от к, поэтому выполняются неравенства:
(n + 1)
2n <
< 2n
Отсюда для коразмерности выполняются, например, такие неравенства:
огл^2" < <2"
С помощью сведений из математического анализа получаем, что ехр W = 2. Теорема 2 доказана.
Выражаю благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Сергею Петровичу Мищенко за постановку задачи, полезные советы, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.
Библиографический список
1. Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Israel J. of Math. 2014. Vol. 199, iss. 1. P. 241-257.
2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Math. Surv. and Monographs. Vol. 122. Providence, RI : Amer. Math. Soc., 2005. 352 p.
3. Зайцев М. В., Мищенко С. П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Мат. заметки. 2006. Т. 79, вып. 4. С. 553-559. 001: 10.4213/тгш2724.
4. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М. : Мир, 1982. 214 с.
1
New Properties of Almost Nilpotent Variety of Exponent 2
O. V. Shulezhko
Ulyanovsk State University, 42, Leo Tolstoy str., Ulyanovsk, 432970, Russia, [email protected]
In the presented work we consider numerical characteristics of almost nilpotent variety of exponent 2, which was first constructing in article [1]. The main result of this paper is introduce the exact values of the multiplicities of the irreducible modules appearing in the expansion of the multilinear part of the variety. Meanwhile, we obtain as a consequence the formulas of codimension and colength of the variety of exponent 2.
Key words: variety, exponent of variety, codimension, colength. References
1. Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2. Israel J. of Math., 2014, vol. 199, iss. 1, pp. 241-257.
2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Math. Surv. and Monographs, vol. 122, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 2005, 352 p.
3. Zaitsev M. V., Mishchenko S. P. Colength of varieties of linear algebras. Math. Notes, 2006, vol. 79, no. 4, pp. 511-517. DOI: 10.1007/s11006-006-0056-0.
4. James G. D. The representation theory of the symmetric groups. Lecture Notes in Math., vol. 682, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1978.
