Лакунарные тауберовы условия для некоторого класса методов Вороного Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Rubinstein J.H., Thomas D. A variational approach to the Steiner network problem // Ann. Oper. Res. 1991. 33. 481-499.

5. Rubinstein J.H., Thomas D. The Steiner ratio conjecture for six points //J. Combin. Theory. Ser. A. 1991. 58. 54-77.

6. Rubinstein J.H., Thomas D. The Steiner ratio conjecture for cocircular points // Discrete and Comput. Geom. 1992. 7. 77-86.

7. Rubinstein J.H., Thomas D., Weng J. F. Degree-five Steiner points cannot reduce costs for planar sets // Networks. 1992. 22. 531-537.

8. Rubinstein J.H., Thomas D. Graham's problem on shortest networks for points on a circle // Algorithmica. 1992. 7. 193-218.

9. Rubinstein J.H., Thomas D, Wormald N. Steiner trees for terminals constrained to curves // SIAM J. Discrete Math. 1997. 10. 1-17.

10. Иванов А. О., Тужилин А. О. Дифференциальное исчисление на пространстве минимальных деревьев Штейнера в римановых многообразиях // Матем. сб. 2001. 192, № 6. 31-50.

11. Еремин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства // Матем. сб. 2013. 204, № 9. 51-72.

Поступила в редакцию 11.02.2013

УДК 517.521.7

ЛАКУНАРНЫЕ ТАУБЕРОВЫ УСЛОВИЯ ДЛЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА МЕТОДОВ ВОРОНОГО

И. В. Горохова1

В статье рассматриваются методы суммирования Вороного-Нёрлунда, изучаются вопросы включения методов, доказывается лакунарная тауберова теорема.

Ключевые слова: методы Вороного-Нёрлунда, тауберовы теоремы, лакунарные условия.

The Voronoi-Nörlund summability methods and some Tauberian conditions for these methods are considered in the paper. The Tauberian gap theorem is proved.

Key words: Voronoi-Nörlund summability methods, Tauberian conditions, gap theorem.

1. Введение. Основные определения. В работе рассматриваются некоторые широко распространенные методы суммирования числовых рядов, изучаются тауберовы условия для этих методов.

Везде в дальнейшем, если не оговорено противное, — последовательность действительных

чисел, ^ ап — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, считаем, что оно производится от 0 до +оо), п — неотрицательное целое число, а — неотрицательное действительное число.

Пусть Q — некоторый метод суммирования числовых рядов. Запись ^ ап = S(Q) будет означать, что ряд ^ ап суммируем методом Q к числу S (в частности, ^ ап = S(C, 0) означает, что ряд сходится к числу S). Говорят, что метод Qi включается методом 0,2 (запись Qi С О2), если из того, что ^ап = S'(Qi), следует, что ^ап = S{0,2)- Говорят, что метод Q регулярный, если (С, 0) С П.

Условие R на последовательность называется тауберовым для метода Q, если для любого

ряда, такого, что = S(Q) и {ап} удовлетворяет условию R, выполнено = S(C, 0).

Пусть {Рп}п=о— неубывающая последовательность положительных чисел. Ряд называется суммируемым методом Вороного (W, Рп) (за рубежом более известен как метод Нёрлунда) к числу S, если

lim Wn = S, где Wn = t/=0pn~t' — среднее Вороного. Для регулярности метода (W, Рп) необходимым

ГИ-+00 п

Рп

и достаточным является условие lim —- = 1 (см. [1, с. 89]).

ГИ-+00 Рп—\

Функцию, вообще говоря, комплексного переменного P(z) = ^ Pnzn называют производящей функцией метода (W, Рп). Везде в дальнейшем, если не оговорено противное, z — комплексное число, \z\ < 1; х — действительное число, \х\ < 1. При этом будем писать Р(х) = ^ Рпхп лишь в том случае, когда нас будет интересовать поведение функции Р на действительной оси.

1 Горохова Ирина Владимировна — ассист. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gorvvinQbk.ru.

Многие классические методы суммирования могут быть представлены как методы Вороного с соответствующими Рп. Например, методы Чезаро (С, а) (определение см. в [1, с. 125, 126]) являются методами

(11 OL \

^ ), методы дискретных средних Рисса (Rd,a) (определение см. в [1, с. 146]) являются методами Вороного с Рп = (п + 1)а.

Говорят, что последовательность {ап} лакунарна по Адамару (обозначение {ап} € Л), если существуют действительное число q > 1 и последовательность натуральных чисел {in<í.}ít?¡>, такие, что ^ Q для всех г, и ап = 0 для п ф пг.

Приведем классическую лакупарпую теорему для метода Абеля (определение метода Абеля см. в [1, с. 20]).

Теорема А [2]. Условие {ап} € Л является глауберовым условием для, метода Абеля.

Отметим, что для некоторых методов Вороного справедливость лакунарной теоремы автоматически вытекает из теоремы А. Например, из того, что методы Чезаро (С, а) с а ^ 0 включаются в метод Абеля [1, с. 140], следует, что условие {ага} € Л является тауберовым для методов (С, а).

В работе [3] рассмотрены методы Вороного, производящие функции которых получаются посредством домножения производящих функций других методов Вороного на одночлены (х + в), где в € (0; 1). Легко показать, что методы Вороного (W., Рп) из этого класса, у которых функция Р(х) = ^ Рпхп имеет корень (—в), не включаются в метод Абеля. Тем самым возникает вопрос: будет ли лакунарность по Адамару тауберовым условием и для методов данного класса? Ответ на этот вопрос будет получен в настоящей статье.

2. Постановка задачи. Формулировка основной теоремы.

Лемма 1. Пусть (W, Рп) — регулярный метод Вороного с производящей функцией P{z) = ^Pnza. Пусть существуют действительные числа а ^ 0; D\ > 0; D2 > 0; тлкие, что D\na ^ Рп ^ D2íia для, всех п ^ 1. Пусть в — действительное число, такое, что 0 < в < 1 , и пусть Q(z) = (z + 9)P(z). Тогда, существует регулярный метод Вороного (W,Qn), такой, что Q(z) является его производящей функцией, при этом 0Dina ^ Qn ^ (1 + 0)D2na для всех п ^ 1.

Доказательство. Учитывая, что P{z) = Pnzn и Q(z) = J2QnZn, из равенства Q(z) = (z + 0)P(z) получаем Qo = вРо и Qn = Рп-\ + вРп для всех п ^ 1. Поскольку Ро > 0 и Рп ^ Рп-\ , то и {Qn}^Lo — неубывающая последовательность положительных чисел. Далее,

Qn Рп-1 + вРп .. 1 + 1 + в ит —-= ит ---= lim —р- =-- = 1.

ra-s-+oo Qn_i ra-s-+oo Рп_2 + 9Рп-1 га—>+оо Q 1 + 6

Рп — 1

Таким образом, последовательностью {Qn} определяется регулярный метод Вороного (W, Qn). Кроме того, нетрудно заметить, что 9Dina ^ Qn ^ (1 + Q)D2na для всех п ^ 1. Лемма 1 доказана.

Пусть а — фиксированное неотрицательное действительное число. Определим класс методов индукцией по к следующим образом.

При к = 0 Vq — класс регулярных методов Вороного (W,Pn), таких, что выполнены условия:

(а) существуют такие положительные числа D\ и D2 , что D\na ^ Рп ^ D2íia для всех п ^ 1;

(б) производящая функция P(z) метода (W,Pn) не имеет нулей в круге \z\ < 1.

При натуральном к V% — класс всех методов (W,Qn), производящие функции Q(z) которых могут быть представлены в виде Q(z) = (z + O)P(z), где P(z) — производящая функция некоторого метода (W, Рп) из класса -i> а 0 € (0; 1).

Согласно лемме 1, если метод (W,Pn) с производящей функцией P(z) принадлежит классу то

для любого в € (0; 1) функция Q(z) = (z + 9)P(z) определяет метод Вороного (W, Qn) из класса

+00

Обозначим Va = U V = IJ Va. В дальнейшем будем писать (W,Pn) € V в том случае, когда

к=0 а^О

метод (W,Pn) из класса V (аналогичные обозначения будем применять и для остальных классов).

Для методов класса V будет установлена следующая теорема.

Теорема 1. Пусть (W,Qn) — произвольный метод из класса, V. Тогда, условие {ап} € Л является тауберовым для, метода (W, Qn).

3. Доказательство основного результата. Установим сначала некоторые вспомогательные утверждения, которые потребуются при доказательстве теоремы 1.

Лемма 2 [1, с. 140]. Пусть А — фиксированное действительное число, такое, что А ф 0; и {dn}n=o """""""' последовательности действительных чисел, такие, что dn > 0 для всех п, ряд dn расходится, ряд J2dnxn сходится при 0 ^ х < 1; сп ~ Adn при п —> оо. Тогда, ^cnxía ~ А dnxn при х —у 1 — 0.

Лемма 3 [3]. Пусть q, ql и w фиксированные действительные числа, {Вп}^д — после-

довательности действительных чисел, тлкие, что: г) 1 < ql < q , w ^ 0; И) дАп-1 + Ап = Вп для всех п ^ 1; ш) Ап = о^™) при п —> +оо.

Тогда Вп = о(пи') при п —> +оо в том и только в том случае, когда Ап = при п —> +оо.

Лемма 4. Пусть — неубывающая последовательность положительных чисел. Пусть су-

ществуют действительные числа а ^ 0, > 0, И2 > 0, 0 < в < 1, такие, что для всех п ^ 1 выполнены неравенства

вИт" ^Яп^ (1 + в)02па.

Пусть действительное число q и последовательность натуральных чисел таковы, что 1 < д ^

^ q для всех з ^ 1. Пусть {Ьв}+~ — последовательность действительных чисел, такая, что при

некотором М > 0 для всех натуральных в ^ 1 выполнено неравенство

< Мп". Тогда

(сЦп3+1-пк-1Ьк

к=1

существуют тлкие действительные числа 7 > 1 и С > 0, не зависящие от, в, что < Сп375 для всех натуральных в ^ 1.

/ з \ ОС~\~ 1 ___-

Доказательство. Положим 7 = Цу^ ■ ^^ • (^гт ) > 1 и С = -щщ^)' Будем доказывать утверждение по индукции.

1. База индукции. Найдем в последовательности индексов щ, п2, ■ ■ ■ такой элемент пг, что выполняет-

( 1 \а (п-1)а

ся неравенство [Я ~ ^ ~ — ) > 2 • Зафиксируем найденный индекс г. Тогда существует число Со > 1,

такое, что | ¿»х | < Соп171, | ¿>21 < СоП2^2, ..., |Ьг-1| < СоПг-\^г~1 ■ Возьмем в качестве С максимум чисел С, Со и М. Таким образом, утверждение леммы верно для первых (г — 1) членов последовательности

2. Предположение индукции. Пусть при некотором ^ г выполнены неравенства < Сп^г для всех г = 1,2,...,« — 1.

3. Докажем, что \Ь3\ < Сп375.

По условию

Япе+1-пк-1Ьк

к=1

< Мп". Тогда

\ъ2\ +... + Япв+1-пв_1-1\ъ3-1\ ^ ^Мп^ + (1 + в)02(п3+1-п1-1)а\Ь1\ + (1 + в)02(п3+1-п2-1)а\Ь2\ + ... + (1 + в)02(п3+1-п3.1-1)а\Ь3.1\ < < М<+(1+0)^2<+1 (Н + \Ъ2\ + ... + |Ьв_1|) < М<+(1+0)£)2<+1 (Спи1 + СП272 + • • • + Сг^-п*"1) =

= С(1 + 0)£>2<+1плв_1

м { п3 \а 1___11 щ | 1 п2 | п8-1

С(1 + в)Б2 \Па+1) Па 75"1 75"2 Па 75"3 П3 "' П3

<

< С(1 + в)В2^ПаТнЛ°-1 ( ~ М + ^ + +

\С02(1 + в) Па Па Па )

< С(1 + V"1 + + +

„ „за+1

< ст>2(1 + %3а<+17в_1 • = С£>2(1 +

Таким образом, \Ьа\ < СИ2(1 + -, • ---. Так как Оп„м-п<-1 > £Ш1(п8+1 — п3 — 1)" =

|| 4 ' ' Я. — — п3 — 1 6 41 '

вБ^ - 1 - (<? - 1 - > то N < <

С^Па- Лемма 4 доказана.

Следствие. Пусть выполнены условия леммы 4, тогда существуют тлкие действительные числа С > 0 и £ > 1, что < Сп\ для, всех натуральных в ^ 1.

Доказательство. Из леммы 4 следует, что при данных условиях справедлива оценка \Ь3\ < Сп3^8■ Представив 7 в виде с¡*1о§<г7 и воспользовавшись неравенством qs~1 ^ получаем

|Ьв| < Спа-!3 = = СпаЮъ^( < Сггв(д—= • (—4

щ V щ

Поскольку С, 7, q, п\ — фиксированные числа, такие, что 7 > 1, q > 1, п\ ^ 1, то, обозначив С =

/ \ lOgg 'У

С и í = 1 + logg7 > 1, будем иметь \bs\ < Cnbs для всех натуральных s ^ 1. Следствие доказано.

Теорема 2. Пусть а — фиксированное неотрицательное действительное число, и пусть (W., Рга) —

мет,од суммирования Вороного из класса Vq . Тогда метод (W, Рп) включается в метод Абеля.

рп

Доказательство. Поскольку (W,Pn) — регулярный метод, то lim - = 1, следовательно, ряд

".-S-+00 Pn_i

+оо

Е Pnzn сходится для \z\ < 1. Пусть Е ап = S(W,Pn), без ограничения общности можно считать, что п=о

+оо +оо

5/0. Перемножив формально два степенных ряда Е Pnzn и Е anzn, получим

п=0 п=0

+оо +оо +оо / П. \ +оо

Y,Pnzn • Ea^ra = Е (Е^-У = Y,(w"p")zn>

71= 0 71=0 П=0 ^ 1/=0 п=0

п

Е ^ Рп — V

где Pi n = v=0 р--среднее Вороного. Отсюда будем иметь

-in

+00 +00

+00 Е (wnpn)zn Е (wnpn)zn

En _ п=0_ _ п=0_

»=0 £ Pnzn 1 j

п=0

Поскольку функция P(z) не имеет нулей в единичном круге \z\ < 1 и является аналитической в

+оо

этой области, а ряд Е (WnPn)zn сходится при \z\ < 1 (по теореме Коши-Адамара), то и отношение

п=о

+оо

Е (Wnpn)zn

п—о- -является функцией, аналитической в области Ы < 1. В силу единственности разложения в

P{z)

+00

степенной ряд получаем, что Е anZn сходится при \z\ < 1.

п=о

Кроме того, выполнены все условия леммы 2, а именно Рп > 0 для всех п, Е Рп = РЯД Е Рп%п сходится при 0 ^ ж < 1, lim Wn = 5 ф 0, а значит, справедливо соотношение WnPn ~ SPn при п —>■ +оо.

п—>+оо

+ СО

Е (wnpn)x" +00 Тогда, согласно лемме 2, "=0+оо--> 1 при х —> 1 — 0, т.е. Е апхп —>• 5 при ж —> 1 — 0. Таким образом,

¿V ¿2 рпХп п=0

п=О

по определению ряд Е ап суммируем к числу 5 методом Абеля. Теорема 2 доказана.

Следствие. Пусть (W, Рп) — произвольный метод из класса Vq . Тогда условие {ап} € Л является тауберовым для, метода (W, Рп).

Доказательство. Если ряд Е ап суммируем методом (W, Рп) из класса Vq, то он суммируем и методом Абеля (теорема 2). А так как {ап} € Л, то по теореме А ряд Е ап сходится. Следствие доказано. Рассмотрим теперь некоторый метод (W,Qn) из класса где k ^ 1, а ^ 0. Из определения класса следует, что производящая функция Q(z) = E«S) QnZn изучаемого метода имеет нуль в некоторой точке (—0), где 0 < в < 1. Тогда существует метод (W,Pn) из класса с производящей функцией

P(z) = Era^O PnZn, такой, что Q(z) = (z + e)P(z).

Для пары методов (W., Рп) и (W., Qn), связанных подобным образом, в [3] доказано, что (W, Pn)d(W, Qn) Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места. Однако для лакунарных по Адамару последовательностей {ага} оно становится справедливым, что показывает

Теорема 3. Пусть а ^ 0 — фиксированное действительное число, к — фиксированное натуральное число. Пусть (W, Рп) и (W,Qn) — методы Вороного, тлкие, что (W, Рп) € , (W, Qn) € Пусть P{z) и Q(z) — производящие функции методов (W, Рп) и (W,Qn) соответственно и Q(z) = (z + O)P(z), где® <9 <1. Пусть {ап} € А и Е ап = 5 (W, Qn). Тогда, Е = S (W, Рп)-

Доказательство. Поскольку {ага} € А, то существуют число q > 1 и последовательность натуральных чисел такие, что ^ q и ап = 0 при п ф ns.

Очевидно, что последовательность может быть при этом выбрана таким образом, что выполняется соотношение а ^ <: д3 дЛЯ всех в. Кроме того, без ограничения общности будем считать,

что ряд ^2ап суммируем методом (^^^^п) к нулю. Тогда Шп = ^ ^^ ^ +оо, т.е.

I Яп-иО>и\ = о(Яп) = о(па) при П +00.

Соответственно для п = п3-ц — 1, учитывая, что ап = 0 для п ф пх, п2, щ,..., получим при —>■ +оо

Qns+i-i-nkdnk

к=1

Q

0.

п.,+1-1

Таким образом,

^2 Qns+i-nk-idnk к= 1

= o(Qns+1_i) = о«+1) = o(q п") = о«) при s —>• +оо. Тем более

можно утверждать, что существует число М > 0, такое, что

S Qras+i-l-rifcarafc к= 1

< Мп" для всех s. Из

леммы 4, где в качестве Ъ3 взято аПв, и из ее следствия вытекает существование таких чисел С > 0 и £ > 1, что |аПв| < Сп* для всех в ^ 1. Тогда и при любых натуральных п справедливо неравенство \ап\ < Спг. Отсюда, уЧИТЫВаЯ, что Рп <С I)2Па, получим

гагата

и=0

и=0

и=0

Тем самым можем утверждать, что

Y^ Рп-иОи = °(,Q\) ПРИ п Для любого qi > 1 .

и=0

Представив в равенстве С^(х) = (х + 9)Р(х) производящие функции методов (\¥,Рп) и (И7, <5«) в виде степенных рядов и раскрыв скобки, получим следующие соотношения для натуральных п:

Qo = 0PO, Qn = Pn-l + вРп ■

Отсюда вытекает, что

га

га—1

ín—vdV и=0 и=0

— v0>v

v=0

^ ra ra ^

Обозначим вп = -J2 Qn-u^u, An = J2 Pn-u^u- Тогда имеем Bn = -An_\ + An для всех n ^ 1 и

V v=0 v=0 V

Bn = 0(na), An = o(qпри n +oo. По лемме 3, где в качестве q взято а в роли w выступает а,

п

Pn-vUv _. а.

получаем Ап = о(па), т.е. v=0 Рп- = р = о(1) при п —> +оо. Последнее равенство означает, что ряд

Y2an = 0(VF, Рп). Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 1. Пусть J2an = S (W, Qn), где (W, Qn) € V. Учитывая, что V = (J Va

а> о

+оо

и ~Ра = У получаем, что существуют действительное число а^Ои натуральное число к ^ 0, такие, к=0

что е

Рассмотрим отдельно два случая: 1) к = 0, 2) к ^ 1. В случае 1 утверждение теоремы получается из следствия теоремы 2. Случай 2 сводится к случаю 1 применением к раз теоремы 3. Теорема 1 доказана. Выше мы уже отмечали, что методы суммирования дискретными средними Рисса (Кс1, а) являются методами Вороного (\¥,Рп) с Рп = (п + 1)а. Для целого а несложно проверить, что (И7, (п + 1)а) € ~Ра. Для нецелого а можно построить метод Вороного, принадлежащий ~Ра, эквивалентный (Кс1,а). Таким образом, теорема 1 содержит как частный случай известную (см. [4]) лакунарную теорему для методов дискретных средних Рисса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951 (М.: Комкнига, 2006; М.: Факториал Пресс, 2006).

2. Hardy G.H., Littlewood J.E. A further note on the converse of Abel's theorem // Proc. London Math. Soc. 1926. 25 N 2. 219-236.

3. Степанянц С.А., Хахипов И.В. О взаимосвязях методов Вороного // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 1. 60-63.

4. Степанянц С. А. Теоремы тауберова типа и лакунарные условия для методов суммирования Чезаро и Рисса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 4. 41-45.

Поступила в редакцию 14.06.2013

УДК 517.518

О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ В ТРОЙНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ С НЕКОТОРЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Д. А. Графов1

В работе исследуется вопрос о равносходимости на Т3 = [—7г, 7г)3 разложений в тройной тригонометрический ряд и интеграл Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности в случае "лакунарной последовательности частичных сумм".

Ключевые слова: кратные тригонометрические ряды Фурье, кратные интегралы Фурье, сходимость почти всюду, лакунарная последовательность.

We study the problem of equiconvergence on T3 = [—7г,7г)3 for expansions in a triple trigonometric Fourier series and a Fourier integral of continuous functions with a certain modulus of continuity in the case of a "lacunary sequence of partial sums".

Key words: multiple trigonometric Fourier series, multiple Fourier integrals, convergence almost everywhere, lacunary sequence.

1. Введение. Рассмотрим TV-мерное евклидово пространство элементы которого будем обозначать через х = (х\,... ,хм), и положим (пх) = П\Х\ + ... + 71n%n, \х\ = {х\ + ... + x2N)1/2. Введем множество М^ = {(х\, ... ,xn) € Mw : Xj ^ a, j = 1,..., N}, а € R1, и множество ZN С Mw всех векторов с целочисленными координатами. Положим = R^ П Z,N.

Пусть 27г-периодическая (по каждому аргументу) функция / € Li(Tw), где TN = {х € : —7Г ^ Xj < тт, j = 1,..., N}, разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье: f(x) ~ EfcezN ■

Для любого вектора п = (п\,..., tin) € рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда Sn(x] /), которую можно представить в виде

Sn(x]f) = J f(x + и)Dn(u)du = J f (и)Dn(u-x)du, (1)

]рАГ qpjV

где Дг(£) = ВП1{и)... 0Пм(гм), ДгД^■■) = + ; п е — ядро Дирихле.

2 вт -ф

Пусть функция д € ЬДМ^) разложена в кратный интеграл Фурье: д(х) ~ / "частичную

сумму" которого можно представить в виде

,1а(х-,д) = J g(u)Da(u-x)du, (2)

где Ъа{1) = Ъа1(и)... £>ам(1м), Д, .(*,■) = а3 € М*, - упрощенное ядро Дирихле.

Возникает следующий вопрос: если д{х) = /(ж) при х € Тм, а п = ([ск1 ],..., [сад]) € , где [<Х/]

кно сказать о разности

Ка(х; /) = Ка(х; /, д) = 5"га(ж; /) - ,1а(х] д)

целая часть <х/ € М1, то что можно сказать о разности

при х

<Е TN?

1 Графов Денис Александрович — аси. каф. математического анализа и геометрии физ.-мат. ф-та МГОУ, e-mail: grafov.denQyandex.ru.