Критерий решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения полиномиальной полосой фиксированной ширины Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов и оптимальности методов приближенного решения уравнений первого рода // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 133 - 135.

7. Хромова Г. В. О нахождении равномерных приближений к решению интегральных уравнений первого рода // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. Вып. 4. С. 3 - 10.

УДК 517.518.82

Е. В. Сорина

КРИТЕРИЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ ФИКСИРОВАННОЙ ШИРИНЫ

Рассматривается задача о наилучшем хаусдорфовом приближении многозначного отображения с образами в виде отрезков

полиномиальной полосой

Tln,r(A,t) = [Pn(A,t)-r,Pn(A,t)+r]

фиксированной ширины 2г. Здесь Pn(A,t) - а0 + a¡t + ... + a„t", А =(а0,а],...,ап)е Rn+], g\(t),g2(t) - непрерывные на [o,l] функции, причём g, (t) < g2(í) • Она сводится к следующей экстремальной задаче:

ф(Л,0 = шах max{| gj(f) - Pn(A,t) + r\,\g2(t) - Р (A,t) - г |}—> шах . (1)

<е[0,1] AeR"*1

Введём обозначения

р(А) = шах таx{Pn(A,t) - g,(0,g2(0 - РпШ)}>

íe[0,l]

п(А) = max max{gl(0 - Pn(A,t),Pn(A,t) - g2(r)}, (£[0,11

p* = min p(A),n*= min n(A),C¡ = Argminp(A),C2 - Argminn(A),

AeR"*' AeRn+i

p" = min p(A),Tí' = ття(л),г+ =(p*-n~)/2,r~ =(p- -л*)/2-AsC 2 AeCi ' 1

p(A) — наибольшее уклонение многозначного отображения от полинома P„(A,t); л(А) - наибольшее уклонение полинома Pn(A,t) от многозначного отображения.

В настоящей статье рассматриваются необходимые и достаточные условия минимума задачи (1) в зависимости от выбора параметра г, определяющего ширину полиномиальной полосы Г1п<г(А,1).

127

В работе [1] показано, что

1. При т-е[0,Г|+) задача (1) сводится к задаче о наилучшем приближении многозначного отображения полиномом Pn(A,t)

р(Л)-> min . (2)

2. При г е (г2,+со) задача (1) сводится к задаче

я(Л)-> min , (3)

AeR"+1

3. При г е [>]+,г2] задачу (1) можно записать в виде

ty(A,r) = max{p(A)-r,n(A) + r}-> min , (4)

AeR"+1

а в оптимальной точке А е R"+] выполняется равенство

(p(A,r) = p(A*)-r = n(A') + r. (5)

Необходимое и достаточное условие решения для задач (2) и (3) получено в работе И. Ю. Выгодчиковой [2].

Для г е tri+»r2_] необходимое и достаточное условие решения задачи (1) устанавливает следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Для того чтобы точка А

' е R"+] была решением задачи (1) при г е[r¡+,r2], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (5) и одно из двух условий:

1. Существует хотя бы одна точка t* е [0,1], в которой выполняется равенство

Рпи/)=[81(Г) + 82(Гф (6)

и одно из равенств

(p(A',r) = [g2(t')-gy)]/2-r или ^A*,r) = [gl(t')-g2(t')]/2 + r. (7)

2. Существует упорядоченный набор точек }«+i'

0<í0 <í, <...<t„ <1,

таких что

ср(Л*, г) = max тах{| g, (t,) - Рп (А", t,) + г |, | g2 (t¡) - Р„ (А', t¡) - г |}, / = .(8)

«CÖ

Причём если для Г, , i = 0,n, выполняется одно из равенств

Ф(A",r) = Pa(A\ti)-gl(ti)-r, <p(A*,r) = Pn(A',ti)-g2(ti) + r, frö5, (9) то для t¡+1 справедливо одно из следующих равенств ф (A',r) = g2(tM)-P„(A\tM)-r,

<p(A\r) = gl(tM)-Pn(A',tM) + r, i = ö7n. (10)

Если же для t¡ выполняется одно из равенств

ФM*,r) = g2(í,)-P„(^,f,■)-/-, ф(A*,r) = g](ti)-P„(A\tl) + r, ; = (11)

то для t¡+1 верно одно из равенств

Ф(А',г) = Рп(А\1м)-Е2«м) + г, ' = (12)

Доказательство. Необходимым и достаточным условием минимума задачи (1) в точке А* е Яп+] является включение

Ои+1еа^ф (А',г), (13)

где длц>{А,г) - субдифференциал функции ср(Л,г) по А. Учитывая вид функции ф(А,г) и используя субдифференциальное исчисление для выпуклых функций (например, [3]), (13) можно записать в виде

где е+(л)=е,+(л)ие2+(л), в-ю^&мидцА),

0[ (А) = {Г е [0,1] I ф(А,г) = ±[Р„(А,0 - g1 (/)] - г}, Й (А) = {(€ [0,1] I ф(А,г) = ±[Р„(А,0 - g2 (0] + Г}.

№= -1. Гев~(А),^в+(А); (15)

{-1,1},(е(?+(А)Г\е~(А)-

Необходимость. Пусть А* е Яп+] является решением задачи (1). Тогда выполняются равенство (5) и включение (14). При этом возможны два случая.

7. Пусть )Г\£)~(А ) Тогда существует хотя бы одна точка

/* 6[0,1], которая принадлежит обоим множествам £)+(А') и £)~(А*). Из определений этих множеств и равенства (5) следует справедливость равенства (6) и одного из равенств (7).

2. Пусть (2+(А')Пв~(А")=0. Тогда функция Е,(0, построенная по

правилу (15), будет однозначной при всех ) и О (А ). Исполь-

зуя [4, с. 292 -294], можно показать, что включение (14) равносильно существованию упорядоченного набора точек [ с: О*(А )Ы <2~(А ):

0</0 <...<?„ <1, таких что ¡;(/,) = -£(/,+1),; = 0,и. Учитывая вид множеств £?+(Л*) , 0~(А') и равенство (5), несложно доказать, что для этих точек справедливы равенства (8) - (12).

Достаточность. Пусть в точке А* е выполняется равенство (5). Рассмотрим два случая.

I *

1. Выполнено условие 1 теоремы. Из определений множеств ¡2 (-4 ), @~(А*) и равенств (5) получаем, что Г е£>т(Л*) и с' е£>~(Л*). Следовательно, выпуклая оболочка в (14) содержит векторы (1,Г*,...,(?*)")Г и

— (l,r*,...,(í*)")r, что означает выполнение включения (14) в точке А* е Rn+l. Значит а' - решение задачи (1).

2. Выполнено условие 2 теоремы. Тогда Q+ (A*)C\Q~(A*)=0, и функция £(í), построенная по правилу (15), будет однозначной. Равенство (8) приводит к включению ) U Q~(A ). Из равенств (9) -

(12) следует, что E,(í,) = -i;(fí+1),/= 0,п. Наличие упорядоченного набора точек с перечисленными свойствами, как и в силу [4, с. 292 - 294] свидетельствует о выполнении включения (14) в точке А*, то есть А - решение задачи (1).

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сорта Е. В. О наилучшем приближении многозначного отображения полиномиальной полосой // Современные проблемы теории функций и их приложение: Тез. докл. 13-й Сарат. зимней шк. Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2006 г. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. С. 164 - 165.

2. Выгодчикова И. Ю. О сведении задачи о псевдовнутренней оценке многозначного отображения полиномом к задаче о внешней оценке // Современные проблемы теории функций и их приложение: Тез. докл. 13-й Сарат. зимней шк. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. С. 45 - 46.

3. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

Л.Демьянов В. Ф., Малозёмов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

УДК 517.15

Г. А. Сорокин

О НЕКОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ ФАКТОРИАЛА п\

В теоретических исследованиях и практических расчетах встречается необходимость в приближенном представлении выражения п! с помощью элементарной функции от п. Такое представление дает формула Стерлинга [1, с. 59]

_f у _©_

n\=s¡2тш(-1 еПп (0<©<1).

Эта формула в виде точных неравенств

4lññ п"е~" < и!< -у/2лй п"е "+Пп (1)

позволяет получить хорошие оценки снизу и сверху для больших чисел п !.

В [2, с. 107 - 109] получена следующая более точная оценка: