Моделирование и оптимизация риска финансового портфеля по многозначным ценовым данным Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ

удк ззо.4 Ирина Юрьевна Выгодчикова,

кандидат физико-математических наук, (ва^ [email protected] доцент кафедры математической экономики,

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

влр [email protected] Виктор Николаевич Гусятников,

доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики и информатики,

СГСЭУ

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ РИСКА

ФИНАНСОВОГО ПОРТФЕЛЯ ПО МНОГОЗНАЧНЫМ ЦЕНОВЫМ ДАННЫМ*

При математическом моделировании риска финансового портфеля возникает проблема выбора методов оценки риска составляющих финансовый портфель активов и всего портфеля, которые учитывают специфическую трактовку интересующей инвестора категории риска. Для получения оценки риска финансовых активов, на основе которых инвестор формирует портфель, предложена скользящая выборка временного ряда сегментных данных о ценах акций с использованием диаграммы «японские свечи». С помощью точных расчетных формул, полученных на базе фундаментальных исследований задачи аппроксимации многозначных отображений полиномом, моделируется временной ряд, построенный из минимальных значений целевых функций серии таких задач. Предложена новая минимаксная оценка риска финансового портфеля на базе оценивания рискового вклада каждого актива, входящего в портфель, альтернативная оценке риска с использованием среднеквадратического отклонения доходности. По аналогии с известной задачей Г. Марковица поставлена и решена в точных расчетных формулах задача оптимального портфельного инвестирования с использованием новой оценки риска. Проведены вычислительные эксперименты для тестирования модели. Предложенный инструментарий оптимального портфельного инвестирования может служить средством получения оптимально диверсифицированного портфеля относительно новой оценки риска, учитывающей индивидуальные предпочтения инвестора.

Ключевые слова: математическое моделирование, оптимизация, оценка риска, финансовый портфель, многозначное отображение.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00175).

♦

♦

I.Yu. Vygodchikova, V.N. Gusyatnikov

MODELING AND OPTIMIZATION OF FINANCIAL PORTFOLIO RISK IN MULTIVALUED PRICE DATE

The paper shows that mathematical modeling of financial portfolio risk requires accurate selection of risk assessment methods of the individual financial assets in the portfolio and the portfolio on the whole, those methods must take into account specific interpretation of the risk category important for the investor. To assess the risk of financial assets that form investor portfolio it is necessary to use moving sampling of the time series of segmented data on stock prices using "Japanese candlestick" chart. With the help of precise design formulas derived on the basis of fundamental research and polynomial approximation of valued maps, time series is constructed from the minimum values of the objective functions of a series of such problems. The authors suggest a new minimax financial portfolio risk assessment based on the assessment of risk contribution of each asset in the portfolio which is alternative to the risk assessment using the standard deviation of return. By analogy with the well-known model by H. Markowitz the authors suggest precise design formula for optimal portfolio investment using new risk assessment. Computational experiments for testing the model are conducted. The methods for optimal portfolio investment suggested in the paper can serve as a means of obtaining optimal diversified portfolio based on the new risk assessment that takes into account individual preferences of the investor.

Keywords: mathematical modeling, optimization, risk assessment, financial portfolio, many-valued mapping.

Многогранному анализу и количественной оценке инвестиционного риска посвящены многие научные работы [2; 3; 5; 6 - 8; 10; 11]. В задачах такого типа при известной доходности каждой составляющей финансового портфеля нужно найти, каков удельный вес в общем объеме инвестирования. При этом инвестиционный портфель должен обладать определенной, заранее заданной доходностью и минимальным риском, достижимым с учетом принятых ограничений. Строгое математическое обоснование таким задачам впервые предложил американский экономист Гарри Макс Марковиц в своей статье «Выбор портфеля» (1952). В настоящее время с появлением электронных торгов это направление является одним из самых модных и продолжает стабильно развиваться. Предлагается дополнить существующий оптимизационный прием [2; 3] новыми категориями оцениваемого риска [1; 4; 9] и удобными для применения инструментами получения точного решения.

Постановка задачи. Пусть 0 - объемная доля /-ой операции в совокупности рассматриваемых финансовых операций, п - количество видов операций. Считаем, что заданы ожидаемые доходности активов ^ и требуемая доходность финансового портфеля Г]р .

Требуется равномерно распределить риски (У. ) между всеми активами, взвесив их по долям активов в портфеле, за счет выбора этих долей [2]:

:= maxV-ft ^ min

i=1,n OeD

(1)

В качестве рисковых показателей V. берем новые оценки риска, а для расчета ^ применяем, следуя общепринятым в теории портфельного инвестирования рекомендациям, математическое ожидание интересующего инвестора показателя доходности или же его значение в определенный момент времени при условии, что все средства вложены в рассматриваемый актив.

Математический инструментарий для получения

оценок риска. Пусть Т = < — < tN } - множество

неотрицательных чисел, обозначающих начальные моменты торговых периодов (дней, недель, месяцев и пр.), выбранных для анализа, и пусть ценовые данные о торгах акциями представлены диаграммой «японские свечи» (рис. 1).

где:

В = {в = {въ...,вп) е Я" : ^в = 1, }(2)

1=1 1=1

Поскольку отказаться от получения боле высокой прибыли можно только имея перспективу снижения риска, считаем г/1 > ... >цп > 0 и У1 > ... > Уп > 0 .

Рис. 1. График «японские свечи»: Т= {1<...<12}, N=12

Построим многозначное отображение:

®(tk) = [лk; У2,к ],

взяв в качестве У2к максимум фитиля свечи, если за текущий торговый день она оказалось белой, или же максимум тела, если свеча оказалась черной, а в качестве у1к берем минимум тела свечи, если за текущий торговый период она оказалось белой, или же минимум фитиля, если свеча оказалась черной. Иными словами, проводим построение многозначного отображения, «обрезав японские свечи» с нижнего значения фитиля до минимума тела при белой свече, и с открытия до максимума фитиля - при черной (рис. 2).

Рис. 2. График многозначного отображения на основании рис. 1:

у - минимум свечи, у2 - максимум свечи

Р0,0 (°J) = Рo(а], tj) = y2,j

По(^) = %. 0) = У1,7 ; <Ро,1) = Фо(°], !}+1) = У\,}+1 ;

= Ф1(°], 1+) = У 2,]+1; П,2(аУ) = П(а3 ,0+2) = У2,]+2 ; (Р1,2(&] ) = Ф1(°} , 0+2 ) = У1,]+2 .

Алгоритм оценки риска финансовых активов. Для

получения минимальных значений целевых функций задач (3) достаточно выполнить следующие действия [1; 4]. Шаг 1. Вычислить компоненты векторов:

Л0(а]) = (ао°(а]), а^а3), ) = (ао\^ ), а^я3 ),

h0(aJ) , )

по формулам:

0 / j \ а1 (а3) =

Po,2(°J ) -Po,o(°J)

tJ+2 -tJ

Получаем У2,к — У\,к , к = 0,N. Определим алгебраический линейный полином:

Pn(A , t) = Pn( a0,al), t) = ao + <¥ ■

(а1) = 0.5 (po,o (а1) + Po,i (v]) - V (а')(tj + tj+i), i, j ч Pl,2 (а J ) -Pl,0(aJ)

ai (а) =

tJ+2 -tJ

Пусть N > 1 и je 0, N - 2. Множество всех

а3 = {tj < tj+i < tj+2} с T обозначим через X. Ясно,

что XI = N -1 (через |е| обозначено число элементов

множества X).

Каждому а сХ сопоставим задачу:

Р+1( A) =

= max max{ У2, к - a0 - a^, a0 + a^ - yu } ^ min ,

к e j, j + 2 A e R 2

(3)

j e 0, N - 2 .

Задача (3) является обобщением задачи отыскания интерполяционного (по Чебышеву) полинома первой степени [9, с. 18] и частным случаем задачи аппроксимации многозначного отображения алгебраическим полиномом фиксированной степени [4].

a0 (а1) = 0.5(p,0(aj) + рл(ст3') - ai (aj)(tj + tj+i), h0(a) = У2,j -a0°(aJ)-ai°(aJ)tj , hi (а) = a0 (а) + ai(a] )tj - y^j ■ Шаг 2. Найти ß1 e {0,i} такое, что

hßj (<®] ) = max{h0(^j), hi(^)}.

Шаг 3. Если hßj (a]) = p+i(Aß (а]) , взять

p]+i = h(a]), иначе pJTi = max

j+i _

y2, к - yi, к

ß

к=j, j+2

2

Переходя от одного множества а сХ к другому, полу-

J+i

Положим р3 = min р3 (A), j e 0,N - 2. На каждом

A e R 2

множестве а3 сХ определим амплитудные функции р0(а,-) и Р (а,-) и введем следующие обозначения:

чаем требуемый ряд, составленный из р , ] = 0 N -2.

При сопоставлении рисков инвестирования средств в акции, цены которых существенно различаются между собой, целесообразно выразить показатель риска в процентном выражении, например поделив на среднюю цену за период анализа или на цену закрытия торгов в последний день.

0

a

0

♦

♦

Вычислим новую оценку риска:

У = тах р]+1

}=0, N - 2

Алгоритм принятия оптимизационного решения.

"1 " 1 * Обозначим у = ^У, - , / = - , г/* = у/у.

1=1 1=1

Справедливо следующее утверждение [2].

Теорема. В зависимости от /р решением задачи (1)

* * *

- (2) является вектор в = (в1 ,...,в" ):

* * _

1) при /р =/р , в = 1/(^У), 1 = 1,п;

* ^ *

2) при г)х >чр >Vp , ft

Vp -V

i = 1, n -1 ,

Vi (7-Vnv)

*

ft =(( V -Яр )/Vi +... + (Яп-1 -Яр)/Vn-1) /(7-VV); если (7-Vn / Vn W-1/Vn ) <Vp <V1, то 6„ < 0;

3) при Vn <Vp <Vp

Vp -V1

i = 2, n,

№ актива Риск, денеж. ед. Риск,% Дивиденды Текущая доходность

1 7,3 0,0401 20 0,1099

2 6,19 0,0344 16 0,0888

3 6,0525 0,0333 15 0,0824

4 5,1500 0,0286 12 0,0666

Формируем портфель из четырех активов, беря в качестве доходности текущую доходность относительно закрытия торгов за последний день, а также учитывая требование сохранить доходность портфеля на уровне 8,75%, получаем доли инвестирования (рис. 3).

V, 0,0401 П1 0,1099 0,23659

V2 0,0344 П2 0,0888 0,27628

V3 0,0333 П3 0,0824 93 0,28535

V4 0,0286 П4 0,0666 0,20177

пр 0,0875 Сумма 1

■V 0,0850906

ПР > ПР*

Рис. 3. Доли инвестирования

В заключение отметим, что задача (1) - (2) является средством получения оптимально диверсифицированного портфеля относительно новой оценки риска. Предлагаемый метод может использоваться как отдельно, так и наряду с другими приемами инвестиционного анализа, дополняя и обогащая их.

V (7-VIv)

*

ft =(( V2 -Vp)/V2 +... + (Vn -Vp)/Vn) 1(7-VP); если (7-V1/У)/(^- 1/V1) >Vp >Vn, то ft* < 0.

Процедура решения задачи (1) - (2) с учетом теоремы сводится к следующим трем шагам.

*

Шаг 1. Вычисление V, 7, Vp ■

*

Шаг 2. Сравнение Vp и Vp .

* * *

Шаг 3. Вычисление компонент д = (ft ,...,dn ) в

зависимости от вывода, полученного на шаге 2.

Экспериментальные результаты. После проведения вычислений риска и текущей доходности для рассмотренных на рис. 1 - 2 акций и для акций еще трех видов (относительно закрытия торгов за последний день) получены следующие результаты (таблица).

Оценки риска и доходности (относительно цен закрытия торгов за последний день)

1. Выгодчикова И.Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Известия Саратовского университета. Новая серия. 2006. Т. 6. Вып. 1 - 2. Серия: Математика. Механика. Информатика. С. 11 - 19.

2. Выгодчикова И.Ю. О задаче равномерного распределения риска финансового портфеля // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 22 - 25.

3. Выгодчикова И.Ю. О формировании портфеля ценных бумаг с равномерно распределенным риском // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: СГУ, 2010. Вып. 12. С. 18 - 20.

4. Выгодчикова И.Ю. Об алгоритме решения задачи о наилучшем приближении дискретного многозначного отображения алгебраическим полиномом // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 27 - 31.

5. Выгодчикова И.Ю, Верещагина Л. С. Анализ финансовых операций с адаптированными коэффициентами Р. Чессера // Вестник СГСЭУ. 2012. № 5 (44). С. 180 - 185.

6. Гусятников П.В. Модели для оценки уровня возможных потерь при дефолтах в кредитном портфеле // Современная экономика: проблемы и решения. 2011. № 9. С. 119 - 125.

7. Гусятников П.В. Оптимизация модели для оценки уровня возможных потерь при дефолте // Вестник СГСЭУ. 2012. № 3 (42). С. 109 - 111.

8. Гусятников П.В. Особенности управления кредитным риском экстремально редких событий // Наука и общество. Серия: Информационные технологии. 2011. № 1 (1). С. 10 - 13.

9. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

10. Кабушкин С.Н. Управление банковским кредитным риском. Минск: Новое знание, 2007.

11. Четыркин Е.М. Финансовые риски. М.: ДЕЛО, 2008.