Градуированные тождества конечномерных алгебр коразмерностей тождеств ассоциативных алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

где

J Is —

Отсюда, пользуясь неравенством

1

£

x&As

da.

2к-2п

(uf-2n + ...+U.

2к—2п\ 2к—2п' '

ПОЛУЧИМ

Jls <

п

п„

Х\ ,... ,Xri

2m(F(x1;m1)+...+F(x„);m„)

Х<Р

27TÍF(x,m*)

2к—2п

da,

где штрих в знаке суммы означает, что суммирование ведется по наборам х\,... ,хг, для которых

матрица Якоби I = д^!'"'1^ по модулю ps имеет максимальный ранг п, и набору чисел т = т* в

F(x), для которого интеграл максимален.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № НК-13-0Ю0835.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1980.

2. Hua L.-K. An improvement of Vinogradov's mean-value theorem and several applications // Quart. J. Math. 1949. 20. 48-61.

3. Архипов Г.И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы // Матем. заметки. 1975. 17. 84-90.

4. Архипов Г.И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орлов, гос. ун-та, 2013.

5. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. 40, № 1. 209-220.

6. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N., Karatsuba A.A. Trigonometrie sums in number theory and analysis //De Gruyter expositions in mathematics. Vol. 39. Berlin; N.Y., 2004.

7. Franel J. Les suites de Farey et le problème des nombres premiers // Göttinger Nachr. 1924. 198-201.

8. Landau E. Vorlesungen über Zahlentheorie. Vol. 2. Leipzig, 1927.

9. Романов H.П. Теория чисел и функциональный анализ: сб. трудов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2013.

10. Greaves G.R.H., Hall R.R., Huxley M.N., Wilson J. С. Multiple Franel integrals // Mathematika. 1993. 40. 51-70.

Поступила в редакцию 28.1Í.2014

УДК 512.572

ГРАДУИРОВАННЫЕ ТОЖДЕСТВА КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР КОРАЗМЕРНОСТЕЙ ТОЖДЕСТВ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР

М.В. Зайцев1

Изучаются числовые характеристики тождеств конечномерных Z2-градуированных алгебр. Доказано, что градуированная кодлина такой алгебры является полиномиально ограниченной функцией.

Ключевые слова: тождества, действие симметрической группы, кодлина.

Numerical characteristics of identities of finite-dimensional Z2-algebras are studied in the paper. We prove that the graded colength of any such an algebra is polynomially bounded function.

Key words: identities, symmetric group action, colength.

В работе изучаются числовые характеристики конечномерных алгебр, связанные с их тождествами. Пусть А = Ао ф А\ — Z2-rpaflvnpoBanHaH алгебра над полем F нулевой характеристики,

1 Зайцев Михаил Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zaicevmvQmail.ru.

a F{X, Y} — абсолютно свободная алгебра от двух бесконечных наборов порождающих. Переменные из X будем называть четными, а из Y — нечетными. Тогда F{X, Y} наделяется естественной ^-градуировкой, в которой одночлен w = w(x\,... ,хт,у\,... ,уп) является четным (т.е. лежит в F{X,Y}о), если степень w по yi,...,yn четна, или нечетным (т.е. лежит в F{X,Y}\), если его степень по у\,..., уп нечетна. Многочлен / = f(x\,..., хт, уi,..., уп) является градуированным тождеством алгебры А, если f(a\,..., ат, Ъ\,..., Ъп) = 0 для любых ai,..., ат € Ъ\,..., Ьп € А\.

Совокупность всех градуированных тождеств алгебры А образует градуированный идеал в F{X, Y}, который мы обозначим через Idgr(A). Пусть Рк}П-к — подпространство полилинейных многочленов от х\,..., Хк, У1, ■ ■ ■ , Уп-к в F{X, Y}. Рассмотрим факторпространство

Рк,п-к(А) = Рк>п~к

При изучении тождественных соотношений в алгебрах важную роль играет действие симметрических групп на полилинейных многочленах. В градуированном случае на пространстве Рк>п-к действует группа Б к х вп-к, при этом

аЦх 1, ...,Хк,У1,.. ■ , Уп-к) = /(ЖСТ(1), . • -,Ха{к),У1, ■ ■ ■, Уп-к),

т/(жЬ ...,Хк,У1,..., Уп-к) = /(Ж1, . . . , Хк, Ут(1), • • • , Ут(п-к))

для любых а € Бк, т € Зп_к- Пространства Рк,п-к и Рк,п-к^№&т(А) являются б^хб^-^-модулями, поэтому и Рк,п-к{А-) наделено структурой Бк х ¿>га-Агмодуля. Число неприводимых компонент 1к>п-к{А) в его разложении называется (к, п — /г)-кодлиной алгебры А, а сумма

1^{А) = ^1к,п-к{А)

к=0

— градуированной кодлиной А.

При исследовании асимптотического поведения последовательности коразмерностей тождеств какой-либо алгебры важным фактором является возможность ограничения роста кодлины полиномиальной функцией. В неградуированном случае полиномиальная ограниченность кодлины доказана (и активно использовалась) во многих частных случаях, например в случае произвольных ассоциативных PI-алгебр [1]. Для произвольной конечномерной алгебры аналогичный результат получен в [2]. Для конечномерных супералгебр Ли полиномиальная ограниченность градуированной кодлины отмечена в работе [3], однако там не было получено никаких оценок в терминах размерности, как это сделано в неградуированном случае в [2]. Основной целью настоящей заметки является получение полиномиальных верхних оценок для кодлины любых Z2-rpaflvnpoBanHbix конечномерных алгебр. С основными понятиями теории тождественных соотношений и связанных с ними числовых инвариантов можно ознакомиться в монографии [4].

Обозначим через Хк,п-к(А) характер х(Рк,п-к(А)) как Sk х Sn-k-модуля. В силу полной приводимости представлений группы Sk х Sn-k мы имеем разложение Хк,п-к(А) на неприводимые характеры:

х(Рк,п-к(А)) = Y^ m\ßX\ß, (1)

Ah к, ß\~n—k

гДе X\,ß — неприводимый характер Sk х Sn_k, отвечающий паре разбиений Л, ц чисел к и п — к соответственно, а rri\iß — его кратность в Хк,п-к(А). Все необходимые сведения по теории представлений симметрических групп можно найти в [5].

Из (1), в частности, следует, что

h,n-k(A)) = ^ mx>ß. (2)

Ahfc

^hn — к

Пусть теперь А = Ао ф А\ — конечномерная Z2-rpaflvnpoBanHaH алгебра, dim Ао = dojdim А\ = d\. Обозначим через высоту h{\) разбиения Ahfc число ненулевых компонент Л, т.е. если Л = (Ai,..., Ар), Ai ^ Аг ^ ... ^ Ар > 0, то h{А) = р. Тогда известно, что m\tß / 0 в разложении (1), если только h{А) ^ do,h(ß) ^ d\.

Пусть теперь R = R{X, Y} — относительно свободная алгебра многообразия градуированных алгебр vargr(A), порожденного алгеброй А, со счетными множествами четных X и нечетных

Y порождающих. Обозначим через R^^di подпространство в R многочленов от х\,... ,Xd0 € X, у 1,... € Y степени к на четных {xi} и степени п — к на нечетных {¡jj} переменных соответственно.

Лемма 1. Если тд,ц — кратность из разложения (1), то т\;jtt ^ Rd'^dx ■

Доказательство. Обозначим через Pk,n-k подпространство полилинейных многочленов в Rot

xi,...,xk, yi,...,yn-k- Тогда Pk,n-k как Sk х 5"га_д,-модуль изоморфен Pk,n-k(A). Поэтому Pk,n-k содержит подмодуль

М = Мг® ...®Mq, (3)

где q = а каждый из М\,... ,Mq — неприводимый Sk х модуль с характером Хх,ц- На-

помним, что любой неприводимый ^-модуль с характером хх изоморфен минимальному левому идеалу, порожденному в групповом кольце -FfSfc] квазиидемпотентом етх, построенным по некоторой таблице Юнга Т\ с диаграммой D\, а любой модуль Mj в разложении (3) содержит многочлен

fj = fj(xi, ...,xk,yi,.. ■, Уп-k) = eTxeTfihj(x ь ...,xk,yi,...,yn-k),

где hj — некоторый многочлен из Pktn-k-

Из явного строения квазиидемпотентов етх, еу следует, что каждый из fj симметричен по следующим наборам переменных:

Pi = {xi,... ,xXl}, Qi = {yi,...

P2 = {^1+Ax, • • • ,Жл1+А2}> Q2 = {yi+Mi, • • • ,У[11+мг}>

Pdo = ia;l+Ai+...+Ado_i) • • • ,%k}, Qd1 = {2/1+M1+.• • • ) Un-k}-i

где A = (Ai,..., Ad0) k, ¡j, = (¡jl\,..., ц^) n — k. Как отмечалось выше, h{A) ^ do, h(/j,) ^ d\. Для удобства изложения мы здесь предполагаем, что если, например, h(А) = m, < do, то Am+i = ... = Ado = 0 в записи А = (Аь ..., Xdo).

Рассмотрим гомоморфизм ip : R —>■ R, при котором <р(%а) = Xj для любого Ха € Pj, j = 1,..., do', У/3) = Уз Для любого у/з е Qj,j = I,... ,di. Тогда все <£>(/i), • • • лежат в а полная линеаризация любого <p(fj) равна самому

многочлену fj с ненулевым коэффициентом (Ai)!... (A(i0)!(/ii)!... (/х^)!. Осталось только заметить, что ip(f 1),..., <fi(fq) линейно независимы, поскольку соотношение aiip(fi) + ... + aqip(fq) = 0 влечет соотношение a\fi + ... + aqfq = 0, a f\..., fq лежат в разных прямых слагаемых в разложении (3). Поэтому q = ^ dim Rd'™d , и лемма доказана. □

Лемма 2. Пусть А = Ао ф А\ — Ъ2-градуированная алгебра, dimAo = do,dimAi = d\,d = do + d\. Тогда

dim Rkd'on~k < d(k + l)d° (n — k + l)di. (4)

Доказательство. Пусть a\,... ,dd0 базис Ao,b\,... ,bd1 базис Рассмотрим алгебру A = A(S)F[xij, yij], где F[xij, yij] — кольцо многочленов от бесконечного числа переменных {xij,Uij},i,j = 1,2,... . Положим

do di

Zi = ®Xij, г = 1,2,...; U = ^bj <S> y^, г = 1,2,....

3=1 3=1

Известно, что подалгебра, порожденная {zi, z2, ■ ■ ■, t\, t2, ■ ■ ■} в А, является свободной алгеброй градуированного многообразия vargr(A), т.е. изоморфна R. При этом пространство R^^di вложено в А®Т, где Т — подпространство однородных многочленов в F[xij, у^] от х\\,... ,Х\ do, ■ ■ ■ ,Xd01, ■ ■ ■, Xdodo, 2/ii) • • • ,yldi, • • •, Vdxi, ■ ■ ■ iVdxdx степени k на {x^} и степени n — k на {yij}. Очевидно, что

dimT^ (k + l)d°(n-k + l)di,

и поскольку dim A = d, то выполняется и соотношение (4). □

Теорема. Пусть А — конечномерная Ъ2-гра,дуированная, алгебра, над полем нулевой характеристики, dim Ао = do, dim А\ = di,d = do + d\. Тогда

1) 1к,п-к(А) < d(k + l)do+d°(n - к + l)dl+d\

2) С { А) < d(n + l)ii2+ii+1.

Доказательство. Число пар (Л, /л) разбиений Л Ь к, ц, п — к, для которых h(А) ^ do, h(p) ^ d\, не превосходит (k+l)d° (n—k+l)dl. Поэтому из соотношения (2) и лемм 1, 2 следует первое утверждение теоремы. Второе утверждение — очевидное следствие первого и определения градуированной кодлины. □

Работа частично поддержана РФФИ, грант № 13-01Ч)0234а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Berele A., Regev A. Applications of hook Young diagrams to P.I. algebras //J. Algebra. 1983. 82, N 2. 559-567.

2. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Algebras with intermediate growth of the codimensions // Adv. Appl. Math. 2006. 37, N 3. 360-377.

3. Repovs D., Zaicev M. Graded identities of some simple Lie superalgebras // Algebras and Representation Theory. 2014. 17, N 5. 1401-1412.

4. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods // Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.

5. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М.: Наука, 1982.

Поступила в редакцию 01.09.2014

УДК 519.622

О ПРИМЕНЕНИИ РЯДОВ ЧЕБЫШЁВА К ИНТЕГРИРОВАНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЫСТРОРАСТУЩИМИ РЕШЕНИЯМИ

О. Б. Арушанян1, Н. И. Волченскова2, С. Ф. Залёткин3

Описан метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на аппроксимации правой части системы частичной суммой ряда Чебышёва и вычислении коэффициентов ряда с помощью квадратурной формулы Маркова. Показана более высокая эффективность предложенного метода по сравнению с методами типа Рунге-Кутты и Адамса при решении дифференциальных уравнений с быстрорастущими решениями.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы, численные методы, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышёва, квадратурные формулы Маркова.

A method of solving systems of ordinary differential equations is described. This method is based on the approximation of right-hand sides by partial sums of shifted Chebyshev series. The coefficients of the series are determined using Markov quadrature formulas. It is shown that the proposed method is more efficient compared to the Runge-Kutta and Adams methods when solving differential equations with rapidly growing solutions.

Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods, numerical methods, orthogonal expansions, shifted Chebyshev polynomials, Markov quadrature formulas.

Рассматривается задача Коши для нелинейной нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

y' = f(x,y), у(хо)=уо, х0 ^х ^хо+Х, (1)

1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arushQsrcc. msu .ru.

2 Волченскова Надежда Ивановна, — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: nadl946Qmail.ru.

3 Залёт,кин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: irazQsrcc.msu.ru.