CC BY
20
УДК 517.51:518
Г. В. Хромова, Е. В. Шишкова
О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИИ ВМЕСТЕ С ЕЁ ПРОИЗВОДНОЙ*
В данной статье получен точный порядок скорости аппроксимации функции и её производной интегральными операторами с полиномиальными финитными ядрами на некотором компактном классе непрерывных функций.
Рассмотрим семейство интегральных операторов
о л+а
4а3
Обозначим через Та' интегральный оператор, ядро которого есть производная по х от ядра оператора Та.
Известно [1], что если /(дс)еС'[а,Ь], то
и|Го7-Л-»0 при а —» О для любого х е [а + е,Ь - е], е > а. Рассмотрим классы функций
где У/1\а,Ь] - одномерное пространство Соболева, и величины: А,(Гв,М£) = *ирфа/~ Г\\Сс : /(х) б Мг2[а,Ь]},
&и(Та,МГг) = *ир^Г - /Ц : /(х)еМГ2[а,Ь\},
где С,. - пространство непрерывных функций, принимающих постоянные значения на отрезках \а,а + г\ и \Ь-Е,Ь\.
Поставим задачу Колмогорова-Никольского [2]: получить представления вида
д>(Та,мг2) = ф,г(а) + \|»1г(а). Л(11>(Га,Л/|) = ф1(12)(а) + ч/{12>(а),
где М/1г(а) = о(ф1г(а)), у^(а) = о(Ч/|12)(а)), г =1,2. ТЕОРЕМА 1. Имеют место представления:
1
3 ("*а V
4а а+с&х$ь-(\х-а ;
Г = 1,2,
' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект Н111-1295.2003.1).
Та,М22):
2а а*Е5х2Ь-е
|(П - г* (*. - ¿'2« (*> *> а)
где а) = -~— |[(т1-х)2-а2]Сг(г,г|)</г|-Сг(г,х),
4« ,-а
Сг(1,х) - фуикция Грина дифференциального оператора I:{¡у = (-1)' у?г) + у, /*>(0) = 0, /*>(!) = 0, к = г,...,2г -1. Эта теорема является конкретизацией общей теоремы, приведённой в [3]. Для г -1 функция Грина имеет вид
с/1(1-0с/1х
вд*>=] $к\ ' ' (о
ск(1-х)сИ1
Для г = 2 получим вид из её общего представления [4,3].
ЛЕММА. Функция Г'рина дифференциального оператора Ь: ¡у = у(4) + у, у"'(0) = у'"(1) = у"(0) = /'0) = 0 имеет вид
»/=1
т=1
(2)
где X, = , знак + соответствует х>1, знак - соответствует х < /, г -
А =
-X, -К
- V"
1 1 1 1
е*1
(-!) Ат/ для 1 = 1,2;
[(-1)к+1А'т1 для 1 = 3,4,
¿=1 для т = 1,2; 2 - для т = 3,4, Л*т/ - определитель, получающийся из
л X т
определителя Д заменой /л-го столбца на столбец (-А./Д,е ',-1,е ') , X., = А.! при / = 1, - Х1 при I = 2, X., при I = 3, - /С, при 1 = 4.
Доказательство. Рассмотрим выражение функции Грина из [4, с. 47, 94] и конкретизируем его для случая оператора £.
В определитель, стоящий в числителе выражения для функции Грина, подставим конкретные значения для g(t,x), р,
и у =(/,(еХ''); определитель, стоящий в знаменателе, приведём к виду,
фигурирующему в лемме, выразив все корни X, через А.,. Затем разложим определитель, стоящий в числителе, по первой строке, выпишем алгебраические дополнения элементов первой строки, преобразуем их к виду, указанному в лемме и тогда придём к утверждению леммы.
ТЕОРЕМА 2. Справедливы асимптотические по а при а —> О представления:
Гх-х 1 ' з ^
и 7П а2
1 /и Ч у
11
252
а2 +0
а
2
5 Л
а-
Доказательство представляет собой конкретизацию представлений из теоремы 1 с использованием выражений (1) и (2). Сначала находим асимптотические представления для функций £,.(*,/, а). Проделав достаточно громоздкие выкладки, разлагая в ряды гиперболические функции и экспоненты, зависящие от малого аргумента, убеждаемся, что слагаемые, имеющие порядок 0(1), взаимно уничтожаются, в результате приходим к выражению
За З(х-г)2 (х-О4 2ч
« + 1бГ+ 2 +0(в
80
/,т= 1
(1-Х)' , 0-х/'
16^ 6 12
2а 30а
Из этих представлений, проделав аналогичную работу, получаем утверждение теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромова Г.В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз. сб. науч. гр. Саратов, 1984. Вып. 6. С. 53 - 58.
2. Хромова Г.В. Об оценках погрешности приближённых решений уравнений первою рода // ДАМ. 2001. Т. 378, № 5. С. 605 - 609.
3. Хромова Г.В. О неулучшаемых оценках погрешностей приближений к решениям и производным от решений интегральных уравнений I рода // Вести. МГУ. Сер. 15. 1984. №4. С. 3 - 10.
4. Наймарк МЛ. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969.
