О взаимосвязи некоторых условий тауберова типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

22

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №4

9. Smolyanov O.G., Tokarev A.G., Truman A. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula //J. Math. Phys. 2002. 43. 5161-5171.

10. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана для нелинейных уравнений. М.: Наука, 1976.

11. Shamarov N.N. Matrix-valued cylindrical measures of Markov type and their Fourier transforms // Rus. J. Math. Phys. 2003. 10, N 3. 1-16.

12. Шамаров Н.Н. Мера Пуассона-Маслова и формулы Фейнмана для решения уравнения Дирака // Фунд. и прикл. матем. 2006. 12, вып. 6. 193-211.

Поступила в редакцию 23.11.2007

УДК 517.52.7

О ВЗАИМОСВЯЗИ НЕКОТОРЫХ УСЛОВИЙ ТАУБЕРОВА ТИПА

С. А. Степанянц

В данной работе будут рассматриваться лакунарные условия тауберова типа и "о-условия" тауберова типа для методов суммирования числовых рядов.

Везде в дальнейшем {ап}+=0 — последовательность действительных чисел, ^ ап — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, мы считаем, что оно производится от 0 до ККЙ — последовательность неотрицательных чисел, к и г — целые неотрицательные числа.

Пусть Р и Q — методы суммирования числовых рядов. Суммируемость ряда ^ ап к числу А методом Р обозначается кратко: ^ ап = А(Р). Метод Р называется аддитивным, если из того, что ^ ап = А(Р) и £ Ьп = В(Р), следует, что £(ап + Ьп) = А + В (Р).

Будем говорить, что имеет место включение Q С Р, если из того, что ^ ап = А^), следует, что Еап = А(Р).

Условие Я на последовательность {ап} называется Тд (Р)-условием, если любой ряд ^ ап, суммируемый методом Р и такой, что {ап} удовлетворяет условию Я, суммируем и методом Q. Метод Р при этом будем называть "верхним" методом, Q — "нижним" методом.

Далее в качестве нижнего метода Q будут рассмотрены методы Чезаро (С, к), включая и классический тауберов случай к = 0 (определение и основные свойства методов (С, к) см. в [1, § 5.4, 5.5, 5.7]).

Зафиксируем целое неотрицательное число к. Пусть С — любая, но фиксированная константа, такая, что С > к + 1. Пусть {пг}+=0 — последовательность целых чисел, такая, что По = —1 и иг+\ — пг > С для всех г.

Пусть ^г] (г целое, г > 0; ] целое, 0 < ] < к) — некоторые фиксированные, отличные друг от друга целые числа, такие, что ^г] € (пг+\ —С; пг+1]. Для определенности будем считать, что 7го < 7г1 < ... < 7гк.

Рассмотрим два утверждения общего вида — И и V — и изучим вопрос о связи этих утверждений.

И (лакунарная теорема тауберова типа). Пусть Р — данный метод суммирования и пусть фиксированы: целое неотрицательное число к, последовательность {пг} и числа 7г], удовлетворяющие указанным выше условиям. Тогда условие

ап = 0 при и = тг], где г целое, г > 0; ] целое, 0 < ] < к,

является Т(скк)(Р)-условием.

V (о-теорема тауберова типа). Пусть Р — данный метод суммирования и пусть фиксированы: целое неотрицательное число к, последовательность {пг} и числа 7гудовлетворяющие указанным выше условиям. Пусть {сп} — последовательность неотрицательных чисел, такая, что

~ ^ (Пг+1 -и+1)кс, = 0(1) при г +оо. (1)

г пг<v^nr+l

v=Yrj при всех

Тогда условие ап = о(сп) является Т(с кк)(Р)-условием.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №4

23

Очевидно, что если справедливо утверждение Y, то утверждение H тоже справедливо.

В случае k = 0 для ряда верхних методов P хорошо известны теоремы H и Y, при этом, разумеется, сначала доказывалась "более слабая" теорема H.

Так, например, если Р = А (А — метод Абеля) и > А > 1, то справедливы теоремы Н [2] и Y [3, теорема 3].

Если Р = В (В — метод Бореля) и Пг+^Пг ^ q > 0, то справедливы теоремы Н [4] и Y [5].

Оказывается, что для широкого класса верхних методов теорема H не слабее теоремы Y, т.е. теоремы H и Y эквивалентны.

Впервые это было обнаружено Лоренцем [3, теорема 1] для случая k =0 и произвольного регулярного матричного метода как верхнего метода P. Отметим, что рассмотренные выше методы Абеля и Бореля не являются матричными.

Нашей основной целью будет доказательство следующей теоремы 1, обобщающей результат Лоренца как на случай произвольных натуральных k, так и на случай произвольных аддитивных регулярных верхних методов.

Пример лакунарной теоремы H для случая нижнего метода (C, к) с натуральным k можно найти в [6]. Соответствующая о-теорема тауберова типа может быть получена простым применением теоремы 1.

Прежде чем перейти непосредственно к теореме, введем для сокращения записи следующие обозначения: сумму по всем целым v, пробегающим значения от nr + 1 до nr+i, будем обозначать £(r); сумму по всем целым v, пробегающим значения от nr + 1 до nr+i, за исключением значений jrj, будем обозначать

£М,т.е.

av = av, av = аи ■

nr<v^nr+\ nr<v^nr+\

v=lrj при всех j, O^j^k

Теорема 1. Пусть к — фиксированное целое неотрицательное число, метод суммирования P аддитивен и имеет место включение (C, к) С P. Тогда если для метода P справедливо утверждение H, то утверждение Y также справедливо.

Доказательство. Возьмем последовательность неотрицательных чисел {cn} — любую, но фиксированную (напомним, что у нас уже фиксированы последовательность {nr} и числа C и jrj, где r целое, r > 0; j целое, 0 < j < к), такую, что для {cn} выполнено соотношение (1). Тогда существует число M > 0, такое, что для любого r

1 ^-Л (r* ) ;„

-Е V+1-^+i)4<м. (2)

nr

Рассмотрим произвольную последовательность {an}, такую, что an = o(cn) и £ an = A(P). Для доказательства теоремы достаточно показать, что £ an = A(C,k).

Построим новую последовательность {un}+=~0 следующим образом. Положим un = 0 при n = Yrj. При каждом фиксированном r определим ulr0, ■ ■ ■ ,ulrk как решение системы из (k + 1) линейного уравнения с (k + 1) неизвестным

k

(r)

Е Yrj UYrj = Е vlav, i = 0,1,...,k. (3)

j=0

Система имеет единственное решение, поскольку ее определитель является определителем Вандер-монда, который не равен нулю, так как ^г] различны.

Тем самым последовательность {ип} полностью определена.

Обозначим М1 = ^((к + 1)!)2 ((2С+ к!^ М. Отметим, что М1 — константа, так как к, С и М — постоянные.

Возьмем любое, но фиксированное е > 0. В силу того что ап = о(сп), существует натуральное N, такое, что N>41 и для любого п > N имеет место неравенство

I I —

^ М\ 'Сп'

Пусть теперь п — любое фиксированное натуральное число, большее N. Тогда п попадает в некоторый промежуток (п3,п3+\\, где в — некоторое натуральное число.

Оценим величину

Е ^ — ^ av

v=0 v=0

в случае к = 0. Используя (3), получаем

п

п

У^JUv — У^ av

v=0 v=0

в-1

+ У ^ —

г=0 v=ns + 1 г=0

^>Тг0 + I]

Е (Е(г) ^' -

Е ^

V=ns+1

п

Е ^ — Е av

v=ns + 1 v=ns+1

<

Ы < м[

Е с»<щ£<£-

(4)

Рассмотрим теперь случай натурального к. Пусть г — произвольное фиксированное натуральное число, Ь целое, Ь € [0,к]. Рассмотрим многочлены степени Ь от х:

Я(г) (г; х) = 1 при Ь = 0;

г

Я(г)(г; х) = П (г — х + г) при Ь € [1,к].

г=1

Коэффициенты этих многочленов при степенях х обозначим через (г), где г = 0,1,... ,Ь, т.е. Я(г) (г; х) =

^ (г)хг. Очевидно, что (г) =0 и при любом г справедливы равенства

М

г=о

Е Я(г (г; Ъ])п1г] = £ ^ (г) ]=о г=о \з=о

(5)

Я(г)(г; V а = Е ^ (г)(Е >

г=о

V а.

(6)

Зафиксировав произвольное г, рассмотрим следующую систему из (к + 1) уравнения с неизвестными

к (г)

^Я(г) (пг+1,Ъ])и~н = ^ Я(г , Ь = 0,1,...,к, (7)

з=о

и сравним ее с системой (3). Первые уравнения систем (3) и (7) совпадают. Из формул (5), (6) следует, что (Ь + 1)-е уравнение системы (7) получается линейной комбинацией первого, второго, ..., (Ь + 1)-го уравнений системы (3) с коэффициентами ДО(пг+1), Д\(пг+1),..., $г(пг+1) соответственно. Отсюда, в силу того что $г(пг+1) = 0, получаем, что системы (3) и (7) эквивалентны. Таким образом, система (7) имеет при каждом г одно и только одно решение (причем такое же, как система (3)) и определитель системы (7) отличен от нуля.

Пусть п — такое, как рассматривалось выше, т.е. п — любое фиксированное натуральное, большее N, п € (п3,п3+1]. Пусть 0 < г < в — 1. Тогда п > п8 > 7г] при любом ], и, используя (3), (5) и (6), можем записать

Е Я(к\п; Ъ])и1г] = £ ¿(к) (п) (Е ^и~н ]=о г=о \з=о

Суммируя равенства (8) по г от 0 до (в — 1), получаем

8-1 ( к

^ (п)(£М V гаА =£ Г Я(к)(пV)

г=о

(8)

£ I Е Я(к)(п; Ъз)иг I = Е Я(к)(п; V)ар

)и

г=о \з=о ! v=0

Введем для сокращения обозначений функцию п(х):

{0, если х < 0;

п (х + г), если х > 0.

г=1

а

V ■

Оценим величину

£ П(п — V)(п„ — а„)

и=0

. Так как п(п — V) = Я(к)(п; V) при V < п, то из формулы (9

имеем

Е^(п — V )(п„ — а„)

и=0

Е (Е Я(к)(п; ъ)

г=0 \]=0

и

■7тз ] - Е д(к)(п; V)аи + Е п(п — V)пи — Е п(п — V)а^

^=0 ^=п3 + 1 ^=п3+1

Е п(п — V )п^ — Е п(п — V )а„

и=пе + 1 и=пе+1

) П(п — V)пи — Е^ ^ п(п — V)

Е П(п — 7])п7^ — Е^ П(п — VК ]=0

(10)

Рассмотрим теперь следующую систему из (к+1) линейного уравнения с неизвестными А0,А1,...,Ак:

к

£

4=0

Я(4)(п+1; 7«] А = п(п — ъ]), ^ = 0,...,к.

(11)

Обозначим через В определитель системы (11). Так как матрица системы (11) совпадает с транспонированной матрицей системы (7), то В = 0. Более того, \В\ > 1, поскольку все элементы определителя В — целые числа. Таким образом, система (11) обладает единственным решением, которое находится по формулам Аг = Щ- (г = 0,... ,к), где В^ — определитель, получающийся из В заменой (г + 1)-го столбца в В на столбец свободных членов системы (11). Так как каждый элемент В меньше (2С)к и такое же неравенство верно при любом ] для свободных членов п(п — ), то для Вг справедлива оценка

\Вг\ < (к + 1)! (2С)

к+1

В силу того что \В\ > 1, имеем

\Аг\ < \ В г \ < (к + 1)! Г(2С )к)

к+1

г = 0,...,к.

(12)

Подставляя теперь в (10) вместо величины п(п — ) ее выражение из равенств (11), меняя затем порядок суммирования и применяя уравнения (7), получаем

Е^(п — V )(п„ — а„)

и=0

к ( к \ («) Е Е к(4) (п«+1; )аА пЪ] — Е«п(п — V)

]=0 \4=0 )

ЕА* ( Е Я(4) (п«+1; Ъ3)п

1в]

Е^ П(п — V)

ЕА*Е^Я^Кп+ъ^а,» —ЕП(п — VК + Е ( ^А*Л[^)(п8+1,1з]И аЪ1 —Е П(п — 7«]У

*=0 \]=0 к

^)аи — Е п(п — V )с

*=0

к / к

(13)

*=0

]=0 \*=0

]=0

Вследствие равенств (11) две последние суммы по индексу ] в формуле (13) взаимно уничтожаются. Тогда, оценивая модуль оставшихся сумм суммой их модулей, имеем

Еп(п — V )(п„ — а„)

и=0

< (\А0\ + \ А1\ + ... + \Ак\ + 1) ЕЯ(к)(п«+1, v)\av\.

к

Далее, используя очевидную оценку К(к">(и3+1~, V) < к\(и3+\ — V + 1)к, а также неравенства (2) и (12), находим

- v)(uv - av)

v=0

< ((k + 1)(k + 1)! ((2C )k)k+l + (S*] k!(ns+i - v + 1)k a I <

< («А; + I)!)2 ((2С)к)к+1 + к^ " " + 1)4 <е-пк. (14)

Введем новую последовательность {Ьп}+=0, положив Ьп = ип — ап. Тогда из формул (4), (5) и (14) получаем неравенство

1 in - v + к \

ТЖ2Д к

V k ) v=0 4

< е. (15)

Таким образом, мы показали, что для любого е > О существует N, такое, что для любого натурального n > N справедлива оценка (1Б), т.е.

1 in - v + k\,

lim —¡- > , )bv = 0.

(n+k\ k v V k ) v=0 4 7

Последнее соотношение означает (по определению), что ^ bn = О (C, k). Отсюда в силу включения (C, k) С P следует, что ^ bn = О (P). Тогда поскольку метод P аддитивен и ^ an = A(P), то ^ un = ^2(bn + an) =

A(P ).

Итак, E un = A(P) и un = О при n = jrj, где r целое, r > О, j целое, О < j < k. Применяя утверждение H, получаем ^ un = A(C,k). Ввиду линейности метода (C,k) мы можем теперь заключить, что £ an = Y;(un + (-bn)) = A(C, k). Теорема 1 доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00268).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951; М.: Комкнига, 2006; М.: Факториал Пресс, 2006.

2. Hardy G.H., Littlewood J.E. A further note on the converse of Abel's theorem // Proc. London Math. Soc. 1926. 25, N 2. 219-236.

3. Lorentz G.G. Tauberian theorems and tauberian conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. G3, N 2. 226-234.

4. Мельник В.И. Тауберова теорема о "больших показателях" для метода суммирования Бореля // Матем. сб. 1965. GS, № 1. 17-25.

5. Stieglitz M. Die allgemeine Form der O-Tauber-Bedingung für das Euler-Knopp- und Borel-Verfahren // J. reine und angew. Math. 1971. 24G. 172-179.

6. Степанянц С.А. Лакунарные условия тауберова типа для методов суммирования Чезаро // Матем. заметки. 1999. G5, вып. 1. 118-129.

Поступила в редакцию 19.11.2007

УДК 517.9

ФАКТОРНОРМАЛЬНЫЕ КЛИНЬЯ ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ

В.М. Федоров

1. Понятие факторнормального клина. Пусть Е — линейное пространство над полем F действительных или комплексных чисел и задано отношение полупорядка х < у для некоторых элементов х,у € Е, согласованное с линейной структурой, т.е. удовлетворяющее следующим аксиомам: