Модель формирования инвестиционного портфеля с использованием минимаксного критерия Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Irina Yuryevna Vygodchikova,

PhD in Physics and Mathematics, associate professor of the department of mathematical economics, Saratov State University

Victor Nikolaevich Gusyatnikov,

Doctor of Physics and Mathematics, professor, head of the department of applied mathematics and informatics,

Saratov socio-economic institute (branch) of Plekhanov Russian University of Economics

Svetlana Alexandrovna Akimova,

PhD in Physics and Mathematics, associate professor of the department of applied mathematics and informatics, Saratov socio-economic institute (branch) of Plekhanov Russian University of Economics

УДК 330.4:330.322

Ирина Юрьевна Выгодчикова,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической экономики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского

[email protected]

Виктор Николаевич Гусятников,

доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики и информатики, Саратовский социально-экономический институт (филиал)

РЭУ им. Г.В. Плеханова

[email protected]

Светлана Александровна Акимова,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Саратовский социально-экономический институт (филиал)

РЭУ им. Г.В. Плеханова

[email protected]

МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МИНИМАКСНОГО КРИТЕРИЯ

В статье представлена модель формирования структуры инвестиционного портфеля, позволяющая использовать минимаксную оценку риска и снижать объем инвестиций в те активы, где риск высок, до тех пор пока инвестора будет устраивать доходность портфеля. Модель служит альтернативой модели Марковица, являясь более быстродействующей в плане компьютерных вычислений, за счет обоснованных авторами статьи свойств решения задачи. Модель целесообразно применять для предприятий, динамика количественных показателей которых не имеет достаточного объема данных для применения статистических оценок риска. Примерами являются инновационные предприятия, на основании данных о которых выполнены вычислительные эксперименты.

Ключевые слова: портфель, инвестиции, оптимизация, доходность, капитал, модель, риск, минимаксный подход.

ISSN 1994-5094 ♦-

171 -♦

MODEL FOR BUILDING AN INVESTMENT PORTFOLIO WITH THE HELP OF MINIMAX CRITERIA

The article presents an original model for building the structure of an investment portfolio that uses a minimax risk assessment and reduces the amount of investment in those assets where the risk is high as long as the investor is satisfied with the portfolio return. The model serves as an alternative to the Markowitz model and is better in terms of quicker computer calculations due to the authors' original approach to solving the problem. The model is better suited for companies whose dynamics of quantitative indicators does not have sufficient data for the application of statistical risk assessments methods. Computational experiments are performed using data from innovative enterprises.

Keywords: portfolio, investment, optimization, profitability, capital, model, risk, minimax approach.

Введение

Методы и модели портфельного инвестирования необходимы для принятия качественных управленческих решений, повышающих эффективность развития важнейших отраслей экономики [7]. Для улучшения условий инвестиционных вложений инвестор должен позаботиться о соблюдении рационального соотношения между риском и доходностью вложения капитала, чего невозможно достичь при осуществлении инвестиций в отдельно взятые активы [8]. Решение проблемы распределения капитала между активами оптимальным способом, сводящее общий риск портфеля к минимальному уровню, впервые было предложено в 1950-е гг. американским ученым Г. Марковицем. Им было доказано, что совокупный риск портфеля можно разложить на две части: систематический риск, которому подвержены все активы, и специфический риск, присущий конкретному активу, которого можно избежать [11].

Подходы, основанные на решении задачи Г. Мар-ковица, позволяют достичь оптимальной структуры инвестиционного портфеля, однако при современных технологиях развития бизнеса для применения этих моделей требуется большое количество статистической информации о ценных бумагах, необходимой для формирования ковариационной матрицы их доходностей [10].

Модель Марковица получила свое дальнейшее развитие в трудах американского экономиста У. Шарпа, который предложил индексную модель построения границы эффективных портфелей. На основе этой модели была построена модель CAPM (Capital Pricing Model), предназначенная для определения цены активов компании в будущем. Недостатком этих моделей является сложность определения конкретных факторов риска, которые нужно включать в модель.

Портфельное инвестирование является основным средством мобилизации финансовых ресурсов для расширения наукоёмких технологий, что особенно важно для инновационной сферы бизнеса [6; 12]. Являясь весьма динамичным и требующим высоких затрат ресурсов, инновационный бизнес подвержен повышенному уровню риска. Поэтому для принятия решений об инвестировании необходимо проводить углубленный анализ имеющихся данных. Применение традиционных методов портфельного инвестирования в инновационном бизнесе не представляется возможным ввиду отсутствия

достаточного объема информации для вычисления используемых в модели показателях доходности и риска [9]. Поэтому актуальным направлением исследования является разработка математического инструментария портфельного инвестирования, основанного на применении не только традиционных показателей риска (дисперсия, среднеквадра-тическое отклонение доходности, вероятность несостоятельности и проч.), но и более широкого спектра количественных величин (ошибки прогноза, погрешности, рейтинги, рэнкинги, баллы, финансовые коэффициенты и др.) [4; 5].

Целью исследования является разработка моделей портфельного инвестирования на основе минимаксной модели оценивания риска и эффективных вычислительных алгоритмов, реализующих процесс принятия оптимального инвестиционного решения.

Модель инвестиционного портфеля

Отметим следующие требования, которым должна удовлетворять модель инвестиционного процесса:

1. Инвестору нужна надежная с точки зрения математически обоснованного инструментария модель, согласно которой он будет осуществлять вложения капитала и при этом знать, что учтены и стабилизированы факторы риска, которые доставляют ему наибольшие опасения, будь то рейтинг инвестируемой компании на мировом уровне или количество негативных отзывов клиентов, или вероятность потери финансовой устойчивости.

2. Прибыль от осуществления инвестиций должна удовлетворять инвестора и быть на уровне нормативов доходности вложенных средств в альтернативные проекты.

3. Выполнение вычислений должно осуществляться в реальном масштабе времени.

Учесть эти особенности портфельного анализа позволяет следующая математическая модель.

Обозначим через 0 долю /-го актива в портфеле, 0 = (01,...,0П) - вектор неизвестных долей активов (эти компоненты нужно определить в результате решения оптимизационной задачи). Количественные показатели, характеризующие риск потери инвестированных средств в активы, входящие в портфель, обозначим через Уг > 0, / = 1, п.

Если инвестор вложил в /-й актив портфеля 0. -ю долю капитала, предназначенного для всех активов, он рискует потерять именно эту часть средств в том

172

Вестник СГСЭУ. 2018. № 3 (72)

случае, если /-и актив окажется ненадежным, интуитивно понятно, что чем выше уровень риска актива, тем меньше средств целесообразно вложить в него. Поэтому в рассматриваемой модели оценкой риска потери капитала, вложенного в активы инвестиционного портфеля, служит величина max У/в/, / = 1,n . Эта величина обозначает максимальную долю потерь вложенного капитала, и ее следует минимизировать [5]:

(1)

Аналогично, для б) имеем:

¥(в) = max УД ^ min,

/=1, n 0eD

где

Лр ~ln

, / = 1, П - 1

Уг (Г-Л„у)

вп = (щ )/у +... + щ„-1 -Лр)/у„-д( 7-Л„у)'

*

в) при щ„ <щр <щр , решение задачи (1) - (3) находится по формулам:

ЛР -щ ■ ^—

0. =__Ч , г = 2,„

' у (у-щу)

в = (42-Пр)/V +... + (щ„-Пр)/V)(у-щу). Заметим, что а) можно записать в виде рекуррентных формул:

1

уУ г 1 У

1 * * V . г\

в1 = , в* = 0 ^, / = 2, n

01 =

Лр -ЛП У(7-Лпу)

в* = 0* ^ * 1 У

/ = 2, n -1, вп = 1 -в1 -...-0n-1 • Для в) формулы примут вид:

Лр -Л1 Vn (7-Л\У)

* * V в* =в*-±, У

Б = {0 = (0,...,0„) е Я„ : = 1}. (2)

г=1

Если инвестор имеет требования к доходности портфеля, вместо множества ограничений (2) следует рассматривать множество вида:

Б = {0 = (01,...,0„) е Я„ : £0 = 1, Е=4р }, (3)

г=1 г=1

где щ >... >щ„ - заданные показатели доходности; щр - требуемая инвестором доходность портфеля. При этом считается, что у >... > У„.

Математический метод

Решение задачи (1) - (2) получается из системы равенств У01 =... = у„в„, 01 +... + в„ = 1 и определяется по формулам:

_ „ -1

вг = 1 / (у у.) ,г = 1, „, где У = £У, . (4)

г=1

Для получения формул, позволяющих отыскать решение задачи (1) - (3), положим

„ -1 7 = ЕлУг , Щ* =у/У.

г=1 У

В [5] доказано, что решение задачи (1) - (3) в зависимости от соотношения между Щр и Щр определяется следую *им образом:

а) при щр = щр , решение задачи (1) - (3) совпадает с решением задачи (1) - (2) и находится по формулам (4):

вг = 1 /( у у ), г = ;

*

б) при щ >щр >щр , решение задачи (1) - (3) находится по формулам:

Пр

г = 2,„-1, 0 = 1 -02-...-0„.

Следовательно, предложенный вычислительный метод не требует много времени и реализуется с высокой скоростью.

Анализ данных

Для оценки риска потери вложенного капитала (V) часто используют коэффициент финансового левереджа [7] как отношение заемного и собственного капитала. Для инновационного бизнеса указанный показатель служит одним из основных количественных измерителей риска [1-3].

Важным показателем доходности (п) служит коэффициент рентабельности собственного капитала, который вычисляется как отношение чистой прибыли к собственным средствам [7]. Этот показатель не вызывает сомнения, поскольку указывает на заработанные предприятием за счет собственных источников финансирования средства.

Общая методика анализа данных состоит в следующем.

1. Если выполняется система неравенств >... >щп, V >... > У„, применяется модель (1) - (3).

ри этом, если не известны предпочтения инвестора, требуемая доходность инвестиционного портфеля вычисляется как среднее из значений доход-ностей входящих в инвестиционный портфель активов:

Пр = (щ +... + щ„)/„

2. Если система неравенств щ >...>щ„ , V >... > У„ не выполняется, применяется модель (1) - (2). Эта же модель применяется, если не известны показатели доходностей входящих в портфель активов.

После получения долей активов производится пересчет этих долей с учетом размера собственного

капитала по формуле (Е - собственный капитал):

„

0 = 0,Е, /в, г = М, где е = £Е0 . (5)

г=1

Данный подход позволяет учесть объем собственных ресурсов предприятия, что особенно важно для инновационной сферы бизнеса.

Результаты

Анализ проведен для инновационных предприятий Саратовской области «Ламинированное стекло», «Нита-Фарм», «Биоамид» [1-3] за два года -2014 и 2015 гг. Предварительно выполнены расчеты показателей доходности и риска для этих предприятий, представленные в табл. 1 и 2.

ISSN 1994-5094 173 ♦-♦

Таблица 1

Показатели финансовой отчетности предприятий (2014 г.)

Показатель «Ламинированное стекло» «Нита-Фарм» «Биоамид»

Чистая прибыль, тыс. руб. 2192 48 318 35 861

Заёмный капитал, тыс. руб. 3232 93 094 8350

Собственный капитал, тыс. руб. 7401 368 822 86 035

Риски (отношение заемных средств к собственным), % 44 25 10

Доходности (рентабельность собственного капитала), % 30 13 42

Таблица 2

Показатели финансовой отчетности предприятий (2015 г.)

Показатель «Ламинированное стекло» «Нита-Фарм» «Биоамид»

Чистая прибыль, тыс.руб. 6376 143 289 18 983

Заемный капитал, тыс.руб. 8324 133 397 25 561

Собственный капитал, тыс.руб. 10381 512 111 100 279

Риски (отношение заемных средств к собственным), % 80 26 25

Доходности (рентабельность собственного капитала), % 61 28 19

Таблица 3

Рекомендуемые доли в портфеле инвестора (2014 г.), %

Показатель «Ламинированное стекло» «Нита-Фарм» «Биоамид»

Доля при объеме инвестиционных ресурсов, не превышающем собственные средства предприятий 13,8 23,9 62,2

Доля при объеме инвестирования, превышающем собственные средства одного из предприятий 0,7 61,8 37,5

Таблица 4 Рекомендуемые доли в портфеле инвестора (2015 г.), %

Показатель «Ламинированное стекло» «Нита-Фарм» «Биоамид»

Доля при объеме инвестиционных ресурсов, не превышающем собственные средства предприятий 24,4 75,2 0,4

Доля при объеме инвестирования, превышающем собственные средства одного из предприятий 0,7 99,2 0,1

Поскольку в 2014 г. для рассматриваемых предприятий не выполняется система неравенств г/1 >... >цп, У1 >... > Уп, в расчетах применяется модель (1) - (2) и корректирующие формулы (5). В табл. 3 представлены результаты применения модели (1) - (2) для оценок долей инвестиций (2014 г.).

В 2015 г. для рассматриваемых предприятий выполняется система неравенств щ >... >цп , V >... > V, и модель может быть развита с использованием ограничения на доходность, для чего применяется модель (1) - (3) и корректирующие формулы (5). В табл. 4 представлены результаты применения модели (1) - (3) для требуемой доход-

ности, среднего значения из доходностей предприятий, ^р = 36% (2015 г.).

С точки зрения освоения инвестиционного капитала важно учитывать общий объем инвестируемых средств. Если объем инвестиционных ресурсов ниже собственных средств предприятий, достаточно пользоваться моделями (1) - (2) и (1) - (3) (первые строки таблиц 3-4). Если же объем инвестиционных ресурсов превышает собственные средства одного из предприятий, есть риск того, что данное предприятие не сможет эффективно освоить вложенные средства. Поэтому целесообразно учитывать в дополнение к моделям (1) - (2) и

174 ♦-

Вестник СГСЭУ. 2018. № 3 (72) -♦

(1) - (3) корректирующие коэффициенты (5) (вторые строки табл. 3-4). Подобная ситуация наблюдается на предприятии «Ламинированное стекло», для которого отмечается резкое снижение рекомендуемой доли в инвестиционном портфеле ввиду относительно низкого объема собственных средств.

Предложенный подход может применяться в инвестиционном анализе для снижения риска потери инвестированного капитала.

Заключение

Авторами статьи разработана минимаксная модель портфельного инвестирования и обоснован математический инструментарий оптимизации портфеля с ограничением на доходность. Данная модель может применяться, когда традиционные модели портфельного инвестирования не применимы ввиду отсутствия требуемых для построения модели динамических рядов оцениваемых показателей доходности. С использованием авторского подхода инвестор получает возможность провести оптимизацию распределения капитала, применяя доступные ему показатели риска потери капитала.

1. Бухгалтерская отчетность АО «Биоамид» за 2015 г. URL: https://e-ecolog.ru/buh/2015/6454035870 (дата обращения: 17.01.2018).

2. Бухгалтерская отчетность ЗАО «Ламинированное стекло» за 2015 г. URL: https://e-ecolog.ru/buh/2015/64520 39396 (дата обращения: 17.01.2018).

3. Бухгалтерская отчетность ООО «Нита-Фарм» за 2015 г. URL: https://e-ecolog.ru/buh/2015/6452109727 (дата обращения: 17.01.2018).

4. Выгодчикова И.Ю., Гусятников В.Н. Анализ струк-

туры финансовых показателей инновационных предприятий энергетической отрасли // Информационная безопасность регионов. 2017. № 3-4 (28-29). С. 9-14.

5. Выгодчикова И.Ю. О математическом моделировании структуры технической системы с равномерно распределенными рисками // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. Т. 4. № 1 (68). С. 17-22.

6. Выгодчикова И.Ю., Гусятников В.Н. Моделирование и оптимизация риска финансового портфеля по многозначным ценовым данным // Вестник Саратовского государственного социально-экономического университета. 2013. № 4 (48). С. 94-97.

7. Выгодчикова И.Ю. Финансовый анализ инновационных предприятий Приволжского федерального округа // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2017. Т.10. № 11(341). С. 1245-1256.

8. Едронова В.Н. Методология финансового мониторинга: оценка национальных рисков // Финансы и кредит. 2016. № 16 (688). С. 27-39.

9. Игонина Л.Л. Финансовый потенциал инвестиционного процесса в российской экономике // Дайджест-финансы. 2016. № 2 (238). С. 2-14.

10. Коноплева Ю.А. Формирование инвестиционного портфеля на основе модели CAPM // Вестник Северо-Кавказского федерального университета. 2016. № 1 (52). С. 67-70.

11. КосоруковаИ.В., ПрокимновН.Н. Стоимость и цена бизнеса: сущность, взаимосвязь и влияние финансовых показателей // Прикладная информатика. 2013. № 5 (47). С. 45-57.

12. Халиков М.А., Максимов Д.А. Многошаговая оптимизация портфеля финансовых активов неинституционального инвестора // Путеводитель предпринимателя. 2017. № 33. С. 211-219.