Расчет методом граничных элементов динамики составных вязкоупругих тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела 1694 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1694-1696

УДК 539.3

РАСЧЕТ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДИНАМИКИ СОСТАВНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ

© 2011 г. А.Н. Петров1, М.Д. Ермолаев2

'Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 15.06.2011

Представлена гранично-элементная (ГЭ) методика на основе метода квадратур сверток и интегрального преобразования Лапласа для решения трехмерных задач динамики вязкоупругих составных тел при смешанных краевых условиях.

Ключевые слова: граничный элемент, граничные интегральные уравнения, численное обращение интегрального преобразования, составные тела.

Рассматривается кусочно-однородное тело. Предполагается, что каждая составная часть является изотропной вязкоупругой. Динамическое состояние однородной части тела описывается соответствующим дифференциальным уравнением Ламе в перемещениях. Используются функции памяти классических вязкоупругих моделей (Максвелла, Кельвина — Фойгта, стандартного вязко-упругого тела) и физические соотношения со слабо сингулярным ядром памяти. Рассматриваются смешанные граничные условия и условия жесткого контакта на внутренних границах. Интегральные представления строятся не только во времени, но и в терминах преобразования Лапласа с комплексным параметром. Используются обобщенные формулы Сомильяны во времени и в изображениях по Лапласу, которые дают возможность построить гранично-временные интегральные уравнения (ГВИУ) и граничные интегральные уравнении (ГИУ) [1]. ГВИУ являются уравнениями Вольтерра по времени, поэтому при построении шаговых схем необходимо использовать сплайн-аппроксимацию по переменной времени. В этом заключается один из основных ГЭ-подхо-дов для решения таких ГВИУ. Но, кроме того, ГВИУ являются интегралом свертки по времени, что определяет разработанный подход — построение квадратурных формул численного интегрирования для интегралов свертки. Сочетание ГИУ и ГВИУ с контактными условиями дает ГИУ и ГВИУ для кусочно-однородных тел.

Особое внимание уделено проблеме построения модификации метода квадратур сверток. Строятся комбинированные формулы метода [2]. Возможности таких формул продемонстрирова-

ны на численных примерах. На рис. 1 представлены оригиналы искомых функций для следующих параметров схемы: N = 500, АГ = 0.01, Ь = 501. Цифрой 1 обозначена кривая, построенная по традиционной формуле метода квадратур сверток, цифрами 2 и 3 — кривые, построенные по результатам применения модификации метода с линейным и квадратичным интерполированием базовой функции. Применение метода квадратур сверток с переменным шагом при линейной интерполяции подынтегральной функции не позволяет решить проблему устойчивости численного построения искомой функции на выбранном временном интервале без измельчения расчетной сетки.

—0.5

0

1

2

3

4

Г, с

Рис. 1

На рис. 2 показано возникновение численных осцилляций при следующих параметрах схемы: N = 500, АГ = 0.01 и использовании равномерных сеток на интервалах ф е [0, я/2], [я/2, 3п/2], [3п/2, 2я] из расчета выбора соответственно Ь = 125, Ь2 = 21 и Ь3 = 125.

Применение комбинированных формул позволяет получить искомый результат на той же сетке (гладкая кривая на рис. 2). Кривые по фор-

Расчет методом граничных элементов динамики составных вязкоупругих теп

1695

-0.5

2

3

Г, c

Рис. 2

мулам неразличимы.

Построение модификаций метода квадратур сверток на основе комбинированных формул дает возможность преодолеть такие ограничения традиционного подхода, как выбор числа шагов по времени, совпадающим с числом узлов по углу. Использование модификаций позволяет сократить необходимое число точек разбиения для достижения заданной точности. В рассмотренном примере удалось понизить число точек в 2 раза, а при уменьшении шага по времени число точек еще более сократится, т.к. информативная часть базовой функции при уменьшении шага по времени будет уплотняться к нулевой точке.

Приведены результаты решений тестовых задач. Рассмотрена задача о сферической полости в безграничной вязкоупругой среде. Рассмотрена задача о действии силы на торец составного призматического тела Р(Г) = 1+(Г) Н/м2, где 1+(Г) - правосторонняя функция Хевисайда. Составное призматическое тело имеет жестко закрепленный торец (рис. 3). Рассматриваются подобласти с одинаковыми параметрами материала: Е = 2.11 Н/м2; V = 0; р = 7850 кг/м3; X = 0; | = 1.055-1011 Н/м2. Каждая из подобластей содержит по 72 элемента и 88 точек на четверти сетки.

0 1 2 3 4 5 Г, с Рис. 4

о„, Н/м2

-0.5

2 3 4 5 Г, с

Рис. 5

Рис. 3

На рис. 4, 5 приведены перемещения и напряжения, возникающие в области контакта. Цифрами 1 обозначено решение с использованием метода квадратур сверток, цифрами 2 - с использованием метода Дурбина, штриховыми линиями — аналитическое решение.

Проведены расчеты с учетом вязкоупругих

свойств материала. Численно продемонстрировано влияние разномодульности подобластей на волновые поля перемещений и напряжений. Уве -личение жесткости второй подобласти приводит к следующему: изменение формы отклика перемещений в точке А — появление временных отрезков с менее резким изменением амплитуды перемещений; существенное изменение формы отклика напряжений в точке С — исчезновение участков постоянных значений напряжений и т.д. Приведено численное решение задачи о штампе на полупространстве. Действует вертикальная сила на деформируемый штамп, расположенный на полупространстве.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы (ГК №2222), при поддержке РФФИ (проект №10-08-01017-а), гранта Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ НШ-4807.2010.8.

Список литературы

1. Баженов В.Г, Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

2. Баженов В.Г., Белов А.А., Игумнов Л.А. Гранично-элементное моделирование динамики кусочно-однородных сред и конструкций. Н.Новгород: ННГУ, 2009. 180 с.

0

1

4

0

1

1696

А.Н. Петров, М.Д. Ермолаев

BOUNDARY-ELEMENT ANALYSIS OF THE DYNAMICS OF COMPOSITE VISCOELASTIC BODIES

A.N. Petrov, M.D. Yermolayev

A boundary-element (BE) methodology based on the convolution quadrature method and the integral Laplace transform for analyzing 3D dynamic problems of viscoelastic composite bodies with mixed boundary conditions is presented.

Keywords: boundary element, boundary integral equations, numerical inversion of integral transformation, composite bodies.