Тауберовы условия взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса Текст научной статьи по специальности «Математика»

т и Н * М С М. Тогда по теореме Гамильтона-Кэли существуют такие многочлены р\,... ,рт € £п, что (Нт + рфт-1 + ... + рт) * М = 0. Заметим, что здесь можно считать многочлен рг однородным степени г в силу наличия градуировки на ® Еп. В частности, имеем (/, (Нт + р\Нт-1 + ... + рт)Нк) = 0 для любого к € и / € М. Теперь рассмотрим (полагая, что ро = 1)

(1+pi +...+pm)(ß-1 ◦ Mf ) = (f, hs-k )•

s=0 k=0

Все слагаемые с в ^ т дадут нуль, а остальных конечное число. Значит, для любого / € М имеем ((1 + р1 + ... + рт)(В-1 о ф)/) € £п, причем легко видеть (из однородности рг), что deg (1 + ... + рт) ^ т и этот многочлен не равен нулю. Теорема доказана.

Замечание. Отображение В-1 о будучи инъективным, отнюдь не обязательно сюръективно. Приведем соответствующий пример. Рассмотрим трехмерную нильпотентную алгебру Ли с образующими X, У, ¿7, где 2 принадлежит центру, и соотношением [X, У] = 2. Тогда р(^) = = Щ = Ш ~ 2 "Ш.' Легко понять, что модуль, порожденный бесконечномерен над К, хотя

В-\е*) = ¿гг.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Уоттон Г.О., Размыслов Ю.П. Парадигма макс-фактора // Тез. докл. Междунар. алгебр. конф., посвященной 250-летию Московского ун-та. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2004. 131-134.

2. Размыслов Ю.П. Введение в теорию алгебр и их представлений. М.: Изд-во МГУ, 1991.

3. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука, 1989.

4. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли 1. М.: Мир, 1976.

5. Диксимье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978.

6. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972.

Поступила в редакцию 01.12.2010

УДК 517.521.75

ТАУБЕРОВЫ УСЛОВИЯ ВЗАИМОСВЯЗИ МЕТОДОВ ЧЕЗАРО И МЕТОДОВ ДИСКРЕТНЫХ СРЕДНИХ РИССА

И. В. Хахинов1

В статье рассматриваются методы суммирования дискретными средними Рисса и методы суммирования Чезаро, изучаются тауберовы условия.

Ключевые слова: методы Чезаро, дискретные средние Рисса, тауберовы теоремы.

Tauberian conditions for Cesaro methods and discrete Riesz means are discussed.

Key words: Cesaro methods, discrete Riesz means, Tauberian theorems.

1. Введение. Везде далее, если не оговорено противное, {an}+=0 — последовательность действительных чисел; ^ an — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, мы считаем, что оно производится от 0 до Пусть Q и Л — методы суммирования числовых рядов. Суммируемость

ряда £ an к числу S методом Q обозначается кратко: ^ an = S(Q).

Будем говорить, что метод Л включается методом Q (Л С Q), если из того, что ^ an = S (Л), следует, что £ an = S(Q). Будем говорить, что методы Q и Л эквивалентны (Q ~ Л), если имеют место оба включения Л С Q и Q С Л. Будем говорить, что метод Q сильнее метода Л, если Л С Q, но методы Q и Л не эквивалентны.

1 Хахинов Илья Вячеславович — гл. эксперт ОАО "АльфаСтрахование", e-mail: [email protected].

В качестве Q и Л будем рассматривать методы суммирования Чезаро (С, а) и методы суммирования дискретными средними Рисса, которые будем обозначать (Rd,a), где а > — 1. Определения и основные свойства методов Чезаро можно найти в [1, § 5.4-5.7], методов Рисса — в [2, 3].

Приведем соответствующие определения в удобном для дальнейшего использования виде. Определение 1. Ряд ^ an называется суммируемым методом Чезаро порядка а к числу S, если

lim С" = где С" = = £ (n~va+a)av и Е% = {п+аа). Здесь и далее (<) = r(r^m-,+i) > "1 < ^

'П n v_Q

Определение 2. Ряд £ an называется суммируемым методом дискретных средних Рисса порядка

n

а к числу S, если lim = S, где = -%, = £ (п — v)a аи.

n v_Q

Пусть Pn ^ 0, Pq > 0, Pn = PQ + Pl + ■■■ + Pn.

Определение 3. Ряд £ an называется суммируемым методом Вороного (W,Pn) (за рубежом более

известен как метод Нерлунда) к числу S (обозначение £ an = S(W,Pn)), если lim tn = S, где tn =

n^tt

-Ро+Pi+...+Pn-=-К- H«n = a0 + fli + ... + fln|l,c. 88J.

Метод суммирования рядов называется регулярным, если он суммирует каждый сходящийся ряд к его обычной сумме. Условие —0 необходимо и достаточно для регулярности (W,рга)-метода [1, с. 89].

Хорошо известны следующие включения методов суммирования:

1) (С,а) С (C,ß), где —1 < а < ß [1, с. 131];

2) (С, а) С (Rd, а), где а > —1 [3];

3) (Rd, а) С (С, а), где —1 < а < 2 и (Rd, а) сильнее, чем (С, а) для а ^ 2 [4].

Включение 3 обратимо. Ниже будут получены некоторые условия, позволяющие обратить включение 2. Такие условия называются условиями тауберова типа или Tq(P)-условиями. Более точно, будем говорить, что R является Tq(P)-условием, если любой ряд £ an, суммируемый методом P и такой, что {an} удовлетворяет условию R, будет суммируем и методом Q.

Хорошо известно условие Харди, позволяющее обратить включение 1, а именно ап = О(^) является T(с,а) (С, ß)-условием для любых а и ß, таких, что —1 < а < ß [1, 5]. При этом никакое условие вида an = O(nr), где r > —1, не является Т(с,а) (С, ß)-условием ни для каких а и ß (—1 < а < ß), что следует из [6, 7]. '

Мы будем рассматривать взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных Рисса одного порядка. Основной результат будет доказан в теореме 1.

Теорема 1. Пусть (i) k > 2 — фиксированное действительное число, не являющееся четным натуральным числом, и (ii) последовательность cn такова, что cn = o(qn) для любого q > 1. Тогда условие an = O(cn) является T(c,k)(Rd,k)-условием.

В частности, условие an = O(nr) при любом r является T(c,a)(Rd, а)-условием для действительного а > —1, не являющегося четным натуральным числом.

2. Основная часть. Приведем используемые в дальнейшем классические результаты, устанавливающие взаимосвязи двух регулярных методов Вороного (W,Pn) и (W,qn).

Если методы (W,Pn) и (W,qn) регулярны, то ряды p(x) = £ PnXn, P(x) = £ PnXn, q(x) = £ qnXn, Q(X) = YQnXn СХОДЯТСЯ ДЛЯ \x\ < 1. Тогда ряды g(x) = Y,9nXn = = J^j, f(x) = Y fnXn = fjfy = P (x)

■щ^ сходятся для малых х.

Теорема включения (см. [1, с. 91]). Если методы (W,pn) и (W,qn) регулярны, то для того чтобы (W,pn) включал (W, qn), необходимо и достаточно, чтобы \fQ\Qn + \ fi\Qn-i + ■■■ + \fn\QQ ^ HPn, где H не зависит, от, п, и, чтобы ф- —0. Если, Qn —оо, то последнее условие можно опустить.

Теорема равносильности (см. [1, с. 92-93]). Для того чтобы два регулярных метода Вороного (W,pn) и (W,qn) были равносильны, необходимо и достаточно, чтобы £ \fn\ < ж и £ \gn\ < ж.

Установим следующую лемму.

Лемма 1. Пусть (i) 0 < j < 1 и k ^ 0 — некоторые фиксированные числа; (ii) An-i + ^An = Bn и (iii) An = O(cn), где последовательность cn такова, что cn = o(qn) для любого q > 1. Тогда Bn = o(nk) тогда и только тогда, когда An = o(nk).

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность докажем от противного. Пусть An = o(nk), т.е. существуют c > 0 и бесконечная последовательность {пи}, такие, что \AUv\ > cnk. Так как 0 < 7 < 1, то 1 < ^ < оо. Следовательно, существует некоторое число а > 1, такое, что 1 < а2 <

Далее, в силу условия Вп = о(пк) существует номер N, такой, что для любого и ^ N имеем \Вп\ <

с(а— 1) к

Без ограничения общности считаем, что П\ > N и П\ > , *—. Тогда

у -у а

7|Л»1+1| = \ВП1+1-АП1\ > |Ага1| - |5„1+1| > сп\ - С^а~к ^ (ш + 1)к >

Получаем |Ага1_|_1| > ^пк > ас(п\ + 1)к. Последнее неравенство выполнено в силу того, что {П1п^1)к = (1 + ^)к < фт при большом щ. Итак, \АП1+1\ > ас{п\ + 1)к, где а > 1.

Продолжим доказательство по индукции, пусть после некоторого шага в получаем Лп1+3 > аяс(п1 + з)к, откуда \ВП1+3+1\ < + 5 + 1)к < + 5 + 1)к.

Тогда по аналогии с первым шагом

1\Ап-1+з+1\ = \Вщ+«+1 _ Ап1+в\ > \Ап1 +«\ _ \Впх+«+1 \ >

> а3с(щ + в + 1)к - азС^а~,1\п1 + 8 + 1)к > а3-(п1 + 8 + 1)к.

а2к а

к

Получаем |Л„1+в+1| > + ,в)к > а3+1с(щ + 8 + 1)к.

Таким образом, по индукции будем иметь Ап1 + > аяс(п1 + в)к для всех натуральных в. Так как а и с — некоторые константы и а > 1, с > 0, то получаем противоречие с условием Ап = 0(сп), где последовательность сп такова, что ап = о(дп) для любого д > 1. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть (г) 0 < \а\ < 1 — фиксированное число; (гг) ряд Е /пхп абсолютно сходится при

п=0

те тете те

\х\ ^ 1; (Hi) Е fn(in = 0 и (iiii) Е = jz^ Е fnXn. Тогда ряд Е Хпхп абсолютно сходится для

n=0 n=0 n=0 n=0

| x | < 1.

Доказательство. Заметим, что в силу условия (iii)

n те n те

av + £ fvav = 0, JfaV = " E fc

v=0 v=n+1 v=0 v=n+1

откуда получаем

те _.те те _.те n » ..тете

£^п = —£/«*" = — £ (ТЕ = — = 1£ Е

x — a ^ ^ „ ^ a) ^ ^ „ „ an v a ^ ^ Л

n=0 n=0 n=0 n=0 n=0 v=0 n=0 v=n+1

те тете тете тете

те

±YY_h_xn = L

a an-v a

n=0 v=0

тете

Далее Е |Ап| < А Е Е l/^"™! Н Е IM < о Е И™ Е IM < С = const, где каж-

n=0 n=0 v=n+1 n=1 v=n n=0 v=0

дый из рядов сходится (первый в силу того, что | a| < 1, второй в силу условия (ii) леммы). Лемма доказана.

Пусть k ^ 2 — фиксированное число.

Методы Чезаро (C, k) и методы дискретных средних Рисса (Rd, k) являются методами Вороного

/ \ те те те

[W, (n+--1)) и (W, (n + 1)k — nk) соответственно. При этом P(x) = Е (n + 1)kxn = Е fnXn Е C+k)xn =

n=0 n=0 n=0

f (x)Q(x). Как уже отмечалось, (C,k) С (Rd,k). Далее в силу теоремы включения существует константа Я, такая, что |/0|Qn + |/i|Qn-i + . • - + \Шо < НРп. Для s < n имеем |/o| + |/i|%i + .. • + <

Фиксируя s и переходя к пределу при п оо, получаем |/о| + |/i| + • • • + |/s| ^ Н ■ lim if- = ЯГ (А; + 1) =

'а^те Qn

const. То есть Е < и поэтому ряд Е fnxn сходится абсолютно при x ^ 1.

Рассмотрим определенную выше функцию f (x) подробнее. Известно, что число корней {а} конечно, все корни расположены на отрицательной действительной оси, простые и —1 является нулем тогда и только тогда, когда k — четное натуральное число [8]. Тогда, определяя ряд Е ^nxn следующим образом:

f (x) = Е fnxn = (x — а0) • ... • (x — ат)^2 Xnxn = (x — а0) •... • (x — am)\(x), (1)

где {а.} — множество всех корней f (х), таких, что С.| < 1, получаем в силу последовательного применения леммы 2 для каждого корня, что £ Лпхп абсолютно сходится при 1x1 ^ 1. Положим

= = и

Тогда для действительного к, не являющегося четным натуральным числом, в силу того что Х(х) не имеет нулей в единичном круге, ряд Тейлора функции -ц^у = Л(ж) = £ Хпхп будет также сходиться абсолютно в круге 1x1 ^ 1 [9, с. 392].

Определим числа Рп соотношением

ы ы ы , + ^ ы

P(x) = Pnxn = ^(n + l)kxn = (x - a°) ' ••• ' (x - Om)X(x)^ [ k)^ = X(X)Y1 P

n=0 n=0 n=0 n=0

Тогда определим метод суммирования (Rd, k) следующим образом.

Определение 4. Ряд £ an называется суммируемым методом (Rd, k) к числу S, если lim Rn = S,

n—

~k Bk ~ к n ~ где Rn — ~pL i — z^/ Pn—v^v

Pn v=0

Теорема А. Пусть k — фиксированное действительное число, не являющееся четным натуральным. Тогда (Rd,k) ~ (Rd,k).

_____n

Доказательство. Метод (Rd,k) является методом Вороного (W,pn), где Pn = £ ßn-v(v + ), Po =

v=o

Ро = во, рп = Рп — Рп-1 для п > 0, а значения в. определяются как коэффициенты при хг многочлена

т

(х — ао) ■ ■ ■■ ■ (х — ат) = £ вíXг и в. = 0 при г > т. В силу того что а. < 0 для всех г = 1,...,т, имеем

г=0

т

(- р -р - ~ = в \

Рг ^ 0 для всех г = 1,..., т. Метод является регулярным I = " р —0, так как Рп ~ ^I.

На основании рассуждений, предшествующих доказательству теоремы А, имеем £ |Лп| < то и £ |Лп| < то, где Лп и Лп определены формулами (1) и (2). Тогда по теореме равносильности (Яд,, к) ~ (Яд,, к) при действительном к, не являющемся четным натуральным. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 1. Так как (С, к) С (Яд, к), нам достаточно показать, что если ап = 0(сп), где последовательность Сп такова, что сп = о(дп) для любого д> 1, и ряд £ап суммируем (Яд, к), то ряд £ ап также будет суммируем методом (С, к). Без ограничения общности будем считать, что ряд £ ап суммируется к нулю методом (Яд, к).

Пусть {а.}-=о — множество корней функции Р(х) = ^(п + 1)кхп в круге х ^ 1. При к = 21 ни один из корней а. не равен —1 или 1 [8] и все корни действительны и отрицательны.

Заметим, что

ы (п + k\ ы ы ы (x - oo)Y, ( + )xn = (x - ao)Y, Qnxn = E Qnxn, (x - аг)^ Q(n)xn = E Q(n+l)xn

n=o n=o n=o n=o n=o

ы ( ) ы ( |1) ы ^

(x - am) £ Qn)xn = £ Qn )xn = £ Pnxn и Q(^ = O(nk) для всех i = + 1, в том числе

n=o n=o n=o k

Рп = 0(пк). _

В силу теоремы А ряд £ ап, суммируемый (Яд, к) к нулю, будет также суммируем (Яд, к) к нулю.

п

В качестве Вп из леммы 1 возьмем £ Рп-иаи. Очевидно, что для данной последовательности утверждение

п—У^У

и=0

те п ( ) те п

леммы выполнено. Далее из леммы 1 и соотношения (х — ат) £ £ Яп-ъ/аихп = £ £ Рп-иаихп получаем

п=0V=0 п=0и=0

п , ) те п ,те п

£ Оп-уаи = о(пк). Последовательно применяя лемму 1 для (х — а.) £ £ Яп-Vаихп= £ £ Яп-и'аихп,

V=0 п=0и=0 п=0и=0

п * п п

будем иметь Е Яп-VаV = о(пк). На т-м шаге получим Е а„ = Е ("+ ) а^ = о(пк), т.е. С^ = о(1),

^=0 v=0 v=0

и ряд Е ап суммируем методом (С, к). Теорема доказана.

3. Дополнение. При четных натуральных к результат теоремы 1 становится неверным. Приведем соответствующий пример.

те

Положим г = к + 1 — е, где 0 < е ^ 1. Рассмотрим ряд Е (—1)п("+Г), не суммируемый (С, г) (в силу

"лимитирующей" теоремы [1, с. 132]). Для данного ряда получаем

r

n=0

те oo/n \ oo/n

£(n + 1)k = £ £ (n - * + 1)k a A xn = W £ (n - * + 1)k (-1Г ( * + + + £ ^ I xn

n=0 n=0 \v=Q / n=0 \v=Q ^

=f>+D v ¿(-ir (n il ; e>=(1+l+2-£ £(-+

n=0 n=0 V / V ' n=0

Используя [10], имеем

те

__ я Л (m n Л \ " л mn

(l-x)k+4l+x)k+2-£

n=0 n=0

5> + = = ■- «0) • • • (X - am) £ eU"

£(Т-7) ^ при n = 2l;

= £-1 где &п = { г=0

£(Ч+--е)(Я-Т) при п = 21 + 1.

г=0

к

По теореме о свертках [1, с. 129] в общем случае с1п ~ г{к+1)2к-£+1'

те те т тете т

Тогда Е (п + 1)к^п+1жп = (х — а0)... (х — ат) Е йпхп = Е вгхг &пхп = Е Е йп-гвгхп, откуда

п=0 п=0 г=0 п=0 п=0 г=0

т

(п + 1)кКп+1 = Е Лп-гвг. Так как вг конечное число и все они больше нуля, то при п ^ ж имеем

г=0

т т т

= ¡31 = ¡31 = ¡31

пкЕп+1 ~ Щ+Т^е^+г^- Далее 1т^Кк+1 = , т.е. ряд суммируем (Кй, к) к числу ■

Таким образом построен ряд, суммируемый методом (Кй, к) и не суммируемый методом (С, г) для любого г € [к, к + 1).

Отметим, что в условиях теоремы 1 при четных к можно утверждать, что ряд суммируем методом (С, к + 1), а именно справедлива

Теорема 2. Пусть (г) к ^ 2 — фиксированное число, к = 21 (I — натуральное число) и (гг) ап = 0(сп), где последовательность с^ такова, что с^ = о(дп) для любого д > 1. Тогда (Кй,к) С (С,к + 1).

Для краткости доказательство теоремы 2 здесь приводить не будем. Отметим, что теорема 2 доказывается схожим с теоремой 1 образом, при этом используется теорема включения [1, с. 91].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951 (М.: Комкнига, 2006; М.: Факториал Пресс, 2006).

2. Riesz M. Sur la sommation des series de Dirichlet // C. r. Acad. sci. A. 1909. 149. 18-21.

3. Riesz M. Une methode de sommation equivalente a la methode des moyennes arithmetiques // C. r. Acad. sci. A. 1911. 152. 1651-1654.

4. Kuttner B. On discontinuous Riesz means of type n // J. London Math. Soc. 1962. 37, N 1. 354-364.

5. Hardy G.H. Theorems relating to the summability and convergence of slowly oscillating series // Proc. London Math. Soc. 1910. 8, N 2. 301-320.

6. Lorentz G.G. Tauberian theorems and Tauberian conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. 63, N 2. 226-234.

7. Степанянц С.А. Необходимые условия тауберова типа для методов суммирования Чезаро // Изв. вузов. Математика. 2005. № 10. 61-71.

8. Miesner W., Wirsing E. On zeros of £(n + 1)kzn // J. London Math. Soc. 1965. 40. 421-424.

9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965.

10. Lawden D. The function £ nrzn and associated polynomials // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1951. 47. 309-314.

Поступила в редакцию 14.09.2011

УДК 519.21

ОЦЕНКА БЛИЗОСТИ ВЕРОЯТНОСТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НУЛЕВОГО СМЕЩЕНИЯ

И. С. Тюрин2

Предлагается краткое и простое доказательство оптимальной оценки расстояния в средней метрике между вероятностным распределением и его преобразованием нулевого смещения.

Ключевые слова: нормальная аппроксимация, метод Стейна, нулевое смещение.

We propose a new concise and transparent proof for the optimal estimate concerning the mean metric distance between a probability distribution and its zero bias transformation.

Key words: normal approximation, Stein's method, zero biasing.

1. Введение. Преобразование нулевого смещения — мощный инструмент, применяющийся в комбинации с методом Стейна при оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме. В недавних работах Гольдштейна [1] и автора [2] получено оптимальное неравенство, характеризующее расстояние в средней метрике между вероятностным распределением и его преобразованием нулевого смещения. Этот результат, в частности, позволяет уточнить классическую теорему Берри-Эссеена. Рассуждения обоих авторов опирались на идею сведения исходной проблемы к частному случаю трехточечных распределений. Такой подход приводит к чисто техническому, однако довольно громоздкому доказательству. В данной работе предложен способ упростить рассуждения и установить упомянутое оптимальное неравенство, не прибегая к использованию множества промежуточных результатов.

2. Обозначения. Пусть X — случайная величина (с.в.) с нулевым средним и конечной дисперсией а2 > 0. Говорят, что с.в. X* имеет распределение X-нулевого смещения, если

EXf(X) = a2Ef'(X *) (1)

для каждой дифференцируемой функции f : R ^ R, такой, что левая часть (1) определена. Нетрудно показать (см. [3]), что с.в. X* всегда найдется и, более того, имеет плотность

_ j а-2Е (X ■ 1{X > x}) , если x ^ 0; = \а-2Е (-X ■ 1{X<x}) , если x< 0.

Метод Стейна и техника нулевого смещения зарекомендовали себя как эффективные средства оценки точности нормальной аппроксимации в терминах так называемой средней метрики. Напомним ее определение. Пусть С\ и G2 — функции распределения интегрируемых с.в. У\ и Y2 соответственно. Расстояние в средней метрике между этими с.в. равно

/те

\Gx(x) - G2(x)\dx.

-те

Приведенная метрика имеет альтернативные представления, одно из которых следующее:

Zi(Yi,Y2) := sup{\E f У) - Е f (У2)\ : f eF},

2 Тюрин Илья Сергеевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].