Точные порядки погрешностей аппроксимации гладких функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство. Заключение теоремы следует из теорем 1 и 2.

Обобщенная теорема Ф.Рисса. Пусть открытое множество G удовлетворяет условию /-рога,

1 < p < q < <, к =

г

Р ч1.

< 1 и при к = 1 1 <pn < qn < Тогда эквивалентны полунормы ХН/Ц и I sup ^Jß-fyr1^

(причем из конечности второй полунормы следует существование указанных производных).

Обобщенная теорема Харди-Литтлвуда. Пусть открытое множество G удовлетворяет условию

/-рога, 1 < q < к =

1 1Л

Р я'1.

< 1 и при к = 1 q = Тогда эквивалентны полунормы

и I sup 0>ü(ö;f)drW

;=1 о <d<MG)

¡=1

(причем из конечности второй полунормы следует существование ,(/), / = 1,.. .,n).

Библиографический список

1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Гостехиздат, 1957.

2. Hardy G., Littlewood J. Some properties of fractional integrals // Math. 1932. № 34. P. 403-409.

3. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Известия вузов. Сер. Математика. 1965. № 2. С. 171-187.

4. Брудный Ю.А. Критерий существования производных в LP // Математический сборник. 1967. Т. 73, № 1. С. 42-64.

5. Терехин А.П. Функции ограниченной ^-интегральной р-вариации и теоремы вложения // Математический сборник. 1972. Т. 88, № 2. С.42-64.

6. Терехин А.П. Многомерная ^-интегральнаяр-вариация и обобщенная по Соболеву дифференцируемость в Ьр функции из Ьр // Сибирский математический журн. 1972. Т. 13, № 6. С. 1358-1373.

7. Терехин А.П. Смешанная ^-интегральная р-вариация и смешанная дифференцируемость в Ьр функции из Ьр // Математические заметки. 1982. Т. 25, № 3. С. 151-166.

8. Сахно Л.В. Многомерная ^-интегральная р-вариация и теоремы вложения // Саратов, 1981. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 19.03.81. № 1220-81.

9. Бесов О.В., ИльинВ.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

удк 517.51-518

точные порядки погрешностей аппроксимации гладких функций

Е.В. Шишкова

Саратовский государственный университет, кафедра математической физики и вычислительной математики E-mail: [email protected] Exact orders of Errors in smooth Functions Approximations

в данной работе получены точные по порядку оценки погрешностей приближений к функции вместе с ее производными в равномерной метрике на некоторых классах в случаях, когда функция задана точно, и когда она задана ее ¿-приближением /¿(х) в метрике пространства L2[a,b]. В качестве приближающих операторов берутся интегральные операторы с полиноминальными финитными ядрами.

E.V. shishkova

In this paper exact order estimations of errors in uniform metric approximation of smooth function and its derivatives over several classes are obtained in cases when the function is defined precisely or using its ¿-approximation fs(x) in L2[a,b] metric. Integral operators with polynomial finite kernels are considered as approximate one.

В данной работе получены точные по порядку оценки погрешностей приближений к функции вместе с ее производными в равномерной метрике на некоторых классах в случаях, когда функция задана точно и когда она задана ее ¿-приближением/(х) в метрике пространства Ь2 [а,Ь]. В качестве приближающих операторов берутся интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами.

Рассмотрим семейство интегральных операторов [1]:

А _ А ( М ~ ^)

где а > 0 - параметр, ак выбираются из условия ""**"""'и имеют вид

("1 УСЦ

(1)

^ 2(к - «) +1

ак = Ака~^\ Ак = Обозначим через Трк (^ = 0, к) оператор

"■д"Как(х,0 Ъхр

(2)

1. Рассмотрим случай, когда функцияДх) задана точно. Известно [1], что если /(х) е Ск[а,Ь\, то \ТМ-Г\ -»о & = 0,к) при а ^ 0, где СДа,6] = С[а + е,Ъ-е], е>а. Рассмотрим при к = 1,2,..., р — 0,к классы:

- где [а, ¿] - одномерные пространства Соболева с нормой

11/11^ =(1[(Л0)2+(/(А+1)(0)2]^] , и величины:

характеризующие скорость аппроксимации /(р)(х) с помощью операторов Трк на классе Мк+\а,Ь\ Поставим задачу (задачу Колмогорова - Никольского [2], [3]) получения для величин Др^Т^М*"1"1) (к = 1,2,., р — 0,к ) асимптотических представлений вида

Д^.МГ1) = р\р\а) = при а ^ 0.

В [4] получены (4) для к = 1, р = 0,1.

ТЕОРЕМА (Хромовой [2]). Имеют место представления

(4)

Ы{р\Так,М™) = вир

дрКак(х,£) д"ё(х,£а) ^ _ д2р§(х,£,а)

дхр

дхр

дхрд£р

где

О

(5)

(6)

С(!,п)- функция Грина дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением 1(у) = (-1)*+1 у2к+2(0 + у{г) и краевыми условиями: у{г)(а) = у(г)(Ь) = 0, г = к + 1,...,2к + 1 Для функции Грина справедливо выражение

1 2(4+1) С 2(4+1) ^

' 4(к +1) £ ' ^ т'

т=1

(7)

где ЛI = 1)*, ст! — некоторые константы, зависящие от краевых условий; знак «+» соответствует

! < п; знак «-» - ; > п [2].

Лемма 1. Пусть к = 1,2,., ^ = 0,

, тогда при к = 0,^-^-1

к 2_

]г\чн

У(-1)'——— = о .

(8)

Доказательство. Обозначим левую часть (8) через 5". При h = 0 (8) очевидно. При h > 1 5 = У *С*-1Ь-(*-Р(*-*-1)И» Если = 1, то

,!=1 .5=0

при h >1 имеем

^ } (5-1 )!(*-*-*)!

Положив в последнем выражении для 5" h = 2, получим:

к-1 к-!

5 = к-..нк-1-1)^(-1усг_12+к-..,(к-^(-1ус1:и =

5=2 5=1

= к,.,(к-(-1)%\-1УС[_,_2-к,.,(к-ок£1(-1ус[_,_1 = о,

а при h> 2

= Й к:.,(к-1-1){к^-2)\*к-\з-2 + 2) | й } (s-2)Kk-s-t)\

¿Г } (5-1)!(А:-5-0! '

Проводя дальнейшие рассуждения по этой схеме для произвольного h, получим

5=0 5=0

где ВА,.. .,В0 - некоторые константы. Так как h<k — t — \, то 5 = 0. Лемма доказана.

Лемма 2. Для любого натурального числа k и р — 0,к

£ ^ (-У (1+(-1)^) = (9)

1 -1

Доказательство. Еслир = 0, то ^ . =0. Пустьр Ф 0. Пусть р = 2t, t > 1. Рассмотрим

Р =УУ( \\'С' (2(А:-5))!(1 + (-1Г2') =

* ¿¿Г ' к (2(к-5)-27)!у'!(7 + 2{к- я) - 2* +1)

= 2УУГ 1у2^'(2(А:-5)-1)(2(А;-5)-3)...(2(А:-5)-2г + 1)=2^ ^ ^ ) 8\{к-8-т2] + 2(к-з)-Ъ + \){2])\ ¿(2/)!'

Преобразуем/ Заметим, что при у = 0, / — 1 множитель (2у + 2(к — s) — 2t + \) в знаменателе сократится с одной из скобок в числителе (в каждом слагаемом при соответствующем значении /). Таким образом, в числителе останется многочлен степени ^ - 1). Тогда по лемме 1

г=¥( 1У кЩ-/'1 +•••++ Р0) =

^ ¿Г } 0! '

где Д_15..., Д, И0 - некоторые константы. Следовательно, Fкt = 0. Аналогично (9) получается дляр нечетного. Лемма доказана.

Лемма 3. Для любого натурального числа k и р = 0,к — 1 справедливо равенство

N1

£(-1)^^ = 0.

(10)

Доказательство. Если р = 2t < к тогда

к-I

к-1

к! 2' (2(к - я) -1)(2(к - я) - 3)•... ■• (2(к - *) - Ъ +1)

,=о ,=о 5 !(*-*-01(2/)!

В числителе стоит произведение t скобок, то есть многочлен степени ^ В^' + ... + 5,5 + 50, где В(,.,В1,В0 - некоторые константы, поэтому

так как по лемме 1 У —-—-—:-= 0 при k — t — h> 0, а у нас /г = 0,7 и к — 1 — Ъ>к — 2?>0. Прир не-

^ —лг-г)!

четном доказательство аналогичное. Лемма доказана.

Лемма 4. Для любого натурального к и р — 0,к справедливо

(11)

[у]НУОС^ = * (-1уд ^ } 2(*-5) + 1 ¿2(£-*) + 1 Доказательство проведем индукцией по р. Прир = 0(11) верно. Предположим, что оно верно для некоторого р < к. Докажем для р + 1 < к. Пусть р = 2t. Рассмотрим

(-1)

а 2(*-5)+1

■ну x

( к-1-1

= (-1)

21+1

(-1уС£(2(к-я))!

% 2(к-5) + 1 1

^ (2(к-*) + 1)(2(к-*)-Ъ-Щ21)\

1

2t + l 2(£-5)-2г

к-1 \

2t + \

по лемме 3. Учитывая предположение индукции, для р < к получаем

(-ПР+1 У ^ ' _ у V Ч _ у У"1; Ч

^ } й 2(*-*) + 1 ^ ' й 2(*-*) + 1 ^2(к-*) + \

Аналогичное равенство получается при р = 2t + 1. Следовательно, равенство (11) верно для любого р = (Кк.

Лемма доказана.

Лемма 5. Для любых натуральных чисел к и т выполняется равенство:

(к + 1):.,(к + т)^ (-1 ус; =( ^

(12)

(/и -1)! ^ к — п + т Доказательство проведем индукцией по к. Обозначим левую часть равенства (12) через /к. При к = 1 (12) очевидно. Предположим, что при произвольном к: {—\)к/к = 1. Рассмотрим:

(-1)7*-(-1ГЛ+1=Н)* =(-1)

(* + 1)-....(* + »я)^ (-1)"С£ , ы+1(к + 2)-..,(к + т + 1)$ (-1 УС,

-(-1Г

я

4+1 _

к (к + 2)-...-(к + т)

(т-1)!

(т-1)! ^ к-п + т 4 ' (ти-1)! ^¡к-п + т +1

^¡к-п + т к + 1 + т ^ к-п + т + 1 ^к-п + т + 1

Обозначив Оы = (-1)

к (к + 2)-...-(к + т) (т-1)!

(-1)*/*-(-1)*+1Л+1=А,

и применив формулу Ц. — = —, получим

к-я + т

к + т +1

й (-1У С"

'*+1

^ к — п + т + 1

= А

■ а (-уд

^ А: - п + »г +1 £ + »г + 1

V

+ ——-—— ^к-п+т+1

л*+1 у /

Таким образом, (-1) /4+1 = (-1) /к = 1. Лемма доказана.

Лемма 6. Для любых натуральных чисел k и т, р = 0,к

(-1)'

и

2(*~5) _

1

^ {-\УС1

(13)

(р +1)-... (/? + 2т-1) ^ к-я + т (2т-1)1^к-з + т Доказательство проведем методом математической индукции по р. При р = 0 равенство очевидно. Допустим равенство (13) доказано для произвольногор < k, докажем дляр +1. Обозначим левую часть (13) через/ Пустьр = 2t, рассмотрим

(~1)2<+1 (2* +1)(2* + 2),., (2/ + 2т)(Г, - Г ) =

к-1-1

=1

(-1уСЦ2(к-*))\

5=0

(к-* + т)( 2/)\(2(к - 5) - 2/ -1)!

1 + -

2{г + т) 2(к-з) -2/

n

=2Х(-1ус;с_„=2 X (-1)'с;с2'(,_„=о

5=0

5=0

по лемме 3. Следовательно, по предположению индукции / +1 = / = --^Т^т—"—Аналогично

(2т-1)!^3 к-з + т

это равенство получается для р = 2t + 1. Таким образом, (13) верно для любого р = 0,к. Лемма доказана.

V (~1ТСк п Лемма 7. Для любого натурального числа k ¿^ -^—- ^

(14)

£\2(к-п) + Ъ

Доказательство. Используя формулу бинома Ньютона и свойство биномиальных коэффициентов

Сп /-чк—п

к =Ск , получим:

^ (-1)"с; = иге = (-1)"с;

П /~1П

к_ _

^2{к-п) + Ъ

2и + 3

И"Н

(-1)

X (-1)" с? | ^л = 1 ^ (1 - о* л ф о.

л=0

Лемма доказана.

Лемма 8. Для любого натурального числа k и р — 0,к — 2 справедливо

м

у I Ч ^к^2(^-5) ^ д

Доказательство. Покажем, что среди знаменателей слагаемых суммы в (15), то есть во множестве

(15)

М = { 2

к-Р

2к + \,2к + 3}, содержится, по крайней мере, одно простое число.

Согласно постулату Бертрана [5], для любого натурально числа п > 3 существует простое число д такое, что и < <7 < 2(п — 1). Возьмем п = k + 3, тогда 2(и — 1) = 2к + 4 > 2к + 3. Следовательно, среди нечетных чисел множества М0 — {п + \,п + 2,...,2к + Ъ} есть простое число д. Заметим, что при любых р = 0,к — 2 все нечетные числа М0 содержатся во множестве М. Тогда д е М и существует число s0, позволяющее представление вида Ч = 2(к — 50) + 3. Заметим также, что 2д й М. Рассмотрим А = (-1)*°Так как 2{к-50)<<7 и k< п < д, то

_ 2(£-5'0)(2(А:-д0)-1)•...- (2(£- .?0) - +1) к(к + 1)-..,(к-з0+\)

°2(*-,0)_ , и Ч - -

не делятся на д, то НОД (Л,д) = 1. Обозначим:

V

£> = П (2(к - 0 + 3) = (2* + 3) ■ ...■ (2(к - *0) + 5)(2(к - *0) +1) • ...■ 3,

/=о

тогда, так как 2д й М, НОД (Дд) = 1.

и

Предположим, что Б - У ———* 2(* = 0 е Ъ, тогда Б • Б — 0 е Ъ. Рассмотрим П 2(£-5) + 3

к V г\(-\ус'Ср

Я-5 = п(2(*-0 + 3)- у 1 " ^ =

¡=0

2(к - я) + 3

| (-1)-°с;°Сцк_Ха){2к + 3)•...• (2(*- л„) + 5)(2(*- я„) +1) ■... • 3

+ 2(Л: - л-) + 3 '

Первое слагаемое (сумма) есть целое число, так как знаменатель каждого слагаемого этой суммы со-

АЛ

кратится с соответствующей скобкой числителя, а второе слагаемое есть-£ Z (так как НОД (AD, д) = 1

?

и 2д й М), то есть И■ Б € Z, что противоречит предположению О-51 = 0 е Z, следовательно, 5" Ф 0. Лемма доказана.

Лемма 9. Если G(¿;,rj) - функция Грина дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением 1(у) = {—Х)к+1у2к+2(0 + ^(0 и краевыми условиями: у^г\а) = у^г\Ь) = 0,

г = к + \,...,2к + \, тогда при р = 0,к-2

Доказательство следует из соотношения

(ог'г'м

ф о.

II

К

= вир{II и^О)! -Ф) е Мк+1[а,Ь]}, р = 0,1,...А:,

полученного в [6]. Для произвольного kрассмотрим функцию и(х) = х е М2+. Заметим, что р р || Ф 0,

следовательно,

/0, р = 0,к. Отсюда следует утверждение леммы.

Лемма доказана.

Следующая теорема даёт решение задачи Колмогорова-Никольского. Теорема 1. Имеют место асимптотические по а при а ^ 0 представления:

А ?\Так,М12+1) = Ж~каА+0(аА),

А [к~1)(Так,Мк+1) =

^-2\Так,Мк2+Х) = ^О^а2 + <Кс?),

(16)

(17)

(18)

А\р\Так,М12+1) = ^а2+0(а4), р = 0,*-3,

(19)

где

(-1)4 2(к +1)

к (_Л\п+к (~!П(~<к 24+1

^ V ^4 44-2и+2 '

(-1)'

хУ _

П (4& - 2и - 25 + 3) ^ (2£ + 1-г)Ш(2(£-и) + г + 1) =

(-1) Л 4

Л2 гу2

12(*+ !)(* +2) к(к +1)2 ^ 2(*-л) + 3

-2((А;-1)!)2Л2 I ("Г'^С^Х

* (-1)"с;с4м 24+1

^4 ^44-2я+2

(-1)'

^4£-2и-25 + 5 ^ (2Лг +1 - г) !Л(2(А: - и) + / +1)

_ (-1Г24 ^(-1 * (-1)"с; | , .

(р + 1)(р + 2) ~ 2(*-*) + 3 ~2(£-л) + 3

^44> Дъ4-1' Окр отличны от нуля.

Доказательство основано на представлениях (5), (6) и (7).

Применив формулу бинома Ньютона, запишем ядро оператора ТЛ в виде р = 0,к — 2.

тогда

ак X (-1)" Спка2п (х)2(к-\ £<Е[х-а,х + а]

и=0

О, \а,х-а]и[х+ а,Ь],

дРКак(х^)

Ъхр

Заметим, что

п=0

2(4+1)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

О, 5 = 0,\,...,2к + \,2к + Ъ,...,Ак + Ъ, (-1)*-2(* + 1), Б = 2к+ 2, 2{к +1), 5 = 4£ + 4.

Подставляя (23) и (7) в (6), разлагая экспоненциальные функции в ряды, подсчитывая интегралы, учитывая (25) и выделяя главные части асимптотик по а, получаем

( А к к (£_1г\2(к-1) 2М

*(*,£«) = (- 1Г ^ * }

' ^ {2{к — г)) !(2г +1) !(£ - л + г +1)

+

Л(-1)

4+1 2(4+1)2(4+1)

2(* + 1) £?

i i

/и=1 и=0

2(4-и)+2(4+1)<2.2П

(2/) !(2(& -п) + 2г +1)

24+1 Л

(26)

^ (2Л + 1- г)! г !(2(Л - и) + / + 1)«-2*+1 2(2Л: +1)!

+о(<£-х)4*+3)+ о(а-х)*к+1а2) + ... + о(а4к+3),

знак «+» соответствует £ < х; знак «-» - £ > х; тогда

дх"

4+1

4

.21+1

2 и=о

(2(& - /)) !(2г +1) !(£ - и + г +1)

- +

+

Л ( 144+12(4+1)2(4+1) 4 °° ( л\р]И+1+р 21

АкУ~1) У1 у у ( ^«с'^^'У ^ ' ' I

2(к + \) £ £ ' к и (2г) !(2(£ - и) + 2/ +1)

I л у г 1ГС-у ±

»¿Л ' ^ (2Л + 1-,-)!,-!(2(Л-11) + 1Ч-1)аг24+1

и=0 ¡=0

24+1-р Л

2(2* + 1-/>)! ^

дхрд£р

+ о((£-х)Ак+3~р) + о((£-х)4к+1~ра2) + ... + о(а"к+ъ~р), (-\у+рС"ка2(к-рЮ

(-1

д 2(4+1)2(4+1) 4

I ^4 у у с У( П"С"с(/г-~Л)ХУ ("^т^1^2' |

2(* + 1)£ £ ""й * £(20!(2(*-И) + 2* + 1)

Раскладывая в ряд Тейлора экспоненциальную функцию, получим

I

А

} ~/+2(4-а)-р+1

(1 + (-1у-*)

Подставляя (24), (27) и (28) в (5) и учитывая (29), имеем:

(Д^)2 =Ккра2к-2^+т^Нкра{х) + 0{а'к-2^\

где

4+1

[<Н

2 У ЫУС1СШ У ^ 4 44-2н+2

1=0

(27)

(28)

(29)

(30)

X

НУ

Ц (2к + \-1)\И(2(к-п) + 1 + \)

+ р\А2к X НУС^ХНУ^х

х1

1

^ (21 + Щк-п + ! + 1)(2(к-1)-р)\(4к-2э-21-2р + 1)

м

р\Ак у ОД

к 2(к-з)

А

2{2к + \-р)\ ^Й 2А:-5-/? + 1 2(2(Л-/») + 1)!Д2Л-и-/> + 1

(31)

4+1

НкрЛх) = {-1)

,2 ^

„I Д* 2

л;

2/+1+р

2^77

2(4+1) 2(4+1)

i x

/=1 ш=1

м (20\{2{к-п) + 21 + ад]Ю + 2{к-1)-р + \)

л 2(4+1)2(4+1)

х(1 + (-1ГО--^— У

X

и=0

^(2г)!(2(А:-и) + 2г + 1)

(32)

а

Заметим, что по лемме 6 при т = k—р +1 в (31)

м

1 = р\Ак у](-1)ддс2уд) = р\Ак(р + Х)...{2к-р + Х){-\)р 3 2{2к + \-р)\ £ 2к-*-р + 1 2(2к + 1-р)!(2к-2р + 1)!

иге; = л у (-1 трс-к =1

¿о2к-п-р + 10 2(2(к-р) + 1)\^2к-п-р + 1 4'

Учитывая это, рассмотрим в (31) Як при р = k ир = k - 1.

р А

Пусть р = k. По лемме 4 13=14 = — к

к 2(к +1) ^

[А"2]С-1У г'С к ( П"Г" ^

= а1 У ^му^+ш,2 У „ х

хУ (-1)"с: У---=и +/„.

^ ' к ~ (2/ +1) !(£ - и + г + 1)(£ - 2г) !(2£ - 25 - 2г +1) 21 22

(-1)* Н)*

В сумма по s по лемме 4 равна -——, а сумма по п по лемме 5 при т = 1 равна-, следо-

2Ак 2Ак

А

вательно, /21 =--—. Рассмотрим 122. Пусть k = 2t, а7 = t - г, тогда при г = 1,...,^7 = t - 1,...,0 и

2(* + 1)

-XV С°Ск ' (—и* Г" Г*'

1> ^к^2(к-з) _ V"1 V Ч ^2/*—2(2г-^)

n

> --—— = > -1—- = 0. Это вытекает из доказательства леммы 2 при р = k. Ана-

^ 2(£-5)-2г + 1 ^27-25 + 27 + 1

А

логично при k = 2t - 1 сумма по 5 равна нулю. Следовательно, 122 = 0 и 12 = /21 =--— = —13 по лемме

2{к +1)

4, то есть Л.. -1.+1.- 212 —I,-12, откуда следует (20). Г*-—1

А о 1 I. 2 ]

Пусть р = k - 1. По лемме 4 13-14- —————. Рассмотрим /2 = ^Г + ^Г + ^Г . По лемме 5

3!(«: + 1)(л + 2) ,=0 ¡=1 /=2

о ¿2 [к~ 2 1 (-]УГ'Ск-> к глуг" (~\Лк А1 2 ] С*Ск~1

Ак у ч ху (,-1; Ч _ (-1; Ак у I ц Ч:°2(*-,о

г=0

£(£ + 1) ^ 2(А:-5) + 3 ~£-и + 1 *(* + !) ^ 2(£-5) + 3

1 42 У1)'с;с£ * (-1)"с" , , (-1Г1

В > =—1- > --—-—-—— сумма по 5 по лемме 4 и по определению Акравна-,

¡■=1 3! 1=0 2{к — 5) + 1 П=0к — п + 2 2 Ак

, (-1)' V 4 , , Л

а сумма по п по лемме 5 равна ~ тгг. гт, то есть > —--—-—-- = —1, — —!,. Аналогично,

у ; (к + \)(к + 2у £ 2-3\(к + т + 2) 3 4 '

(-1) А2 2 (-1)" С&'к-г как и ^ прир=k ^ =о. Следовательно, 12 = X 'Л'1-^-

1=1 1=2 +1) 5=о ¿{к 5^ + 5

г. 4-Ц

Таким образом, Л,, , = +-—-—У -к 2<-к + /,., откуда следует (21).

"-1 1 А:(А; + 1)2 ^ 2(А;-5) + 3 3

Преобразуем Нра (х) из (32). Рассмотрим отдельно первое слагаемое Jl. Все слагаемые суммы по

7 при у < р равны нулю по лемме 2. При 7 = р по лемме 4 и определению Ак имеем:

А2 О 2 2(4+1)2(4+1) 4 ~ ]^+1+р]р21 _Ак12_ у К Ч 44(4-,) у у ^--^у/п-с-хУ-4-^-=

( /( 2(4+1)2(4+1) к ~ 121+1+р № 2/

_ I"1; Л ГУ с сх(Лт-Л,)ху( Ата - J

2(к + 1) && т' ' ^(2г')!(2(А-«) + 2/ + 1) 2-

Слагаемые при) = р + 2д - 1, где д - натуральное число, равны нулю, так как (1 + (—= 1 + + (_1)^-1-Р=0, Поэтому

у + У)* Лр+2^ =

¿+а\и + 2{к-8)-р + \) %(21 + р)\(21 + 2(к-8) + \) (2 + р)\{2(к-з) + Ъ) К

Заметим также, что из вида функции G(£n) (7) имеем:

/-1ЧР /2(4+1)2(4+1) 2(4+1) ^

ч=х + 7=1 т=1 ;=1

причем в последней сумме степень нечетная, следовательно, по (25) эта сумма равна нулю, то есть

,_,у, 2(4+1)2(4+1)

(СГТ= ¿Т^ £ Е стге^ЛГЛС2. (33)

Таким образом,

Г-П*+1 „М! [*_2] 2(4+1)2(4+1)

Нкра(х)= ^л е нгвд*-,) i x ^-^х

*+1 г=0 /=1 1Я=1

4 ~ ]И+1+р оо ] p+2j J.i+2j

/ 1\4+1 А2 2 (-]\'С'СР 2(4+1)2(4+1) = С-^ Ак у _I 1) ^2(4-,)_ У У с х (34)

2(к + \) £0(р + 1)(р + 2)(2(к-5) + 3)£{ £ т' ()

к Г-ПТ" /I2 2 Ч-П'С'С^

я-0 V /

Обозначим

' а<х<4 р (р + \)(р + 2) П 2(Л:-5) + 3 2(Аг — и) + 3? ^

Отсюда и из (31) при достаточно малых а получаем

(Д^)2 = Якра2к~2р+1 + йкр с? + 0(а6) + 0(а4к~2р+3). (35)

В (35) первое слагаемое будет главным при р = k и р = k - 1, в остальных случаях (^ = 0,к — 2, k = 2,3,.) главным является второе слагаемое, откуда следуют представления (16) - (19).

Из лемм 7, 8 и 9 следует, что Qкp ф 0. Доказательство отличия от нуля констант Rkk и R££-1приведем позже, поскольку оно опирается на теорию некорректных задач.

2. Пусть теперь функция Дх) задана своим ¿-приближением в среднеквадратичной метрике, то есть вместо Дх) нам дана/¿(х): ||/ — <й. Известно [1], что если /{х) е Ск[а,Ь\ то можно так выбирать согласования параметра регуляризации а с погрешностью 8, что Ц^^У^ _ /^Ц -> 0 при 8 ^0 & = ОД). __С*

Рассмотрим при k = 1,2,., р — 0,к величины

характеризующие погрешность приближения к / (р)(х) при неточном задании функции Дх). Поставим задачу получения точных по порядку оценок величин Д(д,Трк,Мк+1). В [7] эта задача решена для случаев k = 1, р = 0,1.

Г.В. Хромовой [8] предложен метод нахождения таких оценок, поскольку задачу восстановления функции по среднеквадратичному приближению можно интерпретировать как задачу решения урав-

нения первого рода с оператором вложения из Ск[а,Ъ] в Ь2[а,Ъ] [9]. Согласно этому методу, сначала нужно получить асимптотические представления (4) для и аналогичные представления

для \Т£к\^с(Р = Ъ,к):

||Щ\^с = ^\рк\а)+^2рк\а), ^2рк\а) = о^2рк\а)) при а ^ 0.

(37)

После следует найти согласования а = а(д) из условий:

(38)

а

Найденные выражения а = а(8) и представления (4), (37) необходимо подставить в двусторонние

оценки:

^Ф < Д№,М*+1) ^ Ф, где Ф = ^\Так,Мк2+1)Щтрк\

(39)

результатом чего будут точные по порядку ¿ оценки погрешностей задачи восстановления, имеющие тот же порядок, что и величины тГА(3,Трк,Мк+1) [8].

а

Теорема 2. Справедливы равенства:

-24-1

Г* II = Р а 2

-24+1

р4-1

, „ -ра 2

1ак г 44-1

N¿2-»С,

-2р-\

где

Р =

гкк-1

\Щ^с=ГкР* 2 , р = 0,к-2,

\4 „ А{2к-\)\А^\-\уСкСк2^

(40)

(41)

(-1) Акк(2к - 2)!+ -

к +1

РкР =

' И

к-р У 2] Г"Т"1Г'Р Ср

2{р\А X

2(к-п) + 2(к-8)-2р + \ Доказательство. Известно [1], что

, р = 0,к-2.

\\ТР

ак

- шах

1^2->С, а+Е<х<Ь-

(¿ср

К

Применяя (24), получаем

ИИ +

х+а . .2 I 2] [ 2] ГтГ*1(~<Р г°р

1 * = 24(рУ x i к

.. _ V ' Я-П с—П

~ ~ 2(*-и) + 2(*-.0-2/> + 1

Пусть р = 2t, t > 1, тогда

и и

у у V. у 4 2(4-д) 2(4-и) V у V V ^4^4^2(4-5)^2(4-«)

[2(£-и) + 2(£-.У)-47 + 1

Слагаемые при п = k - Л (—1)* ' С[ У -^—= так как эта сумма соответствует случаю

7 = 0 в доказательстве леммы 2. Аналогично обращаются в нуль все суммы слагаемых при п = k - t—

к-1

— 1.П = ^ - 2t + 1, соответствующие 7 = 1,.,7 = t - 1 в доказательстве леммы 2. Следовательно, У, = 0,

и=4—2/+1

то 2.1 = 2.1 = 2./. Таким образом, прир = 2t, t > 1:

п=0 п=0 и=0

NN

1\Л+5 (~<р к-р

1> к к 2(4-5) 2(4-я) _ ^

£Й ^ 2(к-п) + 2(к-*)-2р +

N1 (-

гхх

1 И=0 5=0

1ЧИ+5 (~*р

404^2(4-5)°2(4-1

■в)

2(Аг - «) + 2(А: - 5) - 2/7 +1

(42)

Известия Саратовского университета. 2006. Т. 6. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1/2 Аналогично (42) получается дляр = 2t - 1, t > 1. Прир = 0 равенство очевидно. Получаем

( м

к-р I 2] (Л\п+' /^ТТР ПР

" 1 = 24(р02У У 1 ' ЧЧЧмЧм -а,-

откуда следует (41). Подставляя в это выражение р = k и р = k - 1 и применяя лемму 4, получаем (40). Теорема доказана.

Теорема 3. Справедливы следующие двусторонние оценки:

где

+е,) £ ^ Рк/> +&р,р = од,

сс(д) = С(к,р)д"> С(к,к) =-—, С(к,к-1)= д ^— -,

С(к,р) - . % =

4 у10~р

з

2

2/7 + 5'

Аг + 1

р = 0,к-2,

2к + 2 г

2£ + 2

2/> + 5'

24+1 24+2

2& + 1

,^ = (2^ + 2)

2р+1

/ р

•'44-1

2£-1

3(24-1) 24+2

^, = (2р + 5)

/ р ^

ГЬр

4

V У

ж 2/? + 1

2р+5

р = 0, к - 2,

0 =0(<Г'), р = 0Д

(43)

2к + 2'Гк~1 2к + 2

Г к-2 =

2к + \

>УР =

2р + 5

р = 0,к — 3,

^44> ^44-и 04Р (Р-®>к-2),Ркр(р — 0,к) определены в теоремах 1 и 2. Оценки А(3,Тк^к,Мк+1) и

Д(<2, , М2 ) являются оптимальными по порядку.

Доказательство. При получении оценок в утверждении теоремы применяется метод Хромовой.

Асимптотические представления (4) и (37) для величин (Та к, Мк+1) и \Грк Лр = 0,к) даются в

II И-Ц ->се

теоремах 1 и 2. Из условия (38) получаем согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных 8: при р = &

\2к + \)РккдЛ

, Р = k - 1: а(д) =

\2к-\)Ркк_^

р = 0,к-2: а(д) =

(2р + \)Ркрд

.

Подставляя полученные выражения в (39), имеем (43).

Известно, что метод регуляризации А.Н. Тихонова на классах, задаваемых в виде М = В^, где В - вполне непрерывный оператор, - шар в некотором гильбертовом пространстве с радиусом R, является оптимальным по порядку [10]. Поскольку класс функций Мк+1[а,Ь] указанного вида, где В - оператор вложения из Иг2к+1[а,Ь] в Ск[а,Ь\ а R = 1, то утверждение справедливо и в нашем случае.

Сравнивая оценки, полученные в задаче восстановления функции и ее производных методом Тихонова [8], с оценками (43) получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теперь покажем, что константы Якк и Якк_х из теоремы 1 отличны от нуля. Предположим противное: Якк = Я-кк-\ = 0. Тогда величины Д^Т^^М*4"1) и Д^Т^Г^М**1) будут иметь порядок меньший, чем йг^ в первом и а^ во втором случаях. Аналогично, как и в доказательстве теоремы 3, выбирая соответствующие согласования а = а(8) и подставляя их в двусторонние оценки (39), придем к порядкам Цд, , Мк+1 )(р = к,к — 1), меньшим оптимальных, что противоречит определению оптимальности и последнему утверждению теоремы 3.

Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ (проект НШ-1295.2003.1).

Библиографический список

1. Хромова Г.В. О дифференцировании функций, заданных с погрешностью//Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: Межвуз.сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1984. Вып. 6. С. 53-58.

2. Хромова Г.В. Об оценках погрешно сти приближенных решений уравнений первого рода // Докл. АН. 2001. Т. 378, № 5. С. 605-609.

3. ДзядыкВ.К. Введение в теорию равномерного приближения функций. М.: Наука, 1977. 508 с.

4. Хромова Г.В., Шишкова Е.В. О скорости сходимости приближений функции вместе с её производной // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2003. Вып. 5. С. 136-138.

5. Чебышев П.Л. Полн. собр. соч. М.; Л., Изд-во Академии Наук СССР 1946. Т . 1. С. 433.

6. Хромова Г.В. О верхних гранях норм функций и их производных // Вестн. Моск. ун-та. 1998. № 2. С. 45-47.

7. Шишкова Е.В. О точных по порядку оценках погрешностей в задаче восстановления функции вместе с ее производной // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2003. Вып. 2. С.99-102.

8. Хромова Г.В. Оценки погрешностей приближенных решений уравнений первого рода в равномерной метрике// Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Саратов. 1998. 237 с.

9. Хромова Г.В. Задача восстановления и уравнения первого рода //Дифференциальные уравнения и вычисл. математика: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1976. Вып. 6, ч. 1. С.83-87

10. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория нелинейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.