О взаимосвязях методов Вороного Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Halachimi B., Franta W.R. A diffusion approximate solution to the G/G/K queueing system // Comp. Oper. Res. 1977. 4, N 1. 37-46.

8. Iglehart D.L., Whitt W. Multiple channel queues in heavy traffic. I // Adv. Appl. Prob. 1970. 2, N 1. 150-177.

9. Kendall D.G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chain // Ann. Math. Stat. 1953. 338-354.

10. Kiefer J., Wolfowitz J. On the theory of queues with many servers // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. 78, N 1. 1-15.

11. Kollerstrom J. Heavy traffic theory for queues with several servers. I // J. Appl. Prob. 1974. 11. N 3. 544-560.

12. Loynes R.M. The stability of a queue with non-independent inter-arrival and service times // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1962. 58, N 3. 497-520.

13. Morozov E. The stability of a non-homogeneous queueing system with regenerative input //J. Math. Sci. 1997. 83, N 3. 407-421.

14. Sadowsky J.S., Szpankowski W. The probability of large queue lengths and waiting times in a heterogeneous multiserver queue I: tight limits // Adv. Appl. Prob. 1995. 27, N 2. 532-550.

15. Krishnamoorthy A., Pramod P.K., Chakravarthy S.R. Queues with interruptions: a survey // TOP. 2012. 1-31.

Поступила в редакцию 19.12.2012

УДК 517.521.7

О ВЗАИМОСВЯЗЯХ МЕТОДОВ ВОРОНОГО С. А. Степанянц1, И. В. Хахинов2

В статье рассматриваются методы суммирования Вороного; изучаются вопросы включения методов, производящие функции которых отличаются линейным множителем.

Ключевые слова: методы Вороного, абелевы теоремы, тауберовы теоремы.

Voronoi means with generating functions, which differs on linear factor, are discussed.

Key words: Voronoi means, abelian theorems, tauberian conditions.

1. Введение. Основные определения. В данной работе рассматриваются методы суммирования Вороного числовых рядов. Везде далее, если не оговорено противное, {an}+=0 — последовательность действительных чисел; ^ an — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, мы считаем, что оно производится от 0 до Пусть П и Л — методы суммирования числовых рядов.

Суммируемость ряда ^ an к числу S методом П обозначается кратко: ^ an = S(П).

Будем говорить, что метод Л включается методом П (Л С П), если из того, что ^ an = S(Л), следует, что £ an = S(П). Будем говорить, что методы П и Л эквивалентны (П ~ Л), если имеют место оба включения Л С П и П С Л. Будем говорить, что метод П сильнее метода Л, если Л С П, но методы П и Л не эквивалентны. Вопросы включения методов являются одними из основных в теории суммирования рядов. Теоремы, устанавливающие прямое включение одного метода в другой, называются абелевыми.

Будем говорить, что условие R является тауберовым или Тд(П)-условием, если любой ряд ^ an, суммируемый методом П и такой, что {an} удовлетворяет условию R, будет суммируем и методом Л.

В качестве П и Л будем рассматривать методы суммирования Вороного (W,pn) и (W, qn). Определения и основные свойства методов Вороного можно найти в [1, § 4.1-4.5].

Приведем определение методов суммирования Вороного в удобном для дальнейшего использования виде.

Пусть pn ^ 0, ро > 0, Pn = Ро + Pi + ••• + Pn.

Ряд £ an называется суммируемым методом Вороного (W, pn) (за рубежом более известен как метод Нерлунда) к числу S (обозначение ^ an = S(W,pn)), если lim tn = S, где

_ PnSp + Pn-lSl + • • • + PoSn _ Pna0 + Pn-ldl + • • • + PpCl-n

n — Iii — Г)

PO + Pi + ••• + Pn Pn

и Sn = ao + ai + ••• + an [1, с. 88].

1 Степанянц Сурен Арменович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ , e-mail: [email protected].

2Хахинов Илья Вячеславович — нач. управления ООО «СК "Согласие"», e-mail: [email protected].

Метод суммирования называется регулярным, если он суммирует каждый сходящийся ряд к его обычной сумме. Условие —0 является необходимым и достаточным для регулярности (W, рга)-метода [1, с. 89].

Многие классические методы суммирования, в частности методы Чезаро и методы суммирования дискретными средними Рисса, могут быть записаны как методы Вороного при определенном выборе последовательности {pn}.

Функцию P (x) Pnxn будем называть производящей функцией метода (W,pn).

В ряде работ (см., например, [2, 3]) при изучении свойств методов суммирования существенно использовались корни производящих функций. В данной статье вопрос о влиянии корней на включение методов будет исследован в прямой постановке. А именно будут выявлены взаимосвязи абелева и таубе-рова типа между двумя методами Вороного, производящие функции которых получаются одна из другой домножением на линейный множитель.

2. Постановки задач. Формулировки теорем. Пусть {pn} —фиксированная последовательность,

n ж

такая, что po > 0; pn ^ 0 при n Е N; Pn = Y p¿; P(x) = Y Pnxn. Пусть, кроме того, выполнено условие

i=0 n=0

lim = 0. Тем самым последовательностью {рп} определяется регулярный метод Вороного (W,pn).

n—ж Pn

ж ж

Пусть 9 — число, такое, что 0 <9 < 1. Положим Q(x) = (x + 9) Y Pnxn = Y Qnxn. Тогда Q0 = 9P0,

n=0 n=0

Qn = Pn-i + 9Pn, qo = Qo и qn = Qn — Qn-i при n Е N. Легко показать, что qn ^ 0 (отметим, что если бы мы взяли 9 < 0, то qo было бы отрицательным) и lim SP- = 0. Тем самым последовательностью

n—Qn

{qn} определяется регулярный метод Вороного (W,qn), причем множества корней (с учетом кратности) производящих функций P(x) и Q(x) отличаются на один элемент {—9}.

Возникает естественная задача абелева типа: выяснить, имеет ли место включение методов (W, pn) и (W, qn). Будет установлена

Теорема 1. Пусть

(i) P(x) и Q(x) — производящие функции регулярных методов Вороного (W,pn) и (W,qn) соответственно;

(ii) 0 < 9 < 1 — фиксированное число;

(iii) Q(x) = (x + 9)P(x).

Тогда

(a) (W,pn) С (W,qn);

(b) (W,qn) С (W,pn).

Мы получаем, что метод "с лишним" корнем (W,qn) сильнее метода (W,pn). Таким образом, возникает обратная задача: найти тауберовы условия на рост последовательности {an}, определив тем самым класс рядов, на котором методы (W, pn) и (W, qn) эквивалентны. Эта задача будет решена в теореме 2 при некоторых дополнительных требованиях к последовательности {Pn}. Отметим, что этим требованиям удовлетворяют многие классические методы суммирования рядов, в частности упоминавшиеся выше методы Чезаро, методы дискретных средних Рисса.

Теорема 2. Пусть

(i) P(x) и Q(x) — производящие функции регулярных методов Вороного (W,pn) и (W,qn) соответственно;

(ii) 0 < 9 < 1 — фиксированное число;

(iii) Q(x) = (x + 9)P(x);

(iv) существуют a, Di, D2 — фиксированные числа, такие, что 0 < Di ^ D2, а ^ 0 и Dina ^ Pn ^ D2na.

Тогда для любого такого, что 1 < £ < условие ап = 0(^а) является Т(щРп^(]¥, q,^-условием.

Теорема 2 усиливает теорему 1 работы [4] как в плане перенесения результата с методов дискретных средних Рисса на более общие методы Вороного, так и в плане улучшения возможного порядка роста. В работе [4] рост последовательности {an} менее любого показательного, здесь же показательный порядок допустим.

3. Доказательства утверждений. Приведем используемые в дальнейшем классические результаты, устанавливающие взаимосвязи двух регулярных методов Вороного (W,pn) и (W,qn).

Если методы (W,pn) и (W,qn) регулярны, то ряды p(x) = Y pnxn, P(x) = Y Pnxn, q(x) = Y qnxn, Q(x) = YQn%n сходятся для \x\ < 1. Тогда существует 7 > 0, такое, что ряды f(x) = Y fn%n = ^fy =

= Y 9n%n = fjj} = §5} сходятся при |ж| < 7.

Теорема включения [1, с. 91]. Если методы (Ш,дп) и (Ш,рп) регулярны, то для того, чтобы выполнялось включение (Ш,рп) С (Ш,дп), необходимо и достаточно, чтобы \/о\Рп + Ц\\Рп-\ + ••• + \fn\Po ^ НЯт где Н не зависит от п, и чтобы ^--^ 0.

Теорема равносильности [1, с. 92-93]. Для того чтобы два регулярных метода Вороного (Ш,рп) и (Ш,дп) были 'равносильны, необходимо и достаточно, чтобы^2 \/п\ < ж и ^ \дп\ < ж.

Установим следующую лемму.

Лемма. Пусть

1) д, и и — некоторые фиксированные числа, такие, что 1 < д1 < д и и ^ 0;

2) {Ап} и {Вп} — некоторые последовательности, такие, что дЛ,п — 1 + Ап — Вп;

3) Ап — о(дп).

Тогда Вп — о(и%) в том и только в том случае, когда Ап — о(и%).

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность докажем от противного. Пусть Ап — о(и%), т.е. существуют постоянная с > 0 и бесконечная последовательность {ии}, такие, что \Ап^ \ > си%• Без ограничения общности можно считать, что с — 1.

Пусть д — д1 — е > 0. Возьмем некоторое фиксированное число ео, удовлетворяющее условию 0 < ео < е. Тогда в силу соотношения Вп — о(и%) существует номер N, такой, что для любого и ^ N имеем \Вп\ < еои%•

Рассмотрим указанную выше последовательность {ии}, в дальнейшем без ограничения общности

1

считаем, что щ — фиксированное число, такое, что щ > N и щ > ^ . Тогда

-(|?1+ео) ш

\Ап1+1\ — \ Вп1+1 — дАП1 \ > д\Ащ\ — \Вщ+1\ > ди% — ео(п1 + 1)% > д1(и1 + 1)•

Последнее неравенство справедливо ввиду соотношения —^— > , которое в свою очередь

справедливо в силу выбора и1.

Дальнейшее доказательство проведем по индукции.

Пусть после некоторого шага з получаем \ Ап1 +« \ > д«(и1 + з)%• Тогда \ Вп1+«+1 \ < ео(и1 + з + 1)% < д'^ео(и1 + з + 1)%, так как д1 > 1.

По аналогии с первым шагом имеем

\Ап1 +«+1 \ — \Вт+в+1 — дАт+8\ > д\Ап1+« \ — \Вт+в+1 \ > > д«д(щ + з)% — д«ео(и1 + з + 1)% > д«+1(щ + з + 1)%• Последнее неравенство справедливо в силу того, что

д (гц + 1)ш +

д1 + ео и% (щ + з)%

То есть имеем

\ Ащ+«+1 \ >д3+1(щ + з + 1)%•

Таким образом, по индукции получаем \Ап1+« \ > д« (и 1 + з)% для всех натуральных з. В силу того что щ — фиксированное число, приходим к противоречию с условием Ап — о(д'п). Значит, предположение было неверно и мы имеем Ап — о(и%). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Будем применять теорему включения и теорему равносильности, используя обозначения, фигурирующие в этих теоремах.

(a) Имеем /(ж) = -рщ = х + 9, т.е. /о = 9, = 1, /га = 0 при п > 1. Тогда из равенства = Рп_\+0Рп следует, что первое условие теоремы включения выполнено при Н — 1.

Второе условие очевидно выполняется в силу того, что ¡п — 0 при и > 1. Значит, по теореме включения (Ш,рп) С (Ш,дп).

(b) Для доказательства того, что (Ш,дп) С (^,рп), достаточно показать, что (Ш,рп) и (Ш,дп) не равносильны.

Имеем

^ Р(х) 1 ^ (—1)\ пп

9[х) Я(х) X + ^ е^ х -2^9пх .

п=о п=о

60

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2014. № 1

Тогда ^ \дп\ = ^ = оо, поскольку 0 < в < 1. Отсюда, согласно теореме равносильности, получаем (№,дп) ^ (Ш,рп). Теорема доказана.

Переходя к доказательству теоремы 2, отметим, что ключевую роль в нем будет играть установленная выше лемма.

Доказательство теоремы 2. Нам необходимо показать, что если ап = 0(£га), где 1 < £ < и ряд ап суммируем методом (Ш,дп), то ряд ^ ап также будет суммируем методом (Ш,рп). Без ограничения общности будем считать, что ряд ^ ап суммируется методом дп) к числу 0. Тогда из определения метода Вороного получаем

n

Qn-v av = o(Qn ).

v=0

Далее, из условий (ii)-(iv) вытекает, что D\Ua ^ Qn ^ (1 + 9)D2(n — 1)а. Тогда суммируемость ряда Yan к нулю методом (W, qn) эквивалентна соотношению

n

Qn-v av = o(na).

v=0

Дальнейшее доказательство проведем с помощью леммы.

Положим в условиях леммы q = ш = a, q\ = £ + е, где е — некоторое фиксированное число, такое,

n n

что 0 < е < I — Тогда, обозначая Ап = ^ ^ Рп-и^и и ßn = ^ Qn_vav, получаем Вп = qAn_\ + Ап.

q v=0 v=0

Тем самым условия 1 и 2 леммы выполнены.

Условие 3 леммы выполнено в силу того, что Pn = O(na) и an = O(£n). Действительно, An = O(na+l^n), откуда очевидно следует, что An = о(+ e)n).

n

Таким образом все условия леммы выполнены, и, учитывая Pn = о(па), получаем Y Pn-vav = о(па).

v=0

Последнее равенство означает, что ряд Y an суммируем методом (W, pn) к нулю. Теорема доказана.

Работа первого автора поддержана грантом РФФИ № 12-01-00169.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951.

2. Kuttner B. On discontinuous Riesz means of type n //J. London Math. Soc. 1962. 37, N 1. 354-364.

3. Степанянц С.А. К вопросу включения методов дискретных средних Рисса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 4. 12-17.

4. Хахинов И.В. Тауберовы условия взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 4. 50-55.

Поступила в редакцию 22.02.2013

УДК 511

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ ОДНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

А. В. Ильинская1

В статье рассматривается задача об устойчивости относительного равновесия системы на орбите. Система состоит из двух твердых тел, соединенных тонким нерастяжимым упругим стержнем. Задача об устойчивости установившихся движений сводится к задаче

1 Ильинская Анастасия Владимировна — мл. науч. сотр. лаб. 302 НИИ механики МГУ, e-mail: [email protected].