CC BY
42
1554
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1554-1556
УДК 539.3
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ТРЕХМЕРНЫХ ОДНОРОДНЫХ ПОРОУПРУГИХ ТЕЛ
© 2011 г. А.В. Кузнецов1, А.А. Белов1, А.В. Аменицкий2,
1Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
belov_a2@mail.ru
Поступила в редакцию 15.06.2011
Развивается метод граничных элементов. На основе прямого подхода метода граничных интегральных уравнений рассматривается решение краевых динамических задач трехмерной пороупругости. Представлены примеры численного моделирования.
Ключевые слова: среда Био, метод граничных элементов, трехмерные задачи динамики.
Даны постановки основных начально-краевых задач. Рассматриваются системы уравнений относительно неизвестного вектора перемещений упругого скелета и порового давления. Пороуп-ругая среда описывается моделью Био. Специально изучен одномерный случай: приведены выражения для изображений по Лапласу искомых полей и численно получены их оригиналы. Для систем уравнений в частных производных основных краевых задач описано построение матриц фундаментальных и сингулярных решений. Особое внимание уделено полной модели Био. Для упрощенной модели Био и полной модели несжимаемого пороупругого материала дан итоговый вид соответствующих матриц. Представлены примеры численного моделирования фундаментальных решений. Приведено сравнение с соответствующими результатами других авторов. Результаты численных исследований фундаментальных решений, построенные для случаев применения разных моделей пороупругой среды Био, сравниваются с поведением соответствующих компонент для упругого случая. Такое сравнение позволяет продемонстрировать эффект появления медленной волны. Приведены интегральные представления. Построены сингулярные, в смысле Коши, граничные интегральные уравнения (ГИУ) с использованием интегрального преобразования Лапласа и в виде гранично-временных интегральных уравнений. ГИУ, построенные с использованием преобразования Лапласа с параметром 5, имеют вид [1]:
'ct] (y) 0 " 0 c( y)
Uj(5, x) p(s, x)_
+
+
-J
Uj (s, x) p(s, x)
ti (s, x) q( s, x)
dr-
df,
Ц (5, у, X) - в; (5, у, X)
Т/ (5, у, X) - в (5, у, х)_ V; (5, у, X) - Р5 (5, у, X) Б{ (5, у, X) - Р{ (5, у, X)_
и;=13,
где и, t - векторы перемещения и поверхностной силы упругого скелета; р, д - поров ое давление и поток. Вид компонент ядер ГИУ можно найти в [1, 2].
Для получения регуляризованного ГИУ фундаментальные и сингулярные решения записываются в виде двух слагаемых: сингулярной и регулярной составляющих, для чего проведено выделение особенностей в этих решениях. Поведение характеризуется тем, что разные компоненты матриц-решений пороупругости имеют разные особенности по координатам:
и { = О (г0), Р5 = 0(г0),
и- _ 1+v
■ 8nE (1 -v)^ ] +5*(3 - 4v)!7 + 0),
pf _f 1 + O(r0), и f_--Sil + O(r0),
4nß r 4nr2
Qs, = i+V , {«(1 -2v)(r„r, -n,) -
8nE(1 -v)v v ,] ]
- 2ß(1 -v)(r,nrr j + П] )!-1+O (r0),
f _ P fP2 i „4 1 - 2v
L - 2v
-<!(a-ß)--r.r- +
[ 1 -v J
+n
8nß
a + ß(1 - 2v) 11 1 -vr
+O(r0),
Численное моделирование динамики трехмерных однородных пороупругих тел
1555
Л, _-[(1 -2У)5,+ ЪТ,Г,]Т„ + Т 8п(1 -v)r2
+(1 - 2У)(т,п -г,,П,) + 0(Т0 8п(1 -У)т 2
В упругом случае особенности у всех компонент соответствующих матриц-решений одинаковы. Описана гранично-элементная (ГЭ) дискретизация. Базовый процесс ГЭ-дискретизации состоит в разбиении поверхности на граничные элементы: четырехугольные и треугольные вось-миузловые биквадратичные элементы. При этом треугольные элементы рассматриваются как вырожденные четырехугольные элементы. Граничные поля интерполируются через узловые значения. Для получения дискретного аналога ГИУ применяется метод коллокации. Дискретные аналоги строятся в виде шаговой по времени схемы метода граничных элементов (МГЭ), а также в виде схемы МГЭ в изображениях по Лапласу с последующим решением проблемы численного обращения этого интегрального преобразования. В качестве узлов коллокации выбираются узлы аппроксимации исходных граничных функций. В итоге формируются дискретные аналоги исход -ных ГИУ в виде систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрены задачи модельного и прикладного назначения. Результаты ГЭ-моде-лирования действия хевисайдовой силы (Н/м2) на торец призматического тела 1хЪх1 м с парамет-
Рис. 1
рами материала полной модели Био [1]: K = 8109 H/м2, G = 6109 H/м2, R=4.7108 H/м2, к= = 1.910-10 м4/Нс, р = 2458 кг/м3, а =0.867, ф = = 0.19, pf = 1000 кг/м3 приведены на рис. 1, 2; ГЭ-схема содержит 504 элемента.
На рис. 3, 4 приведены ГЭ-решения задачи о действии вертикальной хевисайдовой силы ( Н/м2) на дневную поверхность пороупругого полупространства со следующими параметрами материала полной модели Био [1]:E = 2.544 108 H/м2; V = = 0.298; к = 3.5510-9 мУН-с; R = 1.2109H/м2; р = = 1884 кг/м3; pf = 1000 кг/м3; ф = 0.48; а = 0.98 (перемещения на расстоянии 20 м от области на-гружения). Поверхность полупространства описывается регулярной ГЭ-сеткой, состоящей из 3088 элементов.
Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (ГК№2222, ГК№1185), при поддержке РФФИ (проект №10-08-01017-а) и гранта Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ НШ-4807.2010.8.
Список литературы
1. Schanz M. Wave propogation in viscoelastic and poroelastic continua. Berlin: Springer, 2001. 170 p.
2. Аменицкий А.В., Белов А.А., Игумнов Л.А., Карелин И.С. // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. Нижегород. ун-т. ННГУ. 2009. Вып. 71. С. 164-171.
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
1556
А.В. Кузнецов, А.А. Белов, А.В. Аменицкий
NUMERICALLY MODELING THE DYNAMICS OF 3D HOMOGENEOUS POROELASTIC BODIES
A. V Kuznetsov, A.A. Belov, A.V. Amenitsky
The paper is dedicated to the development of the boundary element method. Based on the direct approach of the boundary integral equation method, dynamic boundary-value problems of 3D poroelasticity are analyzed. Examples of the numerical modeling are given.
Keywords: Biot's medium, boundary elements method, 3D dynamic problems.
