Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций в метрике l 2. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 8, 2001

УДК 517.5

ОБОБЩЕННЫЕ СДВИГИ БЕССЕЛЯ И НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ В МЕТРИКЕ Ь2. II

С. С. Платонов

В работе рассматриваются некоторые задачи теории приближений функций на промежутке [0, +оо) в метрике Ь2 с некоторым весом целыми функциями экспоненциального типа. Используемые в задачах модули непрерывности строятся при помощи операторов обобщенного сдвига Бесселя. Доказаны прямые теоремы Джексоновского типа. Введены функциональные пространства типа Никольского - Бесова и получено их описание в терминах наилучших приближений. Настоящая статья представляет собой окончание статьи [17], опубликованной в предыдущем выпуске ’’Труды ПетрГУ. Сер. Математика”.

Статья содержит окончание §3, а также §4 и §5. Нумерация формул продолжает нумерацию формул статьи [17].

§ 3. Функции с ограниченным спектром и их свойства

Напомним (см. [14, гл. VIII ]), что линейный оператор А в гильбертовом пространстве Н с плотной областью определения В — В (А) С Н называется в существенном самосопряженным, если его замыкание А является самосопряженным оператором. Отметим также, что для самосопряженного в существенном оператора А справедливо равенство А = А* (т. е. замыкание оператора А совпадает с сопряженным оператором). Оператор А называется положительным, если (А(р, (р) > 0, и строго положительным, если (А(р, ф) > с((р, ф) для всех (р Е В и некоторого с > 0.

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 99-01-00782

© С. С. Платонов, 2001

Лемма 3.2. Оператор Бесселя В = Вг с областью определения В — Х>(М_1_) в существенном самосопряженный.

Доказательство. Интегрированием по частям проверяется симметричность оператора В, т. е.

для любых /, д Е £>(М+). Более того, формула (3.3) справедлива для любых / Е £>(М+), д Е (7^2^(М+).

Заметим, что оператор (—В) положительный. Это следует из соотношения

которое проверяется интегрированием по частям. Оператор (—В + 1) строго положительный, так как {{—В + 1 )</?,</?) > (</?,</?) для всякого (р Е В. Ясно, что оператор В самосопряжен в существенном тогда и только тогда, когда в существенном самосопряжен оператор (—В + 1).

Для строго положительного симметричного оператора А существует следующий критерий самосопряженности в существенном (см. [15, гл.Х, теор. Х.26]): А самосопряжен в существенном тогда и только тогда, когда Кет А* = {0}. Чтобы доказать, что оператор (—В + 1) самосопряжен в существенном достаточно проверить, что

В силу того, что область определения оператора В равна £>(М+), равенство (3.4) эквивалентно равенству

где производные понимаются в смысле теории обобщенных функций, т. е. для любой функции (р Е Р(М+) должно выполняться равенство

J (ВЛ (і) 9(1) і2а+1 <іі = ! /(і) (Вд)(і) і2а+1 <й (3.3)

Кег {-В* + 1) = {0}. Пусть

(—В + 1)*и = 0, и Є 0(3*).

(3.4)

( — В + 1)1* — 0, и Є Ь2,аі

(3.5)

J и(і)(—В + !)</?(£) і2а+1сІі = 0

ИЛИ

(3.6)

Так как дифференциальный оператор (—В + 1) эллиптический на множестве М\{0}, то из теорем регулярности для эллиптических уравнений следует, что функция и должна быть гладкой (класса С°°) четной функцией на множестве М \ {0} и является там решением уравнения Ви = и в классическом смысле. На интервале (0, +оо) совокупность всех решений уравнения Ви = и задается формулой

Ц£) = с\ щ (£) + с2 и2 (£),

где — фундаментальная система решений, а с\ и с2 — про-

извольные постоянные. В качестве фундаментальной системы решений можно взять функции (см. [10])

/,ч /,ч ^а(^)

щЮ = Иг’ "м = ш-

где г = л/—Т, Ja(z) — функция Бесселя первого рода, Уа(г) — функция Бесселя второго рода. Заметим, что г^^) = 2~сх(Г(а+1))~1За(И), поэтому и\(£) — гладкая четная функция на всей числовой прямой М. С помощью интегрирования по частям легко проверяется, что и±^) удовлетворяет соотношению (3.6). С другой стороны, проверим, что функция и2 (£) не удовлетворяет соотношению (3.6). Возьмем любую функцию Е Х>(М+), такую, что </?(£) = 1 при Щ < 1. Пусть

0 < £ < 1 — произвольное число. Дважды проинтегрировав по частям, получаем, что

оо оо

!иъ{г) (х>)0) г2а+1<а = /«,(.) ^2а+1^)(1г =

е

оо

'-(г) + !(1?и2)(£) <р^) ^а+1сИ =

£

ОО

'-{е) + ! и2^)<р^)^а+1сИ. (3.7)

2«+1 , <й

2а+1 ^и2 ,

Из разложения функции Бесселя в степенной ряд следует, что при t —у 0

и2(*) = СГ2а + 0(Г2а+1), (3.8)

где С — некоторое ненулевое число (случай а = 0 особый, тогда П2{Ь) = С 1п£ + 0(1)). Из (3.8) следует, что

е2а+1^(е)=С(-2а)+0(е).

Переходя в (3.7) к пределу при е —У 0, получим, что

оо оо

J и2 (£) (рф){Ь) 12а+1(И = —2аС + J и2 (£) ф{Ь) £2а+1б^,

о о

т. е. (3.6) не выполняется при а / 0. Случай а = 0 рассматривается аналогично.

Следовательно, все функции и(£), удовлетворяющие условию (3.6), задаются формулой и{£) = где с\ — произвольная постоянная.

Из асимптотики функций Бесселя следует, что —У оо при £ —у

оо, поэтому функция с\ г^!^) может принадлежать пространству Ь2^а только при с\ — 0, откуда вытекает, что и = 0. □

Следствие 3.1. Если функции / и В/ принадлежат пространству ^2,« (действие оператора В понимается в смысле теории обобщенных функций), то найдется последовательность функций fn Е 2}(М+), такая, что ^п У ^ и В и —У В/ в пространстве Ь2^а.

Действительно, из определения сопряженного оператора В* следует, что / Е И (В*) и д = В*/ тогда и только тогда, когда д = Б/ в смысле теории обобщенных функций. Остается воспользоваться тем, что из самосопряженности в существенном следует, что замыкание оператора В совпадает с В*.

Лемма 3.3. Пусть функции / и В/ принадлежат пространству Ь2^а, тогда

(В/)(А) = -А2/(А). (3.9)

Доказательство. По следствию 3.1 существует последовательность функций /п Е £>(М+), для которой /п-У / И Б/п -»> Б/ в £2,сп поэтому (3.9) достаточно доказать для / Е £>(М+). Используя симметричность оператора Б (см. (3.3)), получим, что

(В Л (А) = I (вт)и(М) 12а+1 (И =

= f fi*) iBja(Xt)) t2a+1dt = -A2 J f(t)ja(Xt)t2a+1dt = -X2f(X). □

JIemma 3.4. (Неравенство типа Бернштейна). Для любой функции / Е Xv справедливо неравенство

\\Bfh,a < ^2||/||2,«- (З.Ю)

Доказательство. Используя лемму 3.3 и равенство Парсеваля, получим

< г'4 11/111,а,

\т\1а = А [ \\\4\т\\2а+1с1\

откуда следует неравенство (3.10). □

В следующей лемме будет получено несколько оценок для функций которые будут использованы в дальнейшем.

Лемма 3.5. Для £ Е М справедливы следующие неравенства:

1) \Ш\ < 1;

2) 1-Ш <*2/2;

3) 1 — 1сх{1) > с при |£| > 1, где с > 0 — некоторая постоянная, зависящая только от а.

Доказательство. Так как функция четная, то достаточно доказать все неравенства при £ Е М+. Воспользуемся следующим интегральным представлением функции (^) (см. [16, формула № 8.411]):

рп/2

= С1 / (СОБ 6)2а СОБ^БШ 6) с№, (3-11)

Jo

где

С1= . Г/2^м2«,Л_1_ 2Г(а + 1)

Г /*7Г/^

/ (cos О)2 I Jo

V5Fr(a + l/2)‘

Из (3.11) сразу следует, что !.?«(£) | < 1 и при £ > 0 выполняется строгое неравенство !.?«(£) | < 1.

Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальными условиями ja(0) = 1 и j'a(0) = 0. Из (3.12) и начальных условий следует, что

1 -ja(t) = j s (2“+1) ja(u)u2a+1 duj ds =

j \ja(u)\(u/s)2a+1 dv^j ds < J dv^j ds = t2/2,

что доказывает неравенство 2). При этом в оценке было использовано, что 0 < u/s < 1 и \ja{u)\ <1.

Из асимптотических формул для функций Бесселя следует, что ja(t) —У 0 при t —У оо, поэтому существует такое число > о, что при t > to справедливо неравенство \ja(t)\ <1/2. Пусть

m = min (1 — ja(t)).

te[l,t0]

При t > 1 выполняется неравенство 1 — ja(t) > с, если взять с = min{ш, 1/2}. □

§ 4. Прямые теоремы Джексоновского типа

В этом параграфе будет доказана теорема 1.1. Предварительно докажем частный случай этой теоремы. Необходимые определения приведены в §1.

Теорема 4.1. При / е L2,« справедливо неравенство

Ev(f)2,a < Cl Wk(f, l/z'Ka, (4.1)

где ci — некоторая положительная постоянная, зависящая только от к и а.

Доказательство. Воспользуемся оператором проектирования Pv на подпространство Xv. Из равенства Парсеваля следует, что

роо

\\1-РЛЛ\\1,а=А \f(X)\2 X2a+1 d\. (4.2)

J V

Из леммы 3.5 вытекает, что

1 - За (А/V) > С

при Л > г/, поэтому из (4.2), используя лемму 2.1 и равенство Парсе-валя, получим

А Г°°

II/ - Pv{f)\\l,a < -2k / (l-J«№))2fc|/(A)|2A2“+1dA<

^ J V

А Г°° ^

^ ~2k Jo t1 - i«(A/i/))2fe |/(А)|2 A2a+1 dX =

= c-2fcn (i - T^)km\\ia < c-2fc ы/, i iv)2)2,

откуда следует неравенство (4.1) с с\ — с~к. □

Доказательство теоремы 1.1. Из лемм 2.1, 3.5, 3.3 и равенства Парсеваля следует, что

роо

lia - Th)f ||!>a = А (1 - ja(Xh))2 |/(А)|2 X2a+1dX <

J О

роо

< A(h4/4) / А4|/(А)|2 А2«+1 dX = (l/4)ft4||B/||2,a.

Jo

Следовательно,

\\(I-Th)f\\2,a<(l/2)h2\\Bf\\2,a. (4.3)

Рассуждая как при доказательстве теоремы 4.1, получим, что

II/ - Вд)1к« < c-(fe+s) 11(7 - TV^+VWIka. (4.4)

Последовательно s раз применяя неравенство (4.3) к правой части неравенства (4.4), получим, что

II/ - PvU)lk« < c-(fc+s)2-v-2s ||(I - ||2,« <

< С2 v~2s UJk(BSf, 1/г/)2,а,

где С2 = c~(k+s^2~s.

§ 5. Пространства Никольского—Бесова и их аппроксимационная характеристика

Для доказательства обратных теорем теории приближений используются неравенства типа Бернштейна. Кроме неравенства из леммы 3.4 нам потребуется еще одно неравенство типа Бернштейна.

Лемма 5.1. При Ф(£) Е Т„ и Н > 0 справедливо неравенство

||ДЙФ(*)||2,а<И)2‘||Ф||2,а. (5-1)

Доказательство. Используя леммы 2.1 и 3.5 и равенство Парсеваля, получаем:

||ДьФ||2>а = ||Ф - ТлФ||2>а = А^2\\Ф - ТЧ>\\2,а = А1/2\\{1-иЩ)Ц\)\\2,а<А1/2(Н2/2)р2\\^а = (1/2)(г//г)2||Ф||2,а<И)2||Ф||2,а.

При этом было использовано свойство, что Ф(А) = 0 при А > V. Аналогично проверяется, что

||ДЕФ||2,„ < (1/Л)2к||Ф||2,а. □

Пространства Щ а и В£ определены в §1. В теоремах 1.2 и 1.3 приводятся описания этих пространств через наилучшие приближения функциями из Ху. Для краткости пусть || • || := || • ||2

Доказательство теоремы 1.2. Если / е то

МВ'1,8)2 ,а<ь,1М)Ьг-2е

и из теоремы 4.2 следует, что

ВДЬ.а < С1--------^-------- < С! — .

Для доказательства обратного неравенства используется обычная методика, идущая от С. Н. Бернштейна (см. [10]). Пусть выполняется неравенство (1.8). Выберем последовательность функций фп Е Х2п (п = 0,1, 2,...) так, чтобы

II/ — 'ФпЦ < А2~пг.

Пусть (р0 = ф0 и (рп = фп - фп-1 при п > 1. Тогда

71 = 0

ряд сходится в L2 а и ірп Є Т2п. Оценим сверху нормы слагаемых в (5.2):

ll^oll = ll^oll < IIV’o - /II + ll/ll < ll/ll + A. (5.3)

1Ы1 < II/ - </>„11 + II/ - Л.-1ІІ < a(± + (5.4)

Объединяя неравенства (5.3) и (5.4), можно написать, что

1Ы1 <с32-пг (11/11 +Л), п = 0,1,2,... (5.5)

Пусть I — одно из чисел 1,2,...,s. Из леммы 3.4 получаем, что

PVnll < (2n)2/ |Ы|. (5.6)

Из (5.5), (5.6) и того, что г — 21 > 0, следует, что в L2?а сходится ряд

71 = 0

а так как оператор В замкнутый, то

оо

В'/ = В\рп € Ь2,«.

71 = 0

В частности, функция д = Впринадлежит пространству Ь2,и-Пусть Ф„ := В3(рп, тогда

ОО

д = ^ Фп, Фп€12», ЦФп11<2^й) (11/11+ ^)-

71 = 0

Возьмем произвольное число к > 0. Из непрерывности разностного оператора следует, что

Akhg = J2&№r

71 = 0

Подберем неотрицательное целое число 7V так, чтобы

2~n <h< 2-{n~1'> (5.8)

(если к > 1, то в (5.8) оставляем только левое неравенство). Тогда

ЛГ—1

Акд = £ Д*ФП + £ Д*Ф„ (5.9)

п=0 п=ЛГ

(при ТУ = 0 в (5.9) остается только второе слагаемое). Оценим слагаемые в (5.9). При п < N — 1, используя неравенства (5.1), (5.7) и (5.8), получим

||Д£Фп|| < (2"Л)2*||ФП|| < с5(||/|| + А) 2«(2«+2й-г)2-2(^-1)<г_ Тогда, используя (5.8),

N 1 / I I а I I ^ 1 \ N 1

II £ д‘*»н < £ 2<2-+2‘-">" =

= 2 с (11/и+т-"-- («о)

При п > N воспользуемся очевидным неравенством

||Д£ФП||<2‘||Ф„||.

Тогда

Х>£ф„||< 24(11/11 +Л) £2'

^ — (г — 2з)п n=N n=N

= 2*с4(||/|| + -4) 2~м(г-2з)(1 - 2(2*-г))-1 =

<сг(||/||+Л)Лг-2в. (5.11)

Из (5.10) и (5.11) следует, что

ЦДЫ| < с8Л-2‘(||/|| + А),

откуда

Ык(д,б)2,а<с8Ш\\ + А)Г-2‘, 5> о,

и

Ч«(/)<С8(11/11+^)-

В результате получаем, что / Е Щ а и выполняется неравенство (1.9).

Из теоремы 1.2 следует, что пространство Н2 а состоит из тех и только тех функций / Е 7^2,« для которых Н2 а(/) < оо. При этом норма в Щ а эквивалентна норме

В частности, при различных к, в таких, что 2к > г — 2в > 0, пространства Н2 а совпадают и их нормы эквивалентны.

В следующей теореме будут получены различные эквивалентные нормировки пространств В2да, в частности, из нее будет следовать теорема 1.3. Как и раньше, пусть г > 0, а > 1 — действительные числа, к и ^ — произвольные неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию 2к > г — 2в > 0. Будем говорить, что функция f(t) принадлежит пространству В% , ^ = 1,2,3, если / Е Ь2^а и конечна полунорма Ь2 д а(/), где:

1ь2,9,а(/) := Ь2,<?,«(/) (полунорма Ъг2да(/) определена в § 1);

Пусть

Н2,«(/) := 811р 1*Г Еи (</)2,а

1

Ы Эйр ||<Эа^||2,а при = 00,

уе2+ /

при д < оо,

при д < 00,

нижняя грань берется по всем представлениям / в виде сходящегося в 7^2,« ряда из функций с ограниченным спектром

оо

®а3 (*)’ е 1а> ■

3=0

Пространства ^ В% чявляются банаховыми пространствами относительно норм

Н/1К9>а :=||/1ка+^,,>а(/). (5.12)

Теорема 5.1. Пространства ^'Б2^а, 3 = 1,2,3,4, совпадают и их нормы (5.12) эквивалентны (т. е. банаховые пространства ^В^ эквивалентны).

Отметим, ЧТО ИЗ эквивалентности БП 1^2,^,а И 3^2,д,а следует теорема 1.3. Для краткости будем использовать обозначения ^В := jЩЛ^ *Ь := %9,а, ЕМ := Ему)2<9<а, ||/|| := ||/||2,« и т. д. Выражение У\ У2 будет обозначать, что БП У\ вложено в БП

у2.

Доказательство теоремы 5.1. Общая схема доказательства соответствует схеме доказательства аналогичных теорем в [10] для обычных модулей непрерывности. Будем всюду предполагать, что д < оо. Более простой случай д = оо может быть рассмотрен аналогично.

1°. Вложение 1В <—>• 2В очевидно. Докажем, что 2В <—>• 3В. Пусть / Е 2В, тогда

(2Ь(/))9 = Г ,6))4 <у(2—»■)«-! М =

«/о

оо ра1

= Х!/ (шк(В8/,6))4 (5.13)

,=о

Пользуясь МОНОТОННОСТЬЮ модуля непрерывности £*;*;(/, й) по 6 и теоремой 1.1, получим, что

где постоянная с\ не зависит от / и j. Из (5.13) и (5.14) следует, что

Cb(f))q>ci

откуда вытекают неравенство 3Ь(/) < с2 2Ь(/) и вложение 2В <—> 3В.

2°. Докажем, что 3Б АВ. Пусть / Е 3В. Для каждого ^ Е возьмем функцию д^ еха3- , удовлетворяющую условию

II/ ~«Ы< 2 £„,(/)•

Пусть

Qa° = 9a°, Qai = 9ai ~ 9ai~1 При j > 1.

Тогда

oo

/ = £<?«*,

J=0

ряд сходится в L2,«, так как Eaj (/)—>■ О при j —>■ oo.

Заметим, что

IIQa°llll/ll + II/ — Poll < ll/ll + 2-E0o(/) < Ц/ll, IIQoill < IlSai “/И + II/ 9ai~l II < 4^-1 (/), j > 1.

Используя эти неравенства, получим, что

оо оо

[ЧГ)У < Е ajqr II9 ^39 ll/ll9 + Е 49 ajqr (/))9 >

3=0 3=1

откуда следует, что

4b(f) < сз (||/|| + (f>jr9 (^(/)),)1/в) = сз Н/Н’в-

Из последнего неравенства и вытекает вложение 3В <—>• 4В.

3°. Докажем, что 4В <—>• 1В. Пусть / Е 4i?, е > 0, тогда / можно представить в виде суммы (j во всех суммах пробегает Z+)

причем

{^ajqr\\QaA\4)1/q <%f)+e. (5.15)

Проверим, что ряд сходится в 7^2,«. Для этого заметим, что

тл < а2,'1<Ы1 = а-(г-2^а>г 11^11

(использовано неравенство типа Бернштейна из леммы 3.4). Воспользовавшись неравенством Гель дера, получим

< Ео~(г~2в)іоігн<^іі ^

< с4 Цд^ІІ9)17" < С4 (ЧЛ+є) , (5.16)

следовательно, ряд ^В8()аі сходится в а. Из замкнутости оператора В вытекает, что

= єі2,«. (5.17)

Отметим также, что из (5.16) и (5.17) следует, что

1|В711<С4 (4&(/) + е) - (5.18)

Используя (5.18) и очевидное неравенство

Шк(Ве/,6) < 2к ЦВ7ІІ,

получим, ЧТО

/оо

(шк(ВЧ,8))4 «И»-2»)*-1 м <

/оо

^-(г-28)д-1 а8 < С5 + _ (5Л9)

<

Для любого натурального N можно написать равенство

N оо

д^(В7) = Еа‘(в^)+ Е а£(^)-

3=0 j=N+l

Используя неравенства (5.1) и (3.10), получим, что

N оо

||Д*(В7)||<Л2кЕ°2Л*+8)11^11+2к Е а2*'\\Яа

3 =0 j=N+l

Тогда

uik(Bsf,a~N) = sup \\Al(Bsf)\\ <

О<h<a~N N оо

<a-2NkJ2a2j(k+s)\\QaA\ + ^k Е a2j'WQ*

3=0 j=N-\-l

Имеем, делал замену S = a~u, i

J (ujk(Bsf,5))q d5 =

0

oo

= log a J (cuk(Bsf,a-u))q a^~2s^ du = о

oo *+1

= log/ a^-2^ (u;k(Bsf,a-u))q du <

N=0 JN

OO

< log a 53 (u)k(Baf,a~N)Y a^r-2s)(-N+1"> <

N=0

< Сб Ji + C7 ^/25 (5.20)

где

оо у N \ ^

Л = 53 а«(р-2—2*)ЛГ ( 53а2ЛА:+8) 11<5{|

ЛГ=0 ^'=0

ОО ✓ ОО \ д

^2 = 53а^-2^( 53 02^цдо.

ЛГ=0 \-=ЛГ+1

Для выражений ^ и ^ в книге [10] (см. [10, пункт 5.6, формулы (17) - (19)] ) получены оценки

Ji<csJ2ajr9WQaA\q, (5.21)

3=0

оо

J2<co'£ajrq\\QaA\4- (5-22)

3=0

Окончательно из (5.19) — (5.22) следует, что

оо

I (ujk(Bsf,S))q S-^-^-'dS < с10 (Чя +e)q,

о

а отсюда

1Hf) < cio4b(f),

что доказывает вложение 4В <—>• ХВ.

В результате получена цепочка вложений

ХВ 2В ^ 3В ^ 4 Б ^ 1Б,

что и завершает доказательство теоремы 5.1. □

Resume

Some problems of aproximations of functions on half-interval [0, +oo) in the L2-metric with certain weight by entire functions of exponential growth are studied. Modules of continuity which used in problems are constructed with help of generalized translations of Bessel. Direct theorems of Jacson type are proved. Nikolskii—Besov type function spaces are defined and their description are obtained in terms of the best approximations.

Библиографический список

[1] Butzer P. L., Behrens H. Semi-groups of operators and approximation. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.

[2] Терехин А. П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Саратовского гос. ун-та, 1975. Вып. 2. С. 3-28.

[3] Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973.

[4] Lofstrom J., Peetre J. Approximation theorems connected with generalized translations// Math. Ann. 1969. V. 181. P. 255-268.

[5] Butzer P. L., Stens R. L., Wehrens M. Higher order moduli of continuity based on the Jacobi translation operator and best approximation// C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. 1980. V. 11. No. 2. P. 83-88.

[6] Потапов М. К., Федоров В. М. О теоремах Джексона для обобщенного модуля гладкости// Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1985. Т. 182. С. 291-295.

[7] Потапов М. К. О применении оператора обобщенного сдвига в теории приближений// Вести. Моск. ун-та. Сер. Матем., механика. 1998. № 3. С. 38-48.

[8] Платонов С. С. О пространствах Никольского—Бесова, построенных по обобщенным сдвигам Бесселя// Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Пробл. матем. образования: Тезисы докл. междунар. конф., посвященной 75-летию чл.-корр. РАН JI. Д. Кудрявцева. М.: Изд-во РУДН, 1998. С. 50.

[9] Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений// Международная конф. ’’Теория приближений и гарм. анализ” Россия, Тула, 26-29 мая 1998 г. Тула, 1998. С. 210-211.

[10] Левитан Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье// Успехи мат. наук. 1951. Т. 6. № 2. С. 102-143.

[11] Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

[12] Trimeche К. Transmutation operators and mean-periodic functions associated with differential operators// Mathematical Reports. 1988. V. 4. Part 1. P. 1-282.

[13] Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, Физматлит, 1997.

[14] Ахиезер Н. И. К теории спаренных интегральных уравнений// Ученые записки Харьковского гос. ун-та. 1957. Т. 80. С. 5-21.

[15] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир, 1978.

[16] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

[17] Платонов С. С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближений функций в метрике L2. I // Труды ПетрГУ. Сер. Математика. 2000. Вып. 7. С. 70-82.

Петрозаводский государственный университет,

математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33

E-mail: platonov@petrsu.ru