Моделирование динамики пороупругих составных тел методом граничных элементовс использованием параллельных вычислений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика деформируемого твердого тела 1518 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1518-1519

УДК 539.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОРОУПРУГИХ СОСТАВНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

© 2011 г. И. С. Карелин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 15.06.2011

Рассматривается прямой подход метода граничных элементов к решению трехмерных краевых задач пороупругой динамики. Для повышения эффективности численного моделирования применяются элементы параллельных вычислений. Приведены результаты компьютерных экспериментов.

Ключевые слова: граничный элемент, пороупругость, граничные интегральные уравнения, численное обращение интегрального преобразования.

Математическая модель краевой задачи составного пороупругого тела строится из математических моделей для краевых задач однородных пороупругих тел в сочетании с условием контакта. Система дифференциальных уравнений однородного пороупругого тела в преобразованиях Лапласа (параметр 5) для смещения и, и порово-го давления р имеет следующий вид [1, 2]:

ви,,}} +

К +1 в

3

- (а-р)р, -

5 2(Р-РР г)и, =-Р,,

Риг

-Р- р,,, -^р - (а-РК, = -а,

5Р/ Я

Р = ф25 + 52к(Ра +ФРг ), где в, К - константы упругости; ф - пористость, к - проницаемость, а - эффективный коэффициент напряжений; р, ра, р^. - пористости скелета, присоединенной массы и жидкой среды; , а -плотности источников.

Интегральное представление прямого подхода и соответствующие граничные интегральные уравнения (ГИУ) для краевой динамической задачи однородного пороупругого тела можно найти в [1, 3]. Для решения проблемы обращения интегрального преобразования Лапласа применим вариант метода Дурбина [4]. Чтобы ввести гранично-элементную дискретизацию, рассматриваются регуляризованные уравнения в сочетании с условиями контакта. Для повышения эффективности компьютерного моделирования используется параллельный алгоритм, который строится

на базе последовательного алгоритма. Последовательно просматриваются в цикле все узлы аппроксимации граничных перемещений и находятся узлы коллокации, для которых формируются коэффициенты дискретных аналогов. Каждая итерация цикла может быть выполнена параллельно с другими итерациями. Поток исполнения Ек выполняет каждую к-ю итерацию цикла последовательного алгоритма. Максимальное число потоков Ек равно числу итераций цикла по узлам. Таким образом, степень параллелизма алгоритма равна числу узлов аппроксимации обобщенных смещений. Для вычисления коэффициентов дискретных аналогов применяется аналогичный алгоритм. Его степень параллелизма равна числу узлов аппроксимации обобщенных усилий. Параллельный алгоритм реализован на языке Фортран с использованием библиотеки параллельных вычислений ОрепМР для реализации потоков исполнения. На этапе работы программы определяется количество ядер процессора и запускает такое же число потоков исполнения для достижения наибольшей производительности на выбранном компьютере.

Представлены результаты расчета ряда задач. Для задачи о действии скачка хевисайдовой осевой силы (Н/м2) на торец консольного тела 1 х3х 1 м модели Био [5, 6] со следующими параметрами материала: Е = 1.44-1010 Н/м2; V = 0; р = 2458 кг/м3; р = 1000 кг/м3; ф = 0.19; Я = 4.7-108 Н/м2; а = 0.86; к = 1.9-10-10 м4/Нс используется гранично-элементная сетка, состоящая из 504 элементов. Результаты расчетов перемещений и давлений приведены на рис. 1, 2 соответственно.

Моделирование динамики пороупругих составных тел методом граничных элементов

1519

Рис. 1

представлено время, потраченное программами для расчета решения для 5 и 10 частот.

Таблица

Количество частот 5 10

Время работы програмы Tp, с

Алгоритм последовательный 56 112

параллельный 21 43

Ускорение алгоритма Sp 2.67 2.60

Рис. 2

Для вычисления ускорения алгоритма Sp применялась формула:

Sp = T-,

p T '

Р

где Tp - время выполнения программы на p процессорах.

В сравнении с последовательным алгоритмом, реализация параллельного алгоритма дает значительный прирост производительности. Вычисления производились на двухъядерном процессоре Intel Core 2 Duo CPU E8400. В таблице

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (ГК №2222, ГК №27), при поддержке РФФИ (проект №10-08-01017-а) и грантом Президента РФ на поддержку ведущих научных школ НШ-4807.2010.8.

Список литературы

1. Schanz M. Wave propogation in viscoelastic and poroelastic continua. Berlin: Springer, 2001. 170 p.

2. Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

3. Аменицкий А.В., Белов А.А., Игумнов Л.А., Карелин И.С. // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. Нижегород. ун-т. 2009. Вып. 71. С. 164-171.

4. Баженов В.Г., Белов А.А., Игумнов Л.А. Гранично-элементное моделирование динамики кусочно-однородных сред и конструкций: Учеб. пособие. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2009. 180 с.

5. Biot M. // J. Acoust. Soc. Am. 1956. V. 28, No 2. P. 168-178.

6. Biot M. // J. Acoust. Soc. Am. 1956. V. 28, No 2. P. 179-191.

BOUNDARY-ELEMENT MODELING OF THE DYNAMICS OF POROUS ELASTIC COMPOSITE BODIES USING PARALLEL COMPUTATIONS

I.S. Karelin

A direct approach of the boundary-element method to analyzing 3D boundary-value problems of porous elastic dynamic is examined. To increase the effectiveness of numerical modeling, elements of parallel computations are used. The results of the computer simulations are presented.

Keywords: boundary element, porous elasticity, boundary integral equations, numerical inversion of integral transformation.