О скорости аппроксимации приближенных решений в методе регуляризации Тихонова Текст научной статьи по специальности «Математика»

m < р(и), где функция р(и) однозначно определена следующими соотношениями:

1) р(и) = р(2*), если и = -(2ЛГ + 1);

2) р(16и)=р(и) + 8;

3) р(2*)=2*, если it = 0,1,2,3.

При d = 1 справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА [2]. ИБО Ф:Кт у, R" -> Rn + [ существует тогда и только то-

Íр («) при чётном п ; гда, когда т<\ . .

[р(и +1 ) при нечётном п.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Есктапп В. Gruppentheorischer Beweis des Satzes von Hurwitz - Radon über die Komposition quadratischer Formen // Comm. Math. Helv. 1942/43. Vol. 15, № 4. P. 358 - 366.

2. Терёхин П.А. Тригонометрические алгебры // Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 236 :Вопросы теории представлений алгебр и групп.5. СПб., 1997. С. 183 - 191.

УДК 518:517.948

Г. В. Хромова

О СКОРОСТИ АППРОКСИМАЦИИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ В МЕТОДЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ТИХОНОВА

Рассматривается уравнение 1 рода

Ли = /, (1)

где иеМг2[0,\}=\ и е [0,1]: ]| н || ^ < 1, г > 1 - целое |, И^/ [0,1] - пространство Соболева, А е (С(г_|)[0,1]/^[ОЛ]) и является 1) оператором вложения из

(г-1)

С [0,1] в ¿2 [0,1], либо 2) интегральным оператором с ядром Грина линейного обыкновенного дифференциального оператора ¿порядка т [1].

Пусть Яа - семейство операторов, соответствующих методу регуляризации Тихонова [2]

Обозначим СЕ[0,1] = С[е,1-е],

р = 0,1.....г-1, =

При фиксированном р значение величины Д({\(КаА,Мг2) представляет собой значение скорости аппроксимации р -й производной приближенного решения уравнения (1) в методе Тихонова.

Данное сообщение представляет уточнение результата из [1]: там для скорости аппроксимации приведены точные по порядку а оценки, здесь же мы получаем для этой величины асимптотически точное значение, т.е. решаем задачу Колмогорова-Никольского для операторов ЯаА на классе А/£[0,1]. ТЕОРЕМА. Справедливы представления:

2(г-р)-\

Д^(ЛаЛ,М2') = Са 4(т+'> +р(р), р = 0,1,... ,г -1,

где С = С, + С2,

< 1У+Р + 1 о/ Пг + 1 тр + 1т2т + р + 1

Ч~ ¿^со,- , 1-2 - 5 - >

п /е/, И |-,уе/, С0,+ау

(3(а) - функция, убывающая быстрее любой степени а, п = 2г в случае 1), п = 2г + 2т в случае 2), остальные обозначения см. в [1].

Доказательство базируется на исследованиях, проведенных в работе [1]. Мы ограничимся здесь доказательством того, что С ^ 0. Покажем сначала, что СгФ 0. Обозначим сумму, стоящую в выражении для С2, через

С3. Расположим корни со,-, /' € /,, в ином порядке, чем в [1]:

.271 ,4л 2л, п п

__ 1— I— /—(—1) -/-

51 =у, 52 =уе " , 53 =уе ",..., 5„ = уе " 2 , где у = е 2.

2

Рассмотрим функцию:

Ф(т|) = £5 Р + +

.ж

на луче Т| = ;е Г > 0.

СЮ

Тогда, очевидно, \ Ф(т1)^л = С3 и Ф(л) = У(р + 1)(л)Ч'(2т + /' + 1)(л)> где о

ч>(л) =

/е/,

Отсюда имеем:

c3=¡ 4/(" + ,)(ti)V(2'"+p + 1)(ti)^ =

=[V(2m+í,V(/'+l) - v<2»+'-iyp+2) +...+(-i)m-y2m+p+Vm+p)]o+

+ (-ir][4/(m+p+1)(T1)]2^. o

Поскольку v(/(í)(0) = 0 при í - четном, то подстановки обращаются в

ноль.

Перейдем к вещественной переменной t и учтем, что

_кк

у/(к\т]) = (- 1)ке~ "ipw(t).

Отсюда имеем:

. л

с3=(-îyv » j|v(m+'+,)(r)|2df*0.

о

Из того, что С2* 0 следует, что и С * 0. Доказательство этого получается с привлечением фактов из теории уравнений 1 рода. Рассмотрим величину

A(/>(S, Ra, Mr2 ) = supjjl R{ap)f& - u{p) [ : и e Mr2,\ /6 - <sj, характеризующую погрешность приближенного решения уравнения (1) с приближенно заданной правой частью. Известно, что порядок по 5 этой величины является оптимальным (наименьшим среди всех возможных приближенных методов решения уравнения (1)) при согласовании а = а(5), имеющим порядок б2. [3]. Тот же оптимальный порядок получится, если а(5) выбирать из условия:

j_ 2(л-р)-1 2( г-р)-1

a~2ô(-C2)2"a 4(m+r) +Ca4(m+r) ->inf,

a

где С - константа, стоящая при "главном" порядке в асимптотике величины ^"¡{RaA,Mr2) [4]- В случае, если С*0, то С = С и порядок по 5 в согласовании a = a(5) будет 52. Если же С = 0, то мы придем к зависимости a(S), для которой порядок по 5 величины Д^ (5, Ra, М2 ) будет меньше оптимального, что невозможно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хромова Г. В. О неулучшаемых оценках погрешностей приближений к решениям и производным от решений интегральных уравнений I рода // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1994. № 4. С. 3 -10.

2. Тихонов А.И. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т.153, № 1. С. 49-52.

3. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложенйя. М.: Наука. 1978.

4. Хромова Г.В. Об оценках погрешности приближенных решений интегральных уравнений 1 рода // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1994. № 4. С. 3 - 10.

УДК 517.5

В. И. Шевцов

УРАВНЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА В ОДНОМ КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКОМ КЛАССЕ ФУНКЦИЙ

Дифференциальные уравнения бесконечного порядка используются во многих вопросах комплексного анализа. В создании теории таких уравнений большую роль сыграли работы Д. Полиа, Ж. Валирона, А.О. Гельфонда, А.Ф. Леонтьева и других математиков. Основной задачей теории дифференциальных уравнений бесконечного порядка является задача аппроксимации любого решения такого уравнения посредством элементарных решений. В работе А.Ф. Леонтьева [1] имеется обзор по уравнениям бесконечного порядка. В монографиях [2, 3] приводится ряд результатов, относящихся к уравнениям бесконечного порядка и их приложениям. 00

Пусть L(X) = ^скХк - целая функция конечного порядка р, 0 < р < 1.

* = 0

Предположим, что все нули функции L(k) - простые, обозначим их через * }Г= 1' расположив их в порядке неубывания их модулей. Рассмотрим на

отрезке [—l;l] систему функций \гХкХТакая система экспонент неполна в метрике С ни на каком отрезке вещественной оси.

Обозначим через Ст класс бесконечно дифференцируемых на [~l;l]

функций таких, что

V/eCmn, V»>0 \f(n\x)\< Afmn, (1)