Научная статья на тему 'Расчет методом граничных элементов динамики составных вязкоупругих тел'

Расчет методом граничных элементов динамики составных вязкоупругих тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
133
39
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГРАНИЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ / ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / ЧИСЛЕННОЕ ОБРАЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ / СОСТАВНЫЕ ТЕЛА / BOUNDARY ELEMENT / BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS / NUMERICAL INVERSION OF INTEGRAL TRANSFORMATION / COMPOSITE BODIES

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Петров А. Н., Ермолаев М. Д.

Представлена гранично-элементная (ГЭ) методика на основе метода квадратур сверток и интегрального преобразования Лапласа для решения трехмерных задач динамики вязкоупругих составных тел при смешанных краевых условиях.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

BOUNDARY-ELEMENT ANALYSIS OF THE DYNAMICS OF COMPOSITE VISCOELASTIC BODIES

A boundary-element (BE) methodology based on the convolution quadrature method and the integral Laplace transform for analyzing 3D dynamic problems of viscoelastic composite bodies with mixed boundary conditions is presented.

Текст научной работы на тему «Расчет методом граничных элементов динамики составных вязкоупругих тел»

Механика деформируемого твердого тела 1694 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1694-1696

УДК 539.3

РАСЧЕТ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДИНАМИКИ СОСТАВНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ

© 2011 г. А.Н. Петров1, М.Д. Ермолаев2

'Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

belov_a2@mail.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Представлена гранично-элементная (ГЭ) методика на основе метода квадратур сверток и интегрального преобразования Лапласа для решения трехмерных задач динамики вязкоупругих составных тел при смешанных краевых условиях.

Ключевые слова: граничный элемент, граничные интегральные уравнения, численное обращение интегрального преобразования, составные тела.

Рассматривается кусочно-однородное тело. Предполагается, что каждая составная часть является изотропной вязкоупругой. Динамическое состояние однородной части тела описывается соответствующим дифференциальным уравнением Ламе в перемещениях. Используются функции памяти классических вязкоупругих моделей (Максвелла, Кельвина — Фойгта, стандартного вязко-упругого тела) и физические соотношения со слабо сингулярным ядром памяти. Рассматриваются смешанные граничные условия и условия жесткого контакта на внутренних границах. Интегральные представления строятся не только во времени, но и в терминах преобразования Лапласа с комплексным параметром. Используются обобщенные формулы Сомильяны во времени и в изображениях по Лапласу, которые дают возможность построить гранично-временные интегральные уравнения (ГВИУ) и граничные интегральные уравнении (ГИУ) [1]. ГВИУ являются уравнениями Вольтерра по времени, поэтому при построении шаговых схем необходимо использовать сплайн-аппроксимацию по переменной времени. В этом заключается один из основных ГЭ-подхо-дов для решения таких ГВИУ. Но, кроме того, ГВИУ являются интегралом свертки по времени, что определяет разработанный подход — построение квадратурных формул численного интегрирования для интегралов свертки. Сочетание ГИУ и ГВИУ с контактными условиями дает ГИУ и ГВИУ для кусочно-однородных тел.

Особое внимание уделено проблеме построения модификации метода квадратур сверток. Строятся комбинированные формулы метода [2]. Возможности таких формул продемонстрирова-

ны на численных примерах. На рис. 1 представлены оригиналы искомых функций для следующих параметров схемы: N = 500, АГ = 0.01, Ь = 501. Цифрой 1 обозначена кривая, построенная по традиционной формуле метода квадратур сверток, цифрами 2 и 3 — кривые, построенные по результатам применения модификации метода с линейным и квадратичным интерполированием базовой функции. Применение метода квадратур сверток с переменным шагом при линейной интерполяции подынтегральной функции не позволяет решить проблему устойчивости численного построения искомой функции на выбранном временном интервале без измельчения расчетной сетки.

—0.5

0

1

2

3

4

Г, с

Рис. 1

На рис. 2 показано возникновение численных осцилляций при следующих параметрах схемы: N = 500, АГ = 0.01 и использовании равномерных сеток на интервалах ф е [0, я/2], [я/2, 3п/2], [3п/2, 2я] из расчета выбора соответственно Ь = 125, Ь2 = 21 и Ь3 = 125.

Применение комбинированных формул позволяет получить искомый результат на той же сетке (гладкая кривая на рис. 2). Кривые по фор-

Расчет методом граничных элементов динамики составных вязкоупругих теп

1695

-0.5

2

3

Г, c

Рис. 2

мулам неразличимы.

Построение модификаций метода квадратур сверток на основе комбинированных формул дает возможность преодолеть такие ограничения традиционного подхода, как выбор числа шагов по времени, совпадающим с числом узлов по углу. Использование модификаций позволяет сократить необходимое число точек разбиения для достижения заданной точности. В рассмотренном примере удалось понизить число точек в 2 раза, а при уменьшении шага по времени число точек еще более сократится, т.к. информативная часть базовой функции при уменьшении шага по времени будет уплотняться к нулевой точке.

Приведены результаты решений тестовых задач. Рассмотрена задача о сферической полости в безграничной вязкоупругой среде. Рассмотрена задача о действии силы на торец составного призматического тела Р(Г) = 1+(Г) Н/м2, где 1+(Г) - правосторонняя функция Хевисайда. Составное призматическое тело имеет жестко закрепленный торец (рис. 3). Рассматриваются подобласти с одинаковыми параметрами материала: Е = 2.11 Н/м2; V = 0; р = 7850 кг/м3; X = 0; | = 1.055-1011 Н/м2. Каждая из подобластей содержит по 72 элемента и 88 точек на четверти сетки.

0 1 2 3 4 5 Г, с Рис. 4

о„, Н/м2

-0.5

2 3 4 5 Г, с

Рис. 5

Рис. 3

На рис. 4, 5 приведены перемещения и напряжения, возникающие в области контакта. Цифрами 1 обозначено решение с использованием метода квадратур сверток, цифрами 2 - с использованием метода Дурбина, штриховыми линиями — аналитическое решение.

Проведены расчеты с учетом вязкоупругих

свойств материала. Численно продемонстрировано влияние разномодульности подобластей на волновые поля перемещений и напряжений. Уве -личение жесткости второй подобласти приводит к следующему: изменение формы отклика перемещений в точке А — появление временных отрезков с менее резким изменением амплитуды перемещений; существенное изменение формы отклика напряжений в точке С — исчезновение участков постоянных значений напряжений и т.д. Приведено численное решение задачи о штампе на полупространстве. Действует вертикальная сила на деформируемый штамп, расположенный на полупространстве.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 годы (ГК №2222), при поддержке РФФИ (проект №10-08-01017-а), гранта Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ НШ-4807.2010.8.

Список литературы

1. Баженов В.Г, Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

2. Баженов В.Г., Белов А.А., Игумнов Л.А. Гранично-элементное моделирование динамики кусочно-однородных сред и конструкций. Н.Новгород: ННГУ, 2009. 180 с.

0

1

4

0

1

1696

А.Н. Петров, М.Д. Ермолаев

BOUNDARY-ELEMENT ANALYSIS OF THE DYNAMICS OF COMPOSITE VISCOELASTIC BODIES

A.N. Petrov, M.D. Yermolayev

A boundary-element (BE) methodology based on the convolution quadrature method and the integral Laplace transform for analyzing 3D dynamic problems of viscoelastic composite bodies with mixed boundary conditions is presented.

Keywords: boundary element, boundary integral equations, numerical inversion of integral transformation, composite bodies.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.