CC BY
23
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 517.518.826
И.Ю. Выгодчикова О МЕТОДЕ АППРОКСИМАЦИИ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ
Рассматривается задача наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом. Предложен новый метод решения задачи, основанный на обобщении известного метода П.Л. Чебышева на случай многозначных отображений.
Математическое моделирование, наилучшее приближение, многозначное отображение
I.Yu. Vigodchikova
ON THE METHOD OF MULTIVALUED MAPPING’S APPROXIMATION BY ALGEBRAIC POLYNOMIAL
The article considers the problems of optimal approximation of multivalued mapping. The new method of the problem decision is based on the generalization of the existing P.L. Chebyshev method for the multivalued mapping.
Mathematical modeling, optimal approximation, multivalued mapping
1. Свойства решения непрерывной задачи. Следующая задача является обобщением задачи П.Л. Чебышева о наилучшем приближении функциональной зависимости исследуемой характеристики моделируемого объекта от момента времени фиксации значения зависимого показателя или оценки другого независимого показателя в данный момент алгебраическим полиномом [1]. Пусть У1(t) У2(t) - скалярные функции, определённые и непрерывные на отрезке [a; b] Ф 0 и
yi(t )£ У2(t), " t e[a; b], F(t): R ® 2R - многозначное отображение (м.о.), образом которого в
каждой точке отрезка 16 [a;b] является отрезок F(t) = [yi(t); У2(t)], pn(A,t) = ag + ait + ... + antn-
алгебраический полином степени не выше n с вектором коэффициентов A = (ag, ai,..., an )б Rn+1. Рассмотрим задачу
р(А) := max ] max( у 2(t)-pn(A, t), pn (Аt) —У1(t)}® min (1 1)
t6 [ a;b] A 6 R (1.1)
Функция F(A, t) = max{ у 2 (t) — pn (A, t), pn (A, t) — У1 (t)} непрерывна по всем своим аргументам и выпукла по A на Rn+1 при каждом 16 [a;b]. Целевая функция р (А) задачи (1.1) также непрерывна и выпукла.
Обозначим ^ = {A6 Rn+1 : р (A) = р } - множество решений задачи (1.1), где р = min p(A).
A6Rn+1
Ввиду [2], ^ Ф 0 .
Полиномом наилучшего приближения задачи (1.1) назовём алгебраический многочлен pn(At) с вектором коэффициентов A 6 Ж .
Положим ^ (А, і )= (- 1)г+1 (рп (А, і)- Уі (і)), і = 1,2.
Базисом назовём упорядоченное множество (п + 2) точек отрезка [а; Ь] вида
7 = {їо < ^ < к < їп + і}е [а;Ь]. Обозначим у-,£ = уі(ік), і = І,2.
Амплитудными на базисе 7 назовём функции, определяемые формулами:
і ( ) [ іУ2,к +(1 -і)Уї,*,к-чётно — (12)
Фк 7) = п Л , .. к=0, п+1, і = 0,1. (12)
\1У\к + (1 -г) У 2к, к - нечетно,
Сформулируем для амплитудных функций дискретные задачи П. Л. Чебышева ([1]):
Рі (А, є) := шах_ фк(7) - рп (А, ік)
к=0,п+1
-> Ш1П
А є Кп+1
Рі (7) := шіп рі (А, 7) = Рі (Аі (7), 7), і = 0,1.
(1.3)
Ає^п+1
По критерию решения дискретной задачи П.Л.Чебышева ([1]) для задач (1.3) однозначно определены числа Ио (о) и И (о), удовлетворяющие равенствам:
И Н = Н)Л+г [ ^.з+о.з.Ц)^ ((к)-Рп (А (о1Ч) )> к = 0 п + 1, * = ОД. (1.4)
Положим т~:= шах У2(і)-у1(і), М := {іє [а;Ь]:МЬуЙ = т] іє[а;Ь] 2 I 2 \
М
- количество
элементов множества М.
Из (1.1), (1.3) вытекают неравенства:
р(А)>т, р(А)>р1 (А,а), "Ае Яп+1,1 = 0,1. (15)
В [2] получен критерий решения задачи 2.1. Уточним вопрос о единственности решения и его крайних точках [3].
Теорема 1.1. Для того чтобы вектор А е Яп+1 являлся единственным решением задачи (1.1), достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:
т и
М
> п +1,
(а) р(А* ) =
(б) существует базис О: р(а* )= тах{И0 (о),И1 (а)}.
Доказательство. Из (а) очевидно вытекает единственность решения задачи. Пусть выполняется условие (б) теоремы. Не ограничивая общности в рассуждениях, считаем, что Ио (о )> И! (о) .
Применяя (1.4) и критерий решения дискретной задачи П.Л. Чебышева для р° (о) , сравниваем зна-
*
чения полинома с вектором коэффициентов А со значениями «предполагаемого второго полинома наилучшего приближения» во всех узлах базиса, приходим к выводу о том, что их разница является тождественно нулём, то есть другого решения быть не может.
Применяя определение крайней точки выпуклого множества и свойства алгебраического полинома, несложно показать следующее утверждение.
Теорема 1.2. Пусть для вектора А е Яп+1 выполняется условие
р(А )= т ,
причём 1 £ М < п +1 и существует система точек {^ < ^ < ... < 1п }<={а;Ъ\. / (а * , (к )= т, к = 0, п ,
то А является крайней точкой Ж .
2. Приёмы решения дискретной задачи. Рассмотрим задачу минимизации по всем узлам дискретной сетки Т = {(о < ^1 < ••• < } уклонения образов многозначного отображения (м.о.)
ф(-) от значений алгебраического полинома:
р( А) := max max {у 2,k — Pn(A, tk); Pn(A, tk)—yl,k}------® mln . , (2.1)
k є 0,N A є Rn+1
где ф( tk ) = [yl,k ; yi,k\, y2,k >yl,k, k є 0, N , A = (ao,al,к, an)є Rn+1,
Pn(A, tk ) = a0 + a1t + ••• + antn . Для избегания тривиального случая сведения к алгебраической
интерполяции считаем N>n+1.
Функция
f (A, k) := max{y2,k — Pn (A tk);Pn(A, tk) — У1,k }
называемая далее амплитудным модулем, является непрерывной и выпуклой по A, но не является всюду дифференцируемой. Такими же свойствами обладает и целевая функция в задаче (2.1). Поэтому задача (2.1) относится к задачам недифференцируемой оптимизации.
Заметим, что задача (2.1) обобщает известную задачу П. Л. Чебышева о наилучшем приближении дискретной функции у(-) алгебраическим полиномом заданной степени
та^|yk — Pn (a tk ^® mln+1 ’ п ^
k є 0,N АєR (2.2)
где yk = y(tk), k є 0, N.
Для решения задачи (2.1) можно воспользоваться следующими приёмами:
1. Решать задачу приближёнными методами, заложенными в стандартных прикладных программах (например, «Поиск решения» MS Excel).
2. Использовать метод решения задач линейного программирования после соответствующих преобразований исходных ограничений и цели.
3. Применять аппарат перебора базисов, обобщающий алгоритм Валле-Пуссена решения задачи (2.2) [1, 4, 5, 7].
Отметим некоторые недостатки применения первых двух приёмов и рассмотрим третий вариант. Очевидно, что задача (2.1) сводится к задаче линейного программирования:
р ® mln,
y2,k — a0 — ... — antkn £P, a0 + ... + antkn — yl,k £P, k = ^N .
Последняя задача содержит (n+2) переменных - компоненты вектора А и р и 2(N+1) ограничений, причём могут возникнуть проблемы с нахождением начального базисного плана, поэтому решать подобные задачи традиционным симплекс-методом нецелесообразно. Для решения таких проблем в прикладных программах используются методы регуляризации, которые позволяют с хорошей точностью найти заданное решение, однако не дают ответа на вопрос о его однозначности. Кроме того, влияние исходных программных установок на точность результата существенно может исказить реальную картину, а ответить, насколько точным получилось решение, без изучения его свойств невозможно.
На рис. 1 представлены исходные данные и на рис. 2 результат применения прикладной программы для решения задачи.
1 уі у2
1 0,000000001000 0,000000003000
2 0,000000001000 0,000000001000
3 0,000000001000 0,000000003000
4 0,000000001000 0,000000001000
Рис. 1. Исходные данные для 4 сегментов на сетке Т={1,2,3,4}.
Решение задачи (2.1) для п=1 очевидно р(^=0,000000002
Снижение допустимого уровня погрешности в настройках программы позволяет получить более точный результат, однако по-прежнему не позволяет выяснить, будет ли он однозначным.
Как уже было отмечено, методы регуляризации не позволяют найти все решения или даже сделать вывод о наличии ситуации неединственности, поскольку ищут лишь приближенно вершину полиэдра.
Альтернативный метод, основанный на фактах [4-8], оперирует с матрицами размерности (п+2) и позволяет однозначно идентифицировать найденное решение и сделать вывод (и описать всё множество как выпуклую оболочку крайних точек) для случая неединственности. Эти фундаментальные свойства решения задач исследуемого класса получены впервые и именно они позволяют разработать новый алгоритм решения задач такого класса, имеющий принципиальные отличия от существующих и легко перекладываемый на любой язык программирования, для примера создан комплекс программ на языке ТигЬо Раисаї (рис. 3).
t yi у2
1 0,000000001 0,000000003
2 0,000000001 0,000000001
3 0,000000001 0,000000003
4 0,000000001 0,000000001 0,000000003999999951708
лп 0,000000005999999850041 -0,000000001999999898333 0,000000003
аО а1 го*
цель 0,000000002999999846266710000
orpl -1 -1 1 -0,000000001000 >= 0,000000
огр2 1 1 0,000000007000 >= 0,000000
огрЗ -1 -2 1 0,000000001000 >= 0,000000
0Гр4 2 1 0,000000005000 >= 0,000000
огр5 -1 -3 1 0,000000003000 >= 0,000000
огрб 3 1 0,000000003000 >= 0,000000
огр7 -1 -4 1 0,000000005000 >= 0,000000
огр8 4 1 0,000000001000 >= 0,000000
Рис. 2. Применение «Поиск решения» МЭЕхсе! привело к следующему результату (р(1:)=0,000000005999999850041-0,0000000019999998983331:):
Исходные данные: п=1;
t0= 1.00 Y10= 2.00 ; Y20= 2.00;
t1= 3.00 Y11 = 1.00 Y21 = 4.00;
t2= 5.00 Y12= 3.00 ; Y22= 3.00;
t3= 7.00 Y13= 2.00 ; Y23= 3.00.
Поиск крайней точки . . . as= 4.Ш0
КРАЙНЯЯ ТОЧКА = РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ = < 1.75 ; Ш.25 >
РЕШЕНИЕ ПОЛУЧЕНО НА МНОЖЕСТВЕ delta tl= З.ШО ; t3= 7.ШШ ;
Но = 1.50
Решение = С 1.75 ; Ш.25 )
Рис. 3. Фрагменты решения задачи (найдена крайняя точка, получен вывод о наличии многих решений)
4'5 ~A
* *•*
3,5 -
у' s*.
J .• p{t)=0,75+0,25t^^^V \
/ \ 4 fr Vl
/ *■■■■— v2
с 2 4 6 t 8
аО а1
1,75 0:25 1,5
Рис. 4. Визуализация решения (минимальное значение целевой функции 1,5)
Если использовать для решения прикладную программу «Поиск решения» MS Excel, то вывода о наличии множества решений не получено, кроме того, результат решения сильно зависит от начальных значений; так, если начинать решение с нулевых значений неизвестных, решение искажается (рис. 5), иногда решение достигается (рис. 6), то есть не обладает устойчивостью от входных параметров.
Рис. 5. Визуализация решения «Поиск решения» начальное приближение (0,0), минимальное значение целевой функции 2,125 (получено неточное решение)
Рис. 6. Визуализация решения «Поиск решения» начальное приближение (2,1), минимальное значение целевой функции 1,5
3. Эвристический алгоритм решения непрерывной задачи. Для численного решения задачи (1.1) можно заменить отрезок [я,Ь] дискретной сеткой Т = {а = to < Х\ < к < = Ь}. В данном
случае основной вопрос заключается в том, насколько точным получится решение.
Решая дискретную задачу (2.1) на данной сетке в предположении, что выполняется условие
(б) теоремы 1.1, получаем полином наилучшего приближения дискретной задачи (или один из множества решений). Вычисляем уклонение этого полинома от исходного многозначного отклонения. В том случае, если эта величина больше, чем минимальное значение целевой функции дискретной задачи, дополняем сетку Т всеми точками, в которых этот максимум достигается (по непрерывности, такая точка существует). Процесс заканчивается, как только разница между уклонением и минимальным значением целевой функции текущей дискретной задачи не будет меньше заданной погрешности.
Если на каком-то этапе найти точку, уклонение полинома в которой больше минимального значения целевой функции текущей дискретной задачи, не удалось, то делаем вывод, что решение непрерывной задачи проходит через середины самых широких сегментов (в непрерывном случае в отличие от дискретного это ещё не гарантирует неединственности решения, даже если сегментов максимальной ширины менее, чем п+1).
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 13-01-00175).
ЛИТЕРАТУРА
1. Демьянов В.Ф. Введение в минимакс / В.Ф. Демьянов, В.Н. Малоземов. М.: Наука, 1972.
2. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении непрерывного многозначного отображения алгебраическим полиномом / И.Ю. Выгодчикова // Математика. Механика: сб. науч. тр. Вып. 2. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 13-15.
3. Выгодчикова И.Ю. Свойства решения задачи о наилучшем приближении непрерывного м.о. алгебраическим полиномом / И.Ю. Выгодчикова // Математика. Механика: сб. науч. тр. Вып. 8. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. С. 27-31.
4. Выгодчикова И.Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом / И.Ю. Выгодчикова // Математика. Механика: сб. науч. тр. мех.-мат. фак. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005.
5. Выгодчикова И.Ю. Об алгоритме решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом / И.Ю. Выгодчикова // Математика. Механика: сб. науч. тр. Вып. 4. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. С. 27-31.
6. Выгодчикова И.Ю. О крайних точках множества решений задачи о наилучшем приближении многозначного отображения алгебраическим полиномом / И.Ю. Выгодчикова // Математика. Механика: сб. науч. тр. Вып. 5. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 15-18.
7. Выгодчикова И.Ю. О монотонном алгоритме решения задачи приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом / И.Ю. Выгодчикова // Математика. Механика: сб. науч. тр. Вып. 6. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 27-30.
8. Выгодчикова И.Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом / И.Ю. Выгодчикова // Известия Саратовского унта. Новая серия. 2006. Т. 6. Вып. (1). 2. Серия: математика. Механика. Информатика. С. 11-19.
Выгодчикова Ирина Юрьевна -
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математическая экономика» Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
Irina Yu. Vigodchikova -
Ph. D., Associate Professor Department of Mathematical Economy Chernyshevsky Saratov State University
Статья поступила в редакцию 17.04.13, принята к опубликованию 15.05.13
