О взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2. Имеют место следующие соотношения:

а) L®(2п) ^ Зуу-2га— тп, где тп = °"n+3+°"n+2+^n+1 °"n п 7; а Gn определяется из рекуррентной формулы

гч к Q А ТО

(Тп = 2ап-з + <тга_4 + 1 с начальными условиями <то = уу, <7i = уу, (72 = уу, ^з = уу>

б) L®(m) ^ (3^ -о(1)) ш;

в) если k ^ [(log2 m)/2] — 17 то L'®(m, k) = 2m — [log2 m] — 2;

г) L'®(m, к) ^ (2 + • 41_fc - o(l)) m при 1 ^ к ^ f(log2 m)/2] - 1 um^oo.

Уточним, что rra ~ с%п, где с' = 7, 235..., а % = 1, 395... — максимальный по абсолютной величине корень многочлена x4 — 2x — 1. Способ построения схем, удовлетворяющих оценкам теоремы 2, в целом аналогичен вышеуказанному способу построения универсальных префиксных схем.

Автор приносит благодарность научному руководителю С. Б. Гашкову за внимание к работе. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 08-01-00863 и 08-01-00632, и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Blelloch G.E. Prefix sums and their applications // Synthesis of parallel algorithms. San Francisco: Morgan Kaufmann, 1993. 35-60.

2. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

3. Ladner R.E., Fischer M.J. Parallel prefix computation //J. Association for Computing Machinery. 1980. 27, N 4. 831-838.

4. Fich F.E. New bounds for parallel prefix circuits // Proc. ACM Symp. Theory of Comput. (Boston, USA, 1983). N.Y.: ACM Press, 1983. 100-109.

Поступила в редакцию 19.09.2010

УДК 517.521.7

О ВЗАИМОСВЯЗИ МЕТОДОВ ЧЕЗАРО И МЕТОДОВ ДИСКРЕТНЫХ СРЕДНИХ РИССА

И. В. Хахинов1

В статье рассматриваются вопросы взаимосвязи методов суммирования Чезаро и методов дискретных средних Рисса различных порядков.

Ключевые слова: методы Чезаро, дискретные средние Рисса, теоремы включения, метод суммирования Абеля.

Inclusion problems of Cesaro methods and discrete Riesz means are discussed.

Key words: Cesaro methods, discrete Riesz means, inclusion theorems, Abel summation method.

1. Введение. Везде далее, если не оговорено противное, {an}+=0 — последовательность действительных чисел; ^ an — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, мы считаем, что оно производится от 0 до

Пусть Q и Л — методы суммирования числовых рядов. Суммируемость ряда ^ an к числу S методом Q обозначается кратко: ^ an = S(Q).

Будем говорить, что метод Л включается методом Q (Л С Q), если из того, что ^ an = S (Л), следует, что £ an = S(Q). Будем говорить, что методы Q и Л эквивалентны, если имеют место оба включения Л С Q и Q С Л. Будем говорить, что метод Q сильнее метода Л, если Л С Q, но методы Q и Л не эквивалентны.

1 Хахинов Илья Вячеславович — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivkhakhinov@mail.ru.

В качестве Q и Л будем рассматривать методы суммирования Чезаро (C, ß) и методы суммирования дискретными средними Рисса, которые будем обозначать (Rd,a), с различными а, ß > — 1.

Определения и основные свойства методов Чезаро можно найти в [1, § 5.4-5.7]; методов Рисса — в [2-4].

Приведем соответствующие определения в удобном для дальнейшего использования виде. Определение 1. Ряд £ an называется суммируемым методом Чезаро порядка а к числу S, если

n

lim С" = где С" = ^ £ {n~va+a)av.

( а ) v=0 а

Здесь и далее (*) = r^^r^-r+i)' < r ^

Определение 2. Ряд £ an называется суммируемым методом дискретных средних Рисса порядка

n— 1

а

а к числу S, если lim R™ = S, где R™ = £ (l — аь

v=0

Из определений очевидно, что суммируемость методами (C, 0) и (Rd, 0) эквивалентна обычной сходимости.

Определение 3. Ряд £ an называется суммируемым методом Абеля к числу S (запись £ an = S(А)), если степенной ряд f (x) = £ anxn сходится для 0 ^ x < 1 и lim f (x) = S [1, с. 20].

x^l—0

Для методов Чезаро и Абеля хорошо известно (см. [1, с. 131, 140]), что (С,а) С (C,ß) С (А) при — 1 < а < ß и, более того, метод (C,ß) сильнее, чем метод (С, а), а метод (А) сильнее, чем (C,ß).

Связям между методами Чезаро и Рисса одного порядка посвящено довольно много работ (см., например, [3-9]). Приведем в хронологическом порядке основные результаты прямого включения:

1911 г. М. Рисс [3]: (C,ci) С (Rd,а) для а > —1;

1923 г. М. Рисс [4]: (Rd,а) эквивалентен (C,а) для —1 < а ^ 1; (Rd, 2) сильнее, чем (C, 2); (Rd, 3) сильнее, чем (C, 3);

1956 г. А. Пейеримхофф [5]: (Rd,k) сильнее, чем (C,k), для любого нечетного k ^ 5;

1962 г. Б. Куттнер [6]: (Rd,а) эквивалентен (C,o;) для —1 < а < 2; (Rd,а) сильнее, чем (C, а), для а ^ 2.

Из этих результатов следует, в частности, что если —1 < а < 2 и а < ß, то (Rd,а) С (C,ß). Однако для а ^ 2 и а < ß вопрос о включении методов (Rd, а) и (C, ß) не был изучен.

Мы установим следующие взаимосвязи, которые полностью решат вопрос о связи методов Чезаро и дискретных средних Рисса различных порядков.

Теорема 1. Пусть 2 < ß < 3 — фиксированное число. Тогда (Rd, 2) С (C,ß).

Теорема 2. Пусть ß ^ 3 — фиксированное 'число. Тогда (Rd, 2) С (C,ß).

Теорема 3. Пусть а > 2 — фиксированное число. Тогда (Rd,а) С (А) (следовательно, (Rd,а) С (C,ß), где 2 < а < ß).

2. Доказательство основных результатов. Приведем используемый в дальнейшем классический результат, устанавливающий необходимые и достаточные условия регулярности матричного преобразования. Этот результат, принадлежащий, по существу, Теплицу [10], именуется теоремой Теплица (в литературе применяется и другое название — теорема Кожима-Шура).

Пусть даны числа cn,v (n = 0,1, 2,... ; v = 0,1, 2,...). Эти числа можно рассматривать как бесконечную матрицу T = (cn,v), где Cn,v — элемент, стоящий на пересечении n-й строки и v-го столбца.

Пусть дана последовательность чисел Sv (v = 0,1, 2,...). Положим

+=

tn = Cnv Sv (n = 0,1, 2,...). (1)

v=0

Говорят, что последовательность tn получена из последовательности Sv матричным преобразованием T.

Говорят, что матричное преобразование T регулярно, если для любой последовательности Sv, такой, что существует limv^+= Sv, имеет место сходимость всех рядов в правой части формулы (1) и limn += tn - limv^+= Sv .

Теорема Теплица (см. [10; 1, с. 62-66]). Для того чтобы матричное преобразование T = (cn,v) было регулярно, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие три условия:

I) существует число H, такое, что £ +== \cn,v\ < H для всех n = 0,1, 2,... ;

II) limn^+= cn,v = 0 для всех v = 0,1, 2,... ;

III) limn^+^S +== cn,v) = 1.

Переходя к выводу теоремы 1, установим следующую лемму.

+те

Лемма. Пусть А(ж) = п+алп_дл7 > где 0 < 7 < 1 — данная функция. И пусть А(ж) = ^ Апхп (где

п=0

\х\ < 1) — разложение функции А(х) в ряд Тейлора. Тогда |Ап| ^ 1 — 7 для всех п.

Доказательство. Разложим А(ж) в ряд Тейлора: А(ж) = = о ^пХп = о

п-й производной произведения двух фуш

А^(ж) = V (-1Г (1м + -9га"»1 ' \г) (1 + х)1+г дх

Из формулы Лейбница для п-й производной произведения двух функций (см. [11, с. 109]) следует

/п\ 1 д п-г(1 — х—

К-1) \

г=о

Очевидно, что Ао = 1. При п > 0 получаем

_ А(")(0) _ ^ -I ^ 7(7 + 1) • • • (7 + та — г — 1) _ А г

г=о 4 у ,=1

где =

Рассмотрим последовательность {6, }+=1>. Имеем Ь^ — 6^+1 =

7(7 + 1)...(7 + 3 — 1) 7(7 + 1) ••• (7 + 3) 7(7 + 1) ••• (7 + 3 — 1)

(1 - 7) > 0,

3! (3 + 1)! (3 + 1)!

тем самым члены {Ь,} убывают с ростом I. Тогда

(т—1 \

У ~ ¿>2^+1) ~7 + 1 ~ 1 + 7' >о ' / =о

Следовательно, А2т > 1 — ^ > 0. Аналогично

(т-1 \

У - ¿>2^+1) -7 + 1 - 1 + 7 • ^ м) ' / 4 ^ '

Следовательно, опять получаем — А2т-1 ^ 1 — ^ > 0 (равенство при т = 1).

Тогда, объединив оба случая, приходим к требуемому утверждению: \Ап\ ^ 1 — 7 для любого п. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Пусть {ап}+=0 — последовательность действительных чисел и ^2ап — соответствующий ей ряд. Пусть СЩ и КП — средние Чезаро и Рисса соответственно, в = 2 + 7. Для средних Чезаро Сг+7 имеем

n=Q 4 ' 7 n=Q \v=Q 4 ' 7 / V 7 ^=0

Аналогично для средних Рисса ДП+1

n

1+ ж

У (п + 1)2^+1жга = У ПГ (п - !/ + I)2 а „ хп = -^-3 У aßx».

n=Q n=Q \v=Q / ( ) ^=0

Тогда

те /+9+\ те те /n \

Е Г ++ + l°n+Yжп = А(ж) £(n + 1)2 R+Ж = W Е An-v(v + 1)2Rl+Л жп

n=Q 7 7 n=Q n=Q \v=Q /

где функция А(х) такая, как в лемме.

2+ Е ^+1

В силу единственности разложения в степенной ряд (см. [11, с. 133]) имеем Сп 7 = ——-.

( 2+7 )

00

Положим Сп+1 = Уп, ^2+1 = . Тогда Уп = £ Сп,у П, где

v=0

cn, V -

0 при v > n;

при 0 < г/ < п.

(П + -2 + 7\

V 2+7 }

Если f (n) = O (g(n)) и g(n) = O (f (n)), то будем писать f (n) = В (g(n)). Используя лемму, получаем

П 2

Ё К" I = Е ^ X1- = 0^2+7) = > Const При боЛЬНЮМ П.

Следовательно, не выполняется условие I теоремы Теплица. Поэтому существует последовательность ии = ^2+1, при преобразовании Сп,и переходящая в последовательность Уп = СП+1, которая не будет

V / \ 2 те

сходиться. Из равенства = = £ (1 — ) а¡л мы можем однозначно восстановить ряд £ ап,

11=0 ^ ' п=0

который будет суммируем методом (Кй, 2), но не суммируем методом (С, 2 +7). Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2 приводить не будем. Отметим лишь, что нам, по сути, требуется доказать включение (Кй, 2) С (С, 3), которое получается прямой проверкой условий теоремы Теплица (средние СП выражаются через по формуле из теоремы 1 с 7 = 1).

оо

Доказательство теорема 3. Рассмотрим функцию Р(х) = £ Рпхп, где Рп = (п + 1)". Тогда Р(х) =

п=0

£ Рпхп имеет радиус сходимости г, равный единице. Тем самым функция Р(х) является голоморфной внутри единичного круга.

оо

Известно, что функция Р(х) = £ (п + 1)"хп, где 2т < а ^ 2т + 2 (т = 1, 2,...), имеет ровно т

п=0

корней в \х\ < 1, при этом корни все простые и расположены на отрицательной части действительной оси [12]. Обозначим через {а1,...,ат} множество корней Р(х) внутри единичного круга. Без ограничения общности будем считать, что корни расположены в порядке возрастания модуля (\а1 \ < ... < \ат\). Далее, рассмотрим функцию <р(х) = рщ-

В силу голоморфности функции Р (х) внутри единичного круга и наличия только конечного числа простых корней внутри круга голоморфности функция ^>(х) будет голоморфной в круге \х\ < \ах\ < 1. Поэтому в своем круге голоморфности ^>(х) представима в виде ^>(х) = £ апхп, \х\ < \а1 \ < 1.

оо

Рассмотрим ряд £ ап. Он несуммируем по Абелю, так как радиус сходимости ^>(х) = £ апхп равен

п=0

\а1 \, т.е. меньше 1. С другой стороны, в круге \х\ < \ах\ < 1

те те п тете

^ (п + 1)" К+1ХП = ^ ^ ((П - V + 1)а Ои) Хп = ^(п + 1)аХП апХП = Р(х)ф) = = 1.

п=0 п=0 v=0 п=0 п=0

Получаем, что справа стоит константа (т.е. многочлен нулевой степени), а слева — степенной ряд.

те

В силу единственности разложения К"+1 = 0 при п> 1. Поэтому £ ап = 0(Кй,а).

n=0

Отсюда следует утверждение теоремы 3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951 (М.: Комкнига, 2006; М.: Факториал Пресс, 2006).

2. Riesz M. Sur la sommation des series de Dirichlet // C. r. Acad. sci. A. 1909. 149. 18-21.

3. Riesz M. Une methode de sommation equivalente a la methode des moyennes arithmetiques // C. r. Acad. sci. A. 1911. 152. 1651-1654.

4. Riesz M. Sur l'equivalence de certaines methodes de sommation // Proc. London Math. Soc. 1924. 22, N 2. 412-419.

5. Peyerimhoff A. On convergence fields of Norlund means // Proc. Amer. Math. Soc. 1956. 7. 335-347.

6. Kuttner B. On discontinuous Riesz means of type n // J. London Math. Soc. 1962. 37, N 1. 354-364.

7. Cooke R. On mutual consistency and regular T-limits // Proc. London Math. Soc. 1936. 41, N 2. 113-125.

8. Agnew R. Equiconvergence of Cesaro and Riesz transforms of series // Duke Math. J. 1955. 22, N 3. 451-460.

9. Степанянц С.А. О взаимном включении методов суммирования Чезаро и Рисса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 4. 24-31.

10. Toeplitz O. Uber allgemeine lineare Mittelbildungen // Pr. mat. i fiz. 1911. 22. 113-119.

11. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.

12. Miesner W., Wirsing E. On zeros of £ (n + l)kzn //J. London Math. Soc. 1965. 40. 421-424.

Поступила в редакцию 13.12.2010

УДК 512.543.7 + 512.544.33 + 512.815.8 + 517.984.5 + 514.84

РОЛЛИНГ И СОИЗМЕРИМОСТЬ СИМПЛЕКСОВ (АКСИОМА И КРИТЕРИЙ НЕСЖИМАЕМОСТИ, ЛЕММА О МОМЕНТЕ)

Ю. П. Размыслов1

"Cogito ergo sum." 2 Рене Декарт

Строится единая геометрическая теория поля.

Ключевые слова: проективная плоскость, аффинная карта, роллинг, несжимаемость, дезарговость, поле.

The total geometrical theory of field is recreated.

Key words: projective plane, affine chart, rolling, incompressibility, desargues condition,

field.

Трудно теперь установить, кто первым заметил, что 1-й закон Ньютона можно трактовать как 2-й закон Кеплера для любого наблюдателя, находящегося вне прямой, по которой свободно движется тело, и попытался в базовой аксиоматике классической и небесной механики во избежание использования евклидовых метрик ограничиться постулированием пространственных свойств естественных геодезических. Однако не вызывает сомнения, что каждое новое поколение, не обращая никакого внимания на "золотое правило механики" и "правило рычага", с упорством, заслуживающим более достойного применения, продолжает строить новые варианты гравитационной теории, опираясь снова и снова на математический аппарат (евклидовых, гильбертовых и др.) метрических пространств. В работе приводятся очередные (и, на наш взгляд, веские) аргументы в пользу того, что во всем следует знать меру, в частности на определенном этапе обучения учащихся планиметрии не мешает в задачах на построение заменить циркуль угольником.

Пусть на множестве M задана структура абстрактной проективной плоскости, т.е. (см. [1]) в множестве всех подмножеств 2м множества M выделено подмножество L, элементы l которого принято называть прямыми и которое удовлетворяет условиям (аксиомам):

(P0) каждая прямая содержит не менее трех точек;

(P1) через любые две точки X,Y G M проходит ровно одна прямая l G L;

(P2) любые две прямые l\,l2 G L пересекаются ровно в одной точке.

Для произвольной прямой l G L положим Mi = M \ l, Li = L \ {l} и, как обычно, назовем Mi с системой прямых Li аффинной картой проективной плоскости M, а l — бесконечно удаленной прямой.

Прямые li,l2 G Li аффинной плоскости Mi параллельны, если точка их пересечения лежит на бесконечно удаленной прямой l.

1 Размыслов Юрий Питиримович — доктор физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pogudin.gleb@gmail.com.

2 "Мыслю, следовательно, существую."