Исследование динамики упругих тел с жидкими наполнителями Текст научной статьи по специальности «Физика»

1552

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1552-1553

УДК 539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГИХ ТЕЛ С ЖИДКИМИ НАПОЛНИТЕЛЯМИ

© 2011 г. М.В. Кудин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского belov_a2@mail.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Рассматриваются модели упругих и акустических сред. Для решения задач контакта твердого тела с акустической средой построена система граничных интегральных уравнений. Для создания гранично-элементной методики разработан новый метод численного обращения преобразования Лапласа. На модельной задаче продемонстрированы возможности применения гранично-элементной методики при получении решения задачи акустики, имеющей аналитическое решение. Приведены примеры численного решения модельных задач и задач прикладного назначения. Гранично-элементные решения сравниваются с конечно-элементным расчетом.

Ключевые слова: граничный элемент, граничные интегральные уравнения, тело с жидким наполнителем.

Введение

Разработана гранично-элементная методика, позволяющая охватить достаточно широкий класс прикладных задач. Все гранично-элементные решения сравниваются с результатами расчета методом конечного элемента.

Математические модели

Рассматривается кусочно-однородное тело О в трехмерном евклидовом пространстве с декартовой системой координат. Границу тела обозначим через Г, а границы однородных частей Ок — через Гк. Предполагается, что Ок являются

изотропными упругими телами. Введем обозна-

к

чения для параметров материала: р - плотность, и |к — константы Ламе материала. Динамическое состояние каждой части тела описывается следующей системой дифференциальных уравнений в перемещениях:

|Дик(х, () + + |)grad div ик (х, ?) =

= рик (х, (), х еО к. (1)

В уравнениях (1) ик(х, ¿) — вектор перемещений точки х = (х1, х2, х3) в момент времени t. Выражение (1) наряду с граничными условиями дает полную систему уравнений.

Рассматривается идеальная несжимаемая жидкость в объеме О с границей Г: Р = Р(р),

где Р — давление, р — плотность. Это уравнение называют уравнением состояния жидкости. Кро-

ме него, в систему уравнений, описывающих ко -лебания идеальной сжимаемой жидкости, войдут уравнения Эйлера и неразрывности:

р— = —grad Р, ^(рК) = 0. Л дt

В данных уравнениях V — вектор скорости, t — время. Вводя потенциал скорости (р, запишем следующее уравнение:

«2 др—£=о,

которое в сочетании с краевыми условиями, краевой задачей для (1) и условиями контакта замыкает математическую модель.

Гранично-элементное моделирование и численные результаты

Метод граничных элементов базируется на численном решении граничных интегральных уравнений (ГИУ). В основе метода ГИУ лежит сведение краевой задачи для дифференциального уравнения движения к интегральному уравнению относительно граничных функций. Применяя к исходным системам уравнений равновесия для упругой среды теорему Бетти и преобразование Лапласа, получим граничное интегральное уравнение:

су (х)й} (х, р ) +1Ту (х, у, р и (у, р )ЛуБ = = и (х — у, р )Гу (у, р )ЛуБ, I = 1,2,3, х е Г, где и ¡у и Ту — соответственно компоненты тензо-

Исследование динамики упругих тел c жидкими наполнителями

1553

ров фундаментальных и сингулярных решений уравнения равновесия. Решением исходной задачи будет вектор-функция перемещений и(х, полученная путем применения к решению обратного преобразования Лапласа.

Для акустической среды аналогично получим:

-2 p( x, а ) = J Q( x, y, a ) p( y

, a )dyr-

-j G(x, y, a )

dp(y,a ) dyr, x e Г, dn( y)

где Q и G — фундаментальные решения уравнения равновесия. Решением исходной задачи бу -дет функция давления р(х, ю).

Граница аппроксимировалась совокупностью четырехугольных и треугольных восьмиузловых биквадратичных элементов. Для получения дискретного аналога ГИУ в качестве точек коллока-ции выбирались узлы аппроксимации граничных функций, в которых эти функции неизвестны. Если задача обладает физической симметрией (симметрией тела и граничных условий), то осуществляется учет этой симметрии, использующий отображения основного (повторяемого) фрагмента границы тела на все симметричные ему фрагменты.

Рассмотрены задачи модельного и прикладного назначения. Для задачи о распространении волн от шарового излучателя в неограниченном акустическом пространстве приняты следующие значения параметров: а = 1.01 — радиус сферы; У0 = 1 — амплитуда скоростей на границе; с = 7 — скорость звука; р = 0.9 — плотность; ю = 0.1 — частота. Проведенные расчеты показали, что для сходства с аналитическим решением достаточно взять равномерную трехмерную гранично-элементную сетку на поверхности сферы с 27 элементами.

Для задачи о кубе с полостью, заполненной акустической средой принято: а = 1 — длина гра-

ни куба; t = 0.1 — толщина стенки куба; р = 1 — равномерное давление, приложенное к наружным граням куба; X = 2, | = 1, р = 1 — параметры Ламе и плотность упругого тела; с = 1, р = 1 — скорость распространения звука и плотность акустической среды. Давление нарастает в течение 5 с, а затем остается постоянным. Проведенные расчеты показали, что для приемлемой точности решения достаточно взять равномерную трехмерную гранично-элементную сетку на поверхности граней куба с 123 элементами. На рис. 1 приведен график зависимости давления на границе раздела сред.

Рис. 1

Решение согласуется с решением, полученным методом конечного элемента в программном комплексе АКБУБ.

Работа выполнена в рамках гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ НШ-4807.2010.8.

Список литературы

1. Баженов В.Г, Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

STUDYING THE DYNAMICS OF ELASTIC BODIES WITH LIQUID FILLERS

M. V. Kudin

Models of elastic and acoustic media are studied. To analyze problems of rigid body-acoustic media contact, a system of boundary integral equations is constructed. A benchmark problem is used to illustrate the potential of using the boundary-element method for obtaining solutions of acoustic problems that have analytical solutions. Examples of numerically analyzing benchmark and applied problems are given. The boundary-element solutions are compared with the finite-element analyses.

Keywords: boundary element, boundary integral equations, body with a liquid filler.