О точной по порядку оценке погрешности приближенного решения одного интегрального уравнения первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Что касается ¿--кратной полноты в Ь2[0,\] системы с.п.ф. пучка 1{к) при 2 <к<п и, в частности, при к = 2, то положительных результатов по этому вопросу, насколько известно автору, до сих пор не получено.

Что же касается ¿-кратной неполноты при 2 < к < п, то известно следующее. Порождающая функция (5) есть линейная комбинация экспонент ехр(А.<йух), у' = 1,и, где числа со ■ удовлетворяют неравенствам (3). Именно

такие порождающие функции изучались в [1, 2]. Приведем полученные там результаты применительно к с.п.ф. пучка Ь(к).

ТЕОРЕМА 2. При выполнении условия (3) система с.п.ф. пучка Ь(Х) не является «-кратно полной ни в каком пространстве ¿2[®>сг] при а>0 и имеет в каждом таком пространстве бесконечный дефект относительно и-кратной полноты.

ТЕОРЕМА 3. При выполнении условия (3) и условия

Ы%1

К;

система с.п.ф. пучка Ь(Х) не является 2-кратно полной ни в каком пространстве ¿2 ст] ПРИ о > 0 и имеет в каждом таком пространстве бесконечный дефект относительно 2-кратной полноты.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рыхлое В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков обыкновенных дифференциальных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2001. Вып. 3. С. 114-117.

2. Рыхлое В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристических уравнений которых лежат на одном луче // Докл. РАЕН. Саратов, 2004. № 4. С. 72 - 79.

УДК 517.51: 519.642.8 С. Ю. Советникова

О ТОЧНОЙ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОГО ИНТЕГ РАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА

Рассматривается интегральное уравнение

XÍY-t)m~l

Аи^ ¡\ -—-u(t)dt = f(x)

6 О-l)!

и предполагается, что и е А/ , с С[0,1], где

МА, — {и(х) е С[0Д]: и = v<1}, 124

п—1

I

í = l

а функция /(ж)задана ее 5-приближением /g(x) в L2[0,l]. Для данного интегрального уравнения получена точная по порядку оценка погрешности на классе М , при применении метода регуляризации Тихонова нулевого

порядка. В указанном методе регуляризации приближение к решению ищется с помощью семейства операторов:

Ra =(аЕ + А*Л)-'А* ( а > О - параметр). Известно [1], что этот метод дает приближение к решению в метрике пространства L2[^>45 а Для рассматриваемого случая — и в метрике пространства С[0,1 ] [2].

Для получения оценки погрешности на классе Л'/ (, используется метод из [3], основывающийся на известной двусторонней оценке:

|ф(б,Ra,Mr)< Л(Ма,Л/г) <ф(5,Ra,MÁ,),

где ф(8,Ra,MA, ) = 5||Ла 1 ¿2+ A¡(ЛаА,Мл.), A, {RaA,MA.) = sup{|| RaAu -и\\с-.иеМл,},

X

МЪЯаМА.) = sup{|¡ Rafñ - и || с : и в М А, ,¡fs - Аи [ < 5}.

X

ТЕОРЕМА 1. Имеет место асимптотическое по а при а —» 0 представление:

2т -1

Д,(ЛаЛ,М,) = С1а 4т +о

i

а

V J

(1)

где С,= , К = 2 + К]+К2

1 * »

К2 = - А*/, получены из определителей Д,/,Ду(см. [4])

А'о IJel

после вынесения из них степеней р и возрастающих экспонент; Д0 также определен в [4], ю; - корни л-й степени из -1, I - система индексов, для которой Reco, > 0.

ТЕОРЕМА 2. Имеет место асимптотическое по а при а —> 0 представление:

2т+\ ( 1 Л

m + 1 т +1 Л

ОН

и >

¡el

Я.

где С2 = теореме Е

К

= С7 а

Zi-Í ^ ю.öt

СО;--Г" £ -——

т ы ' (2т) i,kei®¡+с0*

4 m

+ 0

а

(2)

Л

, К, Kl,(o¡, I определены в

ТЕОРЕМА 3. Имеет место двусторонняя оценка, асимптотическая по 5 ори 5 -> 0 :

2т—\ 2т-\

С215 «» +V2(6)<A(5,^a(5)JM/(.)<C115^r+Vl(S), (3)

где а(5) = С36, Си=—----f-(C,+C2), С21=-С„, С3=--

2/и - 1 С, 2 2w -1 С,

vj/,(6), ц/2(5) имеют порядок о(б1,2), константы С, и С2 определены в теоремах 1,2.

В работе [5] теоремы 1, 2 были доказаны на отрезке [е,1-е]. В данной статье асимптотические представления по а при а -> 0 для величин А[(Ла/4,М ) и \\Ra\\L с получены на всем отрезке.

Доказательства теорем 1, 2, 3 основаны на следующем:

1) в данном случае RaA = (L+ — E)~l, где L - дифференциальный

а

оператор:

("1 Г/2т)+-у, (4)

а

у(1) = /(1) =... = /-«(1) = /""(0) =... = ^-'»(О); (5)

2) на представлении резольвенты дифференциального оператора из

[4];

3) на полученном в [6] представлении Д^{RaA,Mл.) через функцию

Грина r(x,t,——) задачи (4), (5); а

4) на представлении нормы _>с через функцию F{x,t,——) из

[7J-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А. И. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153, № 1.С. 49-52.

2. Хромова Г. В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина // Изв. вузов. Сер. Математика. 1972. № 8(123). С. 94 -104.

3. Хромова Г. В. Об оценках погрешностей приближенных решений уравнений первого рода // ДАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 605 - 609.

4. Гуревич А. П., Хромов А. П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 2003. №2(489). С. 24-35.

5. Советникова С. Ю. О точном порядке скорости аппроксимации решений одного класса интегральных уравнений первого рода // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Сарат. зимней шк. Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2006 г. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. С. 162- 163.

6. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов и оптимальности методов приближенного решения уравнений первого рода // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 133 - 135.

7. Хромова Г. В. О нахождении равномерных приближений к решению интегральных уравнений первого рода // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. Вып. 4. С. 3 - 10.

УДК 517.518.82

Е. В. Сорина

КРИТЕРИЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ ФИКСИРОВАННОЙ ШИРИНЫ

Рассматривается задача о наилучшем хаусдорфовом приближении многозначного отображения с образами в виде отрезков

полиномиальной полосой

nn¡r(A,t) = [Pn(A,t)-r,Pn(A,t)+r]

фиксированной ширины 2г. Здесь Pn(A,t) - а0 + a¡t + ... + a„t", А =(а0,а],...,ап)е Rn+], g\(t),g2(t) - непрерывные на [o,l] функции, причём g, (t) < g2(í) • Она сводится к следующей экстремальной задаче:

ф(Л,0 = шах max{| gj(f) - Pn(A,t) + r\,\g2(t) - Р (A,t) - г |}—> max . (1)

<е[0,1] AeR"*1

Введём обозначения

р(А) = шах таx{Pn(A,t) - g,(0,g2(0 - РпШ)}>

íe[0,l]

п(А) = max max{gl(0 - Pn(A,t),Pn(A,t) - g2(r)}, (£[0,11

p* = min p(A),n*= min n(A),C¡ = Argminp(A),C2 - Argminn(A),

AeR"*' AeRn+i

p" = min p(A),Tí' = ття(л),г+ =(p*-n~)/2,r~ =(p- -л*)/2-AsC 2 AeCi ' 1

p(A) — наибольшее уклонение многозначного отображения от полинома P„(A,t); л(А) - наибольшее уклонение полинома Pn(A,t) от многозначного отображения.

В настоящей статье рассматриваются необходимые и достаточные условия минимума задачи (1) в зависимости от выбора параметра г, определяющего ширину полиномиальной полосы Г1п<г(А,1).

127