Новые свойства почти нильпотентных многообразий с целыми экспонентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

новые свойства почти нильпотеитных многообразии ...

305

ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 4

удк 512.5

doi 10.22405/2226-8383-2017-18-4-305-324

НОВЫЕ СВОЙСТВА ПОЧТИ НИЛЬПОТЕИТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ С ЦЕЛЫМИ ЭКСПОНЕНТАМИ

Исследуются почти нилыготентные многообразия неассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики в классе всех алгебр, удовлетворяющих тождественному соотношению х(уг) = 0. Ранее в данном классе алгебр для любого натурального т ^ 2 была определена алгебра Ат, порождающая почти нильпотентное многообразие ьаг(Ат) экспоненциального роста с экспонентой, равной т. В настоящей работе исследуются числовые характеристики многообразий ьаг(Ат). Для этого в относительно свободных алгебрах многообразий ьаг(Ат) рассматриваются пространства полилинейных элементов, соответствующих левонормированным многочленам с фиксированной образующей на первой позиции.

Для каждого такого пространства как вполне приводимого модуля над групповой алгеброй симметрической группы определены все кратности в разложении соответствующего кохарактера в сумму неприводимых характеров.

На основе определений данных кратностей приводится метод вычисления кратностей, соответствующих полилинейным частям относительно свободных алгебр многообразий уаг(Ат). С помощью приведенного метода вычисления кратностей для каждого п ^ 1 получены кодлины многообразий ьаг(Ат), т ^ 2. Для каждого многообразия ьаг(Ат), т ^ 2, в работе также описано соответствующее множество определяющих тождеств.

Ключевые слова: тождество, линейная алгебра, почти нильпотентное многообразие, экспоненциальный рост.

Библиография: 16 названий.

Almost nilpotent varieties of nonassociative algebras over a field of zero characteristic in the class of all algebras satisfying identical relation x(yz) = 0 are studied. Earlier in this class of algebras for each natural number m > 2 the algebra Am generating the almost nilpotent variety var (Am) of exponential growth with exponent of m was defined. In the paper numerical characteristics of varieties var(Am) are studied.

To this end in the relatively free algebras of the varieties var(Am) the spaces of multilinear elements corresponding to left normed polynomials with fixed variable on the first position are considered.

Each space is considered as completely reducible module of the symmetric group and multiplicities in the decomposition of the corresponding cocharacter into sum of irreducible characters are calculated. The multiplicities corresponding to the multilinear parts of relatively-free algebras of the variety var(Am) are defined by the calculated values. Colengths of the varieties var(Am), m > 2 are obtained using this method. For each m > 2 the set of identical relations that defines the variety var(Am) is obtained.

Keywords: polynomial identity, linear algebra, almost nilpotent variety, exponential growth.

Bibliography: 16 titles.

H. П. Панов (г. Ульяновск) Аннотация

1. Введение

В данной работе продолжается изучение многообразий алгебр над полем нулевой характеристики, а именно почти нильпотентных многообразий с целой экспонентой в классе всех алгебр, удовлетворяющих тождественному соотношению x(yz) = 0. Информацию об алгебрах с тождествами, в том числе используемые далее определения и обозначения, можно найти в монографиях [1], [2], [3]. Результаты, касающиеся некоторых почти нильпотентных многообразий в различных классах алгебр, представлены в обзоре [4].

Хорошо известно, что в классе всех ассоциативных алгебр единственным почти нильпо-тентным многообразием является многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр ([5], Remark 1). В классе алгебр Ли также существует единственное почти нильпотентное многообразие — подмногообразие всех алгебр, удовлетворяющих тождеству метабелевости (xy)(zt) = 0 [6]. Ровно два почти нильпотентных многообразия существуют в классе алгебр Лейбница [7]. Все почти нильпотентные подмногообразия подэкспоненциального (полиномиального или промежуточного) роста определены в многообразиях алгебр с тождеством x(yz) = 0 [8], метабеле-вых коммутативных алгебр [9], метабелевых антикоммутативных алгебр [10]. В каждом многообразии таких подмногообразий также ровно два. Дискретная серия почти нильпотентных многообразий линейного роста, определенных с помощью бесконечных периодических слов в алфавите из двух символов, представлена в работе [11].

Перечисленные почти нильпотентные многообразия имеют подэкспоненциальный рост. И хотя это их свойство кажется естественным, известны примеры почти нильпотентных многообразий экспоненциального роста. Рассмотрим подробнее в классе алгебр с тождеством x(yz) = 0 подмногообразие, обозначим его через var(A2), определенное в работе [5]. Это многообразие экспоненциального роста с экспонентой, равной двум. Для его изучения в соответствующей относительно свободной алгебре авторы рассматривали пространства полилинейных элементов, соответствующих многочленам, все мономы которых являются левонормированными и имеют фиксированную образующую на первой позиции. Данные пространства рассматривались как вполне приводимые модули симметрических групп, и авторы оставили открытым вопрос о точном значении кратностей с диаграммами Юнга из двух строк равной длины. Ответ на него дан в [12], где также представлены основные числовые характеристики многообразия уаг(А2) и множество определяющих его тождеств. В работе [13] по аналогии с уаг(А2) для каждого натурального т ^ 3 определено многообразие var(Am) экспоненты т, имеющее почти нильпотентное подмногообразие. Позже было доказано, что все многообразия var(Am), т ^ 3, сами являются почти нилыютентными [14]. Целью настоящей работы является описание числовых характеристик и определяющих тождеств многообразий var(Am), т = 3, 4,....

Обозначим основное поле через Ф, и пусть в свободной алгебре F(X) счетного ранга Рп — пространство полилинейных неассоциативных многочленов от х\,... ,хп, п ^ 1. Так как Ф

нейных тождеств, и информацию о многообразии V можно получить, изучив в соответствующей относительно свободной алгебре F(X, V) подпространства Pn(V) = Рп/(Рп П Id(V)).

V

коразмерностей {cn(V)}n^1, cn(V) = dimPn(V). Говорят, что её асимптотическое поведение

VV ста равна а, если предел ^°n(V) существует и равен а. Известно, что пространство

Pn(V) можно рассматривать как вполне приводимый Фб^-модуль с кохарактером \п(V), равным сумме неприводимых характеров %д с кратностями m\(V), которые соответствуют диаграммам Юнга А разбиений п, А Ь п, Sn — симметрическая группа. Для каждого п ^ 1с помощью кратностей m\(V), А Ь п, определяются коразмерность сп(V) = Y1 ль« m\(V)d\ и кодлина ln(V) = Y1 ль« mx(V), где ^д — степень неприводимого характера %д.

Так как во всех рассматриваемых далее алгебрах элементы имеют левонормированное

строение, то договоримся записывать их без скобок, например abab = (((ab)a)b). В алгебрах операцию умножения справа на образующую а будем также обозначать соответствующим оператором Ra, например a(RbRc)2 = abcbc. Оператор умножения справа на свободную образующую х обозначим соответствующей заглавной буквой X, например xo(XY)2 = хохуху. При этом будем считать, что Xow(X\,... ,Xk) = Хо, если степень ассоциативного монома w от операторов Х\,... равна нулю. Также договоримся считать всякое произведение вида abíbí+i.. .bk, где г > к, равным а. В произведении пропуск множителя х, находящегося на третьей или последующих позициях, обозначим через X, например Х0Х1Х2Х3 = Х0Х1Х3. Указанный символ над оператором будем использовать только для обозначения пропуска множителя или отсутствия элемента в множестве. Другие символы над операторами или образующими используем для обозначения альтернирования, например

XoX1X2VlV2 = ^ (-1)p(-1)q^oXp(1)Xp(2)Vg(1)Vg(2), p,g&S2

zRai Ra2 — zRai Ra2 zRa2 Rai,

где (—1)p — четность перестановки р. Для краткости к ^ 2 следующих друг за другом различных альтернированных произведений по ¿множителей Xí, г = 1,... ,t, будем обозначать через (X1... Xt)k, например х0(X1.. .Xt)2 = х0(Х 1.. .Xt)(X1.. .Xt).

Обозначим через Sí,j подгрупnv Sn, п ^ 1, элементами которой являются подстановки

_ = Í 1 ... í-1 í ... j j+1 ... n = ^ 1 ... í-1 <j(í) ... <J(Í) j+1 ... n

переставляющие числа с г по j, 1 ^ г ^ j ^ п.

Наконец, приведем следующее предложение из работы [15], с помощью которого докажем все основные результаты.

Предложение 1. Пусть Т — таблица Юнга, соответствующая разбиению X Ь п, и М = М1 ф ■ ■ ■ фMk — ФЗп-модуль, где Mí — изоморфные неприводимые подмодули с характером Х\- Тогда, k равно максимальному числу линейно независимых элементов g £ М т,аких, что а ■ g = g для любого элемента а £ Rt-

2. Определения алгебр и вспомогательные утверждения

Рассматриваемые алгебры Ат, т = 2,3,..., заданы образующими z,a1,..., ат и следующими определяющими соотношениями:

1. aíu = 0, и £ Ат, 1 ^ i ^ т,

2. (zw(Ra1,..., Ram)) (zw'(Rai,..., Ram)) = 0, deg w, deg w' ^ 0,

3. z(Ra1 . . . Ram )k Üí1 . . . üís üís+1 . . .aít + z(Ra1 . . . Ram )k O,í1 . . . üís+1 üís . . . üít =0,

где к ^ 0 1 ^ s < t ^ 1 ^ Í1,...,im ^ т. Из определяющих соотношений 3 следуют равенства z(Ra1... Ram )kw(Ra1,..., Ram) = 0 для к ^ 0 и мономов w, deg w ^ m, степени не меньше двух хотя бы по одному Rai, 1 ^ i ^ т. Элементы

а\,...,ат, z(Rai ... Ram) , z(Rai... Ram) а^ üí2 ...ait, к ^ 0, 1 ^ t < m, 1 ^ i\ < i2 < ••• < it ^ ш

образуют базис Am.

Каждая алгебра Ат удовлетворяет тождествам

х(уг) = 0, (1)

У^ (-1ГХоХа(!) ... Ха(2) ... Ха(т+1) = ° (2)

хоХ3 = 0, (3)

хоХ2гг... г8У2 = 0, (4)

хоХУХ = -хоУХХ - хоХХУ, (5)

хоХ2Х^У2 = -хоХ\Х2и>¥2, (6)

Хо Х2-тУ2У1 = -хоХ2-тУ1У2, (7)

хоХ2Х1-шУ2У1 = -xоX1X2wY2Y1 - хоХ2Х1-шУ1У2 - xоX1X2wY1Y2, (8) где и> = 21... и остаток от деления 8 на т не равен т — 2.

Предложение 2. В алгебре Ат любое полилинейное тождество

/(х1,...,хп)= ^ хгуг(Хъ...,Хг,...,Хп) = 0,п > 2, (9)

эквивалентно системе тождеств

хгуг(Х1,...,Хг,...,Хп) = 0, 1 < г < п, (10)

где VI — ассоциативный многочлен от операторов Х^, ] = г.

Доказательство. Очевидно, что из системы тождеств (10) следует тождество (9). Обратное утверждение докажем от противного. Предположим, что для некоторого ] существует ненулевая подстановка ф элементов алгебры Ат в многочлен х^ тогда по определяющим соотношениям 2 элемент ф(х^) принадлежит идеалу, порожденному образующей г. При этом для всех г = ] в силу определяющих соотношений 2 выполняются равенства ф(хгУг) = 0. Получили противоречие, и предложение доказано.

Договоримся для краткости в круглых скобках вместо Vаг(Ат) писать Ат, например ш\(Ат). Обозначим через т = 2, 3,..., многообразие, уаг(Ат) С N

т, определенное тождествами (1)-(4), и исследуем Ф5п-модули Рга(Кт), Рп(Ат), п = 1, 2,.... Для этого определим пространство полилинейных многочленов от образующих хо,Х1,... ,хп

Ьп = зрап{хоХа(1)... Ха(п) | а е

и вполне приводимые Ф5П-модули Ьп(\) = Ьп/(Ьп П 1й(V)), V = Кт, уаг(Ат), п = 1, 2,.... Пусть разбиение А = (А1,..., \к) Ь п, к, п ^ 1, и Т\ — таблица Юнга с диаграммой А, тогда полилинейный элемент

/тх = еТх (Х0Х1 ...Хп)= ^ (-1)г аг (Х0Х1 ...Хп)

порождает неприводимые подмодули в Ьп(Кт) и Ьп(Ат), Ктх, &тх — стабилизаторы строк и соответственно столбцов таблицы Т\. Соответствующие Ьп(Кт), Ьп(Ат) кохарактеры Хп(Кт) Хп(Ат) являются линейными комбинациями неприводимых характеров хх с крат-

НОСТЯМИ Шд(Кт

Через Ь\, А = (А1,..., Ь п ^ 1, £ = 1,... ,п, обозначим пространство полиоднородных многочленов полистепени (А1,..., А^) по Х1,... ,Хг

Ь\ = зрап{х0у(Х1,..., Х^ | degx. V = = 1,... ,1},

где у(Х1, ..., Х^) — мономы, и пусть пространство ¿л(Кт) = Ь\/(Ь\ П )).

Предложение 3. Пусть в мономе х0у(Х1,..., Х^, £ ^ 2, найдется пара образующих XI, 1 ^ г ^ между которыми расположены к, 0 ^ к ^ т — 1, других различных образующих. Зафиксируем г и обозначим х0у через (г, в)к, где г и в — ном,ера, позиций, х^ г < в, к = в — г — 1. Пусть (г,в)0 = (г, в), тогда по модулю тождеств (5), (8), т ^ 2, выполняется равенство

к

(Г,8)к = ( — 1)к ^(Г + к — 1,8 — 1). (11)

=

Данное утверждение обобщает предложение 1, сформулированное в работе [14] для мономов х0у(Х1, ..., Хт), deg V ^ т + 1 degx. V > 0 ъ = 1,... ,т. Легко видеть, что его доказательство повторяет доказательство из работы [14], так как в последнем используются только тождества (5), (8).

Предложение 4. Зафиксируем т ^ 3. По модулю тождеств многообразия любой ненулевой моном х0у(Х1,... ,Х-ь) е Ь\, X = (А1,..., Х^, 1 ^ £ ^ т, Х1 ^ 2, равен линейной комбинации мономов вида:

1. при £ = т и Хт ^ 2

хаи/ (Х1... Хт-1)г 1Х^ (Х1... Хт-{)г2 (Х1 ... Хт) V, (12)

где г1 ,г2 ^ 1, т1 > 0 или г2 > 0 8 ^ 0 8 > 0 только при г1 = г2 = 1, полилинейные мономы ад' и ад", 0 ^ degад', degад'' < т, от операторов Х1,..., Хт не зависят, от, Хт соответственно при г1 = 0 и г2 = 0, и все операторы в ад', ад" упорядочены;

2. при £ = т и Хт = 1 или £ < т

Хаад'(Х2 . . . Хт)Г1 Х2(Х2 . . . Хт)Г2ад'', (13)

где г1,г2 ^ 1, г1 = 0 или г2 = 0 (оба равенетва выполняются при £ < т), полилинейные мономы ад' и ад", 0 ^ deg ад', deg ад" < от операторов Х1,... ,Х1 не зависят, от, Х1 соответственно при г1 = 0 и г2 = 0, и все операторы в ад', ад'' упорядочены.

Доказательство. Зафиксируем т ^ 3 и покажем, что моном х0у(Х1,..., Х^ может быть представлен линейной комбинацией мономов следующего общего вида

Хаад' (Х1 . ..Хт) 31 (Х1 ...X, . ..Хт)Г1 Х23(Х1 ...X, . ..Хт)Г2 (Х1. ..Хт)32 ад'', (14)

где 1 ^ ] ^ Г1,Г2 ^ 1, 81,82 ^ 0 > 0 или 82 > 0 только при Г1 = Г2 = 1, и полилинейные мономы ад' и ад'', 0 ^ deg ад', deg ад'' < не зависят от Х^ при Г1 = 0 и Г2 = 0 соответственно. В

ад ад

по возрастанию индексов.

Так как Х1 ^ 2, то в мономе хоь число различных образующих х^ 1 ^ г ^ £ ^ т, между любыми двумя одинаковыми не превышает т — 1. Выберем пару таких образующих х^ и с помощью равенства (11) представим хоу линейной комбинацией ненулевых мономов хоу', содержащих произведение X?. Так как хоу' ф 0, то в силу тождеств (3), (6), (7) в мономе у'

слева или справа к X2 примыкает либо произведение Х1... Х^ ... Хт, либо соответственно ад ад

V' = ... (Х1 ...X, . ..Хт)Г1 Х2(Х1 ...X, . ..Хт)Г2

где Г1,Г2 ^ 1. В силу тождеств (6), (7) все ненулевые мономы хоу' слева и справа от выписанных операторов имеют соответственно «1 ^ 0 и 82 ^ 0 произведений Х1 .. .Хт,

V' = ... (Х1 ... Хт)31 (Х1 ...X] ... Хт)Г1 Х2(Х1 ...Х3 ... Хт)Г2 (Х1 . . . Хт)

Я2

т)

Остальные операторы Х^, 1 ^ г ^ принадлежат мономам ад'(Х1,... ад''(Х1,...

0 ^ deg ад', deg ад'' < которые в силу (6), (7) являются полилинейными.

Покажем, что «1 > 0 82 > 0 только при Г1 = Г2 = 1- Так как случаи Г1 = 0 г2 = 0 симметричны, то достаточно рассмотреть случай Г1 = в1 =0 г2 = 1 82 > 0 т0 есть моном и' вида и)'Х?(Х1.. .Х^ ... Хт)(Х1... Хт)Я2 ад''. С помощью тождеств (7) на границе следующих за X? скобок соберем произведение Х^, к = и, упорядочив операторы, получим моном ад' (Х1. ..Хк ... Хт)Х'2(Х1. ..Хк ... Хт)(Х1... Хт)32-1ад'', в котором г1 = 1. Таким образом, моном хоу(Х1, ... равен линейной комбинации мономов вида (14).

Покажем, что ненулевой моном хоь' вида (14) в зависимости от полистепени у' можно привести к виду (12) или (13). Пусть £ = т и Хт ^ 2, degу' ^ 2т. Так как degу' ^ 2т, то в мономе у' в силу (6), (7) слева или справа от X2 находятся т — 1 различных операторов Хг, г = то есть Г1 = 1 или г2 = 1. В силу симметрии примем Г1 = 0 и рассмотрим моном у' = ад'Х'2Х1. ..Х^.. .Хтад'', ] = т. Пусть снач ала degXm ад' = 1, ] = т, тогда с помощью тождеств (6), (7) представим у' в гаде w'XmXjХ^ХтХ1.. .Х^ .. .Хт-1ад". Воспользуемся равенством (11) и тождеством (4),

хоХтХ^Х3Хт = хоХ^Х2 + хоХ^ХтХтХ3 + хоХ^Х"^ = хоХ^ХтХтХ^, т ^ 3, (15)

и приведем полученные мономы к виду (12), упорядочив все остальные операторы с помощью тождеств (6), (7). Пусть теперь deg^m ад'' = 1, тогда с помощью тождества (7) приведем моном у' к виду ад'Х2Хх... Х^ ... ХтХтад" и, упорядочив операторы, снова получим требуемое. Рассмотрим случай Г1 = Г2 = 1. Если «1 > 1 ми «1 = 1 и ] = т, то с помощью тождества (6) соберем произведение Х"^ на границе первых двух скобок, следующих за ад', и, упорядочив остальные операторы, получим моном вида (12), в котором = в1 + 82- Если «1 = 0 и ] = ии «1 = 1 и ^ = т, то с помощью тождеств (6), (7) представим V1 в виде ад'(Х1... Хк ... ХтХкХкХт ... Хк ... Хт-1) ..., к = т,ж применим тождество (15).

Пусть £ < т, тогда в мономе Хоу' вида (14) имеем Г1 = вг = 0, г = 1, 2, и из условия Х1 ^ 2 (считая ] = 1) и полилинейности ад', ад'' следуют равенства deg^1 ад' = deg^1 ад'' = 1. Тогда с помощью тождеств (6), (7) соберем произведение ...X1Х^ Х^ Х1 ... и по аналогии с рассмотренными случаями получим моном вида (13).

Если £ = т и Хт = 1, то возможны следующие два случая. Пусть сначала в мономе (14) либо Г1 = 0, либо Г2 = 0. В силу симметрии примем у' = ад'Х2Х1... Х^ ... Хтад'' и получим аналогичный рассмотренному выше случай, в котором достаточно заменить Хт на Х1. При Г1 = Г2 = 0 достаточно применить рассуждения для случая £ < т.

Покажем, что все мономы хоу' вида (12), (13) не равны тождественно нулю в алгебре Ат. Пусть в них м оном ад' = Х^1 ...X¿в, 1 ^ г1 < ... < г3 ^ т, в < ми deg ад' = 0. Рассмотрим следующие подстановки элементов алгебры Ат. Если Г1 = 1 в записи хоь', тогда вместо хо подстав им га1 .. .а^ ... а¿2 .. .(¡ге ... ат. Пуст ь г1 = 0 тогда вме сто хо в моном вида

(12) подставим га1.. .а^ ... а^ .. .а^ ... ат-1 и подстав им га2 ... а^ .. .а^ ... агд ... ат в моном

(13). Вместо XI, 1 ^ г ^ т, везде подставим соответственно а1. В каждом случае результат подстановки окажется с точностью до знака равным элементу вида г(Яа1 ... Кат )к... или х(Ка1 ... Кат )к, к ^ 1,1 ^ г < т, 1 ^ ]1 < ... < ]г ^ т. Доказательство предложения завершено.

Предложение 5. Неравенство т^(Ат) > 0, где т ^ 3, выполняется тогда и только тогда, когда разбиение X Ь п ^ 1 удовлетворяет одному из следующих условий:

1.Х = (1к), 1 < к < т;

2. X = ((з + 1)к,зт-к), з ^ 11 < к < т;

З.Х = ((з + 2)к1, (з + 1)к2,5т-к1-к^; д ^ 0 к1 ^ 1 к2 ^ 0 Ь + к2 ^ т — 1.

Доказательство. Пусть А = (А1,..., Х^, í ^ т + 1, тогда для любой таблицы Юига Т\ полилинейный многочлен етх (Х0Х1... Хп) равен сумме многочленов

° (—1)Т%охт(1) . ..Хт& е ПТх, тесТх

кососимметричных по более чем т образующим. Все такие многочлены тождественно равны нулю в силу (2).

Определим подстановку ф элементов алгебры Ат,

ф(х0) = г, ф(хг) = аг, г = 1,... ,т.

Тогда т^1к)(Ат) = 1, 1 ^ к ^ т, так как ф(х0Х 1 ...Хк) = к\ха1 ...а,к по определяющим соотношениям 3 алгебры Ат.

Пусть теперь £ ^ т и Х1 ^ 2. Так как характеристика поля Ф равна нулю, то рассмотрим полиоднородный многочлен дтх(хо,Х1, ... е Ь\, который получен из соответствующего полилинейного многочлена /тх = &тх (Х0Х1 .. .Хп), /тх ф 0, в результате отождествления образующих, индексы которых находятся в одних и тех же строках таблицы Т\. По предложению 4 многочлен дтх по модулю тождеств многообразия уаг(Ат) С равен линейной комбинации мономов вида (12) или (13), поэтому deg^1 дтх — deg^m дтх ^ 2. Таким образом, если т^(Ат) > 0 А1 ^ 2, то А удовлетворяет либо условию 2, либо условию 3. Покажем, что т^(Ат) > 0 для всех таких разбиений А.

Пусть А = ((з + 1)к,зт-к), д ^ 11 ^ к ^ т, и в таблице Т\ числа от 1 до зт, + к выписаны в столбец в порядке возрастания, тогда дтх = хо(х 1.. .Хт)дХ1 .. .Хк и

Ф(дтх) = к!(т\)д г(Яа1 ... Яат )за1 ...ак-

Пусть А удовлетворяет условию 3, тогда обозначим через 11 высоту крайнего справа столбца таблицы Т\, 11 = &1, и пусть 12 — высота второго справа столбца, 12 = к1 + к,2- В многочлен

дтх = хО(х 1 ... Xт) Х1 . . . Х\2 х 1... Хг 1

вместо Ха подставим ха12+1 ...атш аг вместо хг, 1 ^ г ^ т. Результат подстановки равен ((т — 12)!)д(12! )д+111!+1 ... КатКа1 ... )д+1а1.. .аг1, и предложение доказано.

Предложение 6. Если X = (зт), т ^ 3, з ^ 2, то т%(№т) ^ т.

Доказательство. Зафиксируем таблицу Юнга Т\, X = (зт), и по модулю тождеств многообразия Nm оценим сверху максимальное число линейно независимых полиоднородных элементов ктх (ха ,Х1,... ,хт), полученных из соответствующих полилинейных элементов етхи(хаХ1 .. .Хп), а е Бп, в результате отождествления образующих, индексы которых принадлежат одним и тем же строкам таблицы Т\. Так как поле Ф нулевой характеристики, то данная оценка будет оценкой сверху значения

По предложению 4 любой элемент пространства Ь\^т), з ^ 2, является линейной комбинацией элементов, соответствующих мономам (12). В случае з = 2 разобьем множество всех различных по модулю тождеств (6), (7) мономов (12) на т подмножеств в]2, £ = 0,... ,т — 1, по числу ¿операторов Хг, 1 ^ г ^ т, слева от произведения (Х1... Хт) ми (ХтХ1... Хт-1),

В? = {хаХг1 ... Хгг(Х1... Хт)ХтХ1... Xг1 ... Х^ ... Xт-l,

ХоХг1 . . . Хг1_1 Хт(ХтХ1 . . . Хт-1)Х1 . . . Xг1 . . . Хг—1 . . . Хт-1 \ 1 ^ 11 < ... <ц ^ т — 1},

где Бд = {хо(Х1... Хт)ХтХ1... Хт-1}. Пр и з ^ 3 множество всех различных по модулю тождеств (6), (7) мономов (12) разобьем на т, подмножеств по значениям £ = 0,...,т — 1 степени монома ад' (Х1,..., Хт),

= {хоХг1 ... Хч (Х1... Хт-1)Х(Х1... Хт-1)(Х1... Хт)В-3Х1... Хг1 ... Хч ... Хт 1 1 ^ г1 < ... <ц ^ т},

где во = {хо(Х1 ... Хт-1)Х:^(Х1.. .Хгп-\)(Х1.. .Хт)5-2}. Заметим, что множество БЗ имеет (Т) элементов) з ^ 2, £ = 0,... ,т — 1, ) — биномиальный коэффициент.

Покажем, что для каждого фиксированного з ^ 2 все выписанные мономы по модулю тождеств Кт являются линейно независимыми. Элементы множества 5®, з ^ 2, обозначим через Ы^, 1 ^ ^ ^ и предположим, что в многообразии Кт выполняется тождество

т-1(()

,з =0, а*,зе ф.

г=о 3=1

Заметим, что все мономы Ыкроме Ыод, имеют либо deg^1 ад' = 1, либо deg^1 ад'' = 1, поэтому умножим тождество справа на Х1 и подставим произведение ХоХ1 вместо Хо- В силу (6), (7) в полученном следствии останется единственный ненулевой моном с коэффициентом ао,1, то есть ао,1 = 0. Зафиксируем индексы > 0 к и покажем равенство а3, к = 0. Заметим, что в ЫЗк моном ад''(Х1,..., Хт) может быть с точностью до порядка операторов единственным образом дополнен до монома ад", такого что degx. ад'' = 1, где ] = 1,... ,т при Г2 = 1 (в записи Ы3, к (12)), и ] = 1,... ,т — 1 при Г2 = 0. В результате умножения таким образом тождества справа на различные х^ 1 ^ г ^ т, в полученном следствии ненулевыми окажутся некоторые мономы Ы ь, ], t = 8, ш Ы 3 Если последней в цепочке умножений был а образующая хг, 1 ^ г ^ ш, то в мономе Ы к имеем deg^r ад'' = 0, и deg^r ад'' = 1 во всех остальных Ыг,]- Умножим тождество справа на жг и получим единственный ненулевой моном с коэффициентом а3,к- Таким образом, для всех ] выполняются равенства а^ = 0. Следовательно, по предложению 4 для каждого з ^ 2 элементы пространства Ь(зт)(Кт), соответствующие мономам из Бз, í = 0,.. .,т — 1, образуют базис.

По определению ктх(хо, Х1,..., хт) для любой подстановки а е Бт выполняется равенство Ытх(хо,ха(1),.. .,ха(т)) = (—1)а5ктх(хо,х1,.. .,хт).

При этом

т—1 (( )

=о =1

Рассмотрим результаты действий подстановок а е Бт на элементы множеств БЗ^- Под действием подстановки, как и в полилинейном случае, понимается перестановка индексов образующих. Пусть з ^ 3, тогда с помощью рассуждений из доказательства предложения 4 для любого

о е Бт получим тождество

а(Хо(Х1 ... Хт-1)Х^(Х1 ... Хт-1)) = Хо(Х1 ... Хт-1)Х'^1 (Х1... Хт-{). По модулю данного тождества и тождеств (6), (7) для каждого Ывыполняется равенство

<гЫ ^ = ±Ы ,к, (16)

где знак при Ы зависит от ^ ^ а, 1 ^ к ^ причем для любых Ы^, Ы,к найдется такая

/т

подстановка а.

Пусть з = 2. Если а(т) = т, то при помощи тождеств (6), (7) также получим равенства (16). Если а(т) = г, г = т, то в силу симметрии достаточно рассмотреть следующие два случая:

а(хо ... (Х1 ... Хт)Хт ...Хг . . .) = Ха ... (Х1 . . . Хт . . . Хг)Хг . . . Хт . . . ,

а(ха ...Хг ... (Х1 ... Хт)Хт . . .) = Хо ... Хт . . . (Х1 . . . Хт . . . Хг)Хг ....

С помощью тождеств (6), (7), (15) приведем полученные мономы к виду (12) и видим, что для з = 2

тождеств Nm все мономы Ы^ линейно независимы, то приходим к следующему выводу.

Пусть коэффициент Д = и е {0,1} £ = 0,... ,т — 1, ^ = 1,..., (т), тогда выполняется тождество

т-1 (t)

Ыь ф £ & Т.(—1)в1'3Ы*

г=о ]=1

То есть в пространстве Ь\^т) элементы, соответствующие многочленам Нтх, являются линейными комбинациями не более т фиксированных элементов, поэтому ^ т,

X = (зт), т ^ 3, з ^ 2. Предложение доказано.

3. Основные результаты

Теорема 1. Зафиксируем т ^ 2. Если X = (зт), з ^ 2, то т^(Ат) = = т,

для любого к = 1,... ,т выполняются равенства т^1к)(А т) — ) т ) = 1.

Доказательство. В доказательстве предложения 5 получены неравенства т^к)(Ат) = 0, m ^ 3 к = 1,..., т, доказательство которых распространяется на случай т, = 2. И так как Ат G Nm, rn^lfc)(Nm) ^ 1, m ^ 2, то выполняются равенства

т^1к)(Ат] = т^1к)(Nm) = 1, 1 ^ к ^ т. Докажем неравенства т^(Ат) ^ m для m, ^ 2, s ^ 2. В случае s = 2 зафиксируем таблицу

и

Т =

1 m + 1

m 2т

и по модулю тождеств многообразия уаг(Ат) покажем линейную независимость следующих т полилинейных многочленов

Л = &Т(%оХ1 . . . ХгХт+1Хг+1 . . . ХтХт+2 . . . Х2т), г = m,... ,

где

!т = ет(ХоХ1 . . . Х2т) = £ ХаХа(1) . . . Xа(т)Ха(т+1) . . . ^^а(2т).

аеКТ

Заметим, что все /г удовлетворяют условию а/г = /г, а е Кт- Предположим, что в алгебре Ат выполняется тождество аг1'г ф 0 аг е Ф. В результате замены индексов образую-

щих на номера строк, в которых они находятся в таблице Т, из данного тождества получим

Ет _ п

г=1 аг9г ф 0,

дг = ХаХ 1... ХгХ1Хг+1... X тХ2 ... Хт, г = т,..., 1, (17)

где дт = xqXi... XmXi... Хт.

Определим т подстановок фг элементов алгебры Ат, г = т,..., 1,

ф1(хо) = Z, Ф2 (Хо) = zam, ..., фт+i-i (Хо) = Zai+i . . . йт, ..., фт(хо) = Zü2 ... йт,

фт+1-г(Xj) = aj, j = 1,...,т.

Результаты фт+1-г(gj), i,j = т,..., 1, выпишем в таблицу, строки которой пометим коэффициентами aj, столбцы — значениями фт+1-г(хо)-

Z Z am

z(R a i . . . Ram )(Rai . . . Ram ) z(RamRai . . .)(RamRai . . .)Ram

i z(. . . Ram-iRai )(RamRa2 . . . Ram ) z( RamRai . . . Ram-i )(RaiRam . . .)Ram

&m-2 Z(. . . RaiRam-i )(RamRa2 . . . Ram ) z( RamRai . . . Rai )(Ram-iRam . . .)Ram

Таблица 1.

В силу определяющих соотношений 3 алгебры Ат результаты подстановок в столбце zai+i... ат, i < т, с точностью до ненулевого коэффициента равны z(Rai ... Ram) ai+i . . . ат и z(Rai ... Ram)2 в столбце z. Получили однородную систему линейных уравнений порядка т с неизвестными щ. Коэффициенты при неизвестных обозначим через jij, 1 ^ i,j ^ т, и соответственно их расположению в таблице 1 выпишем в матрицу Г = (jij), которая будет транспонированной матрицей рассматриваемой системы уравнений.

Г

Фт+i-i(9i) = z(Rai+i . . . RamRai . . . Rai )(RaiRai+í . . . RamRa2 . . . Rai )Rai+1 . . . Ram = j(m+i-i)(m+i-i)z(Ra\ . . . Ram ) Rai+i . . . Ram ,

j(m+i-i)(m+i-i) = (-1)m-iiW.(m - г).(т - i)., i = т,..., 1.

Г

фт+1-i(9i-i) = Z(Rai+1 . . . RamRa1 . . . Rai-1Ra1 )(Rai . . . RamRa2 . . . Rat)Rai+1 . . . Ram =

j(m+2-i)(m+i-i)z(Rai . . . Ram )2Rai+i . . . Ram , J(m+2-i)(m+i-i) = (-1)m-i H(i - 1).(т -i + 1).(т - i)., i = m,..., 2.

Заметим, что значения jjj, jj+ij одного знака, j = 1,..., т-1. При этом в силу определяющих соотношений 3 алгебры Am выполняются равенства jij = -ji+ij, i = j, так как

ZURakRai — ZURaiRa^ ,

1 ^ k ^ т, (19)

где остаток от деления degu(Rai,..., Ram) на т не равен т - 1. Например, при т = 2

Z( Ra2Rai )(Ra2Rai )Ra2 = z (Ra2Rai )(RaiRa2 )Ra2 .

В матрице

Г

( jil -j22 j33 . . \ j2i j 22 -j33 . . -j2i j32 j33 . .

(20)

будем последовательно складывать строки с номерами г + 1 i а результат записывать в строку г + 1 г = т — 1,..., 1. Полним матрицу Г' = 1 ^ г,] ^ т,

Г'

( Ъi -122

Ъ1 + 121 0 0 122 + 132

v..............

133 0 0

в которой все элементы равны нулю, кроме элементов первой строки и 1'г+ц, % = 1,... ,т — 1.

Следовательно, ранг Г равен т, система уравнений имеет единственное решение аг = 0, г = т,..., 1, и по предложению 1 выполняются неравенства т^2т)(Ат) ^ т, т = 2,3,.... Пусть з ^ 3, тогда зафиксируем таблицу

Т' =

1 m + 1 (s — 1)m + 1

m 2m sm

и по модулю тождеств var{Am) покажем линейную независимость m многочленов fi = еТ' {х0Xi . . . XiXm+lXi+1 . . . XmXm+2 . . . X2m . . . XSm), i = m, . . . , 1,

гДе ¡m = eT' {%oXi... Xsm). Соответствую щие /.¿полиоднородные мног очлены gi по таблице Т' определяются через многочлены д. (17),

д'г = дг(Х i ...Xm)5-2, г = m,..., l.

В результате рассуждений по аналогии с рассмотренным случаем s = 2 получим матрицу коэффициентов, в каждом столбце которой элементы отличаются от соответствующих элементов матрицы Г на ненулевой множитель, зависящий от номера столбца. Следовательно, в полученной матрице сохраняются все установленные для матрицы Г соотношения между элементами, её ранг также равен т, и все элементы Ц линейно независимы, г = т,..., 1. Таким образом, по предложению 1 выполняются неравенства m^{Am) ^ т, т ^ 2, s ^ 2. В работе [5] неравенства m^g2){A2) ^ 2, s ^ 2, доказаны посредством применения тождества (3) и его частичной линеаризации [5, Proposition 3]. То есть авторами также доказаны неравенства m^2)(N2) ^ 2, s ^ 2. И так как то предложению 6 rn^(Nm) ^ т, X = {sm), s ^ 2, т ^ 3 т0 Для всех т = 2,3,... получили требуемые равенства. Теорема доказана.

Теорема 2. Для разбиений X = ({s + 1)1, sm-1), т ^ 3,1 ^ I ^ т —1, s ^ 1, равенства m^{Am) = m^{Nm) = т.

выполняются

Доказательство. Сначала по аналогии с доказательством предложения 6 покажем неравенства ^ т. Рассмотрим несколько случаев. з = 1

деств (6), (7) мономов (13) на т подмножеств 2, = 0,... ,1, Ь2 = 1,... ,т — 1 — I.

При I = т — 1 рассматриваются только т множеств 311 з ^ 1. Элементами множества ^^ 1 являются такие мономы, которые слева от произведения (Х1... Хт) или (Х2 ... ХтХ{) имеют ^оператор ов Хг, 1 ^ г ^ I,

1 = {xoXix . . . Хщ {Х2 . . . XmXi)XiX2 . . . X¿г . . . Х^

■ Хг,

ХоХц . ..хг Xi{Xi . ..Xm)X2 ...Xi . ..хг ...Xi | 2 < ii <...<iti < I},

1

где = {х0(Х2 ... ХтХ\)Х\.. .Х\}, Б1 = {х0Х2 ... ХХ\ (Х\... Хт)}. Все элементы множества имеют 12 операторов Хг, 1 + 1 ^ г ^ т, слева от произведения (Х2 ... Х\Х\Х2 ... Х\),

2 = {х0ХЪ1 . . . Хч2 (Х2 . . . Х1Х\Х2 . . . Х1)Х1+1 . . . Хг1 . . . ХЧ2 . . . Хт \ 1 + 1 ^ г 1 < ... < ц2 ^ т}.

В случае з = 2 множество всех различных по модулю тождеств (6), (7) мономов (12) разобьем на т подмножеств Б21, Б^2,

Би 1 = {х0Хг1 . . . Хч1 (Х1 . . . Хт)(ХтХ1 . . . Хт-1)Х1 . . . Хг1 . . . ХХгг1 . . . Х1 \

1 ^г !<...< к1 < !=0,...,1,

Б2г2 = {х0Хг1 . . . ХЧ2Х1 . . . Х1 (Х1 . . . Хт)ХтХ1 . . . Хг1 . . . Хч2 . . . Хт-l,

х0Хг1 . . . Хч2-1Х1 . . . Х1Хт(ХтХ1 . . . Хт-1)Х1 . . . Хг1 . . . Хч2-1 . . . Хт-1 \

1 + 1 ^ г\ < ... < ц2 ^ т — 1}, Ь = 1,... ,т — 1 — I.

Если з ^ 3, то разобьем множество всех различных по модулю тождеств (6), (7) мономов (12) т

1 = {х0Хг1 . . . Хч1 (Х1 . . . Хт)(ХтХ1 . . . Хт-1)(Х1 . . . ХтУ 2Х1 . . . Хг1 . . . ХХгг1 . . . Х1 \

1 ^г !<...< г ь < ! = 0,...,1, Б2г2 = {х0Хг1 ...Хгt2Хl...Хг(Хl...Хm)(ХmХl...Хm-l)(Хl...Хm)3-3Х...ХСг1 ...Хщ ...Хт \

1 + 1 ^ г\ < ... < гг2 ^ т}, Ц = 1,... ,т — 1 — I.

Заметим, что для каждого з ^ 1, применив метод умножений из доказательства предложения 6, получим, что в пространстве Ь\элементы, соответствующие выписанным мономам, образуют базис.

Для таблицы Юнга Т\ по аналогии с доказательством предложения 6 определим полиоднородный элемент ктх(х0, х\,..., хт) € Ь\. По определению ктх для любых подстановок € а2 € 31+\,т (5г+1,т — подгруппа Бт) выполняются равенства

ктх (х0 ,ха1(1), ..., х^1(1),х^2(1+1), . . . х^2(т)) = ( — 1)а1 {3+1)( — 1)а23ЬТх (х0,хг, ...,хт).

При этом, применив рассуждения из доказательства предложения 6, получим, что результат действия подстановок &1, 02 на любой элемент множества 3'31:1 или , з ^ 1, с точностью до знака равен некоторому элементу этого же множества, причем такая подстановка 01 (или 02) найдется для любой пары элементов из (или , = 0,... ,1, Ь2 = 1,... ,т — 1 — I.

Рассуждая по аналогии с доказательством предложения 6, ктх тождественно равен лит

неравенства т^(№т) ^ т.

Покажем, что т^(Ат) ^ т. При з ^ 2 определим т многочленов

д'г = 9г(Х 1 . . . Хт)В-2Х1 . . . ХЬ

г Ат

т

^ агд'г = 0, аг € Ф. (21)

г=1

К данному тождеству применим рассуждения из доказательства теоремы 1 и получим мат-

г = 1, . . . , т

находящиеся в одном и том же столбце, отличаются от соответствующих элементов матрицы Г (20) на ненулевой множитель. Поэтому заключаем, что т^(Ат) ^ т, s ^ 2.

В случае s = 1 предположим, что в алгебре Ат выполняется тождество (21), в котором д[ = х0Х1...XiX1Xi+1...XтХ2 .. .Xi, i = т,..., 1. По аналогии с матрицей Г определим матрицу В = (dij), 1 ^ i,j, ^ т, коэффициентов, полученных в результате подстановок (18) элементов алгебры Ат в многочлены gi,

Фт+1-i (g'i) = z{Rai+í . . . RamRai . . . Rat )RaíRai+1 . . . RamRa2 . . . Raí =

{í ^ l, 0 (т+1-%)(т+1-i) z{Rai . . . Ram )2Rai+Í . . . Rat, i = т 1

i > h в (т+1-i)(т+1-i) z( Rai . . . Ram )Rai . . . RaiRai+í . . . Ram ,

фт+1-i (9i-1) = z{Rai+í . . . RamRai . . . Rai-íRa1 )Rai . . . RamRa2 . . . Rat =

{i ^ U ®(т+2-%)(т+1-i) z( Rai . . . Ram )2 Rai+1 . . . Rai, . = 2

= т, . . . , 2.

i > l, в(т+2-i)(т+1-i) z( Rai . . . Ram )Rax . . . RaiRai+í . . . Ram ,

l, (-1)т-iгЩт — i)!(l — i)\,

(т+1- г)(т+1-г) = <¡ ,>h ( — 1)(т-i)(l+i-1)i Щт — i)!, г = 1

i:

i:

_,i< l, (—1)т-Н Ki — 1)!(т — i + 1)\(l — i)\,

{m+2—г)(т+1- i) = ^ ,>h { — 1)(т-т+i-1)¡, ( ¿ — 1)! (т — i + 1)! , % = 2

Так как и ] = 1,... ,т — 1, одного знака, то в силу соотношений (19) ранг матрицы

0 равен т, и выполняются равенства а\ = ... = ат = 0. Таким образом, для всех разбиений А го условия выполняются неравенства т\(Ат) ^ т, тд^т) ^ т, и теорема доказана.

Теорема 3. Пусть А = ((з + 2)к1, (з + 1)к2, 5ш-к1-к2у^ т ^ г, 5 ^ 0, кг ^ 1, к2 ^ 0, к\ +к2 ^ т — 1. Обозначим через 1г высоту крайнего справа столбца диаграммы, А, 1г = кг, и пусть 12 ^ высота второго справа столбца, 12 = кг + к2, тогда

т^(Ат) = т^т) = к2 + 1 = к — к + 1.

Доказательство. Докажем теорему по аналогии с ранее рассмотренными случаями. Сначала покажем неравенства т1^^т) ^ 12 — 1г + 1.

В случае з = 0 разобьем множество всех различных по модулю тождеств (6), (7) мономов (13) на к — к + 1 подмножеств

в® = {хоХ^ ... Хч (Х2 ... ХНХ2Х2 ... )Х1!+г... Хг1 ... Хг ... Х\2 \ к + 1 < к < ...< г 1 < 12}, г = 0,..., к — к.

По предложению 3 и в силу тождеств (3), (6), (7) имеет место тождество

хоХг(Хг. ..Хт)Хг = (—1)т-1хоХг(Х2 . ..ХтХг )Хг,

поэтому при з = 1 следующие 12 — к + 1 множеств

З1 = {хоХгх... Хг1Х2 ... Х11Х1(ХХг... Хт)Хг... ХХг1 ... Хгг... Х12 \

к + 1 < к < ...< г 1 < 12}, г = 0,..., 12 — к,

задают разбиение множества всех различных по модулю тождеств Nm мономов (13).

Если s ^ 2, то соответствующее множество всех различных по модулю тождеств (6), (7) мономов (12) разобьем на подмножества

Sí = {x0Xh ... XitX\... Xh(X\... Xm)(XmX\ ... Xm-i)(X\ ... Xm)s 2X\ ... X^ ... XH ... Xl2 \ h + 1 < h < ...< i t < 12}, t = 0,..., I2 — h.

Заметим, что в каждом случае все перечисленные мономы являются линейно независимыми по модулю тождеств Nm, в чем можно убедиться, применив метод умножений из доказательства предложения 6.

Зафиксируем таблицу Юнга Т\ и рассмотрим соответствующий полиоднородный многочлен ктх(хо,х\,... ,Хк) полистепени Ai,..., Ак по х\,... ,xk, где к = m при s ^ 1, иначе к = 12■ В случае 12 = 1\ для каждого s существует единственное множество S0 из одного элемента и dimL^(Nm) ^ 1. Так как m\(Am) ^ 1, то m\(Nm) = m\(Am) = 1 при 12 = 1\.

Далее на протяжении всего доказательства предполагается, что I2 > 1\- Для всех подстановок а Е Si1+i i2 (Si1+\,i2 — подгруппа Si2) в зависимости от значения полистепени ктх выполняются равенства

hTx (хо ,xi,.. .,xa(i 1+1),.. .,xa(i 2),...) = (—1)a(s+l)hTx (xo,xi,.. .,хк), к = h,m.

При этом для любой подстановки а Е Si1+ii2 и элементов множества SS выполняются равенства вида (16) с указанным условием. Следовательно, в пространстве L\(Nm) полиодно-

h Tx 2 - 1 + 1

фиксированных элементов и m^(Nm) ^ I2 — h + 1 s ^ 0, m ^ 3.

По аналогии с доказательством теоремы 1 покажем неравенства mд (Am) ^ I2 — h + 1,

m = 3, 4,.... Пусть s = 0 и в алгебpe Am выполняется тождество

h „ „ „

^aigí = 0, ai Е Ф, д[ = xoX 1. ..XiXiXi+i. ..XhX2 . ..Xh, i = h,..., h,

í=11

где g¡ = xoX 1... Xi2Xi... Xi1. Чтобы определить значения ai, составим однородную систему уравнений, в которой коэффициенты получим в результате подстановок 'm+i—j (18) элементов алгебры Am в многочлены д\, i,j = I2,..., h- Коэффициенты запишем в матрицу В = (в^), 1 ^ hj^ h — h + 1) которая будет транспонированной матрицей рассматриваемой системы уравнений. Определим значения Оц, 9i+ii,

'm+i—i(9i) =z(Rai+i . . . RamRai . . . Rai)RaiRai+i . . . Rai2 Ra2 . . . Rai1 = 8 (i2 + i—i)(i2+i—i)z(Rai . . . Ram )Rai . . . Rah Rai+i . . . Rah

e{i2+i-m 2+i—i) = (—1) i(m—i)+(l 1—i)(l 2—i)i!(12 — i)! h! , i = I2,..., h,

Фm+i—i (9i—i) =z(Rai+i . . . RamRai . . . Rai-iRai )Rai . . . Ra¡2 Ra2 . . . Ratl = 2+2—i)(i2 + i—i)z(Rai . . . Ram )Rai . . . Rah Rai+i . . . Rah , 0(i 2+2—i )(i 2+i—i) = (—1) i(m—i)+(l 1—i)( 2—i)h Ki — 1) ! (h + 1 — i)! , i = h,..., h + 1.

Знаки элементов Ojj, 9j+ij, j = 1,..., 12 — li, совпадают, причем во всех остальных случаях в силу соотношений (19) имеем в^ = — 9i+ij, i = j. Следовательно, ранг В равен I2 — h + 1, и система уравнений имеет единственное нулевое решение ai1 = ... = ai2 =0. Таким образом, m^(Am) ^ l2 — h + 1 для s = 0.

В случае s ^ 1 покажем линейную независимость по модулю тождеств Am многочленов

g'l = xo(X i.. .X rn)5 X i.. .XiXiXi+i.. .X i2 X2.. .Xh, i = .., h.

Рассуждая по аналогии с рассмотренным случаем, результатами подстановок (18) фт+1-^(д'(), h ^ 12, в алгебре Ат являются l2 — h + 1 базисных элементов

Z(Rai . . . Ram )S+lRai . . . Rah Rai+1 . . . Rah , i = ^ . . . , h,

с коэффициентами, которые отличаются от соответствующих элементов матрицы В на ненулевой множитель, общий для всех элементов в одном и том же столбце. Таким образом, ранг соответствующей данному случаю матрицы коэффициентов равен I2 — 1\ + 1, и выполняются

неравенства т^(Ат) ^ 12 — 1\ + 1 s = 0,1,..., т = 3,4,____Теорема доказана.

Заметим, что в работе [5] доказательства равенств

тх(А2) = l*2,^ = ((s + 1),s),s > 1 [1,X = ((s + 2),s),s ^ 0

аналогичны доказательствам теорем 2, 3. То есть авторы с помощью тождеств многообразия N2 оценивали данные кратности сверху и с помощью определения алгебры А2 получали

А

тД(А2) = т1^2)- При этом для разбиений А, отличных от данных и от рассматриваемых в теореме 1 при т = 2, в той же работе доказаны равенства т= 0.

Таким образом, в силу равенств тД(Ат) = тт = 2, 3,..., и по предложению 2

Теорема 4. Многообразие уаг( Ат) и заданное системой тождеств (1)-(4) многообразие Nm совпадают, Vаг(Ат) = Nm; т = 2, 3,....

Суммируем, в том числе приведенные в работе [5], утверждения о кратностях т т = 2, 3, . . .

Теорема 5. Кратности тт = 2,3,..., определяются следующим образом: 1. если А = (1к), 1 ^ к ^т, то тЦ^т) = 1;

W1- 'mj

2. если \ = {(s + 1)к, sm-k), s ^ 11 ^ к ^ т, то m^(~Nm) = т;

3. если X = ((s + 2)kl, (s + 1)к2,sm-kl-k2), s ^ 0, ki ^ 1, к2 ^ 0, ki + к2 < т — 1, то т^ (Nm) = к2 + 1;

4- т^ (Nm) = 0 для всех остальных X.

Заметим, что в работе [13] доказаны равенства

cn+i (Ат) = (п + 1) dim L (Ат) = (п + 1)^тьх(А )d\, п ^ 1, т ^ 2,

АЬп

позволяющие вычислять коразмерности сга^т), п ^ 2, без знания кратностей тд^т). Поэтому вопрос определения кратностей тд^т) представляет отдельный интерес.

Теорема 6. Все ненулевые кратности тд^т); т ^ 2, определяются следующим образом:

А

диаграмма / для которой тД^т) > 0, то т\^т) = тД^т);

А

граммы/г, /2, для которых т^1 ^т), т1д2(Nm) > 0, то тд^т) = тД1 ^т)+т1д2(Nm).

Доказательство. Для каждого п ^ 1 определим пространство Ьп,п+1 = Ьп, все элементы которого в мономах на первой позиции вместо хо имеют хп+\, и ФбП-модуль ¿п,п+1(^т) = Ьn(Nm^. Тогда Ф5'п+1 -модуль Рп+1(Nm) является индуцированным модулем Ьп,п+1(Кт), и все кратности тд(Кт), Л Ь п+1, определяются с помощью правила Литтлвуда-Ричардсона (см. напр. [2], с. 114),

тх(Кт) <

г=1

(Кт), г = Л) < 2,

где диаграммы Юнга ^ получены го диаграммы Л в результате удаления одной клетки. При этом £ ^ 2, так как для каждого п существует не больше двух таких удовлетворяющих условиям теоремы 5 диаграмм ^ Ь п, из которых в результате присоединения одной клетки

Л

При 1 = 1,^ = в пространстве Ьп,п+1 зафиксируем т = т^(Кт) линейно независимых по модулю тождеств элементов ет(х-\_,... ,хп+\), Т = Т^, ] = 1,..., т. Обозначим через Т таблицу Юнга с диаграммой Л, получение из таблицы Т добавлением клетки с числом п + 1. Предположим, что в многообразии выполняется тождество

ет Л' (х1,.. .,Хп+1) = 0, а е Ф, ^ е Ьп,п+1

=1

Представим слагаемое е тв виде е%= ет+ (х-\_,... ,хп+]), где во всех мономах многочлена образующая хп+1 находится не на первой позиции. По предложению 2 получили следствие

^щет^ (х1,.. .,Хп+1) = 0

и в силу линейной независимости равенства а^ = 0 3 = 1,..., т. Следовательно, элементы ] = 1,..., т, по модулю тождеств линейно независимы, и по предложению 1 выполняется неравенство Шд(Кт) ^ т. Таким образом, тд(Кт) = т.

При ¿ = 2 зафиксируем следующую таблицу Юнга Т = Т которая по теореме 5 имеет форму

т

п + 1

1

Н, 12, I3 ^ 0, 8 ^п.

н

Рисунок 1.

Обозначим через Тп+1 таблицу Юнга с диаграммой которая получается из таблицы Т в результате удаления клетки с числом п + 1, и пусть таблица Т3 с диаграммой ^2 получена из Т удалением клетки с числом 8.

Пусть пространство Ьп,3 получено из Ьп,п+1 транспозицией образующих хп+1 и х3 во всех мономах, Ьп>3 = Ьп,п+1- То есть все мономы из Ьп,3 имеют х3 на первой позиции. И пусть симметрическая группа С действует та множестве {1,... ... ,п + 1} С = Бп. Тогда Ф С-модуль Ьп,з(Кт) = Ьп,з/(Ьп,з п М(Кт)) Ж Ф5п-модуль Ьп,п+1(Кт) изоморфны. Зафиксируем т1 = т^1 (Кт) линейно независимых по модулю тождеств элементов етп+1 /г(х1,... ,хп+1) е Ьп,п+1 и т2 = т^2(Кт) линейно независимых элементов

о

шь 3 — 1,..., Ш2- Предположим, что имеет место тождество

Шх Ш2

ехи + ехЩ = 0, е Ф, ^ е Ьп,п+1, Щ е Ьп>3,

г=1 3=1

которое представим в виде

Ш1 Ш2

\ / , л/\ , \ ^

^ аг(етп+1 и + л) + (ет* Щ + Щ) = 0, =1

где ет„+1 ¡г е Ьп,п+1, е Тпп+1, ет3е Ьп,3, Щ- е В таблице X число п +1 находится выше в, и каждое из них расположено в угловых клетках, поэтому для всех а е К%, т е С% имеем неравенство ат (п + 1) — в, ж так как /г е Ьп,п+1, то Ц е Тп,3, г — 1,..., ш1. Следовательно, только ет3Щ ] е ЬП}3, ] — 1,..., Ш2, и по предложению 2 получаем следствие

Ш2

щ = о,

3=1

в котором по условию все ^ — 0. Следовательно, также выполняются равенства аг — 0, г — 1,..., Ш-1. Таким образом, по предложению 1 выполняется неравенство тд^т) ^ Ш1 + Ш2-Теорема доказана.

Определим все значения кодлин 1п) для модулей Ьп^т) и Рп^т) соответ-

ственно. Будем обозначать через [к\ — наибольшее целое число, меньшее или равное к, \к~\ —

Теорема 7. Пусть т ^ 2. При п > т положим г — п — [п\> если т не делит п, и г — т если т делит п. Тогда выполняются следующие равенства

^т) —4 + [ 1] ["Ц ,п ^ т.

Доказательство. По теореме 5 все диаграммы, которым соответствуют ненулевые кратности тд^т), имеют не более т строк. Зафиксируем такую диаграмму А п, п > т, име-

т

А

теоремы 5, имеют не более двух неполных столбцов, то все другие такие диаграммы получаются из А разбиением крайнего справа столбца на два столбца и при г ^ т — 2 разбиением находящегося в строках с номерами с г + 1 по т крайнего справа столбца на два. Таким

п > т

I т — г I

12 \ I 2 \

1п№т) — т + ^(г — 2г + 1)+ ^ (т — г — 2г + 1),

=1 =1

где т — п > т, и в скобках выписаны значения кратностей для диаграмм с двумя

неполными столбцами. Так как

1.11

£(к + 1 — 2г) — =1

к

_2_ 2

то получаем требуемые равенства.

п

.2. 2

При п ^ т диаграмма Л состоит го одного столбца, Л = (1П), = 1, поэтому

1.1 ]

lвi(Nm) = 1 + ^(п — 2г + 1) = 1 +

г=1

Теорема доказана.

Для определения значений 1п^т) используем так называемую нотацию Айверсона (см. напр. [16], с. 42). Пусть В — утверждение, которое является либо истинным, либо ложным, тогда

г п 1,если В истинно,

[В] =

1,

0, если В ложно.

Например, если число г четное, то [2 | г] = 1, иначе [2 | г] = 0.

Теорема 8. Пусть т ^ 2. Выполняется равенет,во = 1. Если натуральное

п ^ т, то

*п+1^т) =2 + 3

п

_2_ 2

- [2 | п]

Пусть п > т, положим г = п — |_т], есл и т не делит п, иг = т если т делит п, тогда

1п+1^т) = ат + Р

г

_2_ 2

— [2 | г] + 7

т — г т — г

_ 2 _ 2

— [г ^ т — 2 и 2 | т — г]

где а = 3; Р = 4 7 = 3 щи т <п < 2т. Если п ^ 2т, то а = 3 — [г = т], @ = 4, 7 = 4

Доказательство. Равенство = 1 очевидно. По теореме 6 значение ¿га+1^т)

равно сумме всех кратностей > 0 № \ п1 взятых столько раз, сколько существует

способов добавления одной клетки к соответствующим диаграммам у.

Существует два способа добавления одной клетки к любой прямоугольной диаграмме и три способа для диаграммы у \ п > т с одним неполным (высоты меньше т) столбцом, поэтому при п ^ т имеем Ш(1п)^т) = 2, ПРи ш <п < 2т коэффициент а = 3, и а = 3 — [г = т] при п ^ 2т.

Пусть диаграмма ^ состоит из двух неполных столбцов и п ^ т, тогда существует три способа добавления клетки к диаграмме если столбцы имеют разную высоту, и два способа, если столбцы одной высоты. При этом для любой диаграммы А, А \ п, п ^ 2, с двумя неполными столбцами равной высоты, такой что т^ ^т) > 0, по теореме 5 выполняется равенство = 1. Следовательно, в рассматриваемом случае для краткости сумму кратностей (22), где к = п, можем умножить на три и вычесть единицу, если п четно. Получим требуемые равенства для п ^ т. Рассуждения при п > т для всех диаграмм у с двумя неполными столбцами аналогичны. Теорема доказана.

4. Заключение

В работе для многообразий уаг(Ат), т = 2,3,..., определенных на основе алгебр Ат, получены системы определяющих тождеств. В случае т = 2 определены значения кратностей т^д2)(А2) = 2, 5 ^ 2, и все кратности т^(Ат), т ^ 3, с помощью которых могут быть непосредственно вычислены требуемые значения коразмерностей сп(Ат), т ^ 2. Таким образом, в качестве частного случая получили все заявленные основными результаты работы [12]. Также определены значения всех кодлин 1^(Ат) и приведен метод вычисления кратностей т\(Ат), с помощью которого определены кодлины 1п(Ат), т ^ 2.

Автор выражает благодарность профессору Мищенко С. П. за ценные замечания и внимание к работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Giambruno A., Zaicev М. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. AMS Mathematical Surveys and Monographs. 2005. Vol. 122. 352 p.

2. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М. : Наука, 1985. 448 с.

3. Drenskv V. Free Algebras and PI-Algebras. Graduate Course in Algebra. Springer-Verlag, 2000.

4. Шулежко O.B. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, № 1. С. 67-88.

5. Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Israel Journal of Mathematics. 2014. Vol. 199, № 1. P. 241-257.

6. Мищенко С. П. Многообразия линейных алгебр кодлины один // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2010. № 1. С. 25-30.

7. Фролова Ю. Ю., Шулежко О. В. Почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница // Прикладная дискретная математика. 2015. № 2(28). С. 30-36.

8. Mishchenko S., Valenti A. On almost nilpotent varieties of subexponential growth // Journal of Algebra. 2015. Vol. 423, № 1. P. 902-915.

9. Мищенко С. П. О многообразиях коммутативных метабелевых алгебр / С. П. Мищенко, Н. П. Панов, Ю.Ю. Фролова, ЧангТ. К. Нгуен // Фундаментальная и прикладная математика. 2016. Т. 21, № 1. С. 165-180.

10. Мищенко С. П., Шулежко О. В. Описание почти нильпотентных антикоммутативных метабелевых многообразий с подэкспоненциальным ростом // Мальцевские чтения : тез. докл. международ, конф. Новосибирск, 2014. С. 110.

11. Мищенко С. П. Бесконечные периодические слова и почти нильпотентные многообразия // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2017. № 4. С. 62-66.

12. Шулежко О. В. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, № 3. С. 316-320. *

13. Мищенко С. П., Шулежко О. В. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2015. № 2. С. 53-57.

14. Панов И. П. О почти нильпотентных многообразиях с целой экспонентой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, № 3. С. 331-343.

15. Зайцев М.В., Мищенко С. П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Математические заметки. 2006. Т. 79, № 4. С. 553-559.

16. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. М. : Мир, 1998. 703 с.

REFERENCES

1. Giambruno, A. & Zaicev, M. 2005, Polynomial Identities and Asymptotic Methods, .WIS Mathematical Surveys and Monographs, Providence, R.I. doi: 10.1090/surv/122

2. Bahturin, Yu. A. 1987, Identical relations in Lie algebras, VNU Science Press, Utrecht.

3. Drenskv, V. 2000, Free Algebras and Pi-Algebras. Graduate Course in Algebra, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-Singapore.

4. Shulezhko, O. V. 2015, "On almost nilpotent varieties in different classes of linear algebras", Chebyshevskiy Sbornik, vol. 16, no. 1, pp. 67-88.

5. Mishchenko, S., Valenti, A. 2014, "An almost nilpotent variety of exponent 2", Israel Journal of Mathematics, vol. 199, no. 1, pp. 241-257. doi: 10.1007/sll856-013-0029-4

6. Mishchenko, S. P. 2010, "Varieties of linear algebras with colength one", Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 65, no. 1, pp. 23-27. doi: 10.3103/S0027132210010043

7. Frolova, Yu. Yu., Shulezhko, O.V. 2015, "Almost nilpotent varieties of Leibniz algebras", Prikladnaya Diskretnaya Matematika, no. 2(28), pp. 30^36. doi: 10.17223/20710410/28/3

8. Mishchenko, S., Valenti, A. 2015, "On almost nilpotent varieties of subexponential growth", Journal of Algebra, vol. 423, no. 1, pp. 902-915. doi: 10.1016/j.jalgebra.2014.10.038

9. Mishchenko, S. P., Panov, N. P., Frolova, Yu. Yu., Nguyen, Trang 2016, "On the varieties of commutative metabelian algebras", Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 21, no. 1, pp. 165-180.

10. Mishchenko, S. P., Shulezhko, O. V. 2014, "Description of almost nilpotent anticommutative metabelian varieties of subexponential growth", Mal'tsevskie Chteniya : tez. dokl. mezhdunarod. konf. (Mal'tsev Meeting : collection of abstracts of international conference), Novosibirsk, pp. 110.

11. Mishchenko, S. P. 2017, "Infinite periodic words and almost nilpotent varieties", Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 72, no. 2, pp. 173-176

12. Shulezhko, O. V. 2014, "New properties of almost nilpotent variety of exponent 2", Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., vol. 14, no. 3, pp. 316-320.

13. Mishchenko, S. P., Shulezhko, O. V. 2015, "Almost nilpotent varieties of arbitrary integer exponent", Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 70, no. 2, pp. 92^95. doi: 10.3103/ S0027132215020084

14. Panov, N. P. 2017, "On Almost Nilpotent Varieties with Integer Pi-Exponent", Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., vol. 17, no. 3, pp. 331-343. doi: 10.18500/1816-97912017-17-3-331-343

15. Zaitsev, M. V., Mishchenko, S. P. 2006, "Colength of varieties of linear algebras", Math. Notes, vol. 79, no. 4, pp. 511—517. doi: 10.1007/sll006-006-0056-0

16. Graham, R. L., Knuth, D. E. k, Patashnik, O. 1994, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley.

Ульяновский государственный университет.