CC BY
34
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 4 (2011)
УДК 511.3
КРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ1
В. Н. Чубариков (г. Москва)
СОДЕРЖАНИЕ
Обозначения ....................................................128
Введение ....................................................... 128
1. Кратные тригонометрические интегралы .......................132
1.1 Оценки сверху кратных тригонометрических интегралов .........132
1.2 Оценки снизу ................................................136
1.3 Об одном особом интеграле ..................................138
2. Кратные рациональные тригонометрические суммы ..............139
2.1 Оценки сверху кратных рациональных тригонометрических сумм .140
2.2 Оценки снизу ................................................143
2.3 Об одном особом ряде .......................................144
3. Оценка кратной тригонометрической суммы Г. Вейля ...........144
3.1 Общие леммы..................................................145
3.2 Оценка кратной тригонометрической суммы Г. Вейля ...........154
4. Асимптотическая формула для числа решений полной системы уравнений
160
4.1 Главный член проблемы .......................................161
4.2 Остаточный член проблемы ...................................164
Список цитированной литературы .................................165
1Данная статья подготовлена по материалам кандидатской диссертации, которую в 1977г. В. Н. Чубариков защитил в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова под руководством доктора физико-математических наук, профессора А. А. Карацубы.
Обозначения
А- набор вещественных чисел аг1...,гт, с услови ем 0 < .. ,ЬГ < п, ще г > 1
и п > 2 - целые числа;
П П
/ (хі,...,хг) = !л(хі,...,хг) = ^ хі1 ,...,х1т;
І1=0 іт =0
М = (п + 1)г; Е - единичный М-мерный куб; ехр(х) = ех;
Зп(к, Р) - число решений полной системы уравнений 2к
^(—1)3х^,... ,хТ = 0; 0 < ¿і,... ,їг < п;
3 = 1
Через 5(А) обозначим тригонометрическую сумму
р р
Б (А) = ^ ^ ехр(2пг/л(хі,... ,хг));
х1=1 хт=1
Зшг - мнимая часть комплексного числа г;
||а|| = шгп({а}, 1 — {а}), где {а} - дробная часть числа а.
Введение
Полной системой уравнений назовем следующую систему 2к
^(—1)3х\),...,хІ3 = 0, (0 < ¿і,...,и < п) (1)
3=1
где неизвестные х1з,... ,хг з, 1 < і < к пробегают целые значения от 1 до Р.
И. М. Виноградов полностью исследовал систему (1) в принципиально важном случае г = 1 и получил точную оценку сверху для числа решений ее (см. [1], гл. 4, теорема 1). Эта оценка называется теоремой о среднем И. М. Виноградова и одним из известных приложений ее являются оценки тригонометрических сумм Г. Вейля.
В 1952 году китайский математик Хуа Ло-Кен, существенно опираясь на теорему о среднем и оценки тригонометрических сумм, полученные И. М. Виноградовым, доказал асимптотическую формулу для числа решений полной системы
уравнений в случае г = 1 при правильном порядке количества неизвестных (см.
[6]). В этой же работе Л. К. Хуа подробно исследовал вопрос сходимости особого ряда и особого интеграла, которые возникают при изучении полной системы уравнений. Для показателя сходимости особого ряда он получил неулучшаемую оценку.
К. К. Марджанишвили в задаче о разрешимости систем уравнений, похожих на систему (1), получил наиболее точную оценку количества неизвестных, начиная с которого наступает разрешимость (см. [7]).
В последние годы А. А. Карацуба предложил схему построения теории кратных тригонометрических сумм (см. [8]-[14], [16], [17]). В реализации этой схемы первый шаг был сделан Г. И. Архиповым. В 1973 году он доказал теорему о среднем значении модуля двукратной тригонометрической суммы (см. [8]-[11]). Для многократной тригонометрической суммы подобная теорема является прямым обобщением этой теоремы и опубликована в совместной работе Г. И. Архиповн и автора диссертации [12], [13].
Дальнейшие результаты по теории кратных тригонометрических сумм связаны с приложениями полученной теоремы о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы. А. А. Карацуба поставил задачу о получении асимптотической формулы для числа решений полной системы уравнений (1) при произвольном г и возможно меньшем количестве неизвестных.
Решение этой задачи является основным результатом настоящей диссертации.
Вывод асимптотической формулы для числа решений полной системы уравнений (1) опирается на теорему о среднем для кратных тригонометрических сумм, на оценки сверху модуля кратных тригонометрических сумм и оценки сверху модуля кратного тригонометрического интеграла и полных кратных рациональных тригонометрических сумм.
Основные моменты решения этой задачи таковы.
Полная система уравнений (1) состоит из М = (п + 1)г диофантовых уравнений. Число ее решений выражается через тригонометрический интеграл;
р р
^Е XI = 1 Хг=1
2к
¿А
ГД6
п п
¡л(х1,...,Хг) = ^ ан.... , гг ж!1 ,...,хь;
*1=0 Ьг=0
и интегрирование ведется по единичному М - мерному кубу Е, определяемому условиями
0 < а*1,...,и < 1, 0 < и,...,и < п, ао,...,о = 0
Область интегрирования ^ та два множества Е1 и Е2. Точками
Е1
имеющие малые знаменатели, и их достаточно малые окрестности (окрестности выбраны так, чтобы они не пересекались). Эти точки называются точками первого класса. Остальные точки куба Е относятся к множеству Е2 и называются точками второго класса.
Интеграл по точкам второго класса дает остаточный член асимптотической формулы. Его исследование основано на оценках сверху модуля тригонометрической суммы и теореме о среднем.
Интеграл по точкам первого класса дает главный член асимптотической формулы. Тригонометрическую сумму в точках первого класса с большой точностью можно заменить на произведение полной кратной рациональной тригонометрической суммы и кратного тригонометрического интеграла. После суммирования по точкам первого класса главный член асимптотики выразится через произведение особого ряда и особого интеграла.
При этом возникает вопрос о сходимости особого ряда и особого интеграла. Это, в свою очередь, связано с необходимостью получения достаточно точных оценок полных кратных рациональных тригонометрических сумм и кратных тригонометрических интегралов (теоремы 1-5 диссертации). Эти теоремы являются оригинальными.
Диссертация состоит из четырех глав.
В первой главе получены оценки сверху модуля кратных тригонометрических интегралов (теоремы 1, 2). В §2 (теорема 3) установлено, что эти оценки нельзя существенно улучшить. В §3 находится оценка показателя сходимости особого интеграла.
Вторая глава содержит теоремы об оценках сверху модуля полных кратных рациональных тригонометрических сумм (теорема 4). Как и в случае тригонометрических интегралов, устанавливается неулучшаемость этих оценок (теорема 5) и оценка показателя сходимости особого ряда.
В §2 третьей главы даны оценки кратных тригонометрических сумм общего вида. Эти результаты носят вспомогательный характер в исследуемой задаче (используются при оценке остаточного члена); получены автором совместно с А. А. Карацубой и Г. И. Архиповым и помещены здесь для полноты изложения.
В последней, четвертой главе, на основе результатов предыдущих глав выводится асимптотическая формула для числа решений полной системы уравнений (1). В §1 выделяется главный член асимптотики. Для этого используются результаты первой и второй глав. В §2 оценивается остаточный член.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [16], [17].
Перейдем к формулировке основной теоремы диссертации.
Обозначим через Зп(к,Р) число решений полной системы уравнений (1).
Основная теорема. Пусть
к0 = 10Мг2п ^(гп).
Тогда при к > к0 справедлива асимптотическая формула ,7п(к,Р) =авР2кг-^ + О (р2"-^-иМ) +
+ О (Р21^-^- 500/2 ^
где айв- соответственно особый ряд и особый интеграл и определяются следующим, образом,:
/ОО
■■
■ оо J —с©
/ ... exp(2ni/A (x1,...,xr ))dx1 ...dxr
/о ./о
2k
(3)
• dan,...,n . . . da0
n n
/A(xi,...,xr) = ^2 •••^ ail;...;ir xl1 ••• x\rr; ао,...,о = 0.
¿1=0 tr =0
-= £ ••• E £ E i-
qn,...,n—1 q0,...,1 —1 an,...,n —1 a0,...,1 —1
(an,...,n> qn,...,n)—1 (a0,...,1j q0,...,1)—1 ^4^
q q n n ^ 2k
q-r ^ ...Y^ exp (2nii^...]^ x1.. .xlr
x1 — 1 Xr—1 t1—0 tr—0 qt1...tr
nn
q= П•Пqt1-tr, Q0,...,0 = i.
t1—0 tr—0
Заметим, что при фиксированном r число k0 в основной теореме нельзя существенно уменьшить.
Действительно, пусть x1;2j-1,... ,xr,2j-1, j = 1,... ,k пробегают независимо целые значения от 1 до P.
Тогда xs,2j-1 = xs,2j; s = 1,... ,r; j = 1,... ,k является решением полной системы (1). Поэтому
Jn(k,P) > Pkr.
С другой стороны, в силу основной теоремы
Jn(k, P) < c(n, k)P2kr-^, (5)
при некоторой постоянной c(n, k) > 0.
Отсюда следует, что для справедливости неравенства (5), а значит, и асимптотической формулы для числа решений полной системы уравнений (1), необходимо, чтобы k0 > 2nM. А в диссертации получена асимптотическая формула при k0 = cMnlogn, где c> 0 - постоянная, зависящая только от г.
В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору А. А. Карацубе за научное руководство и кандидату физико-математических наук Г. И. Архипову за полезные советы.
1 Кратные тригонометрические интегралы
В этой главе содержатся теоремы об оценках сверху модуля кратных тригонометрических интегралов (теоремы 1 и 2 ). В теореме 3 показано, что на классе многочленов от г переменных со степенями по каждой переменной, не превосходящими п, эти оценки нельзя существенно улучшить. В §3 оценка интеграла теоремы 1 используется для исследования сходимости особого интеграла проблемы.
1.1 Оценки сверху кратных тригонометрических интегралов
В дальнейшем нам будут необходимы следующие леммы.
Лемма 1. Пусть 0 < у < 1, f(х) = ипхп + ... + щх, где ип,...,щ -вещественные числа, и = шах( |ип|,..., |и^).
Тогда для интеграла
Г У
I (у) = exp(2пif (х))сХ
справедливо неравенство
II(у)| < шт(у, 62пи-п).
Эта лемма — незначительного вида изменение леммы 4 из главы 2 книги И. М. Виноградова [1].
Условие у = 1 заменено на 0 < у < 1, но это не изменяет доказательства. Лемма 2. Пусть f (x) = anxn + ... + a\x + a0 где an,... ,ai,a0 - веще-
ственные числа,
a = max \o.j\, 0 < в < 1, 0 < x < 1.
0<j<n
Тогда мера точек x, для которы,х \f (x)\ < ae, не превосходигп 8n2aвт. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n > 2. ^ри n = 1 и 0 лемма тривиально верна). Разобьем интервал 0 < x < 1 на интервалы монотонности f (x). Их количество не превосходит n. Возьмем один из них и оценим
длину xi < x < x2, ^а котором \f (x)\ < ae. ^^дажим t = —2---------1. Из формулы
n
Тейлора имеем
f (x1 + mt) = \^ f-—;(,xi) (mt)k, (m = 1,... ,n). k!
Рассмотрим эти равенства как систему линейных уравнений с неизвестными
—f (k')(xi)tk. Получим к!
f k,xi)=tif (xi+mt) - f (xi)i- m ■ % , (6)
m=i
где Am, А - определители матриц
Am = |1,V,...,Vk-2, Vk ,...,Un-l\,
(v = 1,... ,m — 1, m + 1,... ,n),
А = |1,v,...,vn-i|, (v = 1,..., n).
Известно (см, [15], ч II, отдел VII, §1, задача 10)
д A Sn-k
Am 7 TT
( n — m)!
где Sn-k есть n — к - элементарная симметрическая функция n — 1 числа: 1,... ,m — 1, m + 1,... ,n.
Подставим в (6) последнее равенство и воспользуемся тем, что на интервале xl < x < x2 многочлен \f (x)| < aß. Имеем
n1
f (k)(xi)|tk < 2aß V —-------гг Sn-k к! < 4k!Sn-k aß.
m( n — m)!
m=i 4 '
Пусть а = ^ Тогда
=k (r — к)! (r — к)!
Так как t < —, то n
Кроме того
t-k
<
(r — к)! (n — к)!
n! n!
Sn—r ^
r!(n — r)! r! Поэтому из неравенства (7) следует, что
n r! n! n!
tn < V 4aß^_____________________________-_n_— < 22n+2а-
- k!(n — к) r!(n — r)! r! “ '
Далее имеем
в-i
t < 8а n .
n
t
Значит, на интервале 0 < х < 1 мера того множества, на котором /'(х)| < ав
2 в—1
не превосходит 8п а п .
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть д(х) - кусочно монотонная и кусочно - непрерывная функция, /(х), и, I(у) те же, что и в лемме 1, кроме того тах |д(х)| < Н.
0<Х<1
Тогда для интеграла,
^1 = д(х) exp(2пi/(х))йх
ио
справедлива, оценка
|С1| ^ Н тт(1, и-п)
где постоянная, в знаке ^ зависит от числа, отрезков монотонности функции д(х) и степени многочлена /(х).
0 < х < 1
д(х) х1 < х < х2
Получим
Г Х2 Г Х2 /Г х \
V = д(х)ехр(2п/ (х))^х = д(х)Л( ехр(2п/ (£ )Щ\ =
ОХ 1 ох1 \о 0 /
ГХ2 ГХ1
= д(х2) / exp(2пi/- д(х1М exp(2пi/(0^-
00
J xi \</0
Отсюда имеем
Х2 / rx \
lj exp(2ni/(£)d£П dg(x).
¡V| < 4H max
Xi<y<X2
ГУ
/ exp(2ni/(f))d£ 0
Поэтому из леммы 1 следует, что
¡VI < 4Hmin(1, 62nu-n).
А так как g(x) имеет, конечное число интервалов монотонности, то для G1 справедлива сформулированная оценка.
Лемма 3 доказана.
Теорема 1. Пусть а = max ¡atl..,tr¡, а0)...)0 = 0,
0<ti,...,tr <n
Ir = "'I exp(2ni/(xi,...,xr ))dxi ••• dxr.
00
Тогда
¡Ir I < min(1, (6n)2ra-n (ln(a + 1) + 1)r-1).
Доказательство проведем методом математической индукции по числу переменных многочлена. При г =1 теорема верна (лемма 1). Предположим, что она справедлива для г — 1 переменной. Докажем ее для г переменных.
Пусть
Тогда
а = |а8і,...,8г.|; 31 > 0; і = [1п(а + 1)] + 1;
Ео
Ек
Ег-
ІФзі,..,зг-і(хт)| < і};
|жг а< Іфзі,..,8т-1 (хг)| < ак | , к = 1,...,і — 1; {Хг а< ІФзі,...,8г-і(хг)|} ,
П
/ (х1,. . .,хг ) = ^ ^ х1 • • • ХГ-1 фіі, ... , и-і (хг ).
гі=о іг=о
і-і
^Г | < тезЕ0 + тевЕк х
х тах
Хг £Ек
+ тах
Хт&Еь
к=1 -1 /•!
ехр(2пі/(х1;..., хг))dx1 • • •
Хг-і
оо
Г-1 Г1
+
ехр(2пі/(х1;..., хг))dХl • • • dxг-1
оо
Из леммы 2 имеем,
2 і і _к_
тевЕк < 8п а п +
2 і
тезЕ0 < 8п а-п.
к
, к = 1,... ,і — 1;
А из предположения индукции следует, что
тах
ХГ ^Ек
ехр(2п/(х1;..., хг))dХ1 • • • dxг-1
<
< тіп(1, (6п)2(г 1)а (1п(а + 1) + 1)г 2), к =1,...,і
При а > 1 из этого получаем
І-1
к=1
г2
(1п(а + 1) + 1)г-2 + (6п)2(г-1)а-(1п(а + 1) + 1)г-2 <
< (6п) га п (1п(а + 1) + 1)г .
1
1
о
о
Кроме того, справедлива тривиальная оценка
\Ir \ < 1.
Соединяя вместе последние оценки для Ir, получим сформулированную в лемме оценку.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть g(x1,... ,xr) кусочно-непрерывная и кусочно монотонная, по каждой переменной при произвольных фиксированных значениях других переменных, H = max \g(x1,... ,xr )\. Далее, пус ть f (x1,...x2), a, Ir -
0<Xi,...,Xr <1
me же, что и в теореме 1. Тогда для интеграла,
Gr = ••• g(x1,...,xr) exp(2nif (x1;...,xr ))dx1 ...dxr
00
справедлива, оценка
\Gr \ Hmin(1, a-n (ln(a + 1) + 1)r-1).
Доказательство проведем по индукции. При числе переменных г =1 теорема верна (лемма 3). Предложим ее справедливость для г — 1 переменной. Докажем ее для г переменных. Пусть а = |а81)...)8г.|; ^ > 0; Е0,...,Е4; 1 (хг) _ те же, что и в доказательстве теоремы 1. Тогда
tl, ... , tr—1\'A-'Г )
t- 1
IGJ < HmesEo + > mesEh' max 1 1
xr £Ek k=1
■ exp(2nif (xi,... ,Xr))dxi ■ ■ ■ dxr-1
■ exp(2nif (xi,... ,Xr))dxi ■ ■ ■ dXr-1 В силу леммы 2 и предложения индукции имеем
/ ■■■ g(xi,...,xr)■
/0 Jo
max / ■ ■ ■ g(xi,..., xr)■
xr€Et . о . 0
t-i
1 1 k k_____________________1 ¿-\
\Gr\ ^ Ha-n a-n^Hmin(1, a-(ln(a + 1) + 1)r- ) +
k=i
+ H min(1, a- — (ln(a + 1) + 1)r-2) Hmin(1, a-n (ln(a + 1) + 1)r-i).
Теорема 2 доказана.
1.2 Оценки снизу
Здесь мы покажем, что оценку 1Г при фиксированных п и г и растущем а в теореме 1 нельзя существенно улучшить. Это следует из того, что при а > 1
для интеграла
г 1 г 1
1Г(а) = / ■ ■ ■ ехр(2пгажП ■ ■ ■ хП)йх1 ■ ■ ■ йхг
ио ио
справедливо неравенство
1 (а)| - 2ппг(Г - 1)!а""(1па)- (8)
Прежде всего, справедлива формула
а
(_1)г-1 г1 1Г (а) = ---—- ехр(2пюхп)(1п х)г-1в1х.
(г — 1)!
о
Доказательство проведем по индукции. При г = 1 лемма верна. Предположим ее справедливость для г — 1 переменной. Докажем ее для г переменных. По предположению индукции имеем
Г (—1------- I I ехр(2.п1ахпч,п)(1п у)г-2-
ю Л (г — 2)! \ио
1Г(а) = Ir-1(аxn)dx = ----— ( ехр(2пюхпуп)(1пу)г 2dy)dx
^ ехр(2пюхпуп)(1пу)г 2dy^j
После замены переменных г = ху получим
( 1)г—2 г-1 гх
1Г (а) = -----г Ш 1п х) ехр(2пюгп)(1п г — 1п x)r-2dx
(г — 2)! Л Jо
Проинтегрируем последний интеграл по частям
1г (а)
(£(—1)” С- 2<>п х)” (1п г)'-2-”') \”=0 /
1)г-2 г1 гх
----2)! J d 1пх у ехр(2пгагп) ( У^(—1)”С”-2(1пх)”(1п г)г-2-к ) dz
— 1)г-2 г ^ (—1)” Г1 ?х
Ск-2 ^(1п х)ш ехр(2пгагп)(1п г)г-2-к^г
г —2)! к + ^-2,„
— 1)г-1 г-2 (—1)” гх
------— -С” 2 ехр(2пгагп)(1п г)г 1dz.
г — 2)! ”=0 к + 1 г 2Уо
Так как
1 г-2
- £<—!)”к—!С-
г — 1^у 'к + 1 г-2 г — 1 ”=0
г
Лемма 4 доказана.
Теорема 3. При а > 1 справедливо неравенство (8).
1
Доказательство. Пусть J = Jm(In(a)). Сделаем замену переменной интегрирования z = yn и проинтегрируем по частям. Получим
1 Í'1 ( 1 )Г-1
J = -----— sin 2nayn [ ln - dy =
(r - 1)Uо V У/
1 í' i ( 1 \r-1 1
sin(2naz)íln -j zn-1dx =
1 ^Yi ЛГ-1 1 -Ki ■ 2
ln - z n d sin naz = z
nr(r — 1)! Jo V z,
nanr (r — 1)! ,/0 y z,
1 Ґ ■ 2 , / Л Лr 1 i-1
sin nazd in - z^
папг (г — 1)! ,/0 \ V г
Кроме того, если заменить г на г — 2а, будем иметь
1 /* 1+ — / ( 1 \ г—1 / 1 \ 1 — 1Ч
1 [ +2“ о ,/ Л 1 \ / 1 ' "
/7 1 v_V п" "Л
cos2 nazd ( in-------т- І ( z-----) .
VV z — 2bJ V 2a) )
J =---------;-----гг cos nazd in-----i- z —
nanr (r — 1)! У і \ V z — 2l
Так как при 0 < г < 1 функцпя — (}п 1)Г 1 г™ 1^ неотрицательная
нотонно убывающая, то складывая выражения J, получим
2J >------------------------1-—[ d\ zn"1
nanr(r — 1)! Ji \ V z
a \
1-------a" 1(in a)r"1 a" n+1 =
nnr (r — 1)!
1 -a n (in a)r 1.
Таким образом
nnr (r — 1)!
\Ir (a)| > J ----7T7 a" П (in a)
r1
2nnr (r — 1)!
Теорема 3 доказана.
1.3 Об одном особом интеграле
Здесь мы находим нижнюю границу для числа переменных полной системы уравнений, начиная с которой особый интеграл рассматриваемой задачи будет сходиться.
Лемма 6. Пусть
О = / \1г\2кdA
где интегрирование ведется по всем —ж < а,ц,..,и < +ж, 0 < ¿1,...,¿г < п кроме а0,...,о = 0. Тогда в сходится при к > ЩМ.
Доказательство. Пусть, как и в теореме 1 величина а = тах \а11...,1г\.
Тогда из этой теоремы следует, что выполняется следующая оценка
\1Г \ ^ тт(1, а-п +£),
где Пм > £ > 0 _ любое фиксированное вещественное число. Заметим, что справедливо неравенство
тт(1, а~п +£)= _тт (1, \аь1,..,ьг\-п +£) <
0<11,...,1г<П
< Д т1п(1, \агъ..,и\(-п +е) м-),
где означает, что произведение берется по вс ем указанным ¿1,... ,ЬГ,
о<г1,...,Ьг <п
кроме ¿1 = • • • = ¿г = 0. Подставим эту оценку интеграла 1Г в в. Получим, что в сходится при
/ 1 ) 1 пМ
2к (-----+ £ ) ---- < —1; к > ------.
V п ) М — 1 ’ 2
Лемма 6 доказана.
2 Кратные рациональные тригонометрические суммы
Полной кратной рациональной тригонометрической суммой назовем сумму вида
ехр(2п/(х1-.-'Хг ^ ,
где д > 1 - целое число;
П П
/ (хъ...,хг) = ^ ..^5^ аЬ1,..,Ьг х!1 ••• X;
11=0 1Г =0
многочлен с целыми коэффициентами.
Эта глава содержит оценки сверху модуля таких сумм (теорема 4). В теореме
п
и г и растущем д. В §3 на основе оценок теоремы 4 устанавливается сходимость особого ряда а.
2.1 Оценки сверху кратных рациональных тригонометрических сумм
Здесь мы определим верхнюю границу модуля полной кратной рациональной тригонометрической суммы. Для этого нам будут необходимы следующие леммы
Лемма 1. (Хуа) Пусть р - простое число, I > 1 - целое, и пусть ф(х) = а1х + • • • + апхп, (а1,..., ап,р) = 1,
п1
'№)- £ '»И?)
Тогда имеем
й < п>‘(1-п).
(лемма 6, гл. III, [1])
Лемма 2. Пусть /(х) = а0 + а1х + ... + апхп, (а0,а1, ...,an,p) = 1 и пусть Ып(а, в) число решений сравнения /(х) = 0(mod рв), а > в, 1 < х < ра . Тогда имеем
Мр(а,в) < Ъп2пра-п.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
( а 1 , . . . , а п , р ) = 1 ,
(в противном случае сравнение /(х) = o(mod рв) не имеет решений), п > 2 (при п = 1 оценка тривиально верна). Так как из х = х1 (modpв) следует, что и /(х) = /(x1)(mod рв), то
мр(а,в) = ра-2в^^ ехр (2п^а/-(х^\.
а=1 х=1 ' р '
Разобьем сумму по а на в+1 сумм, собирая вместе те слагаемые а, для которых (а,р) = 1; р \ а, но р2 те делит а и т.д.
в
Мр(а,в)= ра-2в ^ Бк;
к=0
пв ' К У
а/(х)
в, = £ £ ^(^/х1)
1<а<рв х=1
Ь п
Рк\\а
По лемме 1 имеем, что (а = а1рк, (а1,р) = 1)
№к \< рв-к
Отсюда следует, что
< п2пр2в-к~~
в —к
к=0
к=0
Лемма 2 доказана. Лемма 3. Пусть
пп
і1=0 іг=0
гг~^а
(«х^) =£-£ (
Тогда имеем
ехр 2пі
/ (хі, ...,Хг )
р
)
Р°
г— 1_ га— -
.
< (5п )г (а + 1)г-1р
Доказательство проведем индукцией по числу переменных многочлена. При г = 1 и любых а ^ 1 утверждение леммы справедливо (лемма 1).
Предположим, что теорема верна для г — 1 переменной и любых а > 1. Докажем ее для г переменных и любого а > 1. Пусть (а31,...у3г ,р) = 1, Б1 > 0. Запишем многочлен / (х1;... , хг) в виде
/ (х1, ... ,хг X] "хГТ- 1і Фіі,...іг-1 (хг ).
іі=0 і,—1=0
Тогда
(^) |< е
Эк = е
1<Хг<ра
Рк 11^1,...,^-1 Х )
£"■£ ехр ( 2пі
Х1 = 1 Хг =1
/ (х1, ... ,хг )
ра
)
Из леммы 2 следует, что
^ 1 < 5п2пра-п, (1 < к < а).
1<Хг<ра рк 11^1,...,^-1 Х )
в
п
п
ра ра
По предложению индукции и из предыдущего неравенства имеем
^ < (5и2п)Г-1(а + 1)г-2р(г-1)а-^ Ъп2пра-П <
< (5п2п)г(а + 1)г-2рга-а, (0 < к < а).
Из этого и следует утверждение леммы 3.
Лемма 4. Пусть д = д1 ■ ■ ■ дк произведение положительных попарно простых чисел, д = qsQs, 1 < 5 < к. Тогда имеем
2^! (Х1,...,Хг ^ = ^Q-1/(Q1xl,■■■,Q1xr ^ ^Qfc1/(^Х1,...^к Хг ^
Доказательство. Если у^, г = 1,...,г, ] = 1,...,к, пробегает полную систему вычетов пomodто
Хг = QlУг,1 + ■■■ + Qk Уг,к, (г = 1, ..., г)
пробегает полную систему вычетов по modq. Отсюда получаем, что (а0,..,о = 0)
к
/(Х1,...,ХГ) = X] /(QiУl,i, ■■■, QiУr,i) (тов,д)
i=1
Из этого сравнения утверждение леммы следует тривиально.
Теорема 4. Пусть коэффициенты многочлена /(х1,...,хг) в совокупности просты с д, то есть
(а0,...,0,1, ■■■, ап,...,п, 0) = 1
Тогда
' / (Х1, ■■■,Хг )'
< (5п2п)г^(т(д))г-1дг
где V(д) - количество различных простых чисел, в разложении на, простые множители д, т (д) - количество делителе и числа, д.
Доказательство. Пусть д = рс^1 ■ ■ ■ р<ак каноническое разложение на про-
гр п[/(х1,...,хг )
стые множители числа д. 1огда го мультипликативности 2
/ ^ о(/(х1,...,хгЛ , 0,
(лемма 4) и из оценки 2 I -----а----- ) (лемма 3) имеем, что
< (5п2п)ги(д)(т(д))г-1д
г—1 „г— —
™ п
Теорема 4 доказана.
Заметим, что 2^(?) < с(е)д£, т(д) < с1(е) -£, е > 0 (леммы 4,5, главы 1,
[1]). Подставим это в оценку 2 ( ----—-,—— ) теоремы 4. Тогда справедливо
-'Г
V д
следующее следствие.
Следствие. При условиях теоремы 4 выполняется неравенство
7(хь .. .,Хг)'
< с(п, г, є)д
т-п +£
Б
(I
где є > 0 — сколь угодно малое число.
2.2 Оценки снизу
Покажем, что при растущем д и фиксированных п и г оценку теоремы
4 нельзя существенно улучшить.
Теорема 5. Пусть р > 3 - простое чи ело, т,п - натуральные числа, п > 1, (п,р) = 1, а = тп, (а,р) = 1. Тогда
ахп.. ■ Хп\ тг-1 / 1\ Г-1
аХ1 Хг \ т і 1 \ га_т
Б(аХП-ХП > (і - ^ р
V ра ) (г -1)! V р)
(г — 1)! \ р/
Доказательство проведем по индукции. При г = 1 теорема верна ([2],
стр.270). Предположим ее справедливость для г — 1 - переменной. Докажем ее
/ 'Х
г* / хг \
для г переменных. Запишем сумму о ----------------- в виде
V ра )
Бк = £•••£ £ «ф (йт^^).
Х1 = 1 Хг-1 = 1 Пк! \х.г
V \\Хт 1<ХГ<ра
Из предположения индукции имеем
% — к
(г — 2)! р
__ т-2 / і \ г—2
а—к)р(т-1)кп (т к) І і 1 \ р(а—кп)(т-1)-т+к
Бк > Ф(ра—к)р(т—1)кп т —к2) (і—р) р
т-2 / і \ т—1
(т — к)т 2 / 1
1 та т
1 1 ,пта—т
(г - 2)! I1 - р; р
Отсюда следует, что
/а^А > / - П
ра р
р> к=0 (г - 2)!
> ^(1 - іу
(г - 1)! р
Теорема 5 доказана.
а
2.3 Об одном особом ряде
Ряд а называется особым рядом рассматриваемой проблемы. Заметим, что он положителен, если сходится. На основе теоремы 4 установим сходимость а.
пМ
Лемма 5. Ряд а сходится при к > ——.
Доказательство. Соберем вместе в а все члены, для которых дЬ1,..,гг, 0 < 11}...,1Г < п имеют одинаковое наименьшее общее кратное, равное Q. Тогда получим (следствие теоремы 4 )
ГО
а а^(-П+)2к
Я=1
где
а(^ = X П ,
д 0<Ь1,...,Ьг <п
^2 означает, что суммирование ведется по дЬ1,...,Ьг (0 < ¿1,... ,ЬГ < п, ¿1 + • • • + д
и > 1), имеющим Q общим наименьшим кратным, Л означает, что в
0<Ь1,...,Ьг <п
1
указанном произведении не рассматривается Ь1 = • • • = = 0, ——— > е > 0 -
3п2 М
любое сколь угодно малое фиксированное число.
Так как д41, ... и < Q, д*1, ... ,и I Q, то
а^) < QM-1(т^))м-1 < c(е)Q(1+£)(M-1).
Из этой оценки для а^) следует, что при выполнении условия
(1 + е)(М — 1) + (— П + е^ 2к < —1
ряд а сходится. Так как ——- > е > 0, то предыдущее неравенство выполня-
1 3п2М
ется при к > ^ пМ.
Лемма 5 доказана.
3 Оценка кратной тригонометрической суммы Г. Вейля
Результаты этой главы получены автором совместно с А. А. Карацубой и Г. И. Архиповым и помещены здесь для полноты изложения. В работах [8], [11] доказаны леммы ”о кратности пересечения областей” в случае многочленов от
двух переменных. В §1 они обобщаются на полиномы любой кратности (леммы 1,2).
При этом, мы следуем идее И. М. Виноградова о сведении задача о числе решений системы нелинейных диофантовых неравенств к аналогичному вопросу относительно системы линейных неравенств (ср. [1], глава IV, лемма 7).
В теореме 6 дана общая оценка сверху модуля кратной тригонометрической суммы Г. Вейля в зависимости от приближения коэффициентов полинома рациональной дробью (ср.[1], теорема 3, глава IV).
Эта теорема может быть обобщена на кратные тригонометрические суммы, у которых длины интервалов суммирования почти одинаковы (то есть отношение длины интервала суммирования по одной переменной к длине интервала по другой не превосходит некоторой постоянной).
3.1 Общие леммы
Для дальнейших исследований определим функции Ви1...,иг , Аи1,..,иг ;
/(XI + ,Хг + Уг) - /(XI + гг,... ,Хг + ¿г) =
п п
^ ]... ^ ] аг1,...,гг ((х1 + Уг У'1 • • • (хг + Уг У'г — (х1 + ¿\У'1 ■ ■ ■ (хг + ¿г У'г) =
¿1=0 'г=0
пп
= X ••• 5] хи1 ••• хи Вии..Мг,
к1=0 кг=0
ТЭ _ \ Л \ Л ГУи 1 гчит (_ ¿1 —и1 ¿г-иг ¿1 и1 ¿г-иг >
Ви1,...,иг / у ' ' ' / , а'1,..,'г С'1 ••• С'1 \У1 ••• Уг ¿1 ••• ¿Г )
¿1—и1 ¿г —иг
.г = £ •••£ а,, ь си ••• си х
¿1 = и1 ¿г = иг
tl + ...+tг =5+к1 + ... + кг
¿1 - и1 ¿г - иг ¿1 - и1 ¿г - иг
Х У " • Уг — ¿1 '"¿г )
Лемма 1. Справедливо следующее равенство
А(з) = ______1_______ т ■ V Н(и1’...’иг,5)л(1)
и1,...,иг \ Пг 1^1 2-^ 2.^ №1 ■... №г■ '01,...,'0г vl,...,„г,
У1=и1
VI ,...,Уг
^1 + ...+^г = 5—1+и1+...+иг
причем коэффициенты полинома ’3 целочисленны, неотрицательны и
их сумма не превосходит зт3-1.
Доказательство. Определим производящую функцию
д(Ш1,...,Шг)
Н (и1,...,иг .з)»у1 . . . ШЬг = 11У1.....Уг 1 г
У1=и, Уг = .г
У,+...+Уг = 3 — 1+и,+...+иг
Ши • ••Шг
(Уг»1 + ... + Уг »г )3 — (¿1^1 + ... + ¿г »г)3 (У1»1 + ... + Уг Шг) — (¿1^1 + ... + ¿г Шг)
Отсюда следует, что
д(Ш1,..., »г) ((У1 — ¿1)Ш1 + • • • + (Уг — ¿г) »г =
пп
= Н^^ШУ1... шу ((у, — ¿0»’, + ... + (Уг — ¿г)
У,=и1 Уг = иг
У1+...+Уг = 5— 1+и,+...+иг
Уг
г
У,=и1 Уг = .г
У1+...+Уг = 5— 1+и,+...+иг
£
\3=1
(У — ¿3 )Нп1’.,*.— 1,..,«г-
') ^
1.....Уг I
Ши1 ... Ш.г(у,»1 + ... + УгШг)3 — (¿1»1 + ... + ¿гШг)3 =
пп
^ ... X »у1...»уг(уу1—и1...уУг—иг — ¿у1—и1...¿уг—иг)х
У,=и1 Уг = иг
У1+...+Уг = 3— 1+и,+...+иг
X
3!
(V, — и,)! •••№ — иг )■'
Приравняем коэффициенты при ШУ1 ... Шуг. Получим
в!
(V, — и,)!... V — иг )■
(уУ
У1 — и1
.. У
Уг — .г ~У1—и1
— Хл
¿Уг — иг )
3—1
Из определения Аи1 ...,иг и из полученного равенства имеем
1 V,! №г!
в! и,! иг!
А(3)
и,.....иг
£ ••• £
У1=и1 Уг =иг
У1 + ...+Уг = 3+и,+...+иг
аУ1.....Уг х
в!
(V, — и,)!... V — иг)!
(о,У1—и1 О ,У г —иг „У1—и, У г —иг\
(у1 . . .уг — ¿1 ... ¿г )
1
их!... иг!в!
£
\ 3=1
У1 =и1 Уг =иг
У1 + ...+Уг = 3+и, + ...+иг
Н (и1.....иг.з) („,._7 .)
ну1.....у^ — 1.....уг (у3 ¿3 )
Г
= —!----------¡ті X " ‘ X ■■■Уг ¡^ь1--
щ! ■■■иг!в! 1
У1=иі ,г — иг
,1+...+,, =в+и1+...+иг
Х ('«3 + 1)(у3 — Х3 )аЪ1,...щ + 1,...,,,^ =
1 ” ”
(иі ,...,ит ,')
Мі! ■■■и !Т! у1_и1
01 —и1 ,, _иг
У1+...+Уг — '- 1+иі + ...+и,
Таким образом лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть
\Ви1’...,иг \ <Р-(и1+...+и,\ (0 < ul,■■■,ur < и), (9)
причем переменные у1, ■ ■ ■ ,уг, г1, ■ ■ ■, хг изменяются в интервале от 1 до У < Р.
Тогда количество целочисленных наборов (у^^у,.), удовлетворяющих неравенствам (9) при любых фиксированных значениях переменных ,
не превосходит количества решений системы неравенств:
(ги)!______________________________________(ги + 1)! . А(1)
(и1 + ■■■ + и, + 1)! ’ (и + ■■■ + и, + 2)! ‘ и1’...’и
<
<_________(ги)!_____________(ги + 1)!_____(4г2и2)г”-и1-...-иг -1р -(и1+...+иг)
(их + ... + иг + 1)! (и, + ... + иг + 2)!
(0 < их,... ,иг < п, 1 < и, + ... ,иг < тп — 1).
г
и3
3=1
г
и3 = тп — 1
3=1
Вп.....п—1...,п Ап...,п—1.....п пап.....п(ук ¿к
I в I < р—гп+1
\Вп.....п—1.....п\ < р ,
где п — 1 в выражении Вп...,п—г...,п и Ап1)..п—1...п стоит на к - том месте.
и1 , . . . , иг
неравенству
г
^2и3 > в + 1.
3=1
и1 , . . . , иг
и1 + ■ ■ ■ + иг — 3
Из леммы 1 следует, что
ГП — П1 — ...—иг
в — А(8)
ви1у...,иг — / ; Аи1,...иг
8=1
ГП—иі — ...-Пт п п . .
= V V V щ "'Уз' Н(иі-и.*М(1)
^ ^ ^ и1! ...иг Ы "1’-’"т "1--"т •
8=1 VI =иі Ут =ит
Уі+...+Ут =в—1+иі+...+ит
Домножим обе части равенства на
(то!) (то + 1)!
Получим
(и1 + ••• + иг + 1) (и1 + ••• + иг + 2)!
(гп!)_______________________________(гп + 1)! А(1)
(и1 + ••• + иг + 1) (и1 + ••• + иг + 2)! иі’---’ит
(то)! (то + 1)!
В
(и1 + ••• + иг + 1) (и1 + ••• + иг + 2)!
гп—иі —...—ит п
^ VI! •••Уя!
X
V1! •••Уя!
^ ^ ^ и1! •••иг!
8=2 Уі=иі Ут=ит
Уі + ...+Ут = 8—1+иі+...+и.
т
(^1 + ... + ьг + 2)! (^1 + ... + гг + 1)!
в!(и + ... + иг + 1)! (и + ... + иг + 2)!
х Ыиъ...,иг 8) (ГП!)_____________(ГП +1)! А(1) .
(гл + ... + гг + 1) (^1 + ... + гг + 2)! ^ Коэффициенты, которые находятся при
М! (гп + 1)! А(1)
(г1 + ... + гг + 1)! (г1 + ... + гг + 2)!
будут целыми числами, так как
(г1 + ... + гг + 2)! (г1 + ... + гг + 1)! г1! ...гг!
в!(и + ... + иг + 1) (и1 + ... + иг + 2)! и1!... иг!
в силу условий
г1 + ... + гг + 2 — в + и1 + ... + иг + 1, в > 1;
и] < г^ < п, ] — 1,... г.
(10)
будут целыми числами.
Поэтому выражение (10) можно заменить числом сравнимым с ним по швй1:
(гп)!
(гп + 1)! А(1)
(и1 + ... иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)!
П1,...иг
<
<
(гп)!
(гп + 1)!
ГП — и1—...—иг
(и1 + ... ,иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)!
г1-.. .г8!
2^ ••• 2^
8 = 2
р-(и1+...+иг) +
+
и1!.. .иг!
X
^1=и1 Уг =иг
У1+...+Уг = 8- 1+и1 + ...+иг
(г1 + ... + гг + 2)! (г1 + ... + гг + 1)!
в!(и1 + ... + иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)!
^^-1^-1 (Гп)! (Гп +1)!
(и1 + ... ,иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)!
х
X (4г2п2)ГП-°1 —. .-°г-1р-(^1+...+^г)
Воспользуемся тем, что
г1! ...гг I ^ 1
< п , г1 + ... + г8 — в — 1 + и1 + ... + иг
и1!.. .иг!
Щ < г^ < п, ] — 1,..., г;
£•••£ 1 < с%-2 < <2гп)'-1.
^1=и1 Уг =иг
У1 +...+Уг = 8- 1+и1 + ...+иг
Получим
(гп)!
(гп + 1)!
(и1 + ... + иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)
<
<
(гп)!
(гп + 1)!
(и1 + ... + иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)!
(4г2п2)гп-и1-...-иг-1 х
rn — Ul — ...—Uг
X
8 = 2
(в — 1)^2
(91
<
<
(гп)!
(гп + 1)!
(и1 + ... + иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)
I 1 )
е2 — 1 + — ) <
■(4г2п2)гп-и1-...-иг-1 р-(и1+...+иг) х
<
16
(гп)
(гп + 1)!_______(4г2 п2)гп-и1-...-иг -1 р -(и1+...+иг)
(и1 + ... + иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)!
Лемма 2 доказана.
Следующая лемма есть незначительное видоизменение леммы 8 гл.IV книги И. М. Виноградова [1].
1
Лемма 3. Пусть т - целое положительное, в - вещественные числа,
Ф(у) = тау + Ху + в; (а,я) = 1, Я> 0,
Я
причем у пробегает < У последовательных целых чисел. Тогда при V > 0 число значений у с условием,
1|Ф(У)11 < Vq-l
не превосходит
ХУт + т + 2V, если У < я,
2У
(ХУт + т + 2V) —, если У > я.
Я
Лемма 4. Пусть Р > (50г4п4)2гп, т= Р*1+-+іг-2г,
аЬ\ — ¿г | |л 1^1
агъ..,1т =-------------------------1-, \0і1,..,іг \ < 1,
Оьі ,...,гг Оьі,..,гг тН,..,ьг
(аь1,...,ьгіЧьі,...^) 1) 0 < Ъ1,..,и < ті1,...,іг■>
(о < г1}...,и < п, 2 < г1}...,и),
Q0 - общее наименьшее кратное Яг1....,гг
(0 < і1,...,іг < п, 2 < і1 + ,..., +Ьг),
пп
/ (хі + Уі,...,Хг + Уг) - / (хі, ... ,Хг) = X ...^2Ві1 ...¿г Хі . ..хГ .
і1=0 и=0
Кроме того, пусть Е(у1,... ,уг) - область задаваем,ая условиями
\1гъ...,гг - Вц....,іг \ < Р-{І1+...+іг}
(0 < Ь1,... ,ЬГ < п, 1 < Ь1 + ... + Ьг < гп — 1),
и пусть С обозначает количество областей Е(у1,...,уг), 1 < у1,...,уг < У < Р, пересекающихся с произвольной фиксированной областью Е(г1,... ,гг). Тогда при
Q0 > Р2Г -
справедливо неравенство
С < (8г4п4)2гпУГ-1 Р1-2г+1ш.
Доказательство. Рассмотрим два случая:
а) при 0 < ¿1,... ,ЬГ < п, 2 < ¿1 + ... + ¿г найдется (¿1,... ,ЬГ), что
. ________к_
Яг!,...,и > Р2г 10М.
(Без ограничения общности можно считать, что ¿1 > 0)
б) для всех 0 < ¿]_,... ,ЬГ < п, 2 < ¿1 + ... + ¿г количество д(1....,(г удовлетворяют неравенствам
___к_
Ягъ..,и <Р2г 10М.
Докажем сначала лемму для случая а). По лемме 2 имеем, что С не превосходит числа решений диофантова неравенства, когда переменные и1,.. .уг изменяются от 1 до У < Р:
(гп)! (гп + 1)!
(¿1,...,ЬГ)! (¿1 + ... + ¿г + 1)
А(1)
1 ,... , ;
<
(гп)! (гп + 1)!
(4г2п2)гп-^-.”-^ р -((1,...,(г—1)
(¿1 ,...,Ьг)! (¿1,...Л + 1)!
Применим лемму 3 при фиксированных значениях переменных у1,... ,уг. По-
лучим
С < ( (гп)!______________(гп +1)!_____ьР-((1,...,(г)+1 у + 1 +
V (¿1,...,*г)! (¿1 + ... + ¿г + 1)! 1Р ' +1+
+ 2. (гп)! . (гп +1)! (лг2п2)гп-(1-...-(г р-((1,..,(Г-1))
+ 2д(1,...,(г (гъ...,и)! (¿1,...,и + 1)! ^ п ) Р )
х (Уд(1....,(г + 1) < (8г4п4)2гпУГ-1Р1-2Гг+ТОМ.
Перейдем к случаю б). Пусть
Qul,...ur °.Н.К.(0_и1 + 1,...,иг , Яи1,П2+1,...,иг . . . } 0_П1,и2,...,иг + 1)
(0 < и1, . . . ,иг < п, 1 < и1 + ... + иг < гп — 1).
Так как
_________(гп)!_________ . _______(гп + 1)!_(лг2п2)ти-и1-...-иг-1 р-(и1+...+иг)
(и1 + ... + иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)!
Х Qul,...ur < п
10
(гп)! (гп + 1)!
^(и1 + 1)У^'и1 + 1,...иг Qul,...,Ur Х
(и1 + ... + иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)!
Х Я-и-1+1,..,иг + (иг + 1)УТи1,...,иг + ^и1,...,иг + 1^и1,..,Пг + 1 < 10 ,
г
то по лемме 2 имеем, что
(то)! (rn + 1)!
-х
(и1 + ... + иг + 1)! (и1 + ... + иг + 2)! х ( (и1 + 1)аи1+1,...игУ1 + + (иг + 1) аП1,...Пг + 1уг \
V Яи,1+1,...иг 0,П1,../аг+1 /
будет целым числом. Пусть каноническое разложение на простые множители числа таково
Qo = Р? ...р? = QkPakk (к = 1,...,в).
Тогда найдутся такие номера (и^,..., иГк)), что
Р? 1 Qu^...,u(k), Ракк +1 ^ Qu^...,u(k) , Р? II Ч^ + ^.-и^ .
Так как (11) - целое число, то С не превосходит количества решений системы сравнений при некоторых
Ьи1к)+1,..,ик ,...,Ьи1к)+,...иГк)+1, (Ьи1к)+1,..,ик ,...Ьи1к),..,ик + 1) = 1 :
(гп)! (гп +1)! И (к) , ,ц , ,
{¿г, , (к) ~ - ((и1 + 1)ьи1к)+1 иГку1 +... +
+ ... + пуг> + 1)! (u\k) + ... + иТ + 2)
(12)
+ (uik) + 1)bu(ik). ^u(k)+1Vr) = о (mod Quk^,u(k)),
к =1,...,s; 1 < yi,...,Vr < Y.
Если Y < Q0, то y\ можно единственным способом записать в виде
yi = Qiyi,i + ... + Qsyi,s, о <yi,k < plk, к = 1,...,s.
Тогда число решений (12) не превосходит числа решений следующий системы
(rn)! (rn + 1)! k
7~lk) k (k) ((ui + 1)du(k)+i u(k) yi,k + ... +
(u\ + ... + ur +1)!(uik) + ... + urk) + 2)! u +l'-'Ur (із)
(ukr + 1)duk). ^u(k)+lyr) = 0 (mod pakk),
при некоторых d (k) (k),... ,d (k) (k).-.
u~i +i,... , u^ u~i ,..., u^ +i
(du(k)+i,... ,u(k ,... , du(k),...,u(k)+i) = L
В силу выбора (u(k),..., urk)), имеем
(duf)+i...,u(k) ,pk) = 1.
Определим вк следующим образом
Рвк
рк
(гп)! (гп + 1)!
(и[к) + ... + и!к) + 1)! (ик + ... + иГк) + 2)!
(ик + 1).
к
(у1,к ,у2,...,уг), причем у1)к принимает не более р^к значений, а остальные у2,... , уг принимают любые значения, определяемые условиями 1 < у2,... ,уг <
У. Отсюда следует, что
С < рв .. .рвУГ-1 < (гп)!(гп + 1)!п!Уг-1.
В случае У > Q0 имеем, что
С < (гп)!(гп + 1)!п^0-1 ^0уО + 1^ .
С
Тем самым, лемма 4 доказана
Для дальнейших исследований нам будет необходима теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы. Эта теорема обобщает
р
адической схеме А. А. Карацубы (см. совместную статью Г. И. Архипова и автора [13]). Приведем формулировку этой теоремы.
Лемма 5. Пусть т > 0 -целое, Р > 1 - целое,
кт = М(т + г), ит = шт(т, гп).
Тогда при любом, к > кт имеет м,есто оценка
I |2(А)|2кСЛ < кГпМ+Мт 3)3г2пМт (пг)3гпИит р2кг-+йт
ЗЕ
где
гпМ 1
От = —1----------------т.
О - -1)
гп
Лемма 6. Пусть f(х1,...,хг) вещественная дифференцируем,ая, функ-г при Лу <
дf (х1,... ,Хг)'
ция при Лу < Ху < В2, ] = 1,...,г, шах(Ву — Лу) = Р. Причем
з
дхз
кусочно монотонна и знакопостоянна при Лу < ху < Ву
и любых фиксированны,х значениях остальных переменных и пусть при 0 < О < 1
дf (х1, ... ,хг)
< О, ] = 1,... ,г.
дху
Тогда имеем
^2 ... ^2 exp(2пif(х1,...,хг)) =
А1 <Х1<Б1 Аг <Хг <Бт
/В г'Бт / Рг-1\
= ... exp(2пif (х1,...,хг ))Сх1 ...Схг + 0 1--------I.
JAl </ Аг V1 —
Доказательство этой леммы получается применением леммы Ван-дер Кор-пута ([1], гл.II, лемма 3) по одной переменной при фиксированных остальных переменных.
3.2 Оценка кратной тригонометрической суммы Г. Вейля
Данный параграф посвящен доказательству оценки сверху модуля кратной тригонометрической суммы (теорема 6). Существенную роль при выводе ее играет теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы (лемма 5) (см.[13]).
п
куб (ап,... ,а1) на точки первого и второго класса и для тригонометрической суммы с многочленом f (х) = апхп + • • • + а1х получает оценку в зависимости от рациональных приближений коэффициентов полинома, мы разбиваем М
торые находятся в малых окрестностях точки с рациональными координатами, имеющими наименьшее общее кратное знаменателей этих координат, не превосходящие Р м . Остальные точки называем точками второго класса. Для всех точек второго класса мы получаем единообразную оценку.
^(Л)| < с(п,г)Рг-р,
где
= 1 Р 50Мг2п к^(4г2пМ)
Из теоремы о среднем следует, что оценка |$(Л)| с противоположным нера-
М
имеющей малый объем. С другой стороны, с помощью сдвигов интервалов суммирования, удается построить достаточно много сумм с почти одинаковой величиной их модуля. Из соображений непрерывности модуль таких сумм будет
М
го куба. Этот объем при соответствующем выборе оценки |$(Л)| превосходит тот, который получается из теоремы о среднем. Такова схема доказательства оценки для точек второго класса. Чтобы показать, что с помощью сдвигов получится много различных сумм нам необходимы леммы ”о кратности пересечения областей” (леммы 2, 4).
Для точек 1 класса с помощью леммы 6 задача об оценке суммы сводится к оценке кратного тригонометрического интеграла и кратной рациональной тригонометрической суммы (см. главы 1 и II). Полученная оценка кратной тригонометрической суммы для точек первого класса на рассматриваемом классе А полиномов неулучшаема в смысле порядка роста величины Р (см. теоремы 3 и 5).
Перейдем к формулировке и доказательству теоремы 6.
Теорема 6. Пусть
а^,...,ьг = ^,и + ztъ..,tr, (аьъ..,ьгА^,...,и) = 1, (0 < < п)
0_ь-1 ’... ’ и
и пусть Я ^ общее наименьшее кратное натуральных чисел ,..., ^ с условием, ¿1 + • • •+ > 1, 0 < ¿1,... ,ЬГ < п. Точкой первого класса, назовем, точку а^...,
если
Я <РМ, \zt-t...’’ и\ < Р-(л+' ' '+tr)+М.
Остальные точки назовем, точками второго класса. Тогда для точек второго класса имеем
\Б(А)\ < Рг-Р
где
= 1 Р 50Мг2п ^(4г2пМ)
а, для, точек первого класса,
\Б(А)|<< РгЯ-п+£
где е > 0 — любое сколь угодно малое число, а, если положить
5^,...,и = ^ь.”’^ РЬ1+' • •+tr, 6 = тах \6^’.”’^\,
0<^’.”’и <п
то
\Б(А)\ < РгЯ-п +£6-п(1п(6 + 1) + 1)г-1, 6 < 1.
Доказательство. Рассмотрим точку первого класса. Пусть
П' Р — пз
Ху = + Пз, 1 < Пз < Я, -Я < £з < Я , 3 = 1,...,г.
Тогда
<^ <^ / п п \
^(А) = X • • • X ехр ( X • • • X а*1,'"’*Г п11 • ••Ф ) №т’.”,пг,
П1 = 1 Пг=1 \ tl=0 и =0 У^’.-’Ъ /
(п п \
^^•••^ ^1’””^ (Я& + п^1 г • • , (Я& + Пг Н .
tl=0 и =0 /
Без ограничения общности рассуждений можно предположить что Р > (50г4п4)2гпМ. К сумме WVl’’’’’Vr применима лемма 6. Действительно, производная по ^ (1 < 3 < г) от полинома в экспоненте не превосходит по модулю
пМЯР-1+м < 0.01.
В силу этого, после замены переменных интегрирования
Я^1 + П1 Я& + Пг
х1 =----- ---,... ,хг =--------
Р
Р
будем иметь
Wm’’’’,rlr = Рг Я-г
»1 »1 / п п / ••• / ехР 2П*Х/"Х/
^0 ^0 \ tl=0 1г=0
Г— 1/'\1— Г
5^...’ и х1
')
■Х? | ¿Х1
•••¿хг + 0(РГ-1 Я г).
Стало быть, тригонометрическая сумма Б (А) примет вид
2 (А) = иУ + 0(РГ-1 Я)
и = я~
Q Q / п п
‘ X • • • X ехР (2™ X • • • X ■
П1=0 пг=0 V ^=0 tr=0 »1 »1 / п п
У = РГ •• • ехР 2П ^ ^ <
^0 ^0 \ tl =0 tr=0
аЛ’..’^г ь1 гг
---------П11 • ••ПгГ
)
5^,..’,их1 • • •хГ | ¿Х1 • • • ¿Хг
■)
У и
и получим утверждение для точек первого класса.
Перейдем к оценке суммы Б (А) для точек второго класса.
Возьмем величину
П1.’’’,Ьг = Р'1+' • •+tr - ^ (0 < Ь]_,... ,ЬГ < п, 1 < ¿1 + • • • + и)
По известному утверждению из элементарной теории чисел любое вещественное число аtl’...¿г приближается несократимой рациональной дробью atl’...’^д— .’^^, (а^’’’.’1;г ,0ьъ..’,и) = 1 со следующими свойствами:
^^’’’’¿^ @^’.’’^г
а^’.’’’^ =-------------------------------1-,
0ь1’.’’^г 0ь1’.’’^г Ъ1’.’’^г
0 < дН’..’,и < Ъ1’.’’^г , \@t1’’’’’tr \ < 1.
Пусть как и раньше Я — общее наименьшее кратное д^...^ с условиями
0 < ¿ь ... ,ЬГ < п, 2 < ¿1 + • • • + ¿г. Рассмотрим две возможности а) Я0 > Р 2г -1°™ , б) Я0 < Р2г -1°™.
Докажем теорему для случая а).
Произведем сдвиг интервала суммирования по переменным х1}... ,хг на величины у1,...,уг. Получим
р р
Б (А) = ^ • • • ^ ехр(2п/(Х1 +у1,...,хг+Уг )) + 26»0Рг 1(у1 +-+ Уг), ^ < 1.
Х1 = 1 Хг =1
Просуммируем обе части равенства по переменным у1,... ,уг в пределах от
1 до У = [Р1-р] и перейдем к неравенствам, имеем
у у
-Г
\Б (А)! < У
У1 = 1 Уг = 1
рр
Е-Е ехр(2п/(х1 + у1 ,...,Хг + уг))
Х1 = 1 Хг = 1
+ 2гР'-1У.
Положим т = [гп log(4r2nM)] + 1, Ь = М(т + г). Возведем обе части предыдущего неравенства в степень 2Ь, а затем воспользуемся неравенством (а + Ъ)2г < 22t(a2t+Ъ2г), а,Ь > 0 и неравенством Гельдера. Тогда для модуля суммы \Б(A)\2t справедлива оценка
уу
'
\Б(A)\2t < 22tУ-^ X ••• X
У1 = 1 Уг =1
+ (4г)2t Р 2t(r-P).
р р 2t Е-Е ехр(2п/(Х1 + у1,...,хг + уг))
Х1 = 1 Хг=1
+
Определим ’...¿г из равенства
п
/ (х1 + уъ...,хг + уг) - / (у1,...,уг) = ^ • • • Х^1 ’ ... аг Х1 •
^ =0 tr=0
Множество точек ^1 ’...¿т с условием 0 < ¿1;... ,ЬГ < п, 1 < ¿1 + • • • + ¿г < гп — 1, удовлетворяющих неравенствам
Ы’...’и — .’’’’ т \ < Р-(tl+• • •+tr)+р,
обозначим через Е(у1,...,уг). Введем обозначения для тригонометрических сумм
рр
Б (у 1, - - .,ут) ^ X • • • X ехР(2п/(х1 + уь.. .,х' + уг)),
Х1 = 1 Хг =1
рр
(у1,...,уг) = ^ ••• ^ехР(2п*/7(х1,...,х')).
Х1 = 1 Хг = 1
Для всякой точки 7 принадлежащей области Е(у1}... ,уг) имеем \Б(у1,...,уг) — Б~((у1,...,уг)\< 2пМР'-р.
В силу очевидного неравенства получим
у у
\Б (Л)\2і < 22іУ-г^2'" X (У1’-- •’ У г )\2І + (8пМ )2ір2і(r-p)•
У1 = 1 Уг = 1
Проинтегрируем обе части неравенства для 5(Л)\21 то области Е(у1, • •. ,уг). Будем иметь.
5(Л)\2 < ^ Р-гПш+мрУ-гх
У1,...,Уг = 1
х [ ^(уи-.-у)^ + (8пМ)2і + Р2і(г-р).
л Е(уі,...,уг)
В лемме 4 мы оценили сверху число тех областей Е(у1, • • • ,уг) которые содержат заданную точку , 0 < і1’...’іг < п. Из этой леммы следует, что
Е
^ уг-1 р1-2г+тт
областями Е(у1, • • • ,уг)• Учитывая это обстоятельство, прийдем к неравенству \Б(Л)\2і < Р-гцг-+мрУ-гУг-1Р 1-2г+тіш [ 5(в)\2ісІр + Р2і(г-Р\
Е
Воспользуемся теоремой о среднем (лемма 5)
\Б(Л)\2 Р2г-2г + тш +(м+1)р+^РЩг-Р)_
Так как
-(М+1)р - том - + 2; -
то теорема для случая а) доказана.
В случае б) сделаем замену переменных суммирования
і < і < —п
Очевидно
хі = Яоіі + Пі ’ 1 < Пі < Яо, —< Іі < ~ 3 ’ І = 1 •••’;•
Я Я / п п \
5(Л) ^ X " ■ X ехИ " ■ X ПІ1 ■ "ПІ І ^т...,Пг,
41=0 Пг=0 \ іт =0 іг =0 "І1,...,іг )
...,пг = Х"'Хехр
£і ?г
іг =0 (
пп
2™ X ■ ■ ■ X гт..,гх
іі=0 іг=0
V іі+-+іг ^2
х (Я0^1 + Пі)іт ■ ■ ■ (Я0^1 + Пг)іг +
Г
+ 2пі ^І ^Я0 + Я0^0,...,1,...,0^ + Пі^0,...,1,...,0^
где 0,..., 1,..., 0 в записи а0’’”’1’’”’0, д^^Д’’”^ означают, что на 3 месте стоит 1, 0.
Я0а0’.’’’1’’’’’0 = а0’’’’’1”’”0(т^ q0’’’’’l’’’’’0), \а0’.’’’1’’’’’0\ < д ’ 2’ ’ .
Тогда к сумме WVl’... Пг применим лемму 6
(
п
2пг X •••^2^1””’^ Ри+• • •+и х
Wvl,..,Vr = PrQ-r С ••• /'exp
Jo Jo
tl=0n tr =0
V ti+----+tr>2
X ^ • • • e + 2ni £ + Qozo..,) +
j=1 V Q0 \qo,i,о )
■)
+ПZo....,i,...,o) \d^i • •• d& + O(Pr-1Ql-r).
Я0 < Я, 3
при переменной х^- превосходит
>1^_____________________________________Я—) Р>_Р_>Р А
(_____1________________________Q0_ ^
у qo,—,1,—,0 qo,..,i,..,oP1-^ )
qo,...,i,...,o q0...,1...,0P1 2r J Qo 2qo,...,i,...,oQo 2
Поэтому из теоремы 1 следует, что
\wvi...,vr\ « PrQ-rP-^(logP)r-1 + Pr~1Q10~r.
Отсюда очевидным образом получим
\S(A)\ < Pr-P.
Пусть Q0 = Q. Тогда в силу леммы 6 справедлива формула
S (A) = UV + O(Pr-1Q),
Q Q / n n \
£ ... £ exp 2« £... £ '^ГГ ni1 • • • nr
n1=0 nr=1 V t1=0 tr=1 4tl’...’tr /
»1 »1 / n n \
/ ••• exp 2ni 5ti,...,trxi1 • • • xlr
^0 ^0 V t1 =0 tr=0 /
У = Р' • • • ехр I 2п^2_^ • • • 5^’.’’’^х11 • • • х' I ¿х1 • • • ¿хг.
^0 \ ^=0 1г=0 /
и, У.
Я, либо 5 больше чем Рм , то подставим в выражение для Б (А) либо оцен ку и, У,
4 Асимптотическая формула для числа решений полной системы уравнений
Полной системой уравнений (см. введение) назовем следующую систему
2к
X(-1)J••xtrrj = 0 j=1
(0 < t1}... ,tr < n)
___llj xt1 . . . xtr
1) Xij Xr,3 ^
где неизвестные x1j,..., xr,j, 1 < j < 2k принимают целые значения в пределах P.
во введении.
Запишем аналитической формулой число решений системы уравнений (1).
S(A)
P P / n n \
S (A) = X • • • X eXP I 2ni X • • • X at1,..,tr Х1 • •• xtrr I >
x1 = 1 xr = 1 V t1=0 tr=0 /
где A - набор вещественных чисел at1...,tr,
(0 < t1 , . . . , tr < n) .
Тогда из того, что для любого целого m справедливо равенство
f e2niam da = f 1 m 0
Jo 6 \0,m = 0
следует, что
Jn(k,P) = / \S(A)\2kdA. Je
Положим
Tt1...,tr = Pt1+' • •+tr - 2r
и через Е обозначим единичный М - мерный куб с условиями —т-..’^ < а^.’.’и < 1 — Т-1’’^. Так как ехр(2пют) при целом т периодична по а с периодом 1, то
ик,Р) = / \Б(А)\2к¿А.
3 е'
Все точки Е' разобъем на точки двух классов. К первому классу Е1 принадлежат точки А областей Е(а^’’’’’^,д11>...), заданные условиями
_ а1,1 ’... 1г , о
а11 ’... ’ 1г = + и11 ’... ’ 1г
qt1,... tr (15)
(at1...,tr, qt1,..,tr) = 1, \et1,..,tr \ < P-(t1+...+tr-M)
и общее наименьшее кратное Я всех дг1,..,гт, 0 < < п, 1 < ¿1 + • • • + ¿г
не превосходит Р м.
Все остальные точки отнесем ко второму классу Е2. Тогда
■Зи(к, р) = + ^2)
где
л
^2
\Б(Л)\2к ¿Л
ІЕі
|£(А)|2к ¿Л.
' Е2
Из интеграла 3\ будет выделен главный член асимптотической формулы для Зп(к,Р), а 32 дает остаточный член.
4.1 Главный член проблемы
Здесь, основываясь на результатах глав I и II, из интеграла 31 выделяется главный член асимптотической формулы для числа решений полной системы уравнений.
Е1
ресекающихся областей Е(а^.... ¿г, %,...,и), определенных условиями (15). Пусть Е(а...., 0_г-1...,гг) и Е(аЬ1 1. , ^_ Две различные области, тогда существует
(^1, ... , вг) что
Язі,...,.
3і у-,3Т
Язі,...,8г
3і,...,3г
Язі,...,
Язі,...,8г
>
1
Я3і,.,3г Я3і,...,3г
Условие пересечения этих областей запишется так
'('3і,...,3г
3і ,...,3г
Ч3і,...,3г 0-3і,.,3г
<
Т.
3і,...,3Г
Отсюда следует, что
Т3і ...,3г < 2Язі,..,3г Язі,..,3г < Р М ■
В силу выбора г31....3т это неравенство не верно, поэтому области
Е(аЬ1,..,Ьг , дл,.,Ьг ),
образующие первый класс не пересекаются. Пусть Я, как и прежде, равно общему наименьшему дгл,..,гг
0 < ¿ь ... ,и < п, 1 < ¿1 + • • • + и
а
а
г
г
г
г
2
Величина ■11 равна
Яп,...,п
*= £ £ ••• £ £
£ *1
О— 1 Я0,...,1 —1 Яп,...,п—1 а0,...,1—1 ап,...,п—1
он к (до,...,1,...,дп,...,п)—1 (“о,...,1,до,...,1)—1 (ап,...,п,Яп,...,п)—1
11 = \Б (А) Г ¿Л.
¿Е(ач ,..,гт ,дг1,..,гт)
Положим
хз = Яуз + гз; 1 — гз — Я
Тогда
S (Л)
1 —
< Уз <
Р —
я '_ я
О О ( п п \
Е^Еехр ••*) £
Х1 — 1 гг—1 V *1—0 )т—0 4 1’...’ т / —1<у. < -г~г:
д <у1< д
(п п \
^^•••^2 в 1...* т (ЯУ1 + у1) * • • • (ЯУг + ут) *т I
*1—0 *т—0 /
'1 — 2т^'у, < Р — 2т д <Ут < д
Так как
_д_
дУз
(п п
£•••£■
*1—0 )т—0
/3) 1,...и (ЯУ1 + у1)г1 • • • (ЯУг + ут) 1т
)
<
то отсюда в силу леммы 6 из главы III имеем
X X ехР
^ <У1< р^^ <Ут < Рдт
гр д*1
• • • (ЯУт + 2т)
(п п
1—0 т—0
« Р — гт/ п п
1Л ехр(2пг£•••£
д \ )1—0 )т —0
(ЯУт + 2т))т) ¿У1 • •• ¿Ут + о(Рт-1я1-т) = РтЯ-тV(в) + о(Рт-1Я1-т),
р 1 р 1 / п п
V(в) = ••• ехР 2п* X• • • XI
^0 ^0 \ )1—0 )т —0
в)!....)тР)1+' ' '+)тХц • • •хТт\ ¿Х1 • • • ¿Хт.
)
А значит,
5 (Л) = Рт и (Я)Ж (в) + 0(ЯР )
О О / п п
г1 — 1 гт—1 \ )1 —0 )т—0 Ч)1,...,)т
и(Я) = Я ■ ехР
г1 — 1 гт—
1,...,)т 2)1 . . . у)-у1 у т
)
Сделаем замену переменных
1)1,..,)т = в)1...,)тР)1+' ' '+)т, 0 - ¿1,...,и - п.
Область интегрирования по в)1,...,)т ПРИ этом перейдет в область Е3, определяемую условиями
\1)1,.,)т\ — РМ, 0 - ¿1,...,и - п.
Тогда
J = р2гк-rrM U(Q)\2k / IV(1)\2kd1 + o(Pr(2k-1)-\U(Q)\2k-1x
Je 3 v
x J \V(y)|2k-1d7QPr-^ + o (p(r-1)2kQ2krP-rnM+^ .
Рассмотрим интеграл
О = IV(y)I dY,
JRM-1
где интегрирование ведется по всем atl,..,tr, удовлетворяющим неравенствам —ж < atl,.,tr < ж, 0 < t1,... ,tr < n, 1 < t1,... ,tr.
Оценим интеграл
V1 = / \V (Y)|2k dY.
J RM-1\E3
Так как интегрирование ведется по точкам, не принадлежащим E3, то выполняется неравенство
Y = max \Yti,..,tr \ > P1
0<ti,...,tr<n
_1_ * M
Поэтому
п п
V - X/" X/ ¿1п,.,п • • • / ¿Ч81...,8т • • • / IV ^)\2к ¿10....,0,1.
^—0 8т — 0^-~ ^-Ж 1 ^-™
|7в1,...,вт \>р М
В силу теоремы 1 главы 1 имеем, что
IV(7)\ С шт(1,7-п+£), где £ > 0 — сколь угодно малое фиксированное число. Отсюда следует, что
V (7 )\ < Д ш1п(1, \ 181 ,...,8т \-^ + М ).
0<81,...,8т<п
Значит
\V1\ P M (( nM + M )2k+1).
При к > пМ из последнего неравенства следует, что
|^1 | < Р- 2М .
Отсюда имеем
у1 = р2гк-гпМ в\и т2к + о(Р2гк-гпМ-11и т2к)+
+ 0(р2гк-гпМ+М-2к я2кг) + 0(р2гк-гпМ-1я\и (Я)\2к-1).
Так как при к > пМ особый ряд сходится (лемма 5, глава II), то
ОО ОО
гпМ \—"V ^—"V ^—"V
2 9 У У ■■■ У х
^ = р2г—-цм_ 9а _ р^г-м 9 ^ X) ■■■ Е
1
^>Р М
1 Яп,...,п — 1 Я0,...,1 —1
ОНК(дп,...,п, до,...,1)—Я
Яп,...,п Яа,...,1
х ^2 ■■■ X \и (^)\2к + 0(р2гк-гпМ - 2М).
ап,...,п — 1 а0,...,1 — 1
(ап,...,п, Яп,...,п) (а0,...,1> #0,...,1) — 1
Воспользуемся оценкой и (Я) (следствие теоремы 5, главы II). Получим
Л = р2гк-9а + 0(р2гк-- 2м ).
4.2 Остаточный член проблемы
Цель этого параграфа — оценка интеграла J2 сверху. Для получения
к
ному случаю ([1], [6]), существенна теорема о среднем (лемма 5, глава III). Лемма 7. При к > 10Мг2п к^(гп) справедлива оценка
2кг— гпМ_____1____
Л < р 2 500г2 log(rn)
Доказательство. Очевидно
32 = [ \Б(Л)\2к¿А < тах \Б(А)\гпМ [ \Б(А)\2к-гпМ¿А.
Зе2 А&Е2 'Е
Возьмем т = [rn(log(100Mr2n) + loglog(4Mr2n))] + 1. При к > М(т + г) воспользуемся леммой 5 главы III, а для оценки суммы Б (А) для точ ек А, при-
надлежащих второму классу — теоремой 6.
J рг2пМ—гпМрр(2к—тпМ)т— гп2М + гп2М (1-Гп )Т
2кг— гпМ______1 о
р 2 200г \og(4r2nM)
Лемма доказана.
Таким образом асимптотическая формула для числа решений полной системы уравнений (формулировку см. во введении) полностью доказана.
Из асимптотической формулы тривиально следует ’’упрощенная оценка” в теореме о среднем.
Лемма 8. Пусть n,r - постоянные
k > Ï0Mr2nlog(rn).
Тогда для величины Jn(k, P) справедлива оценка
Jn(k,P) < P2kr-.
k
и особого интеграла эта оценка является очевидным следствием асимптотической формулы для числа решений полной системы уравнений.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] И. М. Виноградов Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М. 1971г.
[2] И. М. Виноградов Избранные труды, М, 1952г.
[3] А. А. Карацуба Среднее значение модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, сер, матем.т. 37, №6, 1973г. 1203-1227.
[4] А. А. Карацуба Проблема Варинга для сравнений по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, сер. I (1962), 28-38.
[5] А. А. Карацуба Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР, т.30, №1, 1966, 183-206.
[6] Hua Joo-Keng On the number of solutions of Tarrys problem // Acta Scientia Sínica 1952, т.1, №1, p. 1-76.
[7] К. К. Марджанишвили О некоторых нелинейных системах уравнений в целых числах // Матем. сб. 33 (1953), 639-675.
[8] Г. И. Архипов Кандидатская диссертация. Матем. институт им. В. А. Стек-лова АН СССР, 1975г.
[9] Г. И. Архипов Кратные тригонометрические суммы // Докл. АН СССР, т.219, №5, 1974, 1036-1037.
[10] Г. И. Архипов Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы // Матем. заметки, т.17, вып. I, 1975, 143-153.
[11] Г. И. Архипов Оценка модуля двойной тригонометрической суммы Г.Вейля // Труды матем. институт им. в. А. Стеклова, т.142, 1976г.
[12] Г. И. Архипов, В. Н. Чубариков О кратных тригонометрических суммах //
Докл. АН СССР, 1975, т.222, №5, 1017-1019.
[13] Г. И. Архипов, В. Н. Чубариков Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР, 1976, т.40, вып. I, 209-220.
[14] Г. И. Архипов, А. А. Карацуба, В. Н. Чубариков Верхняя граница модуля кратной тригонометрической суммы (в печати).
[15] Г. Полна, Г. Сеге Задачи и теоремы из анализа, ч. П, М, 1953г.
[16] В. Н. Чубариков Об одной кратном тригонометрическом интеграле // До-
кл. АН СССР, 1976, т.227, №6, 1308-1310.
[17] В. Н. Чубариков О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Матем. заметки, т.20, №1, 1976, 61-68.
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Поступило 8.12.2011
