CC BY
23
ТЕОРЕМА 2. Пусть g е Lq(R) nCq(R), f eLp(R)r>Vp(R), \< p,q <2, 0 < у < p'q /(/>' + q'). Если сходится ряд
то f(x)g(x)eLf(R).
Замечание. Методом доказательства теоремы 1 можно получить, что из сходимости ряда X^i"""2'03 m-iv//»71/") с-"еДУет существование
Q^\hx)\y\g(xfdx, а>-1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостехиздат, 1948.
2. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.
3. Родин A.M. Условия интегрируемости преобразования Фурьер-абсолютно непрерывной функции // Исследования по алгебре, теории чисел, функиион&пьпому анализу и смежным вопросам. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 85 - 92.
УДК 517.5 18.82
И. Ю. Выгодчикова
О КРАЙНИХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ
1. Постановка задачи. Пусть Т = {i0 < Г, <... < tN} с [ü: l], Ф( ) -дискретное многозначное отображение с образами в виде отрезков = 'У2.Л У2,к^У1,к' *e[0:Af]; pn{A,t) = a0 + а,/ + ... + ant" - алгебраический полином степени не выше п с вектором коэффициентов /4 = (а(1,а|,...,в„)бй"1. Рассмотрим задачу df
р(Л)= max /(АД)-> min , (1)
где f (А,к) = max {у2 к - pn{A,tk), pn{A,tk)~ yl k }.
Доказано [1], что решение задачи (1) существует. Пусть р" = min р(Д),
91 = | ДеЯ"41 : р(д)= р'}. В случае N < п решение задачи (1) известно [1]. Считаем N > п.
Пусть а,ДсГ: а={/Уо </. <...<iy„J, Д = {г,0 </„<...</J, l(a)={ke[0:N]:tk еа}, /(д) = {ke[0:N]:tk <=Д}. Рассмотрим подзадачу
df df р (Л,ст) = шах f(A,k)-> min ; p*(a)= min p(A,a). (2)
Нетрудно показать, что
VAe/?"+I: р(Д,ст)< р(л); р»<р". (3)
Амплитудными назовём функции
( \ [ Уг,]к >к ~ чёт«о. , ч [ Уи к,Ь ~ четно,
Фо(стЛ) = 1 л <Pi(<V*)4 . .. (4)
нечетно, [У2,]к Л ~ нечетно,
tjk еа,ке [0:л + 1 ].
Сформулируем для амплитудных функций задачи П.Л. Чебышева [2]
Р. (А>°) = тах|ф,.(а,Г; )- pn(A,tj )-> min ,
к ^ 1(a)1 1 Agä"'
, df I ч _
рДст) = min рДА,ст)=р1(А|а>стЬ' = ОЛ. (5)
Ае/?
Обозначим через Z = е [О: /V]: У2'к ^ Ух'к = р* j, |Z| - количество элементов множества Z
2. Вспомогательные факты. Ввиду принятых обозначений, теорему 1 из [I] можно сформулировать следующим образом.
ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы вектор A* eRn+l являлся решением задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:
а) р(а*)= max Уг'к ~ Ух'к ; б) За* :р(л")= p/(o*\i =0 или i = l. *e[0:W] 2
При этом р' =р(а ).
Несложно показать, что из условия а) следует Z # 0. Приведём утверждение, эквивалентное теореме 2 из [3). ТЕОРЕМА 2. Пусть А* - некоторое решение задачи (1). Если выполняется хотя бы одно из условий:
a) |Z|> л +1, б) Зо* :р* =р,*(ст"), i =0 или / = 0,
то решение А задачи (1) единственно. В [3] доказана следующая теорема. ТЕОРЕМА 3.
3 А' еЧЯ, ЗД': f{A',k)= р\ У*е/(д). (6)
3. Критерий распознавания крайних точек. Обозначим мно-
жество крайних точек множества 9?.
ТЕОРЕМА 4. Все векторы А е91, которые удовлетворяют условию (6), и только они являются крайними точками множества У?.
Доказательство. I. Достаточность. Пусть для вектора Л е!Л выполняется условие (6). Покажем, что А еЕ(У\). Если решение единственно, у тверждение теоремы очевидно.
Пусть |9?| = оо. Допустим, что утверждение теоремы не верно, то есть
А' г £(9?). Последнее означает, что
3 А1, А2 е 9?, Л1 * а2, 3 0<х.<1: А* =х'а' + (\-х')а2. (7) В силу (6) V к е/(л') либо
р' = /(л',к)=угк -р„(а\/*) = = (уа.* - Рп (А*.))+ (1" К* " Рп №,'*))< ХГ )р = р*, (8)
либо
р* = ^А',к)= р„{а ,1к)-У\.к =
= (Рп(А1Л)" Уи)+ (1" \рп№,'к)~ У\,к)*+11 ~ У =Р (9)
Таким образом, в (8), (9) имеем равенства. Ввиду (7) X. , (1 X )с(0,1). Следовательно,
>'2,А ~ Рп{а\ь )= р* = у2>к - р„{А2,1к),
либо
Рп[А^*к)-У\,к =Р* = Рп[А2>1к)~У\,к-
Тогда \тЧе/(л*), рп(а\ск)= р„[а2,1к), при этом |/(д*| = п + ]. Итак, полиномы степени не выше п имеют равные значения в (и+1) точках, а значит, Л1 = а2, что противоречит (7).
II. Необходимость. Пусть А* е £(9?). Покажем, что имеет место (6).
1. В том случае, если 2 = 0 или \2\ > п +1 в силу теорем 1, 2 решение единственно, является крайней точкой и удовлетворяет (6).
2. Пусть 1 < < п +1. Предположим, утверждение теоремы не верно.
Тогда Е мк = {¿0,Лдг.,,}с {*: е [0:Лф /(а*д)< р*}. Заметим, что 1 (ЛМК = 0, поскольку V/: е 2 , /(а*д)= р*.
3. Пусть к0 € мк , обозначим через а', I = 1,2, решение системы
|р„(а'л)=л(а*м) кф:Н]\МК, 1 Рп\А','ки )= Рп\А',1кп)+ (3- 2/)е. 17
Возьмём е > 0 достаточно малым. Тогда ввиду рассуждений предыдущего
пункта max f\A',k)= р'. Следовательно, Л' е91,при этом А' фЛ' ,i = 1,2
Ae[0:/V]
и А1 ФА2.
4. Заметим, что V X е R, \fk e[0:N]\MK,
рп(м1 + (1 - X)A2,tk )= XPn(A1,fJ+ (1 - X)pn(A2,tk f=Pn(A\tk). Далее, ввиду (10) X = 1/2 удовлетворяет уравнению
Рл(ХА14.(1-Я,)А2Л0)=/7П(А*^0).
5. Итак, значения полиномов />„Q-(a' + A2\t j и Рп(а',/) совпадают
в (л +1) точках, значит, эти полиномы совпадают. Тогда
* 1 / i 2 \ 1 2 1 2
А + ^ )>А >Л б 9?, А *А . Получили противоречие тому, что
А е £(S-R). Теорема доказана полностью.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Выгодчикова И.Ю. О наилучшем приближении дискретного мультиотображе-ния алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-ВО Capar, ун-та, 2001. Выи. 3. С. 25 27.
2.Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
3. Выгодчикова И.Ю. Об алгоритме решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2002. Вып. 4. С. 27 - 31.
УДК 514.764
С. В. Галаев, А. В. Гохман
К ГЕОМЕТРИИ ДИНАМИКИ СО СВЯЗЯМИ ОДНОГО КЛАССА ТОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
В работе [1] было показано, что движение материальной точки переменной массы совпадает с геодезической эквипроективной связности. Используя условия [2], при которых эквипросктивная связность является ри-мановой, был выделен класс точек, эквивалентных голономным системам постоянной массы. В первой части настоящей статьи находятся условия метризуемости связности специального вида, заданной в неголономном многообразии [3]. Во второй части приводятся пример из динамики точки с переменной массой, демонстрирующий важность проблемы метризуемости допустимой связности [3].
