CC BY
28
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 5-21 = Математика
УДК 517.5
Обобщенная задача Логана в Ь2(Ш3) *
В. И. Иванов, А. В. Иванов
Аннотация. Изучается неравенство Джексона между величиной наилучшего приближения функции / € ^(К3) целыми функциями экспоненциального типа и ее обобщенным модулем непрерывности. Для некоторых обобщенных модулей непрерывности доказывается неравенство Джексона с точной константой и оптимальным аргументом в модуле непрерывности. Эти результаты основаны на решении обобщенной задачи Логана для целых функций экспоненциального типа. Для этого строится новая квадратурная формула для целых функций экспоненциального типа.
Ключевые слова: наилучшее приближение, обобщенный модуль непрерывности, неравенство Джексона, оптимальный аргумент, задача Логана.
Введение
Работа посвящена исследованию экстремальной обобщенной задачи Логана для целых функций экспоненциального типа и ее применению в теории приближений к доказательству неравенств Джексона в пространствах ¿2, оптимальных по параметрам.
Пусть т > 0, т] — множество неубывающих на отрезке [0, т] функций ц(х), для которых ц(т) — ц(0) = 1, Л ^ -1/2, ^л(х) — функция Бесселя порядка Л,
Ых)=2*Г(Л + 1) ^
— нормированная функция Бесселя, = ддд < < ... < < ... — ее положительные нули,
Кх,г = [/(х) : /(х) = Г jx(tx) йц(Ь), ц € 5+[0,т]}
■!о
— класс четных положительно определенных целых функций экспоненциального типа не выше т, 9(/) = 8ир[х > 0 : /(х) > 0}, А = [а5 : 8 € М} —
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045) и Министерства образования и науки РФ (госзадания № 5414ГЗ, № 1.1333.2014К).
последовательность действительных чисел, для которой
((
'as|
ai = -1, Kl < (!)
s=i
(( fa(x, f) = - Y^ asf (sx) = f (x) as f (sx). (2)
s=i s=2
Для Л = ^1/2 нормированные функции Бесселя имеют вид:
j-i/2(x)=cos x, ji/2(x) =
sin x
x
Обобщенная задача Логана состоит в вычислении величины Л(КХ,Т, А) = Inf{9(FA(f)) : f е Kx,T}.
Б. Логан [1, 2] поставил и решил эту задачу в случае
Л = -1/2, Ai = {ai = -1,as = 0,s > 2}, FAl (x, f) = f (x).
Он доказал, что Л(К-1/2,т, Ai) = п/т. Единственная экстремальная функция f-i/2(rx) имеет вид:
f-i/2(x) = е K-i/2 i.
i/2K J 1 - (x/п) /2'
Д.В. Горбачев [3] доказал, что для Л > -1/2 Л(КХт, А-\) = 2д\/т. Единственная экстремальная функция f\(Tx) имеет вид:
f (x) j2(x/2) . К
fX(x) = 1-( /2 )2 е КХ' i-
1 - (x/2qx)
Решение задачи Логана позволило Д.В. Горбачеву доказать оптимальность аргументов в первом модуле непрерывности в точных неравенствах Джексона в L2 на евклидовом пространстве Rd и полупрямой R+ со степенным весом x2A+i, полученных ранее А.Г. Бабенко [4] и А.В. Московским [5].
Решения многомерных вариантов задачи Логана и их применения в теории приближений можно найти в [6-9].
Так как 9(f (Sx)) = d(f (x))/S, то Л(КХ>Т,А) = Л(КХ, i,A)/t, поэтому в дальнейшем будем считать т = 1 и будем использовать обозначение Кх i = = Кх.
Необходимость рассмотрения задачи Логана для более общих последовательностей (1) связана с получением оптимальных неравенств Джексона в L2 для модулей непрерывности старшего порядка.
Пусть А2 = {а\ = -1, а2 = 1/4, а3 = 0,8 ^ 3}. Эта последовательность связана со вторым модулем непрерывности. Так как
РЛ2(Я,/) = /(х) - -/(2х), /(х) = £4-^2(2«х,/)
«=0
(см. [10]), то в(Гл2(/)) ^ в(/). Отсюда Л(КХ,А2) ^ Л(КХ, Ах), причем равенство возможно только на функции /х(х). Из асимптотики нулей функции Бесселя [11, с. 557]
- = ' - ^+' = (• + ^ - 0'
вытекает, что при Л = 1/2 для некоторого N £ N
КЛ^ П {2дх^}Г=м = 0,
поэтому для этих Л и в Гл2 (ял«, /л) > 0, 0(Гл2 (/л)) = го. Таким образом, для Л = 1/2 Л(Кх, А2) > Л(Кл, Ах). Для Л = -1/2 этот факт был установлен в [12]. Вычисление величины Л(Кл,А2) в этих случаях — весьма сложная задача.
С другой стороны, Ях/2^ = пв, {2дх/2^}Т=1 С {<?1/2,Л^1 и в [10] установлено, что Л(Кх/2,А2) = Л(Кх/2, Ах). Наша цель — выяснить, для каких последовательностей (1) справедливо последнее равенство. Пусть для последовательности А (1)
А+ = К : а« ^ 0, 8 ^ 2} = {акг : г ^ 1}, А- = {а« : а« < 0, в ^ 2} = {щг : г ^ 1},
ы 82
те те
«=2 «=2 |ав| л ^ |а«|
"А+)= £ ^, *(А_)= £ ^• (3)
а.,ел+ а., еЛ-
Будем говорить, что для последовательности (1) выполнено условие (Г), если для всех I
-£ а« > 0.
«=1
Сформулируем основной результат.
Теорема 1. Если для последовательности А (1) выполнено условие (Г)7
/ .ч а(А_) . .
"0(А) < 1, (1 - а(А+))2 - (а(А-))2 < 1 (4)
то
Л(К1/2,А) = 2д1/2 = 2п. (5)
Важные примеры обобщенной задачи Логана связаны с задачей о точном обобщенном неравенстве Джексона в пространстве
Пусть R3 — трехмерное действительное евклидово пространство со скалярным произведением (x,y) и модулем \x\ = \J(x,x), dv(x) = (2n)-3/2dx, L2CR3) — гильбертово пространство комплексных измеримых по Лебегу на R3 функций f с нормой
\\f ¡2 = ( !жз \f (x)\2 dv (x)f 2< œ,
ER(f)2 — величина наилучшего приближения функции f G ¿2(R3) целыми функциями экспоненциального сферического типа не выше R > 0, M = {цs}sez — ненулевая действительная последовательность, для которой
Y^s = 0, Y1 \ц*\ <
sez sez
&M f (x) = Y Vsf (x + st)
sez
— бесконечно-разностный оператор,
UM(T,f)2 = sup \\Af f(x)\\2 (6)
— обобщенный модуль непрерывности.
Если
f(y) = f (x)e-i(x •dv (x)
J R3
— преобразование Фурье функции f,
Vs = Y , vo = Y Ы2 > 0 (7)
lez sez
— свертка последовательности M,
Фм (t, y) = Y vs cos(st, y) = vo + vs cos(st, y),
sez seN
то из равенства Парсеваля
uM (T,f)2 = sup [ my)\î(y)\2 dv (y). (8)
\t\^rJ R3
Предположим, что vi = 0. Последовательность A образуем по правилу:
as = - —, s G N. (9)
vi
Для нее выполнены условия (1).
Обобщенная константа Джексона
°м №т ь=4 -Шк:/ е Ь2<к3)}
есть наименьшая константа в обобщенном неравенстве Джексона
Ей(/)2 < Вшм(т, /)2-Если щ определено в (7), то для всех Я, т > 0 справедлива нижняя оценка
Вм (Я, т)2 ^ 1
(см. [13-15]).
С.Н. Васильев [14] доказал, что для произвольного обобщенного модуля непрерывности (6), некоторой постоянной т* = т*(М) и произвольной / е
е ¿2(М3)
Е* (/)2 < ^ Н Я,0 2 • (10)
Константа т* в (10) не является эффективной. Для последовательности (9), удовлетворяющей условию (Г), Д.В. Горбачев [16] получил эффективную оценку т* ^ 2^/2. Но она не является точной. Наименьшее значение т* называют оптимальным аргументом. Так как константа Джексона обладает свойством однородности [15]
Вм (Я, т)2 = Бм (1, Ят)2,
то оптимальный аргумент можно определить равенством
1
тм = т > 0 : Бм(1, т)2 = ) -п
М+ функций / с нормой
у/Щ.
Пусть ¿2 ,1/2 ) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на
/ гж \ 1/2
2 ,1/2 =( Уо \/(х)\2Х2 йх) < Ж
о
2 ^
/(*) = у П У0 /(х)Э1/2&х)х йх преобразование Ганкеля (см. [17, гл. V]),
Ея(/)2,1/2 = inf{\\/ - д\\2,1/2 : д е ¿2 ,1/2(^+), йирр^ С [0, Я]}
— величина наилучшего приближения функции f £ ,i/2(R+) четными целыми функциями экспоненциального типа не выше R, ам(t) = Y1 sez, usji/2(st) для последовательности (7),
( !■ <Х _ \ 1/2
^м (T,f)2,i/2 = sup / ам (ts)\f(s)\2s2 ds) 0<t<r \ J 0 J
— обобщенный модуль непрерывности,
DM (R'T W = «.p{ ff/;/2 ■■ f £ W»+)}
— обобщенная константа Джексона,
5м = inf jт > 0 : Dm(1,t)2 ,1/2 = j= }
— оптимальный аргумент.
В [18] доказано, что для всех R,t > 0
Dm (R,T )2 = DM (R,T )2 ,1/2,
поэтому тм = 5м. В [19] доказано, что
5м = A(Ki/2,A),
где последовательность A определена в (9).
В качестве следствия из теоремы 1 получаем утверждение.
Теорема 2. Если последовательность A определена в (9) и для нее выполнены условия (Г)7 (4), то
тм = A(Ki/2,A) = 2П.
Для любой f £ L2(R3) справедливо неравенство Джексона с точной константой и оптимальным аргументом в обобщенном модуле непрерывности: . .
ЕМ )2 < -¡= Ц R.f) 2.
1. Обобщенная задача Логана при А = 1/2
Приведем доказательство теоремы 1. Сначала в обобщенной задаче Логана получим верхнюю оценку (см. [19]). Рассмотрим функцию
() = j2/2(x/2) = (sin x/2 \2 1 fl/2(x) = 1 - (x/2n)2 V x/2 ) 1 - (x/2n)2 •
fl/2(x)=4Í ji/2(xt)t sin2 ntdt,
0
Так как
то f1/2 £ K\/2- Имеем
= sin2 2 Í ~ о, sinMf ((x/2n)2 - 1)
x/1/2' (x/2)2(1 - (x/2n)2) | ^ s2 sin2 2 ((sx/2n)2 - 1)
ton { S= S
Пусть s > 2. Так как для x > 2n
sin2 f 2 (x/2n)2 - 1 1
0 ^ _^ ^ s2 0 ^ ^_-_ ^ _
sin2 2 ' (sx/2n)2 — 1 s2'
то, предполагая выполненным условие &(A) < 1, более слабое, чем ао(А) < 1, получим
A Os sin2 f ((x/2n)2 - 1) > A N = ^(A) > 0 1 s2 sin2 2 ((sx/2n)2 - 1) > 1 s2 1 CT(A) > 0'
Отсюда для x > 2n Fa(x, /1/2) ^ 0 и Л(К1/2 , А) ^ 2п. Верхняя оценка в (5) получена.
Замечание. Из приведенного доказательства следует, что верхняя оценка справедлива при условии а(А+) < 1.
Пусть ¿1д/2(М+) — пространство действительных измеримых по Лебегу на R+ функций / с нормой
г П
\\f II = \/(x)|x2dx< ж. J0
Для получения нижней оценки нам понадобятся некоторые вспомогательные факты и утверждения.
Если \ar\ < 1, l £ Z+, то
A V (s + l)! П aSr = _l-_ (11)
пП s ! AAar (1 - Va a )г+1, ;
s=0 S1+... +Sr+... =s^r=2 sr! r=2 (1 ¿^ r=1 a)
причем ряд (11) сходится абсолютно. В бесконечных суммах и бесконечных произведениях только конечное число членов последовательности {sr} отлично от нуля.
Если для последовательности Ak > 0, \k+1 - Ak > $ > 0, то для четной целой функции g £ L(R+) экспоненциального типа не выше 1 справедливо неравенство Планшереля - Полиа [20]
П 4 ГП
Y,\g(Ak)\ < -ÁeS/2 \g(x)\dx' k= n5 Jo
Отсюда для четной целой функции д £ ¿1,1/2^+) экспоненциального типа не выше 1 и произвольного х > 0 вытекает неравенство
~ ,2|„/7,™\1 / с(х) Г^^ Ф0,, ,, --1
J2k2\g(kx)\ < Щ Г \g(x)\x2 dx = Щ.\\g\\, c(x) = max(2x-1,1). (12) k=i x Jo x
Для нее также справедлива квадратурная формула [21, 22]
/*ж ж
/ g(x)x2 dx = (2n)3V] k2g(2nk), (13)
Jo k=1
причем ряд (13) сходится абсолютно.
Лемма 1. Если f £ K1/2, 9(Fa(J)) < ж, для последовательности A (1) выполнено условие (Г), то Fa(J) £ L1;1/2(R+).
Доказательство. Пусть Ф^) = е-Х, ц £ 5+[0,1], f(x) = = fO j1/2(xt) d^(t), 9(FA(f)) < ж. Известно [23, с. 73], что для е > 0
l~2 Íж 1 (t ) \Jn J Ф(еx)jl/2(xt)x2 dx = ез Ф
Используя теорему Фубини, преобразование Абеля и условие (Г), получим ,_
2 Гж 2
- J FA(x, f dx =
1 ж /*оо
/2 f1 жл fж
- Ф(еx)j1/2(sxt)x2 dxd^(t) =
П s=1 ■'о
/2 f 1 ж a íж (е ) - Ф( ~x)j1/2(xt)x2 dxd^(t) =
n Jo s Jo '
1 í-1 ж
= -ез J0^ (ex) d^(t) = = 1 £ g gs{Ф (é») - *))d"<t) >0
Если 9(FA(f)) = 9, то 0 < 9 < ж и FA(x, f) ^ 0 при x ^ 9, поэтому
г ж
0 ^ Fa(x, f )Ф(еx)x2 dx < 0
гв гж
^ \FA(x,f )\Ф(еx)x2 dx - \FA(x,f )\Ф(еx)x2 dx. Jo Je
Отсюда и из неравенства \Fa(x, f )| ^ Y1 \as\ = c
r<x f в
/ \Fa(x, f)\Ф(ех)х2 dx < 2 \Fa(x, ¡')\Ф(ех)х2 dx < 2св3/3 < ж. J0 J0
Так как для всех х lim Ф(ех) = 1, то по лемме Фату FA(f) Е L11/2(R+). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если f Е K1/2, 9(FA(f)) < ж, последовательность А (1) удовлетворяет условию (Г), ст0(А) < 1, то f Е L1;1/2(R+), f(x) ^ 0, suppf С С [0,1] и для всех х > 0
те ! / те \ / те \
f(х) = £ £ ттетт П<r)fa bipf . (14)
s=0 S2+... +sr+... =s i-Lr=2 Г- \r=2 ) \ r=2 )
Ряд (14) сходится абсолютно и в L1;1/2(R+).
Доказательство. Пусть F(х) = FA(x,f). Используя (1), получим равенство
те
f (х) = F (х) + £ ak f (kx). (15)
k=2
Индукцией по N имеем
N-1 ! / те \ / те \
fи = £ £ ттет! П<г)F ипН +
s=0 S2+. .. +Sr+. . . =s Hr=2 r' \r=2 / \ r=2 )
NI ( те \ ( те \ N-1
+ E ТтеТГ П aSr f[xl\rsr\ = £ As(x) + bn (x).
S2+... +sr+... =N ^r=2 r 1 \r=2 J \ r=2 / s=0
(16)
Действительно, для N = 1 равенство (16) совпадает с (15). Докажем (16)
для N + 1. Комбинируя (15) и (16), получим
N-1 sI те те
fи = Е Е ттет! П<г)F ипН +
s=0 S2+. .. +sr+... =s il-r=2 r' \r=2 / \ r=2 /
+ £ п^ГГ in ap^ (F (х П А + £ ak f L П r
s2+. .. +sr+. .. =N llr=2 r' \r=2 / \ \ r=2 / k=2 V r=2
= £ As(x) + £ £ .теп (akk+1 П aA f (xksk+1 П
s=0 k=2 S2+... +sr+... =N llr=2 r' \ r=k J \ r=k
Пте s M k 11 J\
r=2 srI r=k
N те те те
£As(x) + £ £ _ Д a°A f х^
s=0 k=2 S2+... +sr+... =N+1 (Sk [r=k Sr 1 Vr=2 / V r=2
N
N!£Г=2 вк
оо
з=0
к=2 «2+- • • +«г+• • • =N +1 N
П~2 «г! \т=2 £А3(х) + BN+1(х).
1К) ЦхЦг
г=2
з=0
Итак, равенство (16) выполняется для любого N.
Из леммы 1 вытекает, что Г £ ^д/2(М+). Используя (11), (12), равенство
[ \Г(х232 ...тзг... )\х2 йх = (232 ...тзг... )-3 [ \Г(х)\х2 йх,
имеем
3=0
оо / оо
»Г ИЦЕО1
з=0 \т=2
з=0 32+. . . +зг+. . . =з
3
ПГ=2 «г !;УА г
Г \\£ (а(А))
»Г\\
з=0
1 - *(А)'
(17)
Следовательно, ряд (14) сходится в ¿1;1/2(М+). Так как для всех х ^ 0
<
\ BN (х) \ =
Е
^^ (П«п /\хп
з2+...зг+... =^^г=2 вг! \г=2 )
Е
х уут
г=2
<
N!
N
з2+...зг+... =^[г=2 вг! Хг=2
П\ \ зЧ = £ \ аг \ = ^ (А) - 0N -ж),
\т=2
то для почти всех х некоторая подпоследовательность ряда (14) сходится к /(х) и / £ Ьц/2(^+).
Используя (2), (11), (12), получим
Е Е
з=0 з2+. . . +зг+. . . =з
в!
Пг=2 вг
П\ аг \ з
\т=2
Гх
г=2
<
оо
Е
з=0 з2+. . . +зг+. . . =з
ОО I I оо
в!
Пг=2 вг
П\ аг \ \ ак \
\т=2
<
с(х)
к=1 в!
/ {хк^\гз V г=2
ж /I I \ зг
<
¡Ок1
^ к2 ^ . . П~2 вг! "Л Г
к=1 з=0 з2+. . . +зг+. . . =з
с(х)(1 + а(А))\\/\\
х2(1 - а(А)) '
Следовательно, ряд (14) сходится абсолютно к /(х) для всех х > 0.
з
г
з
г
з
г
I•
г
г
Из теоремы Пэли-Винера вытекает, что вирр/ С [0,1] и для всех х ^ 0
2
/(х) = \ -\ !(Ь)к/2(хЬ) йЬ = 31/2(х1) йр(г), V п ,)о -)о
поэтому = /(¿) & (см. [25]) и /(¿) ^ 0. Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Если / Е Ь1;1/2(М+) — четная целая функция экспоненциального типа не выше 1, для последовательности А (1) выполнены условия (Г), (4), то
г те "
) х й^х —
/•те те
/ Гл(х,/)х2 йх = V Рп Ел(2пи,/), (18)
70 п=1
причем ряд (18) сходится абсолютно и для и Е N
0 < С1(А) и2 ^ рп ^ С2(А) и2. Доказательство. Обозначим
а(А) = —(2п)3£ ^ > 0.
Согласно (13), (14)
гте те те те а Г те
Еа(х,/)х2 йх = — £ аЛ /(,вх)х2 йх = — £ /(х)х2 йх =
^0 1 Уо Л 6 Jo
)х2 йх = — а8 I /(вх)х2 йх = — £ —8
з=1 ]о 5=1 6 ^
тете ! / те \ / те ч\
== —А)£к2£ £ ттетг П<г),/
к=1 8=0 82+... +«г+... =^1Г=2 г' \т=2 ) \ г=2 /
те /.. . те
= а( А) V и2Е. (2пи С )^(62 + ... + вг + ... )! ^ (атУг
>(А) £ и2ЕА(2пи, / ) £ ^ ^ Ц
п=1 Пп Иг=2 6г! г=2
те
= £ Рп еа(2пп,/)
п=1
где О.П - {(k, 82,...,8г ,...)} — множество наборов, для которых к П те=2 Г8г =
= и.
Положим
= (62 + ... + 6г + . . . )! те ( —г Уг
Зп = пте 6! Ии^ .
П„ иг=2 6г! г=2 Г/
Тогда рп = а(А)и2Зп. Так как еа(х,/) Е ¿1;1/2(М+), то согласно (12) все утверждения леммы будут вытекать из неравенств
0 <С1(А) < Зп < С2(А), и Е N. (19)
1
Имеем (см. (17)
оо , оо
т <Е Е п^ ПС^ = 1
ЦТ2 вг! АА V г2 1 - -(А)'
з=0 з2+. . . +зг+. . . =з г=2 г г=2
Согласно (3)
I ^^оо м°°/ \зг оо / \ аг
Т \ " ^ г=1 вг + 2^ г=1 °г)! тг ^пЕ Ок
Тп = £ П0=1 вг! П0=1 -г! гИЛ к2г) ( V ~ гИЛ ¡2
где 0-п состоит из наборов (к, в1,...,-1,...), для которых п = = к П00 к-зг п00 1аг
-41 г=1 кг Иг=1 ¡г .
Применяя (4), (12) и используя в 0,п набор (к = п,вг = 0,-г = 0,г ^ 1) £ £ Пп, получим
оо оо / | | ч а.
1 Т^т (\ аг \
г
1г I
Т>1 -£ £ тогтПу ¡2
1=0 а1+... +аг+... =21+1 г=1 -г! г=Л ¡г
о ^ (в + 21 + 1)! о
Х ^ ^ По° в ! И \ к2
8=0 з1+... +зг + ... =з П^1 вг! г=Л кг
= , о 1 V (21 + 1)! и [\аА
~=0 (1 - °(А+))21+2 а+ ¿X. ^ПЪ -г! УД ¡2
= 1 -у (-(А-))21+1 =1__-А)_>0
= (1 - -(А+))21+2 (1 - -(А+))2 - (-(А-))2 > •
Неравенства (19) и лемма 3 доказаны.
Для функции /(х) = /(вх), в £ (0,1], Гл(х,/в) = Гл(вх,/). Применяя лемму 3, получим утверждение:
Лемма 4. Если / £ ¿1;1/2(М+) — четная целая функция экспоненциального типа не выше 1, для последовательности А (1) выполнены условия (Г), (4), в £ (0,1], то
/•ОО ^
/ Гл(х,/ )х2 йх = рп Гл(2пвп,/). (20)
70 п=1
Теперь мы можем в обобщенной задаче Логана получить нижнюю оценку. Пусть для некоторого е > 0 и функции / £ К1/2 П ¿1;1/2(М+)
/(х) < 0, х ^ (1 - е)2п. (21)
Так как по лемме 2 /(0) ^ 0, то, применяя (20), (21), для в £ [1 - е, 1] получим
оо
'—' п гоо г оо '—'
0 < -V /(х)х2 йх = Гл(х,/)х2 йх = в3Е рп Гл(2пвп,/) < 0.
з=1 в п=1
Отсюда для в е [1 - е, 1] ГА(2пв, /) = 0, а по лемме 2 и / (2пв) = 0. Из аналитичности / вытекает, что / = 0, что противоречит условию /(0) = 1. Значит, А(Кх/2, А) ^ 2п. Нижняя оценка получена. Теорема 1 полностью доказана.
2. Примеры обобщенных задач Логана и обобщенных неравенств Джексона
Пример 1. Пусть 0 < А < 1/2,
Мх,1 = {йо = 1, йк = -Ак-1(1 - А) (к е М), йк = 0(к е-М)}, (22)
1 (Т, /)2 = ЙИр 1*1
те
к
/(х) -£ Ак-1(1 - А)/(х + Ы)
к=1
Тогда последовательность {VI} (7) четная и для I е Ъ
+
тете 0
V) = £йк = 1 + £ А2(к-1)(1 - А)2 = ^
1 + А' к=0 к=1
те те \1-1(1 \) vl = £ йк+1 йк = -А1-1(1 - А) + А1(1 - А)2 £ А2к = - А 1+аА) . к=0 к=0
Для последовательности (9)
Алд Н а1 = - V! = : 1 е ^ (23)
выполнены условия (Г), (4):
I тете а
£ ак > 0, ао(Алд) = £\щ\ = £ А1-1 = ц—А < 1, к=1 1=2 1=2
те А— 1 а((Алд)+) = 0, ст((Алд)-) = £ А-Г < -,
1=2
°((Ах,1)-) < 1.
(1 - а((Ал,1)+))2 - (а((Ал,1)-)) Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Если 0 < А < 1/2, последовательности Млд, Алд определены в (22), (23), то
ТЫХ, 1 =Л(К1/2, Ал,1) =2п.
2
Для любой / е ¿2(М3) справедливо неравенство Джексона с точной константой и оптимальным аргументом в обобщенном модуле непрерывности:
А + 1 ( 2п
т • Ч я
Ек(/)2 < иых,1 ( "¡7 ,/
Нетрудно убедиться, что при г ^ 2 для усеченной последовательности
МЛ,1 = {йо = 1, йк = -Ак-1(1 - А) (к = 1,...,г), йк = 0 (иначе)}
условия (Г), (4) выполнены при 0 < А ^ 1/2. Пример 2. Пусть 0 < А < 1/2,
Мл,2 = {йо = 1, йк = -(-А)к-1(1 + А) (к е М), йк = 0 (к е-М)} , (24)
иИХ 2 (т,/)2 = яир
/ (х) + £(-1)к Ак-1(1 + А)/(х + кг)
-1)к а к—1
к=1
Тогда последовательность {VI} (7) четная и для I е
тете
—1)(1 + А)2 =
V) = £йк = 1 + £ А2(к—1)(1 + А)
1 - А'
к=0 к=1
VI = £ йшйк = -(-А)1-1(1 + А) + (-А)(1 + А)2 £ А2к = - (-А)—1(А + А). к=0 к=0
Для последовательности
Ал,2 = {аг = -^ = -(-А)1-1 : I е м} (25)
(9) выполнены условия (Г), (4):
1 1 ( те те , Е«к = > 0, °о(Ал,2) = £ \ а\ = £ А1-1 = < 1,
к=1 1=2 1=2
те —21-1 1 те —21 1 а((Ал,2) + ) = 1С < 4 , ^((АЛ,2)-) = 1С < 4 ,
^((Ал,2)-) < 1.
(1 - а((Ал,2)+))2 - (а((Ал,2)-))2 Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если 0 < А < 1/2, последовательности Мл,2, Ал,2 определены в (24), (25), то
ТЫХ, 1 =Л(К1/2, Ал,1) =2п.
2
ER(f)2 —-UMX,2{ R,f
Для любой f £ L2(R3) справедливо неравенство Джексона с точной константой и оптимальным аргументом в обобщенном модуле непрерывности:
'1 - Л {2п
f
2
Нетрудно убедиться, что при r ^ 2 для усеченной последовательности Mrx,2 = {v0 = 1, Vk = -(-Л)к-1(1 + Л) (к = 1,...,r), цк = 0 (иначе)} условия (Г), (4) выполнены при 0 < Л ^ 1/2.
Список литературы
1. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions I. Eventually positive functions with zero integral // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14. № 2. P. 249-252.
2. Logan B. F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions II. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14. № 2. P. 253-257.
3. Горбачев Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Математические заметки. 2000. Т. 60. № 2. С. 179-187.
4. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды института математики и механики УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 183-198.
5. Московский А. В. Теоремы Джексона в пространствах Lp(M") и Lp\(R+) // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 44-70.
6. Бердышева Е. Е. Две взаимосвязанные зкстремальные задачи для целых функций многих переменных // Математические заметки. 1999. Т. 66. № 3. С. 336-350.
7. Иванов А. В. Некоторые экстремальные задачи для целых функций в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 26-44.
8. Иванов А. В. Задача Логана для целых функций многих переменных и константы Джексона в весовых пространствах // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 29-58.
9. Иванов А. В., Иванов В. И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве L2(Rd) со степенным весом // Математические заметки. 2013. Т. 94. № 3. С. 338-348.
10. Горбачев Д. В., Странковский С. А. Одна экстремальная задача для четных положительно определенных целых функций экспоненциального типа // Математические заметки. 2006. Т. 80. № 5. С. 712-717.
11. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М.: ИЛ, 1949.
12. Arestov V. V., Babenko A. G. On the optimal point in Jackson's inequality in L2(-<x>, <x>) with the second modulus of continuity // East J. Approximation. 2004. V. 10. № 1-2. P. 201-214.
13. Козко А.И., Рождественский А.В. О неравенстве Джексона в L2 с обобщенным модулем непрерывности // Математический сборник. 2004. Т. 195. № 8. С. 3-46.
14. Васильев С.Н. Неравенство Джексона в L2(RN) с обобщенным модулем непрерывности // Труды института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 4. С. 93-99.
15. Иванов А. В., Иванов В. И., Хуе Ха Тхи Минь Обобщенная константа Джексона в пространстве L2(Rd) с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 74-90.
16. Горбачев Д. В. Оценка оптимального аргумента в точном многомерном L2-неравенстве Джексона - Стечкина // Труды института математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 83-91.
17. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1970.
18. Хуе Ха Тхи Минь О связи многомерных и одномерных констант Джексона в пространствах L2 со степенными весами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 114-123.
19. Иванов А. В., Иванов В. И. Оптимальный аргумент в обобщенном неравенстве Джексона в пространстве L2 (Rd ) с весом Данкля и обобщенная задача Логана // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 1. С. 22-36.
20. Plancherel M., Pôlya G. Fonctions entières et intégrales de Fourier multiples // Comment. Math. Helv. 1937. V. 9. P. 224-248.
21. Frappier C, Oliver P. A quadrature formula involving zeros of Bessel functions // Math. of Comp. 1993. V. 60. P. 303-313.
22. Grozev G. R., Rahman Q. I. A quadrature formulae with zeros of Bessel functions as nodes // Math. of Comp. 1995. V. 64. P. 715-725.
23. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т 2. М.: Наука, 1969.
24. Богачев В.И. Основы теории меры. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика, 2003.
25. Хуе Ха Тхи Минь Обобщенное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве L2 (Rd) с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 1. С. 63-82. V. 9. P. 224-248.
26. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.
Иванов Валерий Иванович (ivaleryi@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Иванов Алексей Валерьевич (ivaleryi@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Generalized Logan problem in Z2(R3) V.I. Ivanov, A.V. Ivanov
Abstract. We study Jackson's inequality between the best approximation of a function f <E L2(R3) by entire functions of exponential spherical type and its generalized modulus of continuity. For some generalized modulus of continuity we prove Jackson's inequality with the exact constant and the optimal argument in the modulus of continuity. These results are based on the solution of generalized Logan's problem for entire functions of exponential type. For it we construct a new quadrature formulas for entire functions of exponential type.
Keywords: best approximation, generalized modulus of continuity, Jackson's inequality, optimal argument, Logan's problem.
Ivanov Valerii (ivaleryi@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of applied mathematics and computer sciences, Tula State University.
Ivanov Alexey (ivaleryi@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer sciences, Tula State University.
Поступила 23.12.2014
